Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC

    Hướng dẫn:

    Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Sử dụng công thức diện tích mặt cầu S = 4\pi R^{2}.

    Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính BC.

    Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = \frac{BC}{2}

    Theo định lý Pytago ta có:

    BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 2a^{2} \Rightarrow BC = a\sqrt{2} \Rightarrow R = \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quay quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính R = \frac{a\sqrt{2}}{2} nên diện tích mặt cầu là: S = 4\pi R^{2} = 4\pi\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2} = 2\pi a^{2}.

  • Câu 2: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Công thức tính thể tích hình cầu tâm I bán kính R là:

    Mặt cầu hình cầu là gì? - Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

    Hướng dẫn:

    Công thức tính thể tích hình cầu tâm I bán kính R là

    V = \frac{4}{3}\pi R^{3}

  • Câu 3: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Hình chữ nhật có chiều dài 8 cm, chiều rộng 6 cm. Quay hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r. Khi đó:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh của nó thì ta được hình trụ có chiều cao bằng độ dài trục và bán kính đáy bằng kích thước còn lại.

    Vậy chiều cao của hình trụ bằng chiều dài của hình chữ nhật (h = 8 cm), bán kính đáy của hình trụ bằng chiều rộng của hình chữ nhật (r = 6 cm).

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một quả bóng bay có dạng hình cầu với chu vi đường tròn lớn là 27π (cm). Giả sử em làm tăng gấp đôi đường kính của quả bóng bằng cách thổi thêm không khí vào quả bóng. Em hãy tính xem thể tích của quả bóng bay lúc này tăng lên bao nhiêu lần so với lúc bạn đầu.

    Hướng dẫn:

    Ta có chu vi đường tròn lớn là 27π cm nên 2\pi R = 27\pi \Rightarrow R = \frac{27}{2}(cm)

    Tính thể tích của quả bóng: V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi.\left( \frac{27}{2} ight)^{3} = \frac{6561}{2}\pi\left( cm^{3} ight)

    Khi làm tăng gấp đôi đường kính của quả bóng bằng cách thổi thêm không khí vào quả bóng thì bán kính quả bóng lúc này là: R_{1} = 2R = 2.\frac{27}{2}(cm)

    Tính thể tích của quả bóng lúc sau là:

    V_{1} = \frac{4}{3}\pi{R_{1}}^{3} = \frac{4}{3}\pi.\left( 2.\frac{27}{2} ight)^{3} = 8V

    Vậy V_{1} = 8V. Thể tích tăng 8 lần.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

    Hướng dẫn:

    Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

    Diện tích mặt cầu S = 4\pi R^{2}

    Diện tích xung quanh của hình trụ S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^{2}.

    Tir số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là:

    \frac{S}{S_{xq}} = \frac{4\pi R^{2}}{4\pi R^{2}} = 1.

  • Câu 6: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h bằng:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h.

    Ta có độ dài đường sinh của hình nón là: l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}

    Vậy diện tích xung quanh hình nón là: S = \pi rl = \pi r\sqrt{r^{2} + h^{2}}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h. Nếu ta tăng chiều cao lên hai lần và giảm bán kính đáy đi hai lần thì

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Tăng chiều cao lên hai lần và giảm bán kính đáy đi hai lần => \left\{ \begin{gathered} h' = 2h \hfill \\ R' = \frac{R}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó

    Chu vi đáy mới:

    {C' = 2\pi R' = 2\pi \frac{R}{2} = \frac{C}{2}}

    => Chu vi đáy thay đổi.

    Diện tích xung quanh hình trụ:

    {S_{xq}}' = 2\pi R'.h' = 2\pi \frac{R}{2}.2h = 2\pi R.h = {S_{xq}}

    => Diện tích xung quanh hình trụ không thay đổi.

    Diện tích toàn phần hình trụ:

    \begin{matrix} {S_{tp}}\prime = {S_{xq}}\prime + 2{S_d}\prime \hfill \\ \Leftrightarrow {S_{tp}}' = 2\pi R'.h' + 2\pi R{'^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {S_{tp}}' = 2\pi \dfrac{R}{2}.2h + 2\pi {\left( {\dfrac{R}{2}} ight)^2} e {S_{tp}} \hfill \\ \end{matrix}

    => Diện tích toàn phần thay đổi.

    Thể tích hình trụ:

    \begin{matrix} V' = \pi R{'^2}.h\prime \hfill \\ \Rightarrow V' = \pi {\left( {\dfrac{R}{2}} ight)^2}.2h = \dfrac{{\pi {R^2}.h}}{2} = \dfrac{V}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    => Thể tích hình trụ thay đổi.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác

    Một hộp sữa hình trụ có thể tích bằng 128π cm3. Biết rằng đường kính đáy và chiều cao của hộp sữa bằng nhau. Tính diện tích vật liệu cần dùng để làm vỏ hộp sữa, bỏ qua diện tích phần ghép nối (lấy π ≈ 3,14 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)?

    Hướng dẫn:

    Gọi x là đường kính của hộp sữa (x > 0)

    Bán kính đáy là \frac{x}{2}

    Chiều cao là x(cm)

    Thể tích hộp sữa là:

    V = \pi R^{2}h

    \Leftrightarrow 128\pi = \pi\left( \frac{x}{2} ight)^{2}.x \Leftrightarrow x = 8(cm)

    Diện tích vật liệu cần làm đúng bằng diện tích toàn phần của hộp sữa:

    S_{tp} = S_{xq} + S_{2d} = 96\pi \approx 301,59\left( m^{2} ight)

    Vậy diện tích vật liệu cần dùng để làm vỏ hộp khoảng 301,59m^{2}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính thể tích khối nón

    Cho một hình quạt tròn có bán kính 12cm và góc ở tâm là 135^{0}. Người ta uốn hình quạt thành một hình nón. Tính thể tích của khối nón đó.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta uốn hình quạt BAC thành hình nón đỉnh A, đường sinh AB = 12cm

    Khi đó độ dài cung BC chính là chu vi đáy của hình nón

    Ta có độ dài cung BC là l_{BC} = \frac{\pi.12.135^{0}}{180^{0}} = 9\pi

    Khi đó chu vi đáy của hình nón là:

    C = 2\pi R = 9\pi \Rightarrow R = \frac{9}{2}(cm)

    \Rightarrow h^{2} = l^{2} - R^{2} = 12^{2} - \left( \frac{9}{2} ight)^{2} \Rightarrow h = \frac{3\sqrt{55}}{2}(cm)

    Thể tích khối nón:

    V = \frac{1}{3}\pi.\left( \frac{9}{2} ight)^{2}.\frac{3\sqrt{55}}{2} = \frac{41\pi\sqrt{55}}{8}\left( cm^{3} ight)

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh AB. Biết AC = 2a\sqrt{2};\widehat{ACB} = 45^{0}. Diện tích toàn phần S_{tp} của hình trụ (T) là

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Vì trục AB vuông góc với mặt đáy nên ∆ABC vuông tại B mà \widehat{ACB} = 45^{0}

    Suy ra ∆ABC vuông cân tại B.

    Suy ra AB = BC \Rightarrow 2AB^{2} = AC^{2}(Theo định lý Pytago)

    Mà AC = 2a\sqrt{2}

    \Rightarrow 2AB^{2} = \left( 2a\sqrt{2} ight)^{2} = 8a^{2}

    \Rightarrow AB = 2a

    Suy ra hình trụ (T) có chiều cao là h = AB = 2a và bán kính đáy là r = BC = 2a

    Suy ra S_{tp} = 2\pi.2a.2a + 2\pi.(2a)^{2} = 16\pi a^{2}

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Cho tam giác đều ABC có cạnh AB = 8cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Công thức thể tích hình cầu V = \frac{4}{3}\pi R^{3}

    Vì \bigtriangleup ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

    Khi đó bán kính đường trong nội tiếp là R = OH = \frac{AH}{3}

    Xét tam giác vuông ABH có

    AH^{2} = AB^{2} - BH^{2} = a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2} = \frac{3a^{2}}{4}

    \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{6}

    \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} ight)^{3} = \frac{\sqrt{3}\pi a^{3}}{54}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính thể tích khúc gỗ

    Một khối gỗ hình trụ có chiều cao gập 3 lần đường kính đáy. Biết diện tích toàn phần của khối gỗ là 7π m2. Tính thể tích của khối gỗ theo đơn vị 3m. (Lấy π ≈ 3,14 và làm tròn kết quá đến hai chữ số thập phân).

    Hướng dẫn:

    Vì chiều cao gấp 3 lần đường kính nên chiều cao gấp 6 lần bán kính

    Ta có: h = 6R

    Diện tích toàn phần của khối gỗ là:

    S_{tp} = S_{xq} + S_{2d} = 2\pi Rh + 2\pi R^{2} = 14\pi R^{2}\left( m^{2} ight)

    Hay 14\pi R^{2} = 7\pi \Leftrightarrow R = \frac{\sqrt{2}}{2}(m) khi đó h = 6R = 3\sqrt{2}(m)

    Thể tích khối gỗ hình trụ là:

    V = \pi R^{2}h = \frac{3.3,14.\sqrt{2}}{2} = 6,66\left( m^{3} ight)

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu là 10cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược lên thì chiều cao của cột nước trong phễu bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi R là bán kính đáy của cái phễu ta có \frac{R}{2} là bán kính của đáy chứa cột nước.

    Ta có thể tích phần nón không chứa nước là

    V = \frac{1}{3}.\pi.R^{2}.20 - \frac{1}{3}.\pi.\left( \frac{R}{2} ight)^{2}.10 = \frac{35\pi R^{2}}{6}

    Khi lật ngược phễu

    Gọi h chiều cao của cột nước trong phễu phần thể tích phần nón không chứa nước là:

    V = \frac{1}{3}.\pi.(20 - h)\left\lbrack \frac{R(20 - h)}{20} ightbrack^{2}

    \Rightarrow \frac{1}{1200}.\pi.(20 - h)^{3}.R^{2} = \frac{35\pi R^{2}}{6}

    \Leftrightarrow (20 - h)^{3} = 7000 \Leftrightarrow h \approx 0,87

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Một hình trụ có bán kính đáy là 13 cm, diện tích xung quanh bằng 527 cm\ ^{2}. Khi đó, chiều cao của hình trụ là

    Hướng dẫn:

    Ta có

    S_{xq} = 2\pi Rh

    \Rightarrow h = \frac{S_{xq}}{2\pi R} = \frac{527}{2\pi.13} \approx 6,451(cm)

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Một bình thủy tinh hình trụ cao 40 cm, bán kính đáy bằng 4dm. Trong bình chứa nước cao đến 3dm. Hỏi phải đổ thêm lượng nước vào bình là bao nhiêu để bình nước vừa đầy (Lấy π ≈ 3,14).

    Hướng dẫn:

    Đổi 40cm = 4dm

    Thể tích của bình thủy tinh là:

    V = \pi R^{2}h = 3,14.4^{2}.4 \approx 631,33\left( dm^{3} ight)

    Thể tích của mực nước trong bình là:

    V = \pi R^{2}h = 3,14.4^{2}.3 \approx 473,50\left( dm^{3} ight)

    Số lít nước cần đổ thêm để đầy bình là:

    631,33 - 473,50 = 157,83\left( dm^{3} ight)

    Vậy cần phải đổ thêm 157,83 lít thì đầy bình.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính thể tích phần khối cầu

    Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), cho hình vuông ABCD quay xung quanh đường trung trực của hai cạnh đối, thì phần thể tích của khối cầu nằm ngoài khối trụ là:

    Hướng dẫn:

    Hình vuông ABCD nội tiếp (O;R) nên AB= R\sqrt{2}. Khi quay mô hình ta được:

    Hình cầu tâm O bán kính R và hình trụ có chiều cao h = R\sqrt{2}, bán kính đáy r = \frac{R\sqrt{2}}{2}

    V = V_{cau} - V_{tru} =\frac{4}{3}.\pi.R^{3} - \pi.R\sqrt{2}.\frac{R^{2}}{2}

    = \frac{\pi R^{3}.\left( 8 - 3\sqrt{2}ight)}{6}

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính diện tích toàn phần của hình nón

    Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường trung tuyến AM. Quay tam giác ABC quanh cạnh AM. Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ABC đều có AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường trung trực, đường cao, đương phân giác.

    Nên ta có: MC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}

    Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AM ta được hình nón có đỉnh A bán kính đáy là MC, đường sinh AC và chiều cao AM

    Diện tích toàn phần của hình nón là:

    S_{tp} = \pi R.l + \pi R^{2}

    = \pi.MC.AC + \pi.MC^{2}

    = \pi.\frac{a}{2}.a + \pi.\left( \frac{a}{2} ight)^{2} = \frac{3\pi a^{2}}{4}

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Xác định bán kính đáy hình trụ

    Một hình trụ có thể tích V không đổi. Hỏi bán kính đáy bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ đó là nhỏ nhất

    Hướng dẫn:

    Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R;h;(R > 0;h > 0)

    Ta có:

    8 = \pi R^{2}h \Rightarrow h = \frac{8}{\pi R^{2}}

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    S_{tp} = S_{xq} + S_{2d}

    \Rightarrow S_{tp} = 2\pi.R.h + 2\pi R^{2}

    \Rightarrow S_{tp} = 2\pi.R.\frac{8}{\pi R^{2}} + 2\pi R^{2}

    \Rightarrow S_{tp} = \frac{16}{R} + 2\pi R^{2} = \frac{8}{R} + \frac{8}{R} + 2\pi R^{2}\geq3\sqrt[3]{\frac{8}{R}.\frac{8}{R}.2\pi R^{2}} = 3\sqrt[3]{2\pi.64} =12\sqrt[3]{2\pi}

    Dấu “=” xảy ra: \frac{8}{R} = 2\pi R^{2}\Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}

    Vậy với R = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}} thì diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất là 12\sqrt[3]{2\pi}.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính thể tích hình nón

    Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có BC = 10cm; AC = 8cm. Quay tam giác ABC cạnh AB ta được một hình nón có thể tích là:

    Hướng dẫn:

    Quay tam giác ABC quanh cạnh AB ta được hình nón: AB là chiều cao; AC là bán kính đường tròn đáy.

    Áp dụng định lí Pi - ta - go ta có:

    \begin{matrix} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} \hfill \\ \Leftrightarrow AB = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 6\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Thể tích của khối nón là:

    V = \frac{1}{3}\pi .A{C^2}.AB = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi \left( {c{m^3}} ight)

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính số tiền công

    Ông Tuấn thuê xe cải tiến chuyển một đống cát có dạng hình nón với chu vi đáy 9,42 m và chiều cao là 1,2 m để xây tường nhà. Biết thùng chứa của xe có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước dài 1,57 m, rộng 0,8 m và cao 0,4 m.

    Trong mỗi chuyến xe, ông Tuấn chở lượng cát ít hơn thể tích thực của xe là 5%. Hỏi ông Tuấn cần phải chuẩn bị ít nhất bao nhiêu tiền để chuyển hết đống cát trên, biết rằng giá vận chuyển của một chuyến xe là 90,000 đồng?

    Hướng dẫn:

    Gọi bán kính đường tròn đáy của đống cát hình nón đó là r (m).

    Ta có:

    r = \frac{9,45}{2\pi} \approx 1,5(m)

    Thể tích đống cát là: V = \frac{1}{3}\pi.r^{2}.h \approx \frac{1}{3}.3,14.1,5^{2}.1,2 = 2,826\left( m^{3} ight)

    Thể tích thùng chứa của xe là 1,57.0,8.0,4 = 0,5024\left( m^{3} ight)

    Mỗi chuyến xe thực chở là 0,5024.(100\% - 5\%) = 0,47728\left( m^{3} ight)

    Ta có: \frac{2,826}{0,47728} \approx 5,921

    Vậy để chuyển hết đống cát trên ông Tuấn cần sử dụng ít nhất 6 chuyến xe và phải dùng ít nhất số tiền là 6.90000 = 540000 đồng.

  • Câu 21: Vận dụng cao
    Tính diện tích xung quanh hình nón cụt

    Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, biết cạnh AB = BC = 3cm;AD = 5cm. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh AB.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác vuông ABD ta có:

    BD = \sqrt{AD^{2} - AB^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(cm)

    Kẻ CH ⊥ BD tại H

    Khi đó ACHB là hình vuông nên CH = AB = AC = BH = 3cm

    \Rightarrow HD = 4 - 3 = 1(cm)

    Xét tam giác vuông CHD ta có:

    CD^{2} = CH^{2} + HD^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10

    \Rightarrow CD = \sqrt{10}(cm)

    Khi quay hình thang vuông ABDC quanh cạnh AB ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ AC, bán kính đáy lớn BD, đường sinh CD và chiều cao AB.

    Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là:

    S_{xq} = \pi(R + r).l = \pi(3 + 4).\sqrt{10} = 7\pi\sqrt{10}\left( cm^{2} ight)

  • Câu 22: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Hình cầu tâm I bán kính R có diện tích mặt cầu là S khi đó bán kính R của hình cầu tính theo S là

    Hướng dẫn:

    Hình cầu tâm I bán kính R có diện tích mặt cầu là:

    S = 4\pi R^{2} \Rightarrow R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}.

  • Câu 23: Thông hiểu
    Tính diện tích mặt cầu

    Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm;AD = 3cm. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD,N là trung điểm BC.

    Hướng dẫn:

    Công thức diện tích mặt cầu S = 4\pi R^3

    Gọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Khi đó bán kính đường tròn là: R = OA = \frac{AC}{2}.

    Theo định lý Pytago ta có:

    AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \Rightarrow AC = 5

    (Vì AB = DC = 4cm) \Rightarrow R = \frac{5}{2}.

    Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD,N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = \frac{5}{2}.

    Diện tích mặt cầu là S = 4\pi R^{2} = 4\pi\left( \frac{5}{2} ight)^{2} = 25\pi({cm}^{2})

  • Câu 24: Vận dụng
    Tính diện tích xung quanh hình nón

    Từ một khúc gỗ hình trụ cao 24cm, người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 960\pi\left( cm^{3} ight). Tính diện tích xung quanh của hình nón.

    Hướng dẫn:

    Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên \left\{\begin{matrix}V_{t} = \pi R^{2}h \\V_{n} = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}h \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow V_{t} = 3V_{n}

    Do đó phần gỗ bỏ đi chiếm \frac{2}{3} thể tích khối trụ

    Nên thể tích khối trụ là V_{t} = 960\pi:\frac{2}{3} = 1440\pi\left( cm^{3} ight)

    \Leftrightarrow \pi R^{2}h = 1440\pi \Leftrightarrow \pi R^{2}.24 = 1440\pi

    \Leftrightarrow R = 2\sqrt{15}(cm)

    Nên bán kính đáy của hình nón là R = 2\sqrt{15}(cm)

    Chiều cao hình nón h = 15cm ⇒ Đường sinh hình nón l^{2} = h^{2} + R^{2} \Rightarrow l = 2\sqrt{159}cm

    Diện tích xung quanh hình nón là

    S = \pi Rl = \pi.2\sqrt{15}.2\sqrt{159} = 4\pi\sqrt{2385}\left( cm^{2} ight)

  • Câu 25: Vận dụng cao
    Tìm điều kiện bán kính đáy hình trụ

    Một hình trụ có thể tích V không đổi. Hỏi bán kính đáy bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ đó là nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là: R;h;(R > 0;h > 0)

    Ta có:

    V = \pi R^{2}h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi R^{2}}

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    S_{tp} = S_{xq} + S_{2d}

    \Rightarrow S_{tp} = 2\pi.R.h + 2\pi R^{2}

    \Rightarrow S_{tp} = 2\pi.R.\frac{V}{\pi R^{2}} + 2\pi R^{2}

    \Rightarrow S_{tp} = \frac{2V}{R} + 2\pi R^{2} = \frac{V}{R} + \frac{V}{R} + 2\pi R^{2}\geq3\sqrt[3]{\frac{V}{R}.\frac{V}{R}.2\pi R^{2}} =3\sqrt[3]{2\pi.V^{2}}

    Dấu “=” xảy ra: \frac{V}{R} = 2\pi R^{2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}

    Vậy với R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} thì diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất là 3\sqrt[3]{2\pi.V^{2}}.

  • Câu 26: Vận dụng
    Xác định khẳng định sai

    Cho tam giác ABC; (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính BC. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Đường tròn tâm K đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chọn khẳng định sai.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét (O) có \widehat{CAD} = 90^{0} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    Xét (K) có \widehat{AEH} = \widehat{ADH} = 90^{0}(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

    Xét tam giác vuông AHB có: AH^{2} = AD.AB

    Xét tam giác vuông AH^{2} = AC.AE \Rightarrow AD.AB = AC.AE

    Vậy câu sai là: “AB.AD = AE.AH”.

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho tam giác ABC; (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính BC. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Đường tròn tâm K đường kính AH cắt AB; AC lần lượt tại D và E. Biết BC = 25cm và AH = 12cm. Hãy tính diện tích xung quanh của hình tạo bởi khi cho tứ giác ADHE quay quanh AD.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác vuông ABC có: \left\{ \begin{matrix} HB.HC = AH^{2} \Rightarrow HB.HC = 144 \\ HB + HC = BC \Rightarrow HB + HC = 25 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} HB = 9cm \\ HC = 16cm \\ \end{matrix} ight.\ ;(AB < AC \Rightarrow HB < HC)

    Xét tam giác vuông AHB có: \frac{1}{HD^{2}} = \frac{1}{AH^{2}} + \frac{1}{BH^{2}} \Rightarrow HD = \frac{36}{5}(cm)

    Tương tự ta có: HE = \frac{48}{5}(cm) \Rightarrow AD = \frac{48}{5}(cm)

    Khi quay hình chữ nhật ADHE quanh AD ta được hình trụ có chiều cao AD và bán kính đáy HD nên S_{xq} = 2\pi.HD.AD = \frac{3456}{25}\pi\left( cm^{2} ight)

  • Câu 28: Thông hiểu
    Tính diện tích toàn phần hình nón

    Cho tam giác ABC đều cạnh 4cm, đường trung tuyến AM. Quay tam giác ABC quanh cạnh AM. Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ABC đều có AM vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

    Nên ta có: MC = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2(cm)

    Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AM ta được hình nón đỉnh A, bán kính đáy là MC, đường sinh AC và chiều cao AM.

    Diện tích toàn phần của hình nón:

    S_{tp} = \pi Rl + \pi R^{2} = \pi MC.AC + \pi MC^{2}

    = \pi..2.4 + \pi.2^{2} = 12\pi\left( cm^{2} ight)

  • Câu 29: Nhận biết
    Chọn đáp án thích hợp

    Khi quay tam giác vuông ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight) quanh cạnh góc vuông AB thì ta thu được hình nón có đường kính đáy là:

    Hướng dẫn:

    Khi quay tam giác vuông ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight) quanh cạnh góc vuông AB thì ta thu được hình nón có đường kính đáy là 2AC.

  • Câu 30: Thông hiểu
    Tính diện tích mặt cầu

    Cho hình cầu có đường kính d = 6cm. Diện tích mặt cầu là:

    Hướng dẫn:

    Diện tích mặt cầu là:

    S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{d}{2}} ight)^2} = 4\pi {\left( {\frac{6}{2}} ight)^2} = 36\pi \left( {c{m^2}} ight)

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (27%):
    2/3
  • Vận dụng (40%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại