Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tìm x thỏa mãn yêu cầu đề bài

    Cho biểu thức Q = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}} với x \geq 0;x eq 4;x eq 9. Tìm tất cả các giá trị của x để Q < 1?

    Hướng dẫn:

    Biến đổi biểu thức:

    x - 5\sqrt{x} + 6 = x - 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 6

    = x - 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 6

    = \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 ight) - 3\left( \sqrt{x} - 2 ight)

    = \left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)

    Theo bài ra ta có:

    Q = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}}

    Q = \frac{2\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}

    Q = \frac{2\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)} - \frac{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} + \frac{\left( 2\sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{2\sqrt{x} - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{x - \sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{x - 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 ight) + \left( \sqrt{x} - 2 ight)}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}

    Để Q < 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} < 1

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3} < 0

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} < 0 \Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x} - 3} < 0

    Vì 4 > 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} < 3 \Leftrightarrow x < 9

    Kết hợp với điều kiện x \geq 0;x eq 4;x eq 9 suy ra 0 \leq x < 9;x eq 4

  • Câu 2: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 4: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{A}{C + \sqrt{D}} = \frac{A\left( C - \sqrt{D} ight)}{\left( C + \sqrt{D} ight)\left( C - \sqrt{D} ight)} = \frac{A.C - A\sqrt{D}}{C^{2} - D}

  • Câu 5: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào ô trống

    Thực hiện các phép tính:

    a) \sqrt{48} - 2\sqrt{75} + \sqrt{108} - \frac{1}{7}\sqrt{147}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} + \frac{5 - 2\sqrt{5}}{2\sqrt{5} - 4}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Thực hiện các phép tính:

    a) \sqrt{48} - 2\sqrt{75} + \sqrt{108} - \frac{1}{7}\sqrt{147}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} + \frac{5 - 2\sqrt{5}}{2\sqrt{5} - 4}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Vận dụng
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt{4+4x+x^{2}}=x-2

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \sqrt {4 + 4x + 4{x^2}} = x - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2 \geqslant 0} \\ {4 + 4x + 4{x^2} = {{\left( {x - 2} ight)}^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {4 + 4x + 4{x^2} = {x^2} - 4x + 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {3{x^2} + 8x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = - \dfrac{8}{3}} \end{array}} ight.\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình vô nghiệm.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 8: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào ô trống

    a) Tìm căn bậc hai của \frac{4}{25} và -4.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) Tìm căn bậc ba của \frac{1}{- 125} và 27.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) Tính: \sqrt{27}; \sqrt[3]{- 100}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    d) So sánh:

    5 + ( - 17)^{23} và 4 + ( - 17)^{23}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    - 23.(75)^{15} và - 22.(75)^{15}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    a) Tìm căn bậc hai của \frac{4}{25} và -4.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) Tìm căn bậc ba của \frac{1}{- 125} và 27.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) Tính: \sqrt{27}; \sqrt[3]{- 100}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    d) So sánh:

    5 + ( - 17)^{23} và 4 + ( - 17)^{23}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    - 23.(75)^{15} và - 22.(75)^{15}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm các giá trị tham số a

    Cho biểu thức B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight). Có tất cả bao nhiêu giá trị a thỏa mãn B = 1 - \sqrt{a}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a} + 1 eq 0 \\ \sqrt{a} - 1 eq 0 \\ 2\sqrt{a} eq 0 \\ a \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight)

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - \left( \sqrt{a} + 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 ight)}.\frac{1 - a}{2\sqrt{a}}

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 - \sqrt{a} - 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 1 ight)}{- 2\sqrt{a}}

    B = \frac{- 2\sqrt{a}}{- 2\sqrt{a}} = 1

    Mặt khác B = 1 - \sqrt{a}

    \Leftrightarrow 1 = 1 - \sqrt{a} \Leftrightarrow \sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow a = 0(tm)

    Vậy có 1 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 11: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho a, b ∈ R. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng:

    Hướng dẫn:

    Với a ≥ 0; b > 0 ta có: \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

  • Câu 12: Nhận biết
    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

    Khử mẫu của biểu thức \sqrt{\frac{2}{3}} ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2.3}{3^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm các giá trị của tham số b thỏa mãn điều kiện

    Cho biểu thức C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}. Tìm tất cả các giá trị của b sao cho 2C < 1?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ \sqrt{b} - 1 eq 0 \\ \sqrt{b} + 1 eq 0 \\ b - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}

    C = \frac{\sqrt{b}\left( \sqrt{b} + 1 ight) - 6\sqrt{b} + 4 + 3\left( \sqrt{b} - 1 ight)}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{b - 2\sqrt{b} + 1}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{\left( \sqrt{b} - 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)} = \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1}

    Theo bài ra ta có:

    2C < 1 \Leftrightarrow C < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} < \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} - \frac{1}{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{b} - 2 - \sqrt{b} - 1}{2\left( \sqrt{b} + 1 ight)} < 0

    \Leftrightarrow \sqrt{b} - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{b} < 3 \Leftrightarrow b < 9

    Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra \left\{ \begin{matrix} 0 \leq b < 9 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức E

    Đơn giản biểu thức E = \left( \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1} ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{\sqrt{2} - 1}.\sqrt{\left( \sqrt{2} - 1 ight)\left( \sqrt{2} + 1 ight)} = \left( \sqrt{2} - 1 ight)\sqrt{\sqrt{2} + 1}

    Khi đó

    5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2} = 5 - 2\sqrt{2}.\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    = 2 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    = 2\left( \sqrt{2} + 1 ight)^{2} + \left( \sqrt{2} - 1 ight)^{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}\left( \sqrt{2} - 1 ight)

    = \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 ight)^{2}

    \Rightarrow \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1

    Ta có:

    E = \left( \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    E = \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    E = \sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}.\sqrt{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Rút gọn biểu thức Q

    Đơn giản biểu thức Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}} thu được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{12 + 2.2\sqrt{3} + 1}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{12 - 2.2\sqrt{3} + 1}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{\left( 2\sqrt{3} ight)^{2} + 2.2\sqrt{3} + 1^{2}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{\left( 2\sqrt{3} ight)^{2} - 2.2\sqrt{3} + 1^{2}}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{\left( 2\sqrt{3} + 1 ight)^{2}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{\left( 2\sqrt{3} - 1 ight)^{2}}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + 2\sqrt{3} + 1^{2}}} + \sqrt{1 - \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} - 2\sqrt{3} + 1^{2}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 ight)^{2}}} + \sqrt{1 - \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3} + 1} + \sqrt{1 - \sqrt{3} - 1}

    Q = \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}

    Nhân cả hai vế của biểu thức với \sqrt{2}

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{2}.\left\lbrack \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}} ightbrack

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 ight)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}}

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = 2\sqrt{3} \Rightarrow Q = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 18: Thông hiểu
    Xác định giá trị biểu thức M

    Với x = - \sqrt{2} thì giá trị của biểu thức M = 4x - 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{x^{3} + 2x^{3}}}{\sqrt{x + 2}} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Thay x = - \sqrt{2} vào biểu thức ta được:

    M = - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{- 2\sqrt{2} + 4}}{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}

    M = - 6\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}

    M = - 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = - 5\sqrt{2}

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm nghiệm phương trình

    Phương trình x+\sqrt{(x-1)^{2}}=3 có:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} x + \sqrt {{{(x - 1)}^2}} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2}} = 3 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x - 1} ight| = 3 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 = 3 - x} \\ {x - 1 = - 3 + x} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2\left( {tm} ight)} \\ {0x = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có một nghiệm dương.

  • Câu 20: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Đưa thừa số ra ngoài dấu căn của biểu thức \sqrt{144(4 + x)^{4}}ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \sqrt{144(4 + x)^{4}} = \sqrt{12^{2}\left\lbrack (x + 4)^{2} ightbrack^{2}} = 12(x + 4)^{2}

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tìm x

    Tìm x biết \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\5 + \sqrt{x} \geq 0 \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4

    \Leftrightarrow 5 + \sqrt{x} =16

    \Leftrightarrow \sqrt{x} = 11\Leftrightarrow x = 121(tm)

    Vậy x = 121.

  • Câu 22: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 23: Nhận biết
    Tính căn bậc ba

    Biểu thức \sqrt[3]{125} có giá trị bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^{3}} = 5

  • Câu 24: Vận dụng
    Đơn giản biểu thức F

    Tính giá trị biểu thức F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}

    F = \frac{1 - \sqrt{2}}{- 1} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{- 1} + .... + \frac{\sqrt{99} - \sqrt{100}}{- 1}

    F = - \left( 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + .... + \sqrt{99} - \sqrt{100} ight)

    F = - \left( 1 - \sqrt{100} ight) = \sqrt{100} - 1

  • Câu 25: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} tại x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x + 1} ight)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

    Mặt khác x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 2 - 1

    Thay x vào biểu thức P ta có: P = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

  • Câu 26: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

    D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{gathered} x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 6x - 14 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ x \geqslant \frac{7}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant \frac{7}{3}

    => {x^2} - 5 \geqslant 0

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} ight)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x - 3} ight)\left( {x + 3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta lại có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Và x \geqslant \frac{7}{3} \Rightarrow x + 3 \geqslant \frac{7}{3} + 3 = \frac{{16}}{3}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {VT\left( * ight) < \dfrac{7}{2}} \\ {VP\left( * ight) \geqslant \dfrac{{16}}{3}} \end{array} \Rightarrow \left( * ight)} ight. vô nghiệm.

    Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3.

  • Câu 28: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức

    Thu gọn biểu thức T = \frac{x - \sqrt{xy}}{x - y};(x;y \geq 0,x eq y) ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    T = \frac{x - \sqrt{xy}}{x - y} = \frac{\left( \sqrt{x} ight)^{2} - \sqrt{x}\sqrt{y}}{\left( \sqrt{x} ight)^{2} - \left( \sqrt{y} ight)^{2}}

    = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - y ight)}{\left( \sqrt{x} - \sqrt{y} ight)\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} ight)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}

  • Câu 29: Vận dụng cao
    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 là:

    Hướng dẫn:

    \begin{matrix} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức 2ab \leqslant {a^2} + {b^2}

    2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \leqslant {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {1 - {y^2}} } \\ {y = \sqrt {2 - {x^2}} } \\ {z = \sqrt {3 - {x^2}} } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = 1} \\ {{y^2} + {z^2} = 2} \\ {{z^2} + {x^2} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 0} \\ {z = \sqrt 2 } \end{array}} ight.

  • Câu 30: Thông hiểu
    Rút gọn và tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{20} + \frac{1}{2}\sqrt{8}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{20} + \frac{1}{2}\sqrt{8}

    = \sqrt{\left( \sqrt{5} - \sqrt{2} ight)^{2}} + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2}.2\sqrt{2}

    = \left| \sqrt{5} - \sqrt{2} ight| + 2\sqrt{5} + \sqrt{2}

    = \sqrt{5} - \sqrt{2} + 2\sqrt{5} + \sqrt{2} = 3\sqrt{5}

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại