Soạn Toán 9 bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai VNEN

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn bài Soạn Toán 9 VNEN bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Hướng dẫn các bạn trả lời các câu hỏi môn Toán trong SGK VNEN, hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tốt môn Toán lớp 9. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu dưới đây

B. Hoạt động hình thành kiến thức

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a)\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{12}}; b)\frac{10}{9}(\sqrt{0,8}+\sqrt{1,25});

c) 4\sqrt{\frac{2}{9}} + \sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{18}}; d) \frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1}.

Trả lời:

a) \sqrt{\frac{3}{4}} + \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{9}{12}} + \sqrt{\frac{4}{12}} + \sqrt{\frac{1}{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} + \frac{2}{\sqrt{12}} + \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{6}{\sqrt{12}} = \frac{6\sqrt{12}}{12}.

b) \frac{10}{9}(\sqrt{0,8} + \sqrt{1,25}) = \frac{10}{9}(\sqrt{\frac{4}{5}} + \sqrt{\frac{5}{4}}) = \frac{10}{9}(\sqrt{\frac{16}{20}} + \sqrt{\frac{25}{20}})= \frac{10}{9}(\frac{4}{\sqrt{20}}+ \frac{5}{\sqrt{20}}) = \frac{10}{9}.\frac{9}{\sqrt{20}} = \frac{10}{\sqrt{20}} = \sqrt{5}

c) 4\sqrt{\frac{2}{9}} + \sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{18}} = 4\sqrt{\frac{4}{18}} + \sqrt{\frac{36}{18}} + \sqrt{\frac{1}{18}}= \frac{8}{\sqrt{18}} + \frac{6}{\sqrt{18}} + \frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{15}{\sqrt{18}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}.

d) \frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} - \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}= \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{2}{5 - 1} = \frac{1}{2}.

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 6\sqrt{a} + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{a}{4}} - a\sqrt{\frac{9}{a}} + \sqrt{7} với a > 0;

b) 11\sqrt{5a} - \sqrt{125a} + \sqrt{20a} - 4\sqrt{45a} + 9\sqrt{a} ;

c) 5a\sqrt{25ab^{3}} - \sqrt{3}\sqrt{12a^{3}b^{3}} + 9ab\sqrt{9ab} - 5b\sqrt{81a^{3}b} với b \geq 0, a \geq 0;

d) \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{ab} - \frac{a}{b}\frac{b}{a} với a > 0, b > 0.

Trả lời:

a) 6\sqrt{a} + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{a}{4}} - a\sqrt{\frac{9}{a}} + \sqrt{7} = 6\sqrt{a} + \frac{2}{3}\frac{\sqrt{a}}{2} - a\sqrt{\frac{9a}{a^{2}}} + \sqrt{7} = 6\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a}}{3} - 3\sqrt{a} + \sqrt{7} = \frac{10}{3}\sqrt{a} + \sqrt{7}

b) 11\sqrt{5a} - \sqrt{125a} + \sqrt{20a} - 4\sqrt{45a} + 9\sqrt{a} = 11\sqrt{5a} - 5\sqrt{5a} + 2\sqrt{5a} - 12\sqrt{5a} + 9\sqrt{a}= - 4\sqrt{5a} + 9\sqrt{a} = (9 - 4\sqrt{5})\sqrt{a}.

c) 5a\sqrt{25ab^{3}} - \sqrt{3}\sqrt{12a^{3}b^{3}} + 9ab\sqrt{9ab} - 5b\sqrt{81a^{3}b} = 25ab\sqrt{ab} - 6ab\sqrt{ab} + 27ab\sqrt{ab} - 45ab\sqrt{ab} = ab\sqrt{ab}.

d) \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{ab} - \frac{a}{b}\frac{b}{a} = \sqrt{\frac{ab}{b^{2}}} + \sqrt{ab} - \frac{a}{b}\frac{ab}{a^{2}} = \frac{\sqrt{ab}}{b} + \sqrt{ab} - \frac{\sqrt{ab}}{b} = \sqrt{ab}.

Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} \right ) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = - 2

b) \frac{a + b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}} = \left | a \right | với a + b > 0b \neq 0;

c)\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} : \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = a - b với a > 0, b > 0, a \neq b;

d) \left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right ) : \frac{\sqrt{xy}}{x - y} với x > 0, y > 0, x \neq y.

Trả lời:

a) Biến đổi vế trái ta có:

\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} \right ) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}

= \left \lfloor \frac{\sqrt{7}(1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2}} + - \frac{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} \right \rfloor : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}

= - (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = - (7 - 5) = - 2.

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái ta có:

\frac{a + b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}

= \frac{a + b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{(a + b)^{2}}} = \frac{a + b}{b^{2}}.\frac{\left | a \right |.b^{2}}{a + b} = \left | a \right |

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái ta có:

\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} : \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}

= \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}.(\sqrt{a} - \sqrt{b})

= (\sqrt{a} + \sqrt{b}).(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

d) Biến đổi vế trái ta có:

\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right ) : \frac{\sqrt{xy}}{x - y}

= \left \lfloor \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} \right \rfloor . \frac{x - y}{\sqrt{xy}}

= \frac{ x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}.\frac{x - y}{\sqrt{xy}}

= \frac{4\sqrt{xy}}{x - y}.\frac{x - y}{\sqrt{xy}} = 4

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \frac{1}{4}\sqrt{180} + \sqrt{20} - \sqrt{45} + 5; b) 3\sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{1}{4}\sqrt{48} - 2\sqrt{3};

c) \sqrt{2a} - \sqrt{18a^{3}} + 4\sqrt{\frac{a}{2}}; d) \sqrt{\frac{a}{1 + 2b + b^{2}}}.\sqrt{\frac{4a + 8ab + 4ab^{2}}{225}}.

Bài làm:

a) \frac{1}{4}\sqrt{180} + \sqrt{20} - \sqrt{45} + 5 = \frac{1}{4}.6\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 5 = \frac{\sqrt{5}}{2} + 5

b) 3\sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{1}{4}\sqrt{48} - 2\sqrt{3} = 3\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{4}.4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0

c) \sqrt{2a} - \sqrt{18a^{3}} + 4\sqrt{\frac{a}{2}} = \sqrt{2a} - 3a\sqrt{2a} + 4.\frac{\sqrt{2a}}{2} = 3\sqrt{2a} - 3a\sqrt{2a} = 3\sqrt{2a}(1 - a)

d) \sqrt{\frac{a}{1 + 2b + b^{2}}}.\sqrt{\frac{4a + 8ab + 4ab^{2}}{225}} = \sqrt{\frac{a}{(1 + 2b + b^{2}}}.\sqrt{\frac{4a(1 + 2ab + b^{2})}{225}} = \frac{2a}{15}.

Câu 2: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \sqrt{\frac{2} - \sqrt{3}}{\frac{2} + \sqrt{3}} + \sqrt{\frac{2} + \sqrt{3}}{\frac{2}- \sqrt{3}} = 4 ;

b) \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{2b}{a - b} = 1 với a \geq 0, b \geq 0, a \neq b

c) \left ( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \right )\left ( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right ) = 1 - a với a > 0, a \neq 1.

Bài làm:

a) Biến đổi vế trái ta có:

\sqrt{\frac{2} - \sqrt{3}}{\frac{2} + \sqrt{3}} + \sqrt{\frac{2} + \sqrt{3}}{\frac{2} - \sqrt{3}}

= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}

= \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}

= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{1} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{1} = 4

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái ta có:

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{2b}{a - b}

= \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} - \frac{2b}{a - b}

= \frac{a + \sqrt{ab}}{a - b} - \frac{\sqrt{ab} - b}{a - b} - \frac{2b}{a - b}

= \frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b - 2b}{a - b}

= \frac{a - b}{a - b} = 1

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái ta có:

\left ( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \right )\left ( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right )
= \frac{\sqrt{a} + 1 + a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}\frac{\sqrt{a} - 1 - a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}
= \frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1}\frac{- a + 2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 1}
= \frac{(\sqrt{a} + 1)^{2}}{\sqrt{a} + 1}\left ( - (\frac{\sqrt{a} - 1)^{2}}{\sqrt{a} - 1} \right )

= - (\sqrt{a} + 1).(\sqrt{a} - 1)

= - a + 1 = 1 - a

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu 3: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào a:

M = \left ( \frac{1}{2 + 2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 - 2\sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )\left ( 1 + \frac{1}{a} \right ) với a > 0; a \neq 1.

Bài làm:

Ta có:

M = \left ( \frac{1}{2 + 2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 - 2\sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )

= \left ( \frac{1}{2(1 + \sqrt{a})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )

= \left ( \frac{1- \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})} + \frac{1 + \sqrt{a}}{2(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )

= \left ( \frac{1 - \sqrt{a} + 1 + \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )

= \left (\frac{2}{2(1 - a)} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a)(1 + a)} \right )\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )

= \left (\frac{1 + a}{(1 - a)(1 + a)} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a)(1 + a)} \right )\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )

= \frac{1 + a - a^{2} - 1}{(1 - a)(1 + a)}\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )

= \frac{a(1 - a)}{(1 - a)(1 + a)}\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )

= \frac{a}{1 + a}\frac{a + 1}{a}

= 1

Vậy giá trị của M là 1 và không phụ thuộc vào a.

Câu 4: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Tìm x, biết:

a) \sqrt{3x} = 4; b) \sqrt{3x} - \frac{1}{2}\sqrt{3x} + \frac{3}{4}\sqrt{3x} + 5 = 5\sqrt{3x}; c) \sqrt{(1 - 2x)^{2}} = 2.

Bài làm:

a) Ta có: \sqrt{3x} = 4 \Leftrightarrow 3x = 16 \Leftrightarrow x = \frac{16}{3}

Vậy x = \frac{16}{3}

b) Ta có: \sqrt{3x} - \frac{1}{2}\sqrt{3x} + \frac{3}{4}\sqrt{3x} + 5 = 5\sqrt{3x}

\Leftrightarrow 5 = 5\sqrt{3x} - \sqrt{3x} + \frac{1}{2}\sqrt{3x} - \frac{3}{4}\sqrt{3x}
\Leftrightarrow 5 = \frac{15}{4}\sqrt{3x}
\Leftrightarrow \sqrt{3x} = \frac{4}{3}
\Leftrightarrow 3x = \frac{16}{9}
\Leftrightarrow x = \frac{16}{27}

Vậy x = \frac{16}{27}

c) Ta có: \sqrt{(1 - 2x)^{2}} = 2

* TH1: x \geq \frac{1}{2}

Phương trình \Leftrightarrow - (1 - 2x) = 2 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} (thỏa mãn)

* TH1: x < \frac{1}{2}

Phương trình \Leftrightarrow 1 - 2x = 2 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} (thỏa mãn)

Vậy S = {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}}.

Câu 5: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Cho biểu thức:

A = \left ( \frac{3}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{1 - a} \right ) : \left ( \frac{3}{\sqrt{1 - a^{2}} + 1} \right ) với - 1 < a < 1.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của A với a = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}.

c) Với giá trị nào của a thì \sqrt{A} > A?

Bài làm:

a)

A = \left ( \frac{3}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{1 - a} \right ) : \left ( \frac{3}{\sqrt{1 - a^{2}} + 1} \right )

= \frac{3 + \sqrt{1 + a}.\sqrt{1 - a}}{\sqrt{1 + a}} : \frac{3 + \sqrt{1 - a^{2}}}{\sqrt{1 - a^{2}}}

= \frac{3 + \sqrt{1 - a^{2}}}{\sqrt{1 + a}} . \frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{3 + \sqrt{1 - a^{2}}}

= \frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{\sqrt{1 + a}}= \frac{\sqrt{(1 - a)(1 + a)}}{\sqrt{1 + a}}

= \sqrt{1 - a}.

b) Với a = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} thì A = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^{2}} = \sqrt{3} - 1.

c) Ta có: \sqrt{A} > A \Leftrightarrow \sqrt{\sqrt{1 - a}} > \sqrt{1 - a}

\Leftrightarrow \sqrt{1 - a} > 1 - a

\Leftrightarrow 1 - a > (1 - a)^{2}

\Leftrightarrow 1 - a > a^{2} - 2a + 1

\Leftrightarrow a^{2} - a < 0

\Leftrightarrow a(a - 1) < 0

\Leftrightarrow 0 < a < 1

Vậy 0 < a < 1.

Câu 6: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Cho M = \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}} với x > 0, x \neq 1.

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tìm x để M = \frac{9}{2}.

c) So sánh M và 4.

Bài làm:

a) Ta có:

M = \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

= \frac{(\sqrt{x})^{3} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} - \frac{(\sqrt{x})^{3} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

= \frac{(\sqrt{x} - 1)((\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} - \frac{(\sqrt{x} + 1)((\sqrt{x})^{2} - \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

= \frac{(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - \frac{(\sqrt{x})^{2} - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

= \frac{(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} + 1 - (\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

= \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

= 2 + \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

b) M = \frac{9}{2}

\Leftrightarrow 2 + \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{9}{2}

\Leftrightarrow \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2}

\Leftrightarrow x + 1 = \frac{5}{2}\sqrt{x}

\Leftrightarrow \sqrt{x} = 2 hoặc \sqrt{x} = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow x = 4 hoặc x = \frac{1}{4}

Vậy S = {4 ; \frac{1}{4}}.

c) M = 2 + \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = 2 + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}

Áp dụng bất đẳng thức cô -si ta có: \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2.\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}} = 2

Suy ra: M \geq 2 + 2 = 4.

Vậy M \geq 4.

D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 29 sách VNEN 9 tập 1

Phân tích ra thừa số:

a) x - 9 với x > 0 ; b) x - 5\sqrt{x} + 4;

c) 6\sqrt{xy} - 4x\sqrt{x} - 9y\sqrt{y} + 6xy; d) x - 2\sqrt{x - 1} - a^{2}.

Bài làm:

a) x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)

b)x - 5\sqrt{x} + 4 = x - \sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 4 = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) - 4(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 4).

c)6\sqrt{xy} - 4x\sqrt{x} - 9y\sqrt{y} + 6xy = 2\sqrt{x}(3\sqrt{y} - 2x) - 3y(3\sqrt{y} - 2x) = (3\sqrt{y} - 2x)(2\sqrt{x} - 3y)

d) x - 2\sqrt{x - 1} - a^{2} = (x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1) - a^{2}

= (\sqrt{x - 1} - 1)^{2} - a^{2} = (\sqrt{x - 1} - 1 - a)(\sqrt{x - 1} - 1 + a).

Câu 2: Trang 29 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) Cho a > 0 chứng minh rằng a + \frac{1}{a} \geq 2.

b) \frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}} \geq 2 với mọi a.

c) \sqrt{a + 1} - \sqrt{a} < \frac{1}{2\sqrt{a}} với a \geq 1.

Bài làm:

a) Với a > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a + \frac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\frac{1}{a}} = 2

Dấu = xảy ra khi a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow a = 1 (vì a > 0)

b) Ta có:

\frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}} = \frac{a^{2} + a + 1 + 1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}} = \sqrt{a^{2} + a + 1} + \frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}

Ta có: a^{2} + a + 1 = (a + \frac{}{} (a + \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{4} > 0 với mọi a

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\sqrt{a^{2} + a + 1} + \frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}} \geq 2.\sqrt{\sqrt{a^{2} + a + 1}.\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}} = 2

Dấu = xảy ra khi \sqrt{a^{2} + a + 1} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}} \Leftrightarrow a^{2} + a + 1 = 1 \Leftrightarrow a^{2} + a = 0 \Leftrightarrow a = 0 hoặc a = - 1

Vậy \frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}} \geq 2 với mọi a.

c) Chứng minh \sqrt{a + 1} - \sqrt{a} < \frac{1}{2\sqrt{a}} tức là ta chứng minh \sqrt{a + 1} < \frac{1}{2\sqrt{a}} + \sqrt{a}

Với a \geq 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\frac{1}{2\sqrt{a}} + \sqrt{a} \geq .

Câu 3: Trang 29 sách VNEN 9 tập 1

a) Cho a \geq 0, b \geq 0. Chứng minh rằng:

* \sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} ; * \sqrt{a - b} \geq \sqrt{a} - \sqrt{b}

Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = \sqrt{x - 5} + \sqrt{7 - x} và giá trị lớn nhất của C = \sqrt{2x - 7} - \sqrt{2x - 11}.

Bài làm:

* Chứng minh: \sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}

Giải bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai - Sách VNEN toán 9 tập 1 trang 25. Phần trên VnDoc đã hướng dẫn các bạn soạn Toán 9, trả lời các câu hỏi với lời giải chi tiết giúp các bạn nắm chắc kiến thức từ đó vận dụng tốt giải các bài tập Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt

.............................................

Ngoài Soạn Toán 9 bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai VNEN. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các Giải bài tập Toán lớp 9, Giải Vở BT Toán 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tốt

Đánh giá bài viết
1 261
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Soạn Toán 9 VNEN Xem thêm