Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng toán tìm min, max của biểu thức chứa dấu căn, vốn là bài tập thường gặp trong câu hỏi phụ của phần Rút gọn biểu thức. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm à hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm và hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số và một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: a + b \ge 2\sqrt {ab}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b \ge 0

- \left| {a - b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b \le 0

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}

Lời giải:

Điều kiện xác định x \ge 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì x - \sqrt x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất

x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}

Lại có {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Minx - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Vậy MaxA = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Bài 2: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9\sqrt x

Lời giải:

a, A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} với x > 0,x \ne 1

= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}

= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}

b,P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) với x > 0,x \ne 1

Với x > 0,x \ne 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: \frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6

\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P \le - 5

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(thỏa mãn)

Vậy maxP = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}

Bài 3: Cho biểu thức A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}với x \ge 0;x \ne 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

a, A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}với x \ge 0;x \ne 4

= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}

b, Có x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x = 0

Vậy minA = \frac{{ - 3}}{2} \Leftrightarrow x = 0

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a, A = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

b, B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}

c, C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}

d, D = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}

e, E = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}

Bài 2: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 3: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 4: Cho biểu thức M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} với x \ge 0

b, B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}với x \ge 0

c, C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}với x > 0

d, D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}với x > 0

-----------------

Ngoài chuyên đề tính giá trị của biểu thức tại một điểm cho trước Toán lớp 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
3 4.334
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm