Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng bằng nhiều cách như cô lập tham số, nhẩm nghiệm, ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

- Định lí: Cho hàm số y=f\left( x \right) có đạo hàm trên khoảng \left( a,b \right):

+ Hàm số y=f\left( x \right) đồng biến trên khoảng \left( a,b \right) khi và chỉ khi f'\left( x \right)\ge 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng \left( a,b \right). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f\left( x \right) nghịch biến trên khoảng \left( a,b \right) khi và chỉ khi f'\left( x \right)\le 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng \left( a,b \right). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

1. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng xác định

Chương trình phổ thông ta thường gặp dạng bài này đối với hàm số đa thức bậc 1 trên bậc 1, ta sẽ áp dụng chú ý sau:

- Hàm số f\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi ad-bc>0

- Hàm số f\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi ad-bc<0
2. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước.

Cách 1:

- Hàm số g\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) đồng biến trên khoảng \left( p,q \right) khi và chỉ khi 

\left\{ \begin{matrix} - cx+d\ne 0,\forall x\in \left( p,q \right) \\ - ad-bc>0 \\ \end{matrix} \right.

- Hàm số g\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) nghịch biến trên khoảng \left( p,q \right) khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} - cx+d\ne 0,\forall x\in \left( p,q \right) \\ - ad-bc<0 \\ \end{matrix} \right.

Cách 2: Cô lập tham số m

Bước 1: Tìm y’

Bước 2: Cô lập m ta sẽ thu được phương trình ví dụ m\ge f\left( x \right)

Bước 3: Xét dấu với hàm f\left( x \right) theo bảng quy tắc sau:

m\ge f\left( x \right),\forall x\in \left( p,q \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( p,q \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)

m>f\left( x \right),\forall x\in \left( p,q \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left( p,q \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)

m\le f\left( x \right),\forall x\in \left( p,q \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( p,q \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)

m < f\left( x \right),\forall x\in \left( p,q \right)\Leftrightarrow m < \underset{\left( p,q \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước.

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1 nghịch biến trên khoảng \left( 0,+\infty \right)

A. m\ge 1 B. m\le -1
C.m\ge -1 D. m\le 0

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=-3{{x}^{2}}+6x+3m

Hàm số nghịch biến trên \left( 0,+\infty \right)\Leftrightarrow y'\le 0 với mọi x\in \left( 0,+\infty \right)

\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x+3m\le 0,\forall x\in \left( 0,+\infty \right)\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x,\forall x\in \left( 0,+\infty \right)

Xét f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x với x\in \left( 0,+\infty \right) f'\left( x \right)=2x-2,f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1

Học sinh tự vẽ bảng biến thiên và áp dụng quy tắc ta nhận được kết quả m\le -1

Đáp án B

Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-1 đồng biến trên khoảng \left( 0,3 \right).

A. m\le -3 B. m\ge \frac{1}{5}
C.m\ge \frac{11}{3} D. m\ge \frac{12}{7}

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=-{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+3+m

Hàm số đồng biến trên \left( 0,3 \right)\Rightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 0,3 \right)

\Rightarrow -{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+3+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}

Xét hàm số: f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1} với \forall x\in \left( 0,3 \right) \Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1},\forall x\in \left( 0,3 \right)

Lập bảng biến thiên kết luận m\ge \frac{12}{7}

Đáp án D

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m} đồng biến trên \left( 0,\frac{\pi }{4} \right)

A. m\ge 2 B. m\le 0
C.1\le m<2 D. \left[ \begin{matrix} m\le 0 \\ 1\le m<2 \\ \end{matrix} \right.

Hướng dẫn giải

y'=\frac{-m+2}{{{\left( \tan x-m \right)}^{2}}}\left( \tan x \right)'=\frac{-m+2}{{{\left( \tan x-m \right)}^{2}}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}

Để hàm số đồng biến trên \left( 0,\frac{\pi }{4} \right) thì:

y'>0,\forall x\in \left( 0,\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -m+2>0 \\ m\ne \tan x,x\in \left( 0,\dfrac{\pi }{4} \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<2 \\ m\notin \left( 0,1 \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m\le 0 \\ 1\le m<2 \\ \end{matrix} \right.

Đáp án D

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x} nghịch biến trên khoảng \left( 0,\frac{\pi }{6} \right)

A. m\ge \frac{5}{4} B. m\le \frac{5}{4}
C. m\ge \frac{5}{2} D. m\le \frac{5}{2}

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=\frac{\left( m+1 \right)x+2m+2}{x+m} nghịch biến trên khoảng \left( -1,+\infty \right)

A. -1< m <2 B. m\ge 1
C. 1\le m<2 D. \left[ \begin{matrix} m>2 \\ m<1 \\ \end{matrix} \right.

Câu 3: Với giá trị nào của m thì hàm số y=\frac{mx+4}{x+m} nghịch biến trên \left( -\infty ,1 \right)

A. -2\le m\le 1 B. -2\le m\le -1
C. m\in \varnothing D. -2 < m <2

Câu 4: Tìm m để hàm số y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-1} đồng biến trên \left( 2,+\infty \right)

A. m\ge -1 B. m\ge 2
C.m\le 3 D. m\le 7

Câu 5: Tìm m để hàm số y=\sin x+mx đồng biến trên \mathbb{R}

A. m\ge -1 B. m\ge 2
C.m\ge 1 D. m\le 7

Câu 6: Tìm m để hàm số y=\frac{\sin x-1}{\sin x+m} nghịch biến trên \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)

A. m\ge 0 B. m\le 0
C.m\ge -1 D. m\le 1

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=\frac{{{e}^{x}}-m-2}{{{e}^{x}}-{{m}^{2}}} nghịch biến trên khoảng \left( \ln \frac{1}{4},0 \right)

A. 1< m <2 B. -1\le m\le 2
C. -\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2} D. \left[ \begin{matrix} -\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{1}{2} \\ 1\le m<2 \\ \end{matrix} \right.

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 412
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Môn Toán khối B Xem thêm