Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R và bài tập rèn luyện ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên \mathbb{R}

- Định lí: Cho hàm số y=f\left( x \right) có đạo hàm trên khoảng \left( a,b \right):

+ Hàm số y=f\left( x \right) đồng biến trên khoảng \left( a,b \right) khi và chỉ khi f'\left( x \right)\ge 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng \left( a,b \right). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f\left( x \right) nghịch biến trên khoảng \left( a,b \right) khi và chỉ khi f'\left( x \right)\le 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng \left( a,b \right). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c

TH1: a=0 (nếu có tham số)

TH2: a\ne 0

+ Hàm số đồng biến trên \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.

+ Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên \mathbb{R}

Ví dụ 1: Cho hàm số y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x+1. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}.

A. \left( -2,-1 \right) B. \left[ -2,-1 \right]
C.\left( -\infty ,-2 \right)\cup \left( -1,+\infty \right) D. \left( -\infty ,-2 \right]\cup \left[ -1,+\infty \right)

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=-{{x}^{2}}+2mx+3m-2

Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -1<0 \\ 4{{m}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le 0 \right.\Leftrightarrow m\in \left[ -2,-1 \right]

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số y=\frac{1}{3}\left( m-1 \right){{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-x+1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}.

A. -3\le m\le 1 B. 0\le m\le 1
C.\left( 0,1 \right] D. \left[ 0,1 \right)

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-1

TH1: m-1=0\Rightarrow m=1\Rightarrow y'=-1<0. Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}

TH2: m\ne 1. Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi:

\left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta '\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1 \\ {{\left( m-1 \right)}^{2}}+\left( m-1 \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1 \\ {{m}^{2}}-m\le 0 \\ \end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow m\in \left[ 0,1 \right)

Đáp án D

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y={{x}^{3}}+2\left( m+1 \right){{x}^{2}}-3mx+5m-2 đồng biến trên \mathbb{R}.

A. -4\le m\le -\frac{1}{4} B. -4< m< -\frac{1}{4}
C.\left[ \begin{matrix} m<-4 \\ m>-\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right. D. \left[ \begin{matrix} m\le -4 \\ m\ge -\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.

Hướng dẫn giải

y'=3{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x-3m

Để hàm số đồng biến trên \mathbb{R} thì:

\left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta '\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1>0 \\ 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+9m \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m\in \left[ -4,-\frac{1}{4} \right] \right.

Đáp án A

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

A. f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4
B. f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+2
C.f\left( x \right)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x
D. f\left( x \right)={{x}^{3}}+10x-{{\cos }^{2}}x
Câu 2: Cho hàm số y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d. Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?

A. \left[ \begin{matrix} a=b=c=0 \\ a<0,{{b}^{2}}-3ac<0 \\ \end{matrix} \right.
B. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a<0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{matrix} \right.
C. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a>0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{matrix} \right.
D. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a>0,{{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\ \end{matrix} \right.

Câu 3: Cho các hàm số sau:

(1): y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1

(2): y=-\sqrt{{{x}^{3}}+2}

(3): y=-2x+\sin x

(4): y=\frac{2-x}{x-1}

Hàm số nào nghịch biến trên \mathbb{R}?

A. \left( 1 \right),\left( 2 \right) B. \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)
C. \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 4 \right) D. \left( 2 \right),\left( 3 \right)

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x+2-m luôn nghịch biến trên \mathbb{R}

A. -3\le m\le 1 B. m\le 1
C.-3< m< 1 D. m\ge -3

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y=f\left( x \right)=m\cos x+x luôn đồng biến trên \mathbb{R}

A. -1\le m\le 1 B. m>\frac{\sqrt{3}}{2}
C.m<\frac{1}{2} D. \left[ \begin{matrix} m\ge 1 \\ m\le -1 \\ \end{matrix} \right.

Câu 6: Cho hàm số y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-mx-m. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}

A. m=0 B. m=-1
C.m=-5 D. m=-6

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 473
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Môn Toán khối B Xem thêm