Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm Đường tiệm cận của hàm ẩn, hàm hợp Phần 1 - Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 26 câu
Điểm số bài kiểm tra: 26 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính tổng theo yêu cầu
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{nx + 1}{x + m}$ ; $(mn \neq 1)$ xác định trên $R\backslash\left\{ - 1 \right\}$ , liên tục trên từng khoảng xác định và có đồ thị như hình vẽ bên:

Tính tổng $m + n$ ?
- A.
  $m + n = - 1$ .
- B.
  $m + n = 3$ .
- C.
  $m + n = - 3$ .
- D.
  $m + n = 1$ .
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{nx + 1}{x + m}$ ; $(mn \neq 1)$ có hai đường tiệm cận $x = - m = - 1$ ; $y = n = 2 \Rightarrow m = 1$ ; $n = 2 \Rightarrow m + n = 3$
Câu 2: Vận dụng
Định tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = \frac{(2m - 1)x - 3}{x - m}$ có đồ thị như hình dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trong đường tròn tâm gốc tọa độ $O$ bán kính bằng $\sqrt{2019}$ ?
- A.
  $0$ .
- B.
  $40$ .
- C.
  $38$ .
- D.
  $1$ .
Hướng dẫn:
Từ dạng đồ thị của hàm số ta suy ra $y' = \frac{- m(2m - 1) + 3}{(x - m)^{2}} > 0$

$\Rightarrow - m(2m - 1) + 3 > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{3}{2}$ .

Khi đó dễ thấy đồ thị có hai đường tiệm cận là $x = m$ , $y = 2m - 1$ .

Vậy tâm đối xứng là điểm $I(m\ ;\ 2m - 1)$ .

Từ đồ thị và giả thiết kèm theo ta có: $\left\{ \begin{matrix} y = 2m - 1 > 0 \\ x = m > 0 \\ OI < \sqrt{2019} \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \frac{1}{2} \\ m > 0 \\ - 19 \leq m \leq 20\ \ \left( m\mathbb{\in Z} \right) \end{matrix} \right.$ .

Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra $m = 1$ .
Câu 3: Vận dụng
Xác định số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số bậc ba $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\left( x^{2} - 2x \right)\sqrt{1 - x}}{(x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  $\mathbf{3}$ .
- B.
  $\mathbf{6}$ .
- C.
  $\mathbf{5}$ .
- D.
  $\mathbf{4}$ .
Hướng dẫn:
Điều kiện hàm số có nghĩa

$\left\{ \begin{matrix} 1 - x \geq 0 \\ (x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack \neq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 1\ \ \ \ (*) \\ (x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack \neq 0 \end{matrix} \right.$

Xét phương trình $(x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ f(x) = 0 \\ f(x) = - 3 \end{matrix} \right.$

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ suy ra $f(x) = 0$ có 3 nghiệm $- 1 < x_{1} < x_{2} < 1 < x_{3}$

$f(x) = - 3$ có hai nghiệm $x_{4} < 1$ và $x_{5} = 2$

Kết hợp với điều kiện $(*)$ phương trình $(x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack = 0$ có nghiệm $x_{1},x_{2},x_{5}$ .

Và $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{5}$ không là nghiệm của tử nên hàm số $g(x)$ có 3 đường tiệm cận đứng.
Câu 4: Thông hiểu
Tính tổng các đường tiệm cận đứng và ngang
Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ có hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là:
- A.
  $3$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = 2$ nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 2$

Lại thấy: $\lim_{x \rightarrow \ - 1^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x \rightarrow \ 1^{-}}f(x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $x = - 1\ ;\ x = 1$

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận
Câu 5: Vận dụng cao
Định số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho
Cho hàm số bậc ba $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\left( a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d\mathbb{\in R} \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\left( x^{2} - 3x + 2 \right)\sqrt{x - 1}}{x\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  3.
- B.
  4.
- C.
  6.
- D.
  5.
Hướng dẫn:
Xét phương trình: $x\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ f(x) = 0 \\ f(x) = 1 \end{matrix} \right.$

+) Từ điều kiện $x \geq 1 \Rightarrow x = 0$ không là tiệm cận đứng.

+) Từ đồ thị $\Rightarrow$ phương trình $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a(a < 1) \\ x = 2 \end{matrix} \right.$

$x = a$ không là tiệm cận đứng.

$x = 2$ là nghiệm kép và tử số có một nghiệm $x = 2 \Rightarrow x = 2$ là một đường tiệm cận đứng.

+) Từ đồ thị $\Rightarrow$ phương trình $f(x) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = b(1 < b < 2) \\ x = c(c > 2) \end{matrix} \right.$

$x = 1$ không là tiệm cận đứng (vì tử số có một nghiệm nghiệm $x = 1$ )

$x = b$ , $x = c$ là hai đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số $g(x)$ có 3 đường tiệm cận đứng.
Câu 6: Vận dụng
Xác định số đường tiệm cận
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  $3$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Từ đồ thị hàm số ta thấy:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1$ nên đường thẳng $y = - 1$ là một đường tiệm cận ngang.

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ nên đường thẳng $y = 1$ là một đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = \pm 1$ .

Tương tự

$\lim_{x \rightarrow - 2^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x \rightarrow - 2^{-}}f(x) = - \infty$ nên đường thẳng $x = - 2$ là đường tiệm cận đứng.

$\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$ và và $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = - \infty$ nên đường thẳng $x = - 2$ là đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = \pm 2$ .

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Câu 7: Vận dụng
Xác định số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?
- A.
  $0$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Hàm số xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ f^{2}(x) - f(x) \neq 0 \end{matrix} \right.$ .

Xét $(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ f^{2}(x) - f(x) = 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow f^{2}(x) - f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f(x) = 1 \end{matrix} \right.$ .

* Với $f(x) = 0$ :

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_{3} < x_{2} < 0 < x_{1}$ .

Từ điều kiện $(1)$ thì phương trình $f(x) = 0$ có 1 nghiệm $x = x_{1}$ .

* Với $f(1) = 1$ :

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_{6} < x_{5} = 0 < x_{4}$ .

Từ điều kiện $(1)$ thì phương trình $f(x) = 1$ có 2 nghiệm $x = x_{5}$ và $x = x_{4}$ và cả 2 nghiệm này đều khác $x_{1}$ .

Suy ra phương trình $(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack}$ có 3 tiệm cận đứng.
Câu 8: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
- A.
  Tiệm cận đứng $x = - 2$ , tiệm cận ngang $y = 1$ .
- B.
  Tiệm cận đứng $x = - 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ .
- C.
  Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = - 2$ .
- D.
  Tiệm cận đứng $x = 2$ , tiệm cận ngang $y = - 1$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị ta có

$\underset{x \rightarrow ( - 2)^{-}}{lim\ }f(x) = + \infty$ và $\underset{x \rightarrow ( - 2)^{+}}{lim\ }f(x) = - \infty$ nên đường thẳng $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

+) $\underset{x \rightarrow - \infty}{lim\ }f(x) = 1$ và $\underset{x \rightarrow + \infty}{lim\ }f(x) = 1$ nên đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .
Câu 9: Vận dụng
Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho
Cho hàm số bậc ba $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\left( a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d\mathbb{\in R} \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{1}{f\left( 4 - x^{2} \right) - 3}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
- A.
  3.
- B.
  2.
- C.
  5.
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có $f\left( 4 - x^{2} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( 4 - x^{2} \right) = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4 - x^{2} = - 2 \\ 4 - x^{2} = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{6} \\ x = 0 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số $g(x)$ có ba đường tiệm cận đứng.

Lại có $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f\left( 4 - x^{2} \right) = - \infty \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = 0 \Rightarrow y = 0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị.

Vậy đồ thị hàm số $g(x)$ có bốn đường tiệm cận.
Câu 10: Vận dụng
Tính tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là
- A.
  $4$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f(x)$ ta có:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \frac{1}{2}$ nên đường thẳng $y = - \frac{1}{2}$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \frac{1}{2}$ nên đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có hai đường tiệm cận ngang là $y = \pm \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x \rightarrow \left( - \frac{1}{2} \right)^{-}}f(x) = - \infty$ và $\lim_{x \rightarrow \left( - \frac{1}{2} \right)^{+}}f(x) = + \infty$ nên đường thẳng $x = - \frac{1}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\lim_{x \rightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^{-}}f(x) = - \infty$ và $\lim_{x \rightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^{+}}f(x) = + \infty$ nên đường thẳng $x = \frac{1}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có hai đường tiệm cận đứng là $x = \pm \frac{1}{2}$

Vậy đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tất cả 4 đường tiệm cận.
Câu 11: Vận dụng
Xác định số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?
- A.
  $3$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Hàm số xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ f^{2}(x) - f(x) \neq 0 \end{matrix} \right.$ .

Xét $(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ f^{2}(x) - f(x) = 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow f^{2}(x) - f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f(x) = 1 \end{matrix} \right.$ .

* Với $f(x) = 0$ :

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_{3} < x_{2} < 0 < x_{1}$ .

Từ điều kiện $(1)$ thì phương trình $f(x) = 0$ có 1 nghiệm $x = x_{1}$ .

* Với $f(1) = 1$ :

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_{6} < x_{5} = 0 < x_{4}$ .

Từ điều kiện $(1)$ thì phương trình $f(x) = 1$ có 2 nghiệm $x = x_{5}$ và $x = x_{4}$ và cả 2 nghiệm này đều khác $x_{1}$ .

Suy ra phương trình $(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack}$ có 3 tiệm cận đứng.
Câu 12: Vận dụng
Xác định số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số bậc ba $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\left( x^{2} - 2x \right)\sqrt{1 - x}}{(x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  $3$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Điều kiện hàm số có nghĩa $\left\{ \begin{matrix} 1 - x \geq 0 \\ (x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack \neq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 1\ \ \ \ (*) \\ (x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack \neq 0 \end{matrix} \right.$

Xét phương trình $(x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ f(x) = 0 \\ f(x) = - 3 \end{matrix} \right.$

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ suy ra $f(x) = 0$ có 3 nghiệm $- 1 < x_{1} < x_{2} < 1 < x_{3}$

$f(x) = - 3$ có hai nghiệm $x_{4} < 1$ và $x_{5} = 2$

Kết hợp với điều kiện $(*)$ phương trình $(x - 3)\left\lbrack f^{2}(x) + 3f(x) \right\rbrack = 0$ có nghiệm $x_{1},x_{2},x_{5}$ .

Và $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{5}$ không là nghiệm của tử nên hàm số $g(x)$ có 3 đường tiệm cận đứng.
Câu 13: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong hình bên dưới.

Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{(x - 1)\left( x^{2} - 1 \right)}{f^{2}(x) - 2f(x)}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  $4$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Ta xét mẫu số: $f^2(x) - 2f(x) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}f(x) = 0\ \ \ \ (1) \\f(x) = 2\ \ \ \ \ (2)\end{matrix} \right.$ .

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

+) Phương trình $(1)$ có nghiệm $x_{1} = a < - 1$ (nghiệm đơn) và $x_{2} = 1$ (nghiệm kép)

$\Rightarrow f(x) = (x - a)(x - 1)^{2}$ .

+) Phương trình $(2)$ có nghiệm $x_{3} = b \in (a\ ;\ - 1)$ , $x_{4} = 0$ và $x_{5} = c > 1$

$\Rightarrow f(x) - 2 = (x - b)x(x - c)$ .

Do đó $g(x) = \frac{(x - 1)\left( x^{2} - 1 \right)}{f(x)\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack}$ $= \frac{(x - 1)^{2}(x + 1)}{(x - a)(x - 1)^{2}.(x - b)x(x - c)} = \frac{x + 1}{(x - a)(x - b)x(x - c)}$ .

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 4 đường tiệm cận đứng.
Câu 14: Thông hiểu
Tính tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ dưới đây:

$Description: D:\khuyên 2019-2020\đồ thi 2.png$

Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là:
- A.
  2.
- B.
  4.
- C.
  1.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}y = 1$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang $y = 1$ và $\lim_{x \rightarrow 1^{\pm}}y = + \infty$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng $x = 1$ . Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Câu 15: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có đồ thị là đường cong như hình bên.

Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack \left( f(x) \right)^{2} - 2f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  $3$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x \neq 0 \\ x^{2} + x \geq 0 \\ \left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} - 2f(x) \neq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x > 0 \\ x \leq - 1 \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} f(x) \neq 0 \\ f(x) \neq 2 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta thấy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm $x = - 3$ (bội 2), và nghiệm $x = x_{0}$ ; $x_{0} \in ( - 1\ ;\ 0)$ nên : $f(x) = a(x + 3)^{2}\left( x - x_{0} \right)$

Đường thẳng $y = 2$ cắt đồ thị $y = f(x)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x = - 1$ ; $x = x_{1}$ ; $x_{1} \in ( - 3\ ;\ - 1)$ ; $x = x_{2}$ ; $\left( x_{2} < - 3 \right)$ .

Nên $f(x) - 2 = a(x + 1)\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right)$ .

Do đó:

$g(x) = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack \left( f(x) \right)^{2} - 2f(x) \right\rbrack} = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x.f(x)\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack}$

$= \frac{(x + 1)(x + 3)\sqrt{x^{2} + x}}{x.a(x + 3)^{2}.\left( x - x_{0} \right).a(x + 1)\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right)}$

$= \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{a^{2}x(x + 3)\left( x - x_{0} \right)\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right)}$ .

Ta có: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}g(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{a^{2}\sqrt{x}(x + 3)\left( x - x_{0} \right)\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right)} = + \infty$ nên $x = 0$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị $y = g(x)$

+) Các đường thẳng $x = - 3$ ; $x = x_{1}$ ; $x = x_{2}$ đều là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x)$

Do đó đồ thị $y = g(x)$ có 4 đường tiệm cận đứng.

+) Hàm số $y = g(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn và bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên đồ thị $y = f(x)$ có một đường tiệm cận ngang $y = 0$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 5 đường tiệm cận.
Câu 16: Vận dụng
Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ . Có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  $2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm số ta có

$\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}f(x) = - \infty$ nên đường thẳng $x = - 1$ là đường tiệm cận đứng.

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng.

$\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ và và $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = - \infty$ nên đường thẳng $x = - 2$ là đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng là $x = \pm 1$ và $x = 2$ .

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ nên đường thẳng $y = 1$ là một đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y = 1$ .
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là:
- A.
  $3$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f(x)$ ta có:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$ nên đường thẳng $y = 1$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 3$ nên đường thẳng $y = 3$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\lim_{x \rightarrow 0^{-}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty$ suy ra đường thẳng $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 18: Vận dụng cao
Định số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Đồ thị hàm $y = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack f^{2}(x) - 2f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  $6$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:

Ta thấy phương trình bậc ba $f(x = 2)$ có 3 nghiệm phân biệt là $x_{1} = c < - 3$ , $x_{2} = b$ . với $- 3 < b < - 1$ và $x_{3} = - 1$ .

Và phương trình bậc ba $f(x) = 0$ có nghiệm kép $x = - 3$ và nghiệm đơn $x = a$ với $- 1 < a < 0$ .

Do $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = - \infty$ và $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử

$f(x) = 0 \Leftrightarrow - (x + 3)^{2}(x - a) = 0$ và $f(x) = 2 \Leftrightarrow - (x - c)(x - b)(x + 1) = 0$ .

Ta có: $y = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack f^{2}(x) - 2f(x) \right\rbrack} = \frac{(x + 1)(x + 3)\sqrt{x(x + 1)}}{x.f(x).\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack}$ .

Khi đó: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{(x + 1)(x + 3)\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}.f(x).\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack} = + \infty$ .

$\lim_{x \rightarrow - 3^{+}}y = \lim_{x \rightarrow - 3^{+}}\frac{(x + 1)\sqrt{x(x + 1)}}{- x(x + 3)(x - a).\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack} = - \infty$ .

$\lim_{x \rightarrow c^{+}}y = \lim_{x \rightarrow c^{+}}\frac{(x + 1)(x + 3)\sqrt{x(x + 1)}}{- x.f(x)(x - c)(x - b)(x + 1)} = + \infty$ .

$\lim_{x \rightarrow b^{+}}y = \lim_{x \rightarrow b^{+}}\frac{(x + 1)(x + 3)\sqrt{x(x + 1)}}{- x.f(x)(x - c)(x - b)(x + 1)} = + \infty$ .

$\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}y = \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{(x + 3)\sqrt{x(x + 1)}}{- x.f(x)(x - c)(x - b)} = 0$ .

$\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}y$ không tồn tại.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack f^{2}(x) - 2f(x) \right\rbrack}$ có 4 đường tiệm cận đứng là $x = 0$ ; $x = - 3$ ; $x = c$ ; $x = b$ .
Câu 19: Vận dụng
Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = f(x - m)$ có tiệm cận đứng là trục $Oy$ ?
- A.
  $- 1$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ .

Tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{v} = (m\ ;\ 0)$ thì:

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ biến thành đồ thị hàm số $y = f(x - m)$ .

Tiệm cận $x = - 1$ của đồ thị hàm số $y = f(x)$ biến thành tiệm cận $x = - 1 + m$ của đồ thị hàm số $y = f(x - m)$ .

Đồ thị hàm số $y = f(x - m)$ có tiệm cận đứng là trục $Oy \Leftrightarrow - 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = 1$
Câu 20: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức P
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ , $a$ , $b$ , $c$ $\mathbb{\in R}$ có đồ thị như hình bên. Giá trị của $P = a + b + c$ bằng

$Description: Description: C:\Users\nha\Desktop\huu ty bac 1 goc O.png$
- A.
  $1$ .
- B.
  $3.$
- C.
  $- 1.$
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Điền kiện: $\left\{ \begin{matrix} x \neq - c \\ ac - b \neq 0 \end{matrix} \right.$

Hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng: $x = - \ c$ ; tiệm cận ngang: $y = a$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta nhận xét được:

$\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 1 - m < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 1$

Khi $x = 0 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow \frac{b}{c} = - 2 \Rightarrow b = - 2c$

Tiệm cận đứng: $x = 1 - m$ ; tiệm cận ngang: $y = m$

Suy ra: $\left\{ \begin{matrix} - c = 1 - m \\ a = m \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = m - 1 \\ a = m \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow b = - 2c = - 2m + 2$ (thỏa điều kiện)

Nên: $P = a + b + c = m - 2m + 2 + m - 1 = 1$
Câu 21: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
- A.
  Tiệm cận đứng $x = - 1$ , tiệm cận ngang $y = - 2$ .
- B.
  Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ .
- C.
  Tiệm cận đứng $x = - 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ .
- D.
  Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = - 2$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị ta có

$\underset{x\ \rightarrow ( - 1)^{-}}{lim\ }f(x) = + \infty$ và $\underset{x\ \rightarrow \ ( - 1)^{+}}{lim\ }f(x) = + \infty$ nên đường thẳng $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .

$\underset{x \rightarrow - \infty}{lim\ }f(x) = 2$ và $\underset{x \rightarrow + \infty}{lim\ }f(x) = 2$ nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ .
Câu 22: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức đã cho
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Gọi $a$ là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Giá trị của biểu thức $a^{2} + a$ bằng
- A.
  $20$ .
- B.
  $12$ .
- C.
  $30$ .
- D.
  $6$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị ta có

$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \frac{1}{2}$ . Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^{+}}f(x) = + \infty$ , $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^{-}}f(x) = - \infty$ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \rightarrow - \frac{1}{2}^{+}}f(x) = - \infty$ , $\lim_{x \rightarrow - \frac{1}{2}^{-}}f(x) = + \infty$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - \frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận $\Rightarrow a = 3$ .

Vậy $a^{2} + a = 12$
Câu 23: Thông hiểu
Định số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
- A.
  $3$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $1$ .
Hướng dẫn:
Từ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ ta có $\underset{x \rightarrow + \infty}{\lim\ }f(x) = 1$ nên đường thẳng $y = 1$ là đường tiệm cận ngang.

Tương tự $\underset{x \rightarrow - \infty}{\lim\ }f(x) = - 1$ nên đường thẳng $y = - 1$ là đường tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số $y = f(x)$ có 2 đường tiệm cận ngang.
Câu 24: Vận dụng
Câu . Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho
Cho hàm số bậc ba $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\left( a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d\mathbb{\in R} \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{1}{f\left( 4 - x^{2} \right) - 3}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
- A.
  2.
- B.
  4.
- C.
  5.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có $f\left( 4 - x^{2} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( 4 - x^{2} \right) = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4 - x^{2} = - 2 \\ 4 - x^{2} = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{6} \\ x = 0 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số $g(x)$ có ba đường tiệm cận đứng.

Lại có $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f\left( 4 - x^{2} \right) = - \infty \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = 0 \Rightarrow y = 0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị.

Vậy đồ thị hàm số $g(x)$ có bốn đường tiệm cận.
Câu 25: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có đồ thị là đường cong như hình bên.

Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack \left( f(x) \right)^{2} - 2f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  $3$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $5$ .
Hướng dẫn:
Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x \neq 0 \\ x^{2} + x \geq 0 \\ \left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} - 2f(x) \neq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x > 0 \\ x \leq - 1 \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} f(x) \neq 0 \\ f(x) \neq 2 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta thấy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm $x = - 3$ (bội 2), và nghiệm $x = x_{0}$ ; $x_{0} \in ( - 1\ ;\ 0)$ nên : $f(x) = a(x + 3)^{2}\left( x - x_{0} \right)$

Đường thẳng $y = 2$ cắt đồ thị $y = f(x)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x = - 1$ ; $x = x_{1}$ ; $x_{1} \in ( - 3\ ;\ - 1)$ ; $x = x_{2}$ ; $\left( x_{2} < - 3 \right)$ .

Nên $f(x) - 2 = a(x + 1)\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right)$ .

Do đó:

$g(x) = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack \left( f(x) \right)^{2} - 2f(x) \right\rbrack} = \frac{\left( x^{2} + 4x + 3 \right)\sqrt{x^{2} + x}}{x.f(x)\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack}$

$= \frac{(x + 1)(x + 3)\sqrt{x^{2} + x}}{x.a(x + 3)^{2}.\left( x - x_{0} \right).a(x + 1)\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right)}$

$= \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{a^{2}x(x + 3)\left( x - x_{0} \right)\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right)}$ .

Ta có: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}g(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{a^{2}\sqrt{x}(x + 3)\left( x - x_{0} \right)\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right)} = + \infty$ nên $x = 0$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị $y = g(x)$

+) Các đường thẳng $x = - 3$ ; $x = x_{1}$ ; $x = x_{2}$ đều là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x)$

Do đó đồ thị $y = g(x)$ có 4 đường tiệm cận đứng.

+) Hàm số $y = g(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn và bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên đồ thị $y = f(x)$ có một đường tiệm cận ngang $y = 0$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 5 đường tiệm cận.
Câu 26: Vận dụng cao
Định số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho
Cho hàm số bậc ba $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\left( a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d\mathbb{\in R} \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\left( x^{2} - 3x + 2 \right)\sqrt{x - 1}}{x\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  5.
- B.
  6.
- C.
  3.
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Xét phương trình: $x\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ f(x) = 0 \\ f(x) = 1 \end{matrix} \right.$

+) Từ điều kiện $x \geq 1 \Rightarrow x = 0$ không là tiệm cận đứng.

+) Từ đồ thị $\Rightarrow$ phương trình $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a(a < 1) \\ x = 2 \end{matrix} \right.$

$x = a$ không là tiệm cận đứng.

$x = 2$ là nghiệm kép và tử số có một nghiệm $x = 2 \Rightarrow x = 2$ là một đường tiệm cận đứng.

+) Từ đồ thị $\Rightarrow$ phương trình $f(x) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = b(1 < b < 2) \\ x = c(c > 2) \end{matrix} \right.$

$x = 1$ không là tiệm cận đứng (vì tử số có một nghiệm nghiệm $x = 1$ )

$x = b$ , $x = c$ là hai đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số $g(x)$ có 3 đường tiệm cận đứng.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!