Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm Đường tiệm cận của hàm ẩn, hàm hợp Phần 3 - Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 22 câu
Điểm số bài kiểm tra: 22 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên sau:

Tìm tổng số các giá trị nguyên dương của tham số $m \in ( - 10\ ;\ 10)$ để đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là $4$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $- 3$ .
- C.
  $45$ .
- D.
  $42$ .
Hướng dẫn:
Từ bảng biến thiên ta có $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 0$ và $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = (m - 1)(2 - m)$ . Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là $y = 0$ và $y = (m - 1)(2 - m)$ .

Lại có $\lim_{x \rightarrow - 2^{-}}f(x) = - \infty$ ; $\lim_{x \rightarrow - 2^{+}}f(x) = + \infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là $x = - 2$ .

Và $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$ ; $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = - \infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là $x = 2$ .

Đề đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là $4$ khi và chỉ khi $(m - 1)(2 - m) \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \neq 2 \end{matrix} \right.$ .

Vì $m \in ( - 10\ ;\ 10)$ và $m$ là số nguyên dương nên $m \in \left\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\ ;\ 7\ ;\ 8\ ;\ 9 \right\}$ .

Vậy $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Đặt $g(x) = \frac{2f(x) - 3}{f(x) - 1}$ . Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = g(x)$ ?
- A.
  3
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  4
Hướng dẫn:
$\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2f(x) - 3}{f(x) - 1} = \frac{2.( - 1) - 3}{( - 1) - 1} = \frac{5}{2} \rightarrow$ Đường thẳng $y = \frac{5}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = g(x)$ .

$\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2f(x) - 3}{f(x) - 1} = \frac{2.2 - 3}{2 - 1} = 1 \rightarrow$ Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = g(x)$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $f(x) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a;(a < 1) \\ x = b;(b > 1) \end{matrix} \right.$ .

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow a^{+}}\left\lbrack f(x) - 1 \right\rbrack = 0 \\ f(x) - 1 > 0;\forall x \in a \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x) = 1$

$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow a^{+}}\left\lbrack 2f(x) - 3 \right\rbrack = 2.1 - 3 = - 1 < 0$

$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow a^{-}}g(x) = \lim_{x \rightarrow a^{-}}\frac{2f(x) - 3}{f(x) - 1} = - \infty$ => Đường thẳng $x = a$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x)$ .

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow b^{+}}\left\lbrack f(x) - 1 \right\rbrack = 0 \\ f(x) - 1 < 0;\forall x > a \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow b^{+}}f(x) = 1$

$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow b^{+}}\left\lbrack 2f(x) - 3 \right\rbrack = 2.1 - 3 = - 1 < 0$

$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow b^{+}}g(x) = \lim_{x \rightarrow b^{+}}\frac{2f(x) - 3}{f(x) - 1} = + \infty$ => Đường thẳng $x = b$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x)$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = g(x)$ có $4$ đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Câu 3: Vận dụng
Tìm m để đồ thị hàm số có 6 tiệm cận đứng
Cho hàm số $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ $(a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm m để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{1}{f\left( x^{2} - 3 \right) - m}$ có đúng 6 tiệm cận đứng?
- A.
  $- 3 < m < - 1$ .
- B.
  $0 < m < 4$ .
- C.
  $- 2 \leq m \leq 0$ .
- D.
  $m \leq 0$ .
Hướng dẫn:
Xét hàm số $h(x) = f\left( x^{2} - 3 \right) \Rightarrow h'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 3 \right)$

$\Rightarrow h^{'(x)} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ f^{'\left( x^{2} - 3 \right)} = 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 3 = - 1 \\ x^{2} - 3 = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ x = \pm 2 \end{matrix} \right.$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số $g(x) = \frac{1}{f\left( x^{2} - 3 \right) - m}$ có đúng 6 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow h(x) = m$ có 6 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0 < m < 4$ .
Câu 4: Vận dụng
Tìm tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{f(x)}{f(x) - 2}$ bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Đặt $g(x) = \frac{f(x)}{f(x) - 2}$ .

Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 \right\}$ ( với mọi)

Ta có:

TCĐ; Do $f(x) > 2\forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 1 \right\} \Rightarrow$ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

TCN: Xét

$\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x)}{f(x) - 2} = + \infty$ ; $\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)}{f(x) - 2} = \frac{5}{3}$

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{5}{3}$ .

Vậy tổng số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số bằng $1$ .
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Định tham số $m$ để giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là điểm $I( - 1\ ;\ 1)$ .
- A.
  Không có $m$ .
- B.
  $m = - 1$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = 0$ .
Hướng dẫn:
Từ BBT suy ra TCĐ là $x = - m$ , TCN là $y = m$ ; nên giao điểm TCĐ và TCN là $I( - m\ ;\ m)$ .

YCBT $I( - m\ ;\ m) \equiv I( - 1\ ;\ 1)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m = - 1 \\ m = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 1$ .
Câu 6: Vận dụng cao
Xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{2f(x) - 1} - 1}$ có bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng?
- A.
  $5$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình:

$e^{2f(x) - 1} - 1 = 0 \Leftrightarrow e^{2f(x) - 1} = 1 \Leftrightarrow 2f(x) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a;\left( a \in ( - \infty; - 2) \right) \\ x = b;\left( b \in ( - 2;1) \right) \\ x = c;\left( c \in (1; + \infty) \right) \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{2f(x) - 1} - 1}$ có ba tiệm cận đứng là: $x = a;x = b;x = c$ .

Từ bảng biến thiên ta có: $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty;\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ .

Ta có: $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{e^{2f(x) - 1} - 1} = \frac{1}{e^{\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2f(x) - 1 \right)} - 1} = - 1$ ; $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{e^{2f(x) - 1} - 1} = \frac{1}{e^{\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( 2f(x) - 1 \right)} - 1} = 0$

Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{2f(x) - 1} - 1}$ có hai tiệm cận ngang là : $y = - 1;y = 0$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{2f(x) - 1} - 1}$ có 5 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
Câu 7: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\ ;\ 1 \right\}$ , có đạo hàm trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\ ;\ 1 \right\}$ và có bảng biến thiên như sau :

Đồ thị hàm số $\mathbf{y =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{-}\mathbf{1}}$ có bao nhiêu tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?
- A.
  $\mathbf{2}$ .
- B.
  $\mathbf{4}$ .
- C.
  $\mathbf{3}$ .
- D.
  $\mathbf{5}$ .
Hướng dẫn:
Nhìn vào bảng biến thiên ta có

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{f(x) - 1} = - 1$ ; $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = + \infty \Rightarrow \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{f(x) - 1} = 0$ .

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng $y = - 1$ ; $y = 0$ .

$f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a\ ;\ a < - 1 \\ x = 1 \end{matrix} \right.$ .

$\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = 1 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{f(x) - 1} = + \infty$ .

Vì $f(x) > 1$ khi $x \rightarrow 0$ .

Tương tự , $\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{1}{f(x) - 1} = - \infty$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có hai tiệm cận đứng là hai đường thẳng $x = a$ ; $x = 1$ .

Vậy hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có 4 đường tiệm cận.
Câu 8: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên sau:

Tìm số các giá trị nguyên âm của tham số $m$ để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{2019}{f(x) - m}$ có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 3.
- A.
  $15$ .
- B.
  $16$ .
- C.
  $17$ .
- D.
  $14$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = + \infty \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{2019}{f(x) - m} = 0$ . Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g(x)$ là $y = 0$ .

Để đồ thị hàm số $g(x)$ có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số $g(x)$ phải có hai đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ phương trình $f(x) - m = 0$ có số nghiệm là 2 $\Leftrightarrow$ phương trình $f(x) = m$ có số nghiệm là 2.

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ suy ra phương trình $f(x) = m$ có số nghiệm là 2 $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ - 15 < m < 1 \end{matrix} \right.$ .

Mà tham số $m$ là số nguyên âm.

Vậy $m \in \left\{ - 14\ ;\ - 13\ ;\ - 12\ ;\ - 11\ ;\ ...\ ;\ - 2\ ;\ - 1 \right\}$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{3f(x) - 2}$ là
- A.
  $6.$
- B.
  $4.$
- C.
  $3.$
- D.
  $5.$
Hướng dẫn:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ , $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = + \infty$

Do đó: $\lim_{x \rightarrow + \infty}\left\lbrack 3f(x) - 2 \right\rbrack = 1$ , $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left\lbrack 3f(x) - 2 \right\rbrack = + \infty$

Suy ra: $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2}{3f(x) - 2} = 2$ , $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2}{3f(x) - 2} = 0$

Hay: Đồ thị hàm số $y = \frac{2}{3f(x) - 2}$ có 2 tiệm cận ngang là $y = 0$ , $y = 2$ .

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: Phương trình $3f(x) - 2 = 0$ có 4 nghiệm thực phân biệt.

Giả sử 4 nghiệm đó là $x_{1} \in ( - \infty\ ;\ - 1)$ , $x_{2} \in ( - 1\ ;\ 0)$ , $x_{3} \in (0\ ;\ 1)$ , $x_{4} \in (1\ ;\ + \infty)$ .

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

$\lim_{x \rightarrow {x_{1}}^{+}}f(x) = 0$ , $f(x) < \frac{2}{3} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow {x_{1}}^{+}}\frac{2}{3f(x) - 2} = - \infty$ .

Hay: $x = x_{1}$ là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{3f(x) - 2}$ .

Tương tự, ta có: $\lim_{x \rightarrow {x_{2}}^{+}}\frac{2}{3f(x) - 2} = - \infty$ , $\lim_{x \rightarrow {x_{3}}^{+}}\frac{2}{3f(x) - 2} = - \infty$ , $\lim_{x \rightarrow {x_{4}}^{+}}\frac{2}{3f(x) - 2} = + \infty$

Suy ra đồ thị hàm số $y = \frac{2}{3f(x) - 2}$ có $4$ tiệm cận đứng là $x = x_{1}$ , $x = x_{2}$ , $x = x_{3}$ , $x = x_{4}$

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{2}{3f(x) - 2}$ có tất cả 6 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .
Câu 10: Vận dụng cao
Tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số với $h(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + qx$ $\left( m ,n , p, q;\in\mathbb{ R} \right)$ . Hàm số $y = h'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm các giá trị $m$ nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x)$ là $2$ .
- A.
  $11$ .
- B.
  $10$ .
- C.
  $20$ .
- D.
  $9$ .
Hướng dẫn:
Ta có $h'(x) = 4mx^{3} + 3nx^{2} + 2px + q$ .

Từ đồ thị ta có $h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{5}{4} \\ x = 3 \end{matrix} \right.$ và $(m < 0)$ .

Suy ra $h'(x) = 4m(x + 1)\left( x - \frac{5}{4} \right)(x - 3) = 4mx^{3} - 13mx^{2} - 2mx + 15m$ .

Suy ra $h(x) = mx^{4} - \frac{13}{3}mx^3- mx^{2} + 15mx + C$ .

Từ đề bài ta có $C = 0$ .

Vậy $h(x) = mx^{4} - \frac{13}{3}mx^{3} - mx^{2} + 15mx$ .

Xét $h(x) - m^{2} - m = 0 \Leftrightarrow m = x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x - 1$ .

Xét hàm số $f(x) = x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x - 1$

$\Rightarrow f^{'(x)} = 4x^{3} - 13x^{2} - 2x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{5}{4} \\ x = 3 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên

Để đồ thị hàm số $g(x)$ có $2$ đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ phương trình $h(x) - m^{2} - m = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $m = x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x - 1$ có $2$ nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện $m < 0$ ta có $- \frac{35}{3} < m < - 1$ .

Do $m$ nguyên nên $m \in \left\{ - 11 ; - 10 ; ... ; - 2\right\}$ . Vậy có $10$ số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 11: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ.

Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{2020x}{f(x)\left\lbrack f(x) - m \right\rbrack}$ có tổng số $9$ đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là
- A.
  $1$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Ta có $g(x)$ là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = 0$ , do đó đồ thị hàm số $g(x)$ luôn có một tiệm cận ngang là $y = 0$ .

Phương trình $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{1}\ ;\ - 2 < x_{1} < - 1 \\ x = x_{2} \in ( - 1\ ;\ 0) \\ x = x_{3} \in (0\ ;\ 1) \\ x = x_{4} \in (1\ ;\ 2) \end{matrix} \right.$ .

Ta thấy phương trình $f(x) = 0$ có $4$ nghiệm phân biệt đều khác $0$ nên $x = x_{1}$ , $x = x_{2}$ , $x = x_{3}$ , $x = x_{4}$ là $4$ tiệm cận đứng đồ thị hàm số $g(x)$ .

Vậy để đồ thị hàm số $g(x)$ có đúng $9$ đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình $f(x) = m$ phải có đúng $4$ nghiệm phân biệt khác $0$ và khác với $4$ nghiệm $x_{i}\left( i = \overline{1,4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 2 \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.$ mà $m\mathbb{\in Z}$ nên $m = 1$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Tìm m thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm số $f(x) = x^{2} - 2x$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị $m$ để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{f(x)}{f(x + m)}$ có số tiệm cận là số lẻ.
- A.
  $m \neq 2$ và $m \neq 0$ .
- B.
  $m \neq 0$ .
- C.
  $m \neq \pm 2$ .
- D.
  $m \neq - 2$ và $m \neq 0$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\frac{f(x)}{f(x + m)} = \frac{x^{2} - 2x}{(x + m)^{2} - 2(x + m)}$

$x^{2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 2$ .

$(x + m)^{2} - 2(x + m) = 0 \Leftrightarrow x = - m \vee x = 2 - m$ .

Vì $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{f(x + m)} = 1$ , $\forall m \in \mathbb{R}^{*}$ nên hàm số $g(x) = \frac{f(x)}{f(x + m)}$ luôn có 1 tiệm cận ngang là $y = 1$ .

Với $m = 0$ , ta có $\frac{f(x)}{f(x + m)} = 1$ , $\forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 0\ ;\ 2 \right\}$ . Suy ra đồ thị hàm số $g(x) = \frac{f(x)}{f(x + m)}$ không có tiệm cận đứng.

Do vậy với $m = 0$ , đồ thị hàm số $g(x) = \frac{f(x)}{f(x + m)}$ có 1 tiệm cận.

Với $m = 2$ , ta có $\frac{f(x)}{f(x + m)} = \frac{x^{2} - 2x}{(x + 2)^{2} - 2(x + 2)} = \frac{x(x - 2)}{x(x + 2)}$ có tập xác định là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2\ ;\ 0 \right\}$ .

Có $\lim_{x \rightarrow - 2}\frac{f(x)}{f(x + m)} = \lim_{x \rightarrow - 2}\frac{x(x - 2)}{x(x + 2)} = \infty$ ,

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{f(x + m)} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x(x - 2)}{x(x + 2)} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x - 2}{x + 2} = - 1$ .

Do đó đồ thị hàm số $\frac{f(x)}{f(x + m)}$ có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).

Với $m = - 2$ , ta có $\frac{f(x)}{f(x + m)} = \frac{x^{2} - 2x}{(x - 2)^{2} - 2(x - 2)} = \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x - 4)}$ , có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2\ ;\ 4 \right\}$ .

Có $\lim_{x \rightarrow 2}\frac{f(x)}{f(x + m)} = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x - 4)} = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x}{x - 4} = - 1$ ,

$\lim_{x \rightarrow 4}\frac{f(x)}{f(x + m)} = \lim_{x \rightarrow 4}\frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x - 4)} = \infty$ .

Do đó đồ thị hàm số $\frac{f(x)}{f(x + m)}$ có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).

Với $m \neq 0$ và $m \neq \pm 2$ , ta có $- m$ và $2 - m$ không là nghiệm của $x^{2} - 2x$ . Suy ra đồ thị hàm số $\frac{f(x)}{f(x + m)}$ có 2 tiệm cận đứng là $x = - m$ và $x = 2 - m$ . Do vậy đồ thị hàm số $\frac{f(x)}{f(x + m)}$ có 3 tiệm cận.

Vậy với $m \neq \pm 2$ , đồ thị hàm số $\frac{f(x)}{f(x + m)}$ có số tiệm cận là số lẻ.
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tổng số đường tiệm cận ngang và đứng là 3 ?
- A.
  $2$ .
- B.
  vô số.
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Điều kiện $m \neq 0$

Ta có $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ và $\lim_{x \rightarrow 4^{+}}f(x) = - \infty$ nên đồ thị hàm số $y = f(x)$ có 2 đường tiệm cận đứng (là hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 4$ )

Cũng từ bảng biến thiên ta có $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \frac{1}{m}$ và $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = m$ với điều kiện $m \neq 0$ .

Để đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tổng số đường tiệm cận ngang và đứng là 3

$\Leftrightarrow$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ có số đường tiệm cận ngang là 1

$\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)$ $\Leftrightarrow \frac{1}{m} = m \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$ .

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y=f(x)$ f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số $y = g(x) = \frac{x^{4} - 1}{f^{2}(x) - 4f(x)}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $5$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình $f^{2}(x) - 4f(x) = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f(x) = 4 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a,\ a \in ( - \infty\ ;\ - 1) \\ x = 1\ \ \ (ng\ kép) \\ x = - 1\ \ (ng\ kép) \\ x = b,\ b \in (1\ ;\ + \infty) \end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow f^{2}(x) - 4f(x) = h(x)(x - a)(x - 1)^{2}(x - b)(x + 1)^{2}$ ; $h(x) \neq 0$

Do đó $y = g(x) = \frac{x^{4} - 1}{f^{2}(x) - 4f(x)}$

$= \frac{(x - 1)(x + 1)\left( x^{2} + 1 \right)}{h(x)(x - a)(x - 1)^{2}(x - b)(x + 1)^{2}}$

$= \frac{x^{2} + 1}{h(x)(x - a)(x - 1)(x - b)(x + 1)}$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = g(x) = \frac{x^{4} - 1}{f^{2}(x) - 4f(x)}$ có 4 tiệm cận đứng.
Câu 15: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị $y = \frac{f^{2}(x)\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2f(x) \right\rbrack\left( 2x^{5} + x^{4} - 10x^{3} - 5x^{2} + 8x + 4 \right)}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng và ngang?
- A.
  5.
- B.
  4.
- C.
  7.
- D.
  6.
Hướng dẫn:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $f(x) = ax^{2}(x - 1)(x - 2)$

Đặt $g(x) = \frac{f^{2}(x)\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2f(x) \right\rbrack\left( 2x^{5} + x^{4} - 10x^{3} - 5x^{2} + 8x + 4 \right)}$

$= \frac{f(x).\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack\left( x^{2} - 4 \right)\left( x^{2} - 1 \right)(2x + 1)}$

$=\frac{ax^{2}(x - 1)(x - 2)\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f(x) - 2\right\rbrack\left( x^{2} - 4 \right)\left( x^{2} - 1 \right)(2x +1)}$

$= \frac{ax^{2}\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack(x + 2)(x + 1)(2x + 1)}$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình $f(x) = 2$ có 2 nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = b \end{matrix} \right.$ trong đó $\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ b > 2 \end{matrix} \right.$

Với điều kiện $x^{2} + x \geq 0$ thì phương trình $\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack(x + 2)(x + 1)(2x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = - 1 \\ x = a \\ x = b \end{matrix} \right.$

Lại có $\lim_{x \rightarrow - 2}g(x) = \lim_{x \rightarrow - 2}\frac{ax^{2}\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack(x + 2)(x + 1)(2x + 1)} = \infty$ , suy ra có tiệm cận đứng $x = - 2$

$\lim_{x \rightarrow - 1}g(x) = \lim_{x \rightarrow - 1}\frac{ax^{2}\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack(x + 2)(x + 1)(2x + 1)} = \infty$ , suy ra có tiệm cận đứng $x = - 1$

$\lim_{x \rightarrow a}g(x) = \lim_{x \rightarrow a}\frac{ax^{2}\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack(x + 2)(x + 1)(2x + 1)} = \infty$ , suy ra có tiệm cận đứng $x = a$

$\lim_{x \rightarrow b}g(x) = \lim_{x \rightarrow b}\frac{ax^{2}\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack(x + 2)(x + 1)(2x + 1)} = \infty$ , suy ra có tiệm cận đứng $x = b$

$\Rightarrow$ Hàm số $g(x)$ có 4 tiệm cận đứng.

Mặc khác, bậc tử của $g(x)$ nhỏ hơn bậc mẫu:

Ta suy ra: $\lim_{x \rightarrow \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ax^{2}\sqrt{x^{2} + x}}{\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack(x + 2)(x + 1)(2x + 1)} = 0$

$\Rightarrow$ Hàm số $g(x)$ có 1 tiệm cận ngang $y = 0$
Câu 16: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$Description: C:\Users\nguye\Desktop\KHOI 10\bandicam 2019-07-07 15-33-30-588.jpg$

Tính tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3}$ .
- A.
  5.
- B.
  4.
- C.
  3.
- D.
  2
Hướng dẫn:
Từ bảng biến thiên của hàm số, ta suy ra:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow - \infty}f^{2}(x) = + \infty$

$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow - \infty}e^{f^{2}(x)} = + \infty \Rightarrow \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3} = 0$ .

$\lim_{x \rightarrow \mp \infty}f(x) = + \infty \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty}f^{2}(x) = + \infty$

$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty}e^{f^{2}(x)} = + \infty \Rightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3} = 0$ .

Do đó, đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3}$ có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$ .

Xét phương trình: $e^{f^{2}(x)} - 3 = 0(*)$ .

Ta có $(*) \Leftrightarrow f^{2}(x) = ln3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = \sqrt{ln3}\ (1) \\ f(x) = - \sqrt{ln3}\ (2) \end{matrix} \right.$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ , ta có:

Vì $\sqrt{ln3} > 1$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là $x_{1} \in (1;2)$ và $x_{2} \in (2; + \infty)$ .

Vì $- \sqrt{ln3} < 1$ nên phương trình (2) có một nghiệm là $x_{1} \in ( - \infty;1)$ .

Suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt là $x_{1};x_{2};x_{3}$ .

Khi đó:

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow {x_{1}}^{+}}\left( e^{f^{2}(x)} - 3 \right) = 0 \\ x \rightarrow {x_{1}}^{+} \Rightarrow 1 < f(x) < f\left( x_{1} \right) \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow e^{f^{2}(x)} - 3 < e^{f^{2}\left( x_{1} \right)} - 3 = 0$

$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow {x_{1}}^{+}}\left( \frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3} \right) = - \infty$

Suy ra đường thẳng $x = x_{1}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3}$ .

Tương tự, ta tính được: $\lim_{x \rightarrow {x_{2}}^{+}}\left( \frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3} \right) = + \infty;\lim_{x \rightarrow {x_{3}}^{+}}\left( \frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3} \right) = + \infty$ .

Suy ra các đường thẳng $x = x_{2};x = x_{3}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3}$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{e^{f^{2}(x)} - 3}$ có đường tiệm cận ngang và 3 đường tiệm cận đứng.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Định tham số $m$ để giao điểm của đường tiện cận đúng và tiệm cận ngang nằm trên đường thẳng $d:y = x + 5$ .
- A.
  $m = - 5$ .
- B.
  $m = 4$ .
- C.
  $m = 5$ .
- D.
  $m = - 4$ .
Hướng dẫn:
Từ BBT suy ra TCĐ là $x = 2m$ , TCN là $y = m$ ; nên giao điểm TCĐ và TCN là $I(2m\ ;\ m)$ .

Giao điểm $I(2m\ ;\ m) \in d:y = x + 5 \Leftrightarrow m = 2m + 5 \Leftrightarrow m = - 5$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = g(x) = \frac{1}{f(x) - 5}$ là
- A.
  $3$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Hàm số $y = g(x)$ xác định khi $f(x)$ xác định và $f(x) \neq 5$ hay $\left\{ \begin{matrix} x \neq 1 \\ x \neq a\ (a < 1) \\ x \neq b\ (b > 2) \end{matrix} \right.$ .

Lại có: $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}g(x) = - \infty$ vì $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow 1^{+}}1 = 1 \\ \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\left\lbrack f(x) - 5 \right\rbrack = 0,\ f(x) < 5\ khi\ x \rightarrow 1^{+} \end{matrix} \right.$

$\lim_{x \rightarrow a^{+}}g(x) = + \infty$ vì $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow 1^{+}}1 = 1 \\ \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\left\lbrack f(x) - 5 \right\rbrack = 0,\ f(x) > 5\ khi\ x \rightarrow a^{+} \end{matrix} \right.$

$\lim_{x \rightarrow b^+}g(x) = + \infty$ vì $\left\{ \begin{matrix}\lim_{x \rightarrow 1^{+}}1 = 1 \\\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\left\lbrack f(x) - 5 \right\rbrack = 0,\ f(x)> 5\ khi\ x \rightarrow b^+\end{matrix} \right.$

nên đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 3 đường tiệm cận đứng: $x = 1$ , $x = a$ , $x = b$ .

Mặt khác: $\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = 0$ , $\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = - \frac{1}{7}$ nên đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 2 đường tiệm cận ngang: $y = 0$ , $y = - \frac{1}{7}$ .

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = g(x)$ là 5.
Câu 19: Vận dụng cao
Định số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau :

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x) = \frac{1}{f\left( x^{3} + 2x \right) - 5}$ là
- A.
  4.
- B.
  2.
- C.
  1.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
+ Ta có: $\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{f\left( x^{3} + 2x \right) - 5} = 0$ ; $\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{f\left( x^{3} + 2x \right) - 5} = 0$ .

Đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$ .

+ Đặt $u = x^{3} + 2x$ , khi đó $f\left( x^{3} + 2x \right) - 5 = 0$ trở thành:

$f(u) - 5 = 0 \Leftrightarrow f(u) = 5$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u = a\ (a < - 2) \\ u = 1 \end{matrix} \right.$ .

+ Với $u = a$ $\Rightarrow x^{3} + 2x = a$

Xét hàm số $h(x) = x^{3} + 2x$ có $h'(x) = 3x^{2} + 2 > 0$ , $\forall x\mathbb{\in R}$ nên $h(x)$ đồng biến trên $( - \infty\ ;\ + \infty)$ , mà phương trình bậc ba có ít nhất 1 nghiệm nên phương trình $x^{3} + 2x = a$ có nghiệm duy nhất giả sử là $x_{1}$ .

+ Với $u = 1$ $\Rightarrow x^{3} + 2x = 1$ do chứng minh trên nên phương trình cũng có 1 nghiệm duy nhất giả sử là $x_{2}\left( x_{2} \neq x_{1} \right)$ .

+ Do $x_{1}$ , $x_{2}$ không là nghiệm của tử số của $g(x)$ nên giới hạn của $g(x)$ khi $x$ dần tới $x_{1}$ và giới hạn của $g(x)$ khi $x$ dần tới $x_{2}$ đều là vô cực.

Suy ra đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 2 tiệm cận đứng là $x = x_{1}$ và $x = x_{2}$ .

+ Vậy, tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x)$ là $3$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Tìm m nguyên thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $f(x) = mx^{3} + nx^{2} + px + q$ $\left( m\ ,\ n\ ,\ p\ ,\ q\mathbb{\in R} \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm số giá trị $m$ nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g(x) = \frac{2019}{f(x) - 8mx - m^{2}}$ là
- A.
  $9$ .
- B.
  $8$ .
- C.
  $30$ .
- D.
  $31$ .
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.$ và $m > 0$ .

Suy ra $f(x) = m(x + 1)(x - 1)(x - 3) = mx^{3} - 3mx^{2} - mx + 3m$ .

Xét $f(x) - m^{2} - 8mx = 0 \Leftrightarrow m = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 4$ .

Xét hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 4$

$\Rightarrow y' = 3x^{2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên

Để đồ thị hàm số $g(x)$ có $3$ đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ phương trình $f(x) - m^{2} - 8mx = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $m = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 4$ có $3$ nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện $m > 0$ ta có $0 < m < 9$ .

Do $m$ nguyên nên $m \in \left\{ 1\ ;\ 2\ ;\ ...\ ;\ 8 \right\}$ . Vậy có $8$ số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 21: Vận dụng cao
Tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $g(x) = \frac{2018}{h(x) - m^{2} - m}$ với $h(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + qx\left( m\ ,\ n\ ,\ p\ ,\ q\mathbb{\in R} \right)$ . Hàm số $y = h'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm các giá trị $m$ nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g(x)$ là $2$
- A.
  $9$ .
- B.
  $10$ .
- C.
  $11$ .
- D.
  $20$ .
Hướng dẫn:
Ta có $h'(x) = 4mx^{3} + 3nx^{2} + 2px + q$ .

Từ đồ thị ta có $h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{5}{4} \\ x = 3 \end{matrix} \right.$ và $(m < 0)$ .

Suy ra $h'(x) = 4m(x + 1)\left( x - \frac{5}{4} \right)(x - 3) = 4mx^{3} - 13mx^{2} - 2mx + 15m$ .

Suy ra $h(x) = mx^{4} - \frac{13}{3}mx^{3} - mx^{2} + 15mx + C$ .

Từ đề bài ta có $C = 0$ .

Vậy $h(x) = mx^{4} - \frac{13}{3}mx^{3} - mx^{2} + 15mx$ .

Xét $h(x) - m^{2} - m = 0 \Leftrightarrow m = x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x - 1$ .

Xét hàm số

$f(x) = x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x - 1$

$\Rightarrow f'(x) = 4x^{3} - 13x^{2} - 2x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{5}{4} \\ x = 3 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên

Để đồ thị hàm số $g(x)$ có $2$ đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ phương trình $h(x) - m^{2} - m = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $m = x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x - 1$ có $2$ nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện $m < 0$ ta có $- \frac{35}{3} < m < - 1$ .

Do $m$ nguyên nên $m \in \left\{ - 11\ ;\ - 10\ ;\ ...\ ;\ - 2 \right\}$ .

Vậy có $10$ số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 22: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Định tham số $m$ và $n$ để đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 2$ , $y = 2$ lần lượt là TCĐ và TCN thì biểu thức $9m^{2} + 6mn + 36n^{2}$ có giá trị là
- A.
  $\frac{1}{3}$ .
- B.
  $\frac{7}{3}$ .
- C.
  $\frac{28}{3}$ .
- D.
  $\frac{2}{3}$ .
Hướng dẫn:
Từ BBT suy ra TCĐ là $x = \frac{2 - 2m}{n}$ , TCN là $y = \frac{m}{n}$ ;

Yêu cầu bài toán: đường thẳng $x = 2,y = 2$ lần lượt là TCĐ và TCN nên

$\left\{ \begin{matrix} \frac{2 - 2m}{n} = 2 \\ \frac{m}{n} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 2m = 2n \\ m = 2n \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 2n = 2 \\ m - 2n = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \frac{2}{3} \\ n = \frac{1}{3} \end{matrix} \right.$

Kết luận: vậy $9m^{2} + 6mn + 36n^{2} = \frac{28}{3}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!