Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm Đường tiệm cận của hàm ẩn, hàm hợp Phần 5 - Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 19 câu
Điểm số bài kiểm tra: 19 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho $y = f(x)$ là hàm số bậc ba, liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{1}{f\left( x^{2} + 3x \right) - 1}$ có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận.
- A.
  2.
- B.
  4.
- C.
  3.
- D.
  5.
Hướng dẫn:
Đặt $t = x^{3} + 3x \Rightarrow t' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Xét $f\left( x^{3} + 3x \right) - 1 = 0$ . Vì $y = f(x)$ là hàm số bậc ba nên phương trình $f(t) = 1$ có nhiều nhất 3 nghiệm t.

Từ bảng biến thiên ta suy ra với mỗi giá trị t có đúng một giá trị x.

Khi đó phương trình $f\left( x^{3} + 3x \right) = 1$ có nhiều nhất nghiệm x.

Do đó đồ thị hàm số $y = g(x)$ có nhiều nhất 3 tiệm cận đứng.

Xét $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{f\left( x^{3} + 3x \right) - 1} = \lim_{t \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{f(t) - 1} = 0$ (vì $\lim_{t \rightarrow \pm \infty}f(t) = \pm \infty$ ).

Suy ra đồ thị hàm số $y = g(x)$ có tiệm cận ngang là $y = 0$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = g(x)$ có nhiều nhất 4 đường tiệm cận.
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\lbrack - 3;3\rbrack$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Đặt $h(x) = \frac{3}{2f(x) + x^{2} + 4}$ . Biết rằng $f(1) = - 24$ . Hỏi trên đoạn $\lbrack - 3;3\rbrack$ đồ thị hàm số $y = h(x)$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  2.
- B.
  1.
- C.
  0.
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Xét hàm số $g(x) = 2f(x) + x^{2} + 4$

$\Rightarrow g'(x) = 2.\left( f'(x) + x \right) = 0$

$\Rightarrow f'(x) = - x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.$

Lập bảng biến thiên của $g(x)$ ta được:

Gọi $a$ là nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ . Ta có:

$\int_{- 3}^{a}\left| f'(x) \right|dx < \int_{a}^{3}\left| f'(x) \right|dx$

$\Leftrightarrow f(a) - f( - 3) < - \left( f(3) - f(a) \right)$

$\Leftrightarrow f( - 3) > f(3) \Leftrightarrow g( - 3) > g(3)$

Lại có: $\int_{1}^{3}{g'(x)}dx < 4 \Leftrightarrow g(3) - g(1) < 4$

$\Leftrightarrow g(3) < g(1) + 4 \Leftrightarrow g(3) < - 39 \Leftrightarrow g(3) < 0$

$S_{ABCD}$ là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường thẳng: $x = - 3;x = 1;y = - 5;y = 3$ .

Mặt khác: $\int_{- 3}^{1}\left( - g^{'(x)} \right)dx < S_{ABCD} = 32$

$\Leftrightarrow g( - 3) - g(1) < 32 \Leftrightarrow g( - 3) < - 11$

Do đó phương trình $g(x) = 0$ vô nghiệm, vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cân đứng.
Câu 3: Vận dụng cao
Tìm số tiệm cận của hàm số
Cho hàm số $y = f(x) = x + 1$ . Tìm số tiệm cận của hàm số

$y = g(x) = 1 + \frac{\sqrt{f^{2}(x) + 2}}{f(x) + 2} + \frac{\sqrt[3]{f^{3}(x) + 3}}{f(x) + 3} + ... + \frac{\sqrt[2020]{f^{2020}(x) + 2020}}{f(x) + 2020}$ .
- A.
  0.
- B.
  2.
- C.
  2021.
- D.
  2019.
Hướng dẫn:
TXĐ: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3; - 4; - 5;...; - 2021 \right\}$

+) Với $x_{i} \in \left\{ - 3; - 4; - 5;...; - 2021 \right\}$ ta có $\lim_{x \rightarrow {x_{i}}^{+}}g(x) = + \infty;\lim_{x \rightarrow {x_{i}}^{-}}g(x) = - \infty$ .

Ta có đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 2019 tiệm cận đứng.

+) Ta có:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt[k]{f^{k}(x) + k}}{f(x) + k} = 1 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = 2020$ ;

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[k]{f^{k}(x) + k}}{f(x) + k} = 1;k \in 2n,\forall n \in \mathbb{N}^{+} \\ \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[k]{f^{k}(x) + k}}{f(x) + k} = - 1;k \in 2n + 1;\forall n \in \mathbb{N}^{+} \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = 2$

=> Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang

Vây tổng số tiệm cận là 2021.
Câu 4: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , có $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ ; $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty$ . Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm $g(x) = \frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}}$ có hai đường tiệm ngang là
- A.
  $( - \infty;0)$
- B.
  $\left\{ 0 \right\}$
- C.
  $(0; + \infty)$
- D.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0 \right\}$
Hướng dẫn:
TH1: $m = 0$

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{2}} = \pm \infty$

Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

TH2: $m < 0$

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f^{2}(x) = + \infty$

Suy ra $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left( m.f^{2}(x) + 2 \right) = - \infty$

Suy ra $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x)$ không tồn tại.

TH3: $m > 0$

$\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}}$

$= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\left| f(x) \right|\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}$

$\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}}$

$= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x)\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\left| f(x) \right|\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{- \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = - \frac{1}{\sqrt{m}}$

Đồ thị hàm số $g(x)$ có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng $y = \frac{1}{\sqrt{m}}$ , $y = - \frac{1}{\sqrt{m}}$ .

Tóm lại, tập hợp cần tìm là $(0\ ;\ + \infty)$ .
Câu 5: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ , thỏa mãn $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty$ , $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ và $f(x) < 1$ , $\forall x\mathbb{\in R}$ . Xét hàm số $g(x) = \frac{2f^{3}(x) + f^{2}(x) - 2f(x) - 1}{f^{3}(x) - 4f^{2}(x) + 5f(x) - 2}$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A.
  Đồ thị hàm số hàm số $g(x)$ có các đường tiệm cận ngang là $y = - 2$ và $y = 0$ .
- B.
  Đồ thị hàm số hàm số $g(x)$ chỉ có một đường tiệm cận ngang là $y = 2$ .
- C.
  Đồ thị hàm số hàm số $g(x)$ có các đường tiệm cận ngang là $y = 2$ và $y = 0$ .
- D.
  Đồ thị hàm số hàm số $g(x)$ chỉ có một đường tiệm cận ngang là $y = - 2$ .
Hướng dẫn:
Tập xác định của hàm số $g(x)$ là $\mathbb{R}$ .

$\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) =\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2f^{3}(x) + f^{2}(x) - 2f(x) -1}{f^{3}(x) - 4f^{2}(x) + 5f(x) - 2}$

$= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2 + \frac{1}{f(x)} - \frac{2}{f^{2}(x)} - \frac{1}{f^{3}(x)}}{1 - \frac{4}{f(x)} + \frac{5}{f^{2}(x)} - \frac{2}{f^{3}(x)}} = 2$ vì $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty$ .

=> Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số hàm số $g(x)$ .

$\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2f^{3}(x) + f^{2}(x) - 2f(x) - 1}{f^{3}(x) - 4f^{2}(x) + 5f(x) - 2}$

$= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left\lbrack 2f(x) + 1 \right\rbrack\left\lbrack f(x) + 1 \right\rbrack\left\lbrack f(x) - 1 \right\rbrack}{\left\lbrack f(x) + 1 \right\rbrack^{2}\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack}$

$= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left\lbrack 2f(x) + 1 \right\rbrack\left\lbrack f(x) + 1 \right\rbrack}{\left\lbrack f(x) + 1 \right\rbrack\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack} = + \infty$ vì $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ và $f(x) < 1;\forall x\mathbb{\in R}$ .

Vậy đồ thị hàm số hàm số $g(x)$ chỉ có một đường tiệm cận ngang là $y = 2$ .
Câu 6: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ và $f( - 1) < 20$

Giá trị của m đề đồ thị hàm số $g(x) = \frac{f(x) - 20}{f(x) - m}$ có 4 tiệm cận là
- A.
  $f(3) < m < f( - 1)$ .
- B.
  $m > f( - 1)$ .
- C.
  $f(3) \leq m \leq f( - 1)$ .
- D.
  $m < f(3)$
Hướng dẫn:
Ta có bảng biến thiên

ĐK: $f(x) \neq m$

Nếu $m \neq 20$ thì đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Nếu $m \neq 20$ thì $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x) - 20}{f(x) - m} = 1 \Rightarrow$ Đường thẳng $y = 1$ là TCN của đồ thị hàm số.

Phương trình $f(x) = 20$ có một nghiệm $x = a > 3$ vì $f( - 1) < 20$ .

Suy ra đồ thị hàm số g(x) có 4 tiệm cận khi phương trình $f(x) = m$ có 3 nghiệm phân biệt khác a.

Suy ra $f(3) < m < f( - 1)$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ , $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ trong $( - 2019\ ;\ 2019)$ để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{4036f(x) + 2}{\sqrt{mf^{2}(x) + 3}}$ có hai đường tiệm cận ngang.
- A.
  $25$ .
- B.
  $4036$ .
- C.
  $2018$ .
- D.
  $0$ .
Hướng dẫn:
-Với $m < 0$ ta có $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left\lbrack mf^{2}(x) + 3 \right\rbrack = - \infty$ , tức $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x)$ không tồn tại. Đồ thị hàm số $g(x)$ không có tiệm cận ngang.

-Với $m = 0$ thì $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left( 4036f(x) + 2 \right) = \pm \infty$ . Đồ thị hàm số $g(x)$ không có tiệm cận ngang.

-Với $m > 0$ , tập xác định của hàm số $g(x)$ là $D\mathbb{= R}$ .

Khi đó:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) =\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)\left( 4036 + \frac{2}{f(x)}\right)}{f(x)\sqrt{m + \frac{3}{f^{2}(x)}}}$ $= \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{4036 + \frac{2}{f(x)}}{\sqrt{m + \frac{3}{f^{2}(x)}}} =\frac{4036}{\sqrt{m}}$ .

$\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x)\left( 4036 + \frac{2}{f(x)} \right)}{- f(x)\sqrt{m + \frac{3}{f^{2}(x)}}}$ $= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{4036 + \frac{2}{f(x)}}{- \sqrt{m + \frac{3}{f^{2}(x)}}} = - \frac{4036}{\sqrt{m}}$

Đồ thị hàm số $g(x)$ có 2 tiệm cận ngang là hai đường thẳng $y = \frac{4036}{\sqrt{m}}$ , $y = - \frac{4036}{\sqrt{m}}$ .

Từ tất cả ở trên ta có $\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m \in ( - 2019\ ;\ 2019) \\ m\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \left\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ ...\ ;\ 2018 \right\}$ .

Vậy, có 2018 giá trị nguyên của $m$ .
Câu 8: Vận dụng
Tìm số nguyên dương m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^{}$ thỏa mãn $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ . Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}}$ có đúng 2 đường tiệm cận.
- A.
  0.
- B.
  3.
- C.
  Vô số.
- D.
  2.
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định của hàm số $g(x)$ : $x \geq - \frac{1}{3};x^{2} - 4x + m \neq 0$ .

Vì $x \geq - \frac{1}{3}$ nên không tồn tại giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x)$ .

Vì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1 \Rightarrow f(x) > 1;\mathbb{\forall \in R}$ .

Ta có: $\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x).\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)}{\sqrt{f^{2}(x) + 1}.\left( x^{2} - 4x + m \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt{\frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{m}{x^{2}}} = 1.0 = 0$

Đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g(x)$ .

Ta có $g(x) = \frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}}$

$= \frac{(3x - 3)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right).\left( \sqrt{3x + 1} + 2 \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}}$

Đồ thị hàm số $g(x)$ có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khỉ nó có đúng một tiệm cận đứng, tức là phương trình $x^{2} - 4x + m$ có nghiệm kép $x_{0};x_{0} \geq - \frac{1}{3}$ hoặc có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ trong đó $x_{1} = 1;x_{2} \neq 1;x_{2} \geq - \frac{1}{3}$ hoặc có hai nghiệm phân biệt $x_{3};x_{4}$ trong đó $x_{3} < - \frac{1}{3};x_{4} \geq - \frac{1}{3};x_{4} \neq 1$ .

Xét bảng biến thiên của hàm số $h(x) = - x^{2} + 4x$ :

Ta có $x^{2} - 4x + m = 0 \Leftrightarrow m = - x^{2} + 4x\ \ (1)$ .

Từ bảng biến thiên suy ra $\left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = 3 \\ m < - \frac{13}{9} \end{matrix} \right.$ . Do m là số nguyên dương nên $m \in \left\{ 3;4 \right\}$ .
Câu 9: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $y = f'(x)$ có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{2020}{f(x) - m}$ có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  4.
- B.
  2.
- C.
  1.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{2020}{f(x) - m}$ có đường tiệm cận đứng thì phương trình $f(x) - m = 0$ phải có nghiệm.

Từ bbt của hàm số $y = f'(x)$ suy ra tồn tại $a;b$ sao cho $\left\{ \begin{matrix} - 1 < a < 1 < b \\ f'(a) = f'(b) = 0 \end{matrix} \right.$

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ như sau

Suy ra phương trình $f(x) - m = 0$ có nhiều nhất là 4 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số $g(x) = \frac{2020}{f(x) - m}$ có nhiều nhất 4 đường tiệm cận đứng.
Câu 10: Vận dụng cao
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(1) - 2 < 0$ và $3f(a) - a^{3} + 3a > 0;\forall a > 2$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ.

Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{x + 1}{3f(x + 2) - x^{3} + 3x}$ có có số tiệm cận đứng là
- A.
  2.
- B.
  0
- C.
  1.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Phương trình $f(x) = 20$ có một nghiệm $x = a > 3$ vì $f( - 1) < 20$ .

Từ đồ thị $f'(x)$ suy ra $f(x)$ là đa thức bậc 6 và $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = + \infty$ .

ĐK: $h(x) = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x \neq 0$ .

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm $g(x)$ bằng số nghiệm của $h(x)$ khác -1.

Ta đi tìm số nghiệm của phương trình $h(x) = 0$

$h'(x) = 3f'(x + 2) - 3x^{2} + 3$ .

Đặt $t = x + 2 \Rightarrow h'(x) = k(t) = 3\left\lbrack f'(t) - t^{2} + 4t - 3 \right\rbrack$ .

Khi đó $k(t) = 3\left( f'(t) - t^{2} + 4t + 3 \right) = 0 \Leftrightarrow f'(t) = t^{2} - 4t + 3\ \ (*)$

Sử dụng đồ thị nhận thấy (*) có 3 nghiệm là $t = 1;t = 3;t = a > 4 \Rightarrow x = - 1;x = 1;x = a - 2 = b > 2$ .

Ta có bảng biến thiên của $h(x)$ như sau:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} h( - 1) = 3.f(1) - 2 < 0 \\ h(b) = 3.f(a) - a^{3} + 3a > 0;a > 2 \end{matrix} \right.$ .

Dựa vào bảng biến thiên của $h(x)$ ta thấy $h(x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

Vậy $g(x)$ có 2 tiệm cận đứng.
Câu 11: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $g(x) = \frac{2019}{h(x) - m^{2} - m}$ với $h(x) = mx^{4} +nx^{3} + px^{2} + qx$ $;\left( m,n,p,q\mathbb{\in R} \right);h(x) =0$ . Hàm số $y = h'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $g(x)$ có 2 tiệm cận đứng?
- A.
  2 .
- B.
  10.
- C.
  71.
- D.
  2019.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị suy ra $h^{'(x)} = m(x +1)(4x - 5)(x - 3)$ $= m\left( 4x^{3} - 13x^{2} - 2x + 15 \right)$ và $m < 0$ .

Ta được $h(x) = m\left( x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x \right)$ .

Đồ thị $g(x)$ có 2 đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $h(x)m = m^{2} - m$ có 2 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow f(x) = x^{4} - \frac{13}{3}x^{3} - x^{2} + 15x = m + 1$ có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có bảng biến thiên của $f(x)$ .

Do đó $m + 1 \in \left( \frac{- 32}{3};0 \right) \Leftrightarrow m \in \left( \frac{- 35}{3}; - 1 \right)$ . Vậy có 10 số nguyên m.
Câu 12: Vận dụng cao
Tìm m để đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:

Xét hàm số $y = \frac{1}{f(x) - \frac{x^{2}}{2}}$ . Đặt $g(x) = f(x) - \frac{x^{2}}{2}$ , tìm điều kiện để đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - \frac{x^{2}}{2}}$ có 4 đường tiệm cận đứng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} g(0) > 0 \\ g( - 2) \leq 0 \\ g(1) \leq 0 \end{matrix} \right.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} g(0) > 0 \\ g( - 2) > 0 \end{matrix} \right.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} g(0) > 0 \\ g(1) < 0 \\ g(1).g( - 2) > 0 \end{matrix} \right.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} g(0) > 0 \\ g(1) < 0 \end{matrix} \right.$ .
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - \frac{x^{2}}{2}}$ có 4 đường tiệm cận đứng => Phương trình $f(x) - \frac{x^{2}}{2} = 0$ phải có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ Đồ thị hàm số $g(x) = f(x) - \frac{x^{2}}{2}$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Ta có: $g'(x) = f'(x) - x$ .

$\left\{ \begin{matrix} g'(0) = f'(0) - 0 = 0 \\ g'(1) = f'(1) - 1 = 0 \\ g'( - 2) = f'( - 2) + 2 = 0 \end{matrix} \right.$ .

Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ suy ra

$f'(x) < 0;\forall x \in (0;1) \cup ( - \infty; - 2)$ .

$\Rightarrow g'(x) < 0;\forall x \in (0;1) \cup ( - \infty; - 2)$

$f'(x) > x;\forall x \in (1; + \infty) \cup ( - 2;0)$

$\Rightarrow g'(x) > 0;\forall x \in (1; + \infty) \cup ( - 2;0)$ .

Bảng biến thiên của hàm số $y = g(x)$ .

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số $y = g(x)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} g(0) > 0 \\ g(1) < 0 \\ g(1).g( - 2) > 0 \end{matrix} \right.$ .
Câu 13: Vận dụng
Xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm sô $y = f(x) = \sqrt{x^{2} + 2x + 3}$ . Hàm số $y = g(x) = f\left( \frac{1}{f(x)} \right)$ có bao nhiêu tiệm cận?
- A.
  2.
- B.
  1.
- C.
  0.
- D.
  3
Hướng dẫn:
+) Hàm số $y = f(x)$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$

+) Ham số $y = g(x) = f\left( \frac{1}{f(x)} \right) = \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 2x + 3} + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2x + 3}} + 3}$ có tập xác định: $D\mathbb{= R}$

Ta có $\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \sqrt{3}$

Vây có 1 tiệm cận ngang.
Câu 14: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty;\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ . Phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ có ba nghiệm phân biệt. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2f(x) - 1}$ là:
- A.
  2.
- B.
  4.
- C.
  1.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Đặt $h(x) = \frac{1}{2f(x) - 1}$ .

*) Tiệm cận ngang:

Ta có: $\lim_{x \rightarrow + \infty}h(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = 0$ .

$\lim_{x \rightarrow - \infty}h(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = 0$ .

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang $y = 0$ .

*) Tiệm cận đứng:

Xét phương trình: $2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ có ba nghiệm phân biệt $a;b;c$ thỏa mãn $a < b < c$ .

Đồng thời $\lim_{x \rightarrow a^{+}}h(x) = \lim_{x \rightarrow b^{-}}h(x) = \lim_{x \rightarrow c^{+}}h(x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số $y = h(x)$ có ba đường tiệm cận đứng là $x = a;x = b;x = c$ .

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = h(x)$ là bốn.
Câu 15: Vận dụng cao
Tính tổng các phần tử tập S
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 2$ . Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $g(x) = \frac{(x - 1)\left\lbrack f^{2}(x) + 3 \right\rbrack}{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 2}$ có tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang bằng 2. Tính tổng các phần tử của $S$ .
- A.
  $- \frac{1}{2}$
- B.
  $- 2$ .
- C.
  $\frac{3}{2}$ .
- D.
  $- 3$ .
Hướng dẫn:
Do $\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(x - 1)\left\lbrack f^{2}(x) + 3 \right\rbrack}{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 2} = 0$ , $\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{(x - 1)\left\lbrack f^{2}(x) + 3 \right\rbrack}{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 2} = 0$ nên đồ thị hàm số $g(x)$ có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$ .

Đặt $h(x) = x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 2$ .

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi đồ thị hàm số $g(x)$ có đúng một tiệm cận đứng, điều này xảy ra khi và chỉ khi $h(x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm $x = 1$ hoặc $h(x) = 0$ có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ h(1) = 0 \end{matrix} \right.\ \\ \Delta' = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} (m - 1)^{2} - \left( m^{2} - 2 \right) > 0 \\ 1 + 2(m - 1) + m^{2} - 2 = 0 \end{matrix} \right.\ \\ m = \frac{3}{2} \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m < \frac{3}{2} \\ m = 1\ ;\ m = - 3 \end{matrix} \right.\ \\ m = \frac{3}{2} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 3 \\ m = \frac{3}{2} \end{matrix} \right.$ .

Vậy, tổng ác phần tử của $S$ là $- \frac{1}{2}$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}f(x) = 1$ ; $\lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}f(x) = + \infty$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\lbrack - 2020\ ;\ 2020\rbrack$ để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 3x\ } + x}{\sqrt{2f(x) - f^{2}(x)} + m}$ có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng $y = - 1$ .
- A.
  $4041$ .
- B.
  $2019$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $10$ .
Hướng dẫn:
Do $\lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}f(x) = + \infty$ nên khi $x\ \rightarrow \ + \infty$ thì $2f(x) - f^{2}(x) \rightarrow - \infty$ vì vậy $\sqrt{2f(x) - f^{2}(x)}$ không có nghĩa nên không tồn tại $\ \lim_{x\ \rightarrow \ + \infty}g(x)$ .

Xét $\lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}g(x)$

Trước hết $\lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}f(x) = 1$ nên $\lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\sqrt{2f(x) - f^{2}(x)} = \sqrt{\lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\left\lbrack 2f(x) - f^{2}(x) \right\rbrack} = 1$

$\lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 3x\ } + x \right) = \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 3x\ } + x \right)\left( \sqrt{x^{2} + 3x\ } - x \right)}{\sqrt{x^{2} + 3x\ } - x}$

$= \lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}\frac{3x}{- x\left( \sqrt{1 - \frac{3}{x}\ } + 1 \right)} = - \frac{3}{2}$

Từ đó có $\lim_{x\ \rightarrow \ - \infty}g(x) = \frac{- 3}{2m + 2}$ nên đồ thị hàm số $g(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{- 3}{2m + 2}$ .

Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng $y = - 1$ thì điều kiện cần và đủ là $\frac{- 3}{2m + 2} < - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2m + 2} > 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 > 2m + 2 \\ 2m + 2 > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{1}{2}$ Tức có duy nhất giá trị nguyên $m = 0$ thỏa mãn bài toán.
Câu 17: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $\left( \frac{1}{2}; + \infty \right)$ và có $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 3$ . Xét hàm số $g(x) = \frac{3f(x) - 1}{2f^{2}(x) - f(x)}$ .

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A.
  Đồ thị hàm số $y = g(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 3$ .
- B.
  Đồ thị hàm số $y = g(x)$ có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$ .
- C.
  Đồ thị hàm số $y = g(x)$ có hai tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 0;x = \frac{1}{2}$ .
- D.
  Đồ thị hàm số $y = g(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{8}{15}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $g(x) = \frac{3f(x) - 1}{2f^{2}(x) - f(x)} = \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{2f(x) - 1}$

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}g(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\left( \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{2f(x) - 1} \right) = 0$ nên đồ thị không nhận $x = 1$ là tiệm cận đứng.

$\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) =\lim_{x \rightarrow - \infty}g(x)$ $= \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{2f(x) - 1}= \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}$ nên đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{8}{15}$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty;\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty$ . Trên đoạn

$\lbrack - 2020;2020\rbrack$ có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số $g(x) = \frac{f(x) + 2}{\sqrt{(m + 1)f^{2}(x) + 2020}}$ có :

hai tiệm cận ngang.
- A.
  $4041$ .
- B.
  $2020$ .
- C.
  $2021$ .
- D.
  $2000$ .
Hướng dẫn:
Nếu $m + 1 < 0$ thì $- \sqrt{- \frac{2020}{m + 1}} < f(x) < \sqrt{- \frac{2020}{m + 1}};\forall x\mathbb{\in R}$ , điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Nếu $m + 1 = 0$ thì $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x) + 2}{\sqrt{2020}} = \pm \infty$ . Tức đồ thị hàm số $g(x)$ không có tiệm cận ngang.

Nếu $m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ thì

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x) + 2}{\sqrt{(m + 1)f^{2}(x) + 2020}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)\left\lbrack 1 + \frac{2}{f(x)} \right\rbrack}{f(x)\sqrt{(m + 1) + \frac{2020}{f(x)}}}$

$= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1 + \frac{2}{f(x)}}{\sqrt{(m + 1) + \frac{2020}{f(x)}}} = \frac{1}{\sqrt{m + 1}}$ .

Do đó đường thẳng $y = \frac{1}{\sqrt{m + 1}}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số,

Và $\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{f(x) + 2}{\sqrt{(m + 1)f^{2}(x) + 2020}}$ $= \lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{f(x)\left\lbrack 1 + \frac{2}{f(x)}\right\rbrack}{- f(x)\sqrt{(m + 1) + \frac{2020}{f(x)}}}$

$= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + \frac{2}{f(x)}}{- \sqrt{(m + 1) + \frac{2020}{f(x)}}} = - \frac{1}{\sqrt{m + 1}}$

Do đó đường thẳng $y = - \frac{1}{\sqrt{m + 1}}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy trên đoạn $\lbrack - 2020;2020\rbrack$ có $2021$ số nguyên m thỏa mãn.
Câu 19: Vận dụng cao
Xác định số tiệm cận đúng của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\lbrack - 3;3\rbrack$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Đặt $h(x) = \frac{3}{2f(x) + x^{2} + 4}$ . Biết rằng $f(1) = - 24$ . Hỏi trên đoạn $\lbrack - 3;3\rbrack$ đồ thị hàm số $y = h(x)$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
- A.
  2.
- B.
  4.
- C.
  0.
- D.
  1.
Hướng dẫn:
Xét hàm số $g(x) = 2f(x) + x^{2} + 4$

$\Rightarrow g'(x) = 2.\left( f'(x) + x \right) = 0$

$\Rightarrow f'(x) = - x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.$

Lập bảng biến thiên của $g(x)$ ta được:

Gọi $a$ là nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ . Ta có:

$\int_{- 3}^{a}\left| f'(x) \right|dx < \int_{a}^{3}\left| f'(x) \right|dx$

$\Leftrightarrow f(a) - f( - 3) < - \left( f(3) - f(a) \right)$

$\Leftrightarrow f( - 3) > f(3) \Leftrightarrow g( - 3) > g(3)$

Lại có: $\int_{1}^{3}{g'(x)}dx < 4 \Leftrightarrow g(3) - g(1) < 4$

$\Leftrightarrow g(3) < g(1) + 4 \Leftrightarrow g(3) < - 39 \Leftrightarrow g(3) < 0$

$S_{ABCD}$ là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường thẳng: $x = - 3;x = 1;y = - 5;y = 3$ .

Mặt khác: $\int_{- 3}^{1}\left( - g^{'(x)} \right)dx < S_{ABCD} = 32$

$\Leftrightarrow g( - 3) - g(1) < 32 \Leftrightarrow g( - 3) < - 11$

Do đó phương trình $g(x) = 0$ vô nghiệm, vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cân đứng.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!