Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \lbrack - 10\ ;\ 20\rbrack để hàm số y = f\left( x^{2} + 3x - m \right) đồng biến trên khoảng (0\ ;\ 2)?

    Hướng dẫn:

    Xét dấu f'(x) ta được

    Description: C:\Users\admin\Desktop\113.PNG

    Ta có: y' = (2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right).

    Vì 2x + 3 > 0,\forall x \in (0\ ;\ 2).

    Do đó, để hàm số y = f\left( x^{2} + 3x - m \right) đồng biến trên khoảng (0\ ;\ 2) thì f'\left( x^{2} + 3x - m \right) \geq 0,\forall x \in (0\ ;\ 2) (*).

    Đặt t = x^{2} + 3x - m. Vì x \in (0\ ;\ 2) \Rightarrow t \in ( - m\ ;10 - m).

    (*) trở thành: f'(t) \geq 0,\forall t \in ( - m\ ;\ 10 - m).

    Dựa vào bảng xét dấu của f^{'(x)} ta có: \left\lbrack \begin{matrix} 10 - m \leq - 3 \\ 1 \leq - m \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 13 \\ m \leq - 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} 13 \leq m \leq 20 \\ - 10 \leq m \leq - 1 \end{matrix} \right.\ \\ m \in Z \end{matrix} \right.

    \Rightarrow m \in \left\{ - 10; - 9;..; - 1;3;4;..;20\} \right..

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)e^{x}, có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số y = g(x) = f\left( \ln x \right) - mx^{2} + mx - 2 nghịch biến trên \left( 1;e^{2} \right).

    Hướng dẫn:

    Trên \left( 1;e^{2} \right) ta có g'(x) = \frac{1}{x}.f'\left( \ln x \right) - 2mx + m = \ln x + 1 - (2x - 1)m

    Để hàm sốy = g(x) nghịch biến trên \left( 1;e^{2} \right) thì

    g'(x) = \ln x + 1 - (2x - 1)m \leq 0,\forall x \in \left( 1;e^{2} \right)

    \Leftrightarrow \ln x + 1 - (2x - 1)m \leq 0,\forall x \in \left( 1;e^{2} \right)

    \Leftrightarrow \frac{\ln x + 1}{2x - 1} \leq m,\forall x \in \left( 1;e^{2} \right)

    Xét hàm số h(x) = \frac{\ln x + 1}{2x - 1} trên\left( 1;e^{2} \right), ta có h'(x) = \frac{- \frac{1}{x} - 2lnx}{(2x - 1)^{2}} < 0,\forall x \in \left( 1;e^{2} \right), từ đây suy ra m \geq 1. Vậy có 2019 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)(x - 4). Hàm số y = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có bảng xét dấu

    Xét y = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x.

    Cách 1: y' = 3.\left\lbrack f'(x + 2) + \left( 1 - x^{2} \right) \right\rbrack

    Ta có f^{'(x + 2)} \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x + 2 \leq 3 \\ x + 2 \geq 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 \leq x \leq 1 \\ x \geq 2 \end{matrix} \right..

    Ta có \left\{ \begin{matrix} f'(x + 2) \geq 0,\forall x \in ( - 1;1) \\ 1 - x^{2} > 0,\forall x \in ( - 1;1) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow y' > 0,\forall x \in ( - 1;1).

    Vậy ta chọn đáp án C.

    Cách 2:

    Xét y = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x.

    y' = 3.\left\lbrack f'(x + 2) + \left( 1 - x^{2} \right) \right\rbrack

    Ta có y'\left( \frac{3}{2} \right) = 3.\left\lbrack f'\left( \frac{7}{2} \right) - \frac{5}{4} \right\rbrack < 0 nên loại đáp án (1; + \infty), (0;2).

    y'( - 2) = 3.\left\lbrack f'(0) - 3 \right\rbrack < 0 nên loại đáp án ( - \infty; - 1).

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Định khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) thỏa mãn f'(x) = (1 - x)(x + 2)g(x) + 1 trong đó g(x) < 0,\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số y = f(1 - x) + x + 2 nghịch biến trên các khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'(x) = (1 - x)(x + 2)g(x) + 1 \Rightarrow f'(1 - x) = x(3 - x)g(1 - x) + 1

    Mặt khác:

    y' = \left( f(1 - x) \right)' + 1 = - f^{'(1 - x)} + 1

    = - \left\lbrack x.(3 - x).g(1 - x) + 1 \right\rbrack + 1 = - x.(3 - x).g(1 - x)

    Ta có: y' < 0 \Leftrightarrow - x.(3 - x).g(1 - x) < 0\ \ (*)

    Do g(x) < 0,\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}g(1 - x) < 0,\forall x\mathbb{\in R}

    \Rightarrow (*) \Leftrightarrow x.(3 - x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 3 \\ x < 0 \end{matrix} \right..

    Vậy hàm số y = f(1 - x) + x + 2 nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;0) và (3; + \infty).

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và f'(x) = x(2x - 1) \cdot \left( x^{2} + 3 \right) + 2. Hàm số y = f(3 - x) + 2x + 2019 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có y'\ = - f'(3 - x) + 2.

    y' > 0 \Leftrightarrow - f'(3 - x) + 2 > 0 \Leftrightarrow f'(3 - x) < 2

    \Leftrightarrow (3 - x)\left\lbrack 2(3 - x) - 1 \right\rbrack\left\lbrack (3 - x)^{2} + 3 \right\rbrack + 2 < 2

    \Leftrightarrow (3 - x)(5 - 2x)\left\lbrack (3 - x)^{2} + 3 \right\rbrack < 0

    Vì \left\lbrack (3 - x)^{2} + 3 \right\rbrack > 0,\forall x\mathbb{\in R}.

    Suy ra y' > 0 khi và chỉ khi (3 - x)(5 - 2x) < 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < x < 3.

    Vậy hàm số y = f(3 - x) + 2x + 2019 đồng biến trên khoảng \left( \frac{5}{2};3 \right).

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) thỏa mãn: f'(x) = \left( 1 - x^{2} \right)(x - 5) Hàm số y = 3f(x + 3) - x^{3} + 12x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Chọn B

    Ta có: f'(x) = \left( 1 - x^{2} \right)(x - 5)

    Suy ra f'(x + 3)= \left\lbrack 1 - (x + 3)^{2} \right\rbrack(x + 3 - 5)= - (x + 4)(x +2)(x - 2).

    Mặt khác:

    y' = 3.f'(x + 3) - 3x^{2} + 12

    = - 3\left\lbrack (x + 4)(x + 2)(x - 2) + \left( x^{2} - 4 \right) \right\rbrack

    = - 3(x - 2)(x + 2)(x + 5).

    Xét y' < 0 \Leftrightarrow - 3(x - 2)(x + 2)(x + 5) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 5 < x < - 2 \\ x > 2 \end{matrix} \right..

    Vậy hàm số y = 3f(x + 3) - x^{3} + 12x nghịch biến trên các khoảng ( - 5\ ;\ - 2) và (2\ ;\ + \infty).

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) thỏa mãn f'(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 4). Xét hàm số g(x) = 12f\left( x^{2} \right) + 2x^{6} - 15x^{4} + 24x^{2} + 2019. Khẳng định đúng là:

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm số g(x) là D\mathbb{= R}.

    Ta có

    g^{'(x)} = 24xf^{'\left( x^{2} \right)} + 12x^{5} - 60x^{3} + 48x

    = 12x\left\lbrack 2f'\left( x^{2} \right) + x^{4} - 5x^{2} + 4 \right\rbrack

    = 12x\left\lbrack \left( x^{2} + 1 \right)\left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - 4 \right) + \left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - 4 \right) \right\rbrack

    = 12x\left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - 4 \right)\left( x^{2} + 2 \right)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = 4 \\ x^{2} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm 1 \end{matrix} \right..

    Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

    Qua bảng biến thiên ta có phương án Dlà phương án đúng.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Định các giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2} + 2x - 3,\forall x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \lbrack - 10;20\rbrack để hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 3x - m \right) + m^{2} + 1 đồng biến trên (0;2)?

    Hướng dẫn:

    Ta có

    f'(t) = t^{2} + 2t - 3 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 3 \\ t \geq 1 \end{matrix} \right.\ \ \ \ (*).

    Có g'(x) = (2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right)

    Vì 2x + 3 > 0,\forall x \in (0;2) nên g(x) đồng biến trên (0;2) \Leftrightarrow g'(x) \geq 0,\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + 3x - m \right) \geq 0,\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} + 3x - m \leq - 3,\forall x \in (0;2) \\ x^{2} + 3x - m \geq 1,\forall x \in (0;2) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} + 3x \leq m - 3,\forall x \in (0;2) \\ x^{2} + 3x \geq m + 1,\forall x \in (0;2) \end{matrix} \right. (**)

    Có h(x) = x^{2} + 3x luôn đồng biến trên (0;2) nên từ (**) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 3 \geq 10 \\ m + 1 \leq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 13 \\ m \leq - 1 \end{matrix} \right.

    Vì \left\{ \begin{matrix} m \in \lbrack - 10;20\rbrack \\ m\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow Có 18 giá trị của tham số m.

    Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = 1 - x^{2}. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} + 2x \right) + 2m\left( lnx - \frac{1}{x} \right) nghịch biến trên khoảng (1; + \infty).

    Hướng dẫn:

    Ta có y = g(x) = f\left( x^{2} + 2x \right) + 2m\left( lnx - \frac{1}{x} \right).

    Suy ra g'(x) = (2x + 2)f'\left( x^{2} + 2x \right) + \frac{2m(x + 1)}{x^{2}}.

    Để hàm số y = g(x)nghịch biến \ \forall x \in (1; + \infty) thì g'(x) \leq 0\ \ \ \ \forall x \in (1; + \infty).

    Hay (2x + 2)\left\lbrack f'\left( x^{2} + 2x \right) + \frac{m}{x^{2}} \right\rbrack \leq 0\ \ \ \forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + 2x \right) + \frac{m}{x^{2}} \leq 0\ \ \ \forall x \in (1; + \infty). (Vì 2x + 2 > 0\ \ \ \forall x \in (1; + \infty)).

    Do đó 1 - \left( x^{2} + 2x \right)^{2} + \frac{m}{x^{2}} \leq 0\ \ \ \forall x \in (1; + \infty) \Leftrightarrow m \leq \left\lbrack x^{2}\left( x^{2} + 2x \right)^{2} - x^{2} \right\rbrack\ \ \ \ \forall x \in (1; + \infty)

    Đặt h(x) = x^{2}\left( x^{2} + 2x \right)^{2} - x^{2}, a

    Phương trình 3x^{5} + 4x^{4} + 6x^{3} + 8x^{2} - 1 = 0 không có nghiệm x > 1.

    Từ bảng biến thiên ta thấy m \leq 8. Mà m \in \mathbb{Z}_{+}. Suy ra m có 8 giá trị.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên tập số thực

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}, \forall x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( - 20\ ;\ 20) để hàm số g(x) = f(x + 1) - mx + 1 đồng biến trên \mathbb{R}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:  g'(x) = f'(x) - m.

    Hàm số g(x) = f(x + 1) - mx + 1 đồng biến trên \mathbb{R \Leftrightarrow}g'(x) \geq 0\ \ \forall x.

    \Leftrightarrow f^{'(x + 1)} \geq m \forall x \Leftrightarrow \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2x + 2}} \geq m \forall x

    \Leftrightarrow \min_{\mathbb{R}}\left( \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2x + 2}} \right) \geq m (*).

    Đặt h(x) = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2x + 2}}.

    Ta có h'(x) = \frac{- 1 - 2x}{\left( x^{2} + 2x + 2 \right)\sqrt{x^{2} + 2x + 2}}.

    Cho h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \Rightarrow h\left( - \frac{1}{2} \right) = \sqrt{5}.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta thấy (*) \Leftrightarrow m \leq - 1.

    Vì m\mathbb{\in Z},\ \ m \in ( - 20\ ;\ 20) nên m \in \left\{ - 19\ ;\ - 18\ ;\ - 1 \right\}.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ.

    Hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} \right) nghịch biến trên khoảng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} \right).

    Nhận xét:

    + f'(t) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < t < 1 \\ 4 < t \end{matrix} \right..

    + f'(t) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t < - 1 \\ 1 < t < 4 \end{matrix} \right..

    Hàm số g nghịch biến \Leftrightarrow g'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ f'\left( x^{2} \right) > 0 \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ f'\left( x^{2} \right) < 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ - 1 < x^{2} < 1 \vee 4 < x^{2} \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x^{2} < - 1 \vee 1 < x^{2} < 4 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ - 1 < x < 0 \\ 1 < x < 2 \end{matrix} \right..

    Vậy hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} \right) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 2), ( - 1;0) và (1;2).

  • Câu 12: Vận dụng
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ. Hàm số y = g(x) = f(3 - 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị (C):y = f'(x); f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 < x < 2 \\ x > 5 \end{matrix} \right. (1)

    Mà g'(x) = - 2.f'(3 - 2x) (2)

    (1), (2); g^{'(x)} < 0 \Leftrightarrow f^{'(3 - 2x)} > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 < 3 - 2x < 2 \\ 3 - 2x > 5 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \\ x < - 1 \end{matrix} \right..

    Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng \left( \frac{1}{2};\frac{5}{2} \right) và ( - \infty; - 1).

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có f'(x) = x.(x + 1)^{3}.(x - 1)^{4}.(x - 4)^{5}. Giá trị của tham số m để hàm số y = g(x) = f(1 - x) + \frac{1}{x^{2} + mx + m^{2} + 1} chắc chắn luôn đồng biến trên ( - 3;0).

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: x^{2} + mx + m^{2} + 1 \neq 0 (luôn đúng vì x^{2} + mx + m^{2}+ 1= \left( x + \frac{m}{2} \right)^{2} + \frac{3m^{2}}{4} + 1 >0)

    g'(x) = - f'(1 - x) - \frac{2x + m}{\left( x^{2} + mx + m^{2} + 1 \right)^{2}}

    Đặt t = 1 - x;x \in ( - 3;0) \Rightarrow t \in (1;4)

    \Rightarrow - f'(1 - x),x \in ( - 3;0) chính là - f'(t),t \in (1;4).

    Do đó - f'(t) > 0,\forall t \in (1;4) \Leftrightarrow - f'(1 - x) > 0,\forall x \in ( - 3;0)

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow - \frac{2x + m}{\left( x^{2} + mx + m^{2} + 1 \right)^{2}} \geq 0,\forall x \in ( - 3;0)

    \Leftrightarrow 2x + m \leq 0,\forall x \in ( - 3;0)\Leftrightarrow m \leq - 2x,\forall x \in ( - 3;0)

    \Leftrightarrow m \leq \min_{\lbrack - 3;0\rbrack}( - 2x) \Leftrightarrow m \leq 0. Vậy m \in \lbrack 0; + \infty)

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm các số nguyên dương m của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàmf'(x) = x(x - 1)^{2}(x^{2} + mx + 9) với mọi \forall x \in R. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g(x) = f(3 - x) đồng biến trên khoảng (3; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra f'(3 - x) = (3 - x)(2 - x)^{2}\lbrack(3 - x)^{2} + m(3 - x) + 9\rbrack.

    Ta có g'(x) = - f'(3 - x).

    Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (3; + \infty) khi và chỉ khi

    g'(x) \geq 0,\forall x \in (3; + \infty).

    \Leftrightarrow - f'(3 - x) \leq 0,\forall x \in (3; + \infty).

    \Leftrightarrow (3 - x)(2 - x)^{2}\lbrack(3 - x)^{2} + m(3 - x) + 9\rbrack \leq 0,\forall x \in (3; + \infty).

    \forall x \in (3; + \infty) thì (3 - x) \leq 0,(2 - x)^{2} \geq 0, suy ra (3 - x)^{2} + m(3 - x) + 9 \geq 0,\forall x \in (3; + \infty).

    \Leftrightarrow m \leq \frac{(3 - x)^{2} + 9}{(x - 3)},\forall x \in (3; + \infty)

    \Leftrightarrow m \leq \underset{(3; + \infty)}{Min}\frac{(3 - x)^{2} + 9}{(x - 3)}.

    Ta có

    \frac{(3 - x)^{2} + 9}{(x - 3)} = (x - 3) + \frac{9}{x - 3} \geq 2\sqrt{(x - 3).\frac{9}{x - 3}} = 6.

    Suy ra m \leq 6.

    Vì m nguyên dương suy ra m \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm f'(x) = (x + 2)\left( x^{2} - 9 \right)\left( x^{4} - 16 \right) trên \mathbb{R}. Hàm số y = g(x) = \left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2019} đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x) = (x + 2)\left( x^{2} - 9 \right)\left( x^{4} - 16 \right)

    = (x - 3)(x - 2)(x + 3)(x + 2)^{2}\left( x^{2} + 4 \right).

    g'(x) = 2019.\left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2018}\left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack'

    = 2019.\left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2018}(2 - 2x)f'\left( 2x - x^{2} \right)

    = 2019\left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2018}(2 - 2x)\left( 2x - x^{2} - 3 \right)\left( 2x - x^{2} - 2 \right)

    \left( 2x - x^{2} + 3 \right)\left( 2x - x^{2} + 2 \right)^{2}\left\lbrack \left( 2x - x^{2} \right)^{2} + 4 \right\rbrack

    = (1 - x)\left( 2x - x^{2} + 3 \right)A

    Trong đó:

    A = 2.2019\left\lbrack f\left( 2x - x^{2} \right) \right\rbrack^{2018}\left( 2x - x^{2} + 2 \right)^{2}\left( x^{2} - 2x + 3 \right)

    \left( x^{2} - 2x + 2 \right)\left\lbrack \left( x^{2} - 2x \right)^{2} + 4 \right\rbrack \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}

    Khi đó g'(x) \geq 0 \Rightarrow (1 - x)\left( 2x - x^{2} + 3 \right) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \lbrack - 1;1\rbrack \cup \lbrack 3; + \infty)

    \Rightarrow Hàm số y = g(x) = \left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2019} đồng biến trên mỗi khoảng ( - 1;1)và (3; + \infty).

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 2x \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên m \leq 20 để hàm số g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right) đồng biến trên (4; + \infty).

    Hướng dẫn:

    Ta có:g'(x) = (2x - 8)f'\left( x^{2} - 8x + m \right)

    Hàm số g(x) đồng biến trên (4; + \infty)\Leftrightarrow g'(x) \geq 0,\forall x \in (4; + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} - 8x + m \right) \geq 0,\forall x \in (4; + \infty) (Vì 2x - 8 > 0,\forall x \in (4; + \infty)).

    Ta có f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 2x \right) \geq 0

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2}x(x - 2) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \leq 0 \end{matrix} \right..

    Do đó f'\left( x^{2} - 8x + m \right) \geq 0,\forall x \in (4; + \infty)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 8x + m \geq 2,\forall x \in (4; + \infty)(1) \\ x^{2} - 8x + m \leq 0,\forall x \in (4; + \infty)(2) \end{matrix} \right..

    Xét h(x) = x^{2} - 8x + m. Ta có h'(x) = 2x - 8.

    Lập bảng biến thiên của h(x) = x^{2} - 8x + m, ta được

    Dựa vào bảng biến thiên:

    + (2) vô nghiệm vì x^{2} - 8x + m \geq m - 16,\forall x \in (4; + \infty).

    + (1) \Leftrightarrow m - 16 \geq 2 \Leftrightarrow m \geq 18.

    Theo giả thiết thì m \leq 20 và m là số nguyên nên m \in \left\{ 18;19;20 \right\}. 

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)(x - 2). Tìm m để hàm số y = g(x) = f(x + 2) - mxđồng biến trên khoảng ( - 1;2).

    Hướng dẫn:

    Ta có y = g(x) = f(x + 2) - mx.

    Suy ra g'(x) = f'(x + 2) - m.

    Để hàm số y = g(x)đồng biến \ \forall x \in ( - 1;2) thì g'(x) \geq 0\ \ \ \forall x \in ( - 1;2).

    Hay f^{'(x + 2)} \geq m\ \forall x \in ( - 1\ ;2)

    \Leftrightarrow m \leq f^{'(x + 2)}\forall x \in ( - 1;2)

    \Leftrightarrow m \leq x(x + 3)\ \ \forall x \in ( - 1;2).

    m \leq \underset{x \in ( - 1;2)}{Min}\left( x^{2} + 3x \right)\.

    Đặt h(x) = x^{2} + 3x, h'(x) = 2x + 3,\ h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 3}{2}.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m \leq - \frac{9}{4}.

     

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Xác định giá trị nguyên âm của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x + 2)\left( x^{2} + mx + 5 \right) với \forall x\mathbb{\in R}. Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số g(x) = f\left( x^{2} + x - 2 \right) đồng biến trên khoảng (1; + \infty) là

    Hướng dẫn:

    Ta có g'(x) = (2x + 1)f'\left( x^{2} + x - 2 \right).

    Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + x - 2 \right) đồng biến trên khoảng (1; + \infty)

    \Leftrightarrow g'(x) \geq 0,\forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow (2x + 1)f'\left( x^{2} + x - 2 \right) \geq 0,\forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + x - 2 \right) \geq 0,\forall x \in (1; + \infty) (vì 2x + 1 > 0,\forall x \in (1; + \infty))

    \Leftrightarrow \left( x^{2} + x - 2\right)^{2}\left( x^{2} + x \right)\left\lbrack \left( x^{2} + x - 2\right)^{2} + m\left( x^{2} + x - 2 \right) + 5 \right\rbrack \geq0,\forall x \in (1; + \infty)

    \left\lbrack \left( x^{2} + x - 2 \right)^{2} + m\left( x^{2} + x - 2 \right) + 5 \right\rbrack \geq 0,\forall x \in (1; + \infty) (*) (Vì {\left( {{x^2} + x - 2} \right)^2}\left( {{x^2} + x} \right) \geqslant 0;\left( {1; + \infty } \right)).

    Đặt t = x^{2} + x - 2. Khi đó x > 1 \Rightarrow t > 0.

    (*) trở thành t^{2} + mt + 5 \geq 0,\forall t > 0 \Leftrightarrow m \geq - t - \frac{5}{t},\forall t > 0.

    Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có t + \frac{5}{t} \geq 2\sqrt{5} \Leftrightarrow - t - \frac{5}{t} \leq - 2\sqrt{5}.

    Dấu " = " xảy ra \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{5}{t} \\ t > 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow t = \sqrt{5}.

    \Rightarrow \max_{(0; + \infty)}\left( - t - \frac{5}{t} \right) = - 2\sqrt{5} \Rightarrow m \geq - 2\sqrt{5}.

    Mà m nguyên âm nên m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}. Vậy có 4 giá trị mthỏa mãn bài toán.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} có f'(x) = (x - 2)(x + 5)(x + 1) và f( - 5) = f(2) = 1. Hàm số g(x) = \left\lbrack f\left( x^{2} \right) \right\rbrack^{2} đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có f'(x) = (x - 2)(x + 5)(x + 1) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 5 \\ x = - 1 \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên của y = f(x)

    Từ BBT suy ra f(x) > 0\ \ \ \forall x\mathbb{\in R}.

    Xét hàm số g(x) = \left\lbrack f\left( x^{2} \right) \right\rbrack^{2} g^{'(x)} = \left( \left( f^{'\left( x^{2} \right)} \right)^{2} \right)'

    = 4x.f^{'\left( x^{2} \right)}f\left( x^{2} \right)

    = 4x\left( x^{2} - 2 \right)\left( x^{2} + 5 \right)\left( x^{2} + 1 \right)f\left( x^{2} \right)

    Do f(x) > 0\ \ \ \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}f\left( x^{2} \right) > 0\ \ \forall x\mathbb{\in R}

    Xét g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix} \right.

    BBT của g(x) = \left\lbrack f\left( x^{2} \right) \right\rbrack^{2}

    Từ BBT trên ta chọn đáp án \left( - \sqrt{2};0 \right) \cup \left( \sqrt{2}; + \infty \right).

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Định số nguyên m thỏa mãn yêu cầu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 4);\ \ \forall x\mathbb{\in R}.Có bao nhiêu số nguyên m < 2019 để hàm số g(x) = f\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right) đồng biến trên (2;\ \ + \infty).

    Hướng dẫn:

    Ta có: g'(x) = - \frac{3}{(x + 1)^{2}}f'\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right).

    Hàm số g(x) đồng biến trên (2;\ \ + \infty)

    \Leftrightarrow g'(x) \geq 0;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)

    \Leftrightarrow - \frac{3}{(x + 1)^{2}}f'\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right) \geq 0;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right) \leq 0;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)

    Ta có: f^{'(x)} \leq 0

    \Leftrightarrow (x + 1)(x - 1)(x - 4) \leq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 1 \\ 1 \leq x \leq 4 \end{matrix} \right.

    Do đó:f'\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right) \leq 0;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{2 - x}{1 + x} - m \leq - 1;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ 1 \leq \frac{2 - x}{1 + x} - m \leq 4;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{matrix} \right.

    Hàm số h(x) = \frac{2 - x}{1 + x} - m; x \in (2;\ \ + \infty) có bảng biến thiên:

    Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện (2) không có nghiệm m thỏa mãn.

    Điều kiện (1) \Leftrightarrow - m \leq - 1 \Leftrightarrow m \geq 1,kết hợp điều kiện m < 2019 suy ra có 2018 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (10%):
    2/3
  • Thông hiểu (90%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại