Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 28 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 28 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) là một hàm đa thức và có bảng xét dấu của f'(x) như hình bên dưới:

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f\left( \sqrt{x - 2} + m \right)\ \ (1) nghịch biến trên khoảng (11;25).

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sqrt{x + 2} + m, với x \in (11;25) thì t \in (3 + m;5 + m), hàm số trở thành: y = f(t)\ \ (2)

    Dễ thấy x và t cùng chiều biến thiên nên hàm (1) nghịch biến trên (11; 25) thì hàm (2) nghịch biến trên (3 + m;5 + m).

    Dựa vào bảng xét dấu của hàm f'(t) suy ra hàm f(t) nghịch biến trên khoảng (1; 3).

    Do đó hàm f(t) nghịch biến trên (3 + m;5 + m) khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} m + 3 \geq 1 \\ m + 5 \leq 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq - 2 \\ m \leq - 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 2

    Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tìm các số nguyên âm của m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 1)\left( x^{2} + mx + 5 \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f\left( x^{2} \right) đồng biến trên (1; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra f'\left( x^{2} \right) = x^{4}\left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{4} + mx^{2} + 5 \right)

    Ta có g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} \right)

    Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; + \infty) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0;\forall x \in (1; + \infty)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 2x.f'\left( {{x^2}} \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 2x.{x^4}.\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + m{x^2} + 5} \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^4} + m{x^2} + 5 \geqslant 0;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{{{x^4} + 5}}{{{x^2}}};\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow m = \mathop {\max h\left( x \right)}\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} ;h\left( x \right) = - \frac{{{x^4} + 5}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Khảo sát hàm h(x) = - \frac{x^{4} + 5}{x^{2}} trên (1; + \infty) ta được \underset{(1; + \infty)}{\max h(x)} = - 2\sqrt{5}

    Suy ra \Leftrightarrow m \geq - 2\sqrt{5}\overset{m \in \mathbb{Z}^{-}}{\rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    11

    Hàm số g(x) = \left\lbrack f(3 - x) \right\rbrack^{2} nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Từ bảng biến thiên suy ra f(x) \leq 0;\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}f(3 - x) \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: g'\left( x \right) = - 2f'\left( {3 - x} \right).f\left( {3 - x} \right)

    Xét g'(x) = - 2f'(3 - x)f(3 - x) < 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 < 3 - x < 1 \\ 3 - x > 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 < x < 5 \\ x < 1 \end{matrix} \right..

    Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1),(2;5).

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x);y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng ( - 4;3), hàm số y = e^{- x + 10}f(x) có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = - e^{- x + 10}f(x) + f'(x).e^{- x + 10} = e^{- x + 10}.\left\lbrack - f(x) + f'(x) \right\rbrack

    Dựa vào đồ thị, ta có:

    y' = 0 \Leftrightarrow f'(x) = f(x) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a; - a < a < - 3 \\ x = b; - \frac{3}{2} < b < 0 \\ x = c;0 < c < 3 \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = e^{- x + 10}.f(x) có hai khoảng nghịch biến (a;b),(c;3).

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x + 2) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ

    Hàm số y = f(x) nghịch biến tên khoảng nào sau đây

    Hướng dẫn:

    Ta có \left\lbrack f(x + 2) \right\rbrack' = (x + 2)'.f'(x + 2) = f'(x + 2)

    Đặt t = x + 2 khi đó y = f(x + 2) = f(t) và y' = \left\lbrack f(x + 2) \right\rbrack' = f'(t)

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm y = f(x + 2) ta có:

    f'(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 4 \\ x = - 2 \end{matrix} \right.

    Suy ra f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 2 \\ t = 0 \end{matrix} \right.

    Vậy ta có bảng biến thiên của hàm y = f(x) như sau

    Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên ( - 2;0).

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)^{2}\left( x^{2} + mx + 9 \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g(x) = f(3 - x) đồng biến trên khoảng (3; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra f'(3 - x) = (3 - x)(2 - x)^{2}\left\lbrack (3 - x)^{2} + m(3 - x) + 9 \right\rbrack

    Ta có g'(x) = - f'(3 - x)

    Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (3; + \infty) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0;\forall x \in (3; + \infty)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow f'\left( {3 - x} \right) \leqslant 0;\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right){\left( {2 - x} \right)^2}\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + m\left( {3 - x} \right) + 9} \right] \leqslant 0;\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9}}{{x - 3}};\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow m \leq \underset{(3; + \infty)}{\min h(x)};h(x) = \frac{(x - 3)^{2} + 9}{x - 3}

    Ta có h(x) = \frac{(x - 3)^{2} + 9}{x -3} = (x - 3) + \frac{9}{x - 3}\geq 2\sqrt{(x - 3).\frac{9}{x - 3}} =6

    Vậy suy ra m \leq 6\overset{m \in \mathbb{Z}^{+}}{\rightarrow}m \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau

    Hỏi hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} + 2x \right) đồng biến trên khoảng nào dưới đây

    Hướng dẫn:

    Tập xác địnhD\mathbb{= R}.

    Ta có

    y' = g'(x) = \left\lbrack f\left( x^{2} + 2x \right) \right\rbrack'

    = \left( x^{2} + 2x \right)'.f'\left( x^{2} + 2 \right) = (2x + 2).f'\left( x^{2} + 2x \right)

    Ta có x^{2} + 2x = (x + 1)^{2} - 1 \geq - 1;\forall x\mathbb{\in R} dựa vào bảng xét dấu trên ta có f'\left( x^{2} + 2x \right) \leq 0 với dấu “=” chỉ xảy ra tại x = - 1.

    Từ đó y' \geq 0 \Leftrightarrow (2x + 2).f'\left( x^{2} + 2x \right) \geq 0 \Leftrightarrow 2x + 2 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1 nên hàm số đồng biến trên ( - \infty; - 1).

    Mặt khác ( - \infty; - 2) \subset ( - \infty; - 1) nên phương án ( - \infty; - 2) thỏa mãn bài toán.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và f'(4) = 0

    Có bao nhiêu số nguyên m \in \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số y = e^{- x^{2} + mx + 1}f(x) đồng biến trên (1;4)?

    Hướng dẫn:

    y = e^{- x^{2} + mx + 1}f(x) \Rightarrow y' = e^{- x^{2} + mx + 1}\left\lbrack ( - 2x + m)f(x) + f'(x) \right\rbrack

    Hàm số đồng biến trên (1;4) \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in (1;4)

    \Leftrightarrow ( - 2x + m)f(x) + f'(x) \geq 0;\forall x \in (1;4)\ \ (1)

    Vì f(x) > 0;\forall x \in (1;4)\ (1) \Leftrightarrow m \geq 2x - \frac{f'(x)}{f(x)} = g(x);\forall x \in (1;4)

    Xét hàm số g(x) ta có g'(x) = 2 - \frac{f''(x).f(x) - \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}

    Theo BBT của hàm số f'(x) ta thấy \forall x \in (1;4)thì f''(x) < 0 nên

    f''(x).f(x) - \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2} < 0;\left( f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} \right)

    \Rightarrow - \frac{f''(x).f(x) - \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} > 0;\forall x \in (1;4)

    \Rightarrow g'(x) = 2 - \frac{f''(x).f(x) - \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} > 0

    \Rightarrow y = g(x) đồng biến trên (1;4).

    Do đó để m \geq g(x);\forall x \in (1;4) thì m \geq \underset{\lbrack 1;4\rbrack}{\max g(x)} = g(4) = 8

    Do m \in \lbrack - 2019;2019\rbrack nên m \in \lbrack 8;2019\rbrack

    Có 2012 số nguyên thỏa ycbt.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)^{2}\left( 3x^{4} + mx^{3} + 1 \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f\left( x^{2} \right) đồng biến trên khoảng (0; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra f'\left( x^{2} \right) = x^{2}\left( x^{2} - 1 \right)^{2}\left( 3x^{8} + mx^{6} + 1 \right)

    Ta có g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} \right)

    Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; + \infty) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0;\forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow 2x.f'\left( x^{2} \right) \geq 0;\forall x \in (0; + \infty)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 2x.{x^2}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\left( {3{x^8} + m{x^6} + 1} \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 3{x^8} + m{x^6} + 1 \geqslant 0;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{{3{x^8} + 1}}{{{x^6}}};\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow m \geq \underset{(0; + \infty)}{\max h(x)};h(x) = - \frac{3x^{8} + 1}{x^{6}}

    Khảo sát hàm h(x) = - \frac{3x^{8} + 1}{x^{6}} trên (0; + \infty) ta được \underset{(0; + \infty)}{\max h(x)} = - 4

    Suy ra \Leftrightarrow m \geq 4\overset{m \in \mathbb{Z}^{-}}{\rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Đặt y = g(x) = f(x) + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2}. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm số y = g(x) là \mathbb{R}

    Ta có:

    y = g(x) = f(x) + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2}

    y' = g'(x) = f'(x) + x^{2} - x

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{matrix} \right.\ ;x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \end{matrix} \right.

    Bảng xét dấu của y' = g'(x) như sau:

    Từ bảng xét dấu của y' = g'(x) suy ra:

    Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (0;1).

    Hàm số y = g(x) đồng biến trên các khoảng ( - 2;0) và (1; + \infty) mà (1;2) \subset (1; + \infty)

    nên đáp án “Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (1;2)” đúng.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Xác định khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

    Hàm số g(x) = f(3x + 1) - x^{3} + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = 3f'(3x + 1) - 3x^{2} + 3 = 3\left\lbrack f'(3x + 1) - x^{2} + 1 \right\rbrack.

    y' \geq 0 \Leftrightarrow f'(3x + 1) \geq x^{2} - 1

    Ta có

    x^{2} - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 1

    f'(3x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3x + 1 \geq 4 \\ 1 \leq 3x + 1 \leq 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 4 \\ 0 \leq x \leq \frac{2}{3} \end{matrix} \right.

    Suy ra với 0 \leq x \leq \frac{2}{3} thì f'(3x + 1) \geq 0 \geq x^{2} - 1.

    Suy ra hàm số y = f(3x + 1) - x^{3} + 3x đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{2}{3} \right)

    Mà \left( \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right) \subset \left( 0;\frac{2}{3} \right). Vậy đáp án cần tìm là: \left( \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right)

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

    Với m < 0, hàm số y = \left( x^{2} - 2x + m \right).f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y' = (2x - 2).f(x) + \left( x^{2} - 2x + m \right).f'(x)

    + Ta có 2x - 2 < 0;\forall x \in (0;1) và f(x) < 0;\forall x \in (0;1)\ \ (1)

    Bảng biến thiên của hàm y = g\left( x \right) = {x^2} - 2x + m

    Từ hai BBT suy ra g(x) = x^{2} - 2x + m < 0;\forall x \in (0;1) (do m < 0) và f'(x) < 0;\forall x \in (0;1) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra y' = (2x - 2)f(x) + \left( x^{2} - 2x + m \right).f'(x) > 0;\forall x \in (0;1).

    Trong các khoảng ( - \infty; - 1),( - 1;0),(1;3) thì chưa thể xác định được dấu của

    y' = (2x - 2).f(x) + \left( x^{2} - 2x + m \right).f'(x) nên dựa vào các đáp án ta chọn đáp án (0;1).

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Định số khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x);y = f'(x)có đồ thị như hình vẽ.

    Trên khoảng (0;2), hàm số y = e^{- x}.f(x) có bao nhiêu khoảng đồng biến?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = e^{- x}.f(x) \Rightarrow y' = e^{- x}\left\lbrack f'(x) - f(x) \right\rbrack

    Dựa vào đồ thị ta có: y' = 0 \Leftrightarrow f'(x) = f(x) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a;0 < a < \frac{1}{2} \\ x = b;1 < b < \frac{3}{2} \end{matrix} \right.

    Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (0;a),(b;2).

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho đồ thị hàm số y = f'\left( x^{3} + 1 \right) như hình vẽ. Hàm số f(x) nghịch biến trong khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị suy ra f'\left( x^{3} + 1 \right) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 < x < 0 \\ 1 < x < 2 \end{matrix} \right..

    Đặt t = x^{3} + 1 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{t - 1}.

    Suy ra f'(t) < 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}- 2 < \sqrt[3]{t - 1} < 0 \\1 < \sqrt[3]{t - 1} < 2\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}- 8 < t - 1 < 0 \\1 < t - 1 < 8\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}- 7 < t < 1 \\2 < t < 9\end{matrix} \right..

    Vậy hàm số f(t) nghịch biến trong các khoảng ( - 7;1) và (2;9).

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

    .

    Hàm số y = f\left( 2 - e^{x} \right) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Đặt g(x) = f\left( 2 - e^{x} \right), hàm số xác định trên \mathbb{R}.

    Ta có: g'(x) = - e^{x}f'\left( 2 - e^{x} \right).

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}2 - e^{x} = - 1 \\2 - e^{x} = 1 \\2 - e^{x} = 4\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \ln3 \\x = 0 \\e^{x} = - 2(VN)\end{matrix} \right.

    Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y = g(x) như sau:

    Suy ra hàm số y = g(x) đồng biến trên các khoảng ( - \infty;0),(ln3; + \infty).

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu của hàm số y = f'(x) như sau:

    Biếtf( - 2) = f(2) = 0, hỏi hàm số g(x) = \left| f(3 - x) \right|^{2} nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y = f'(x) suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

    Ta có g'(x) = - 2.f'(3 - x).f(3 - x)

    Xét g'(x) \leq 0 \Leftrightarrow f'(3 - x).f(3 - x) \geq 0\ \ (1)

    Từ bảng biến thiên suy ra f(3 - x) \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do đó (1) \Leftrightarrow f(3 - x) \leq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq 3 - x \leq 1 \\ 3 - x \geq 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 \leq x \leq 5 \\ x \leq 1 \end{matrix} \right.

    Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1),(2;5).

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'\left( - 2x + \frac{7}{2} \right) + 2 như hình bên

    C:\Users\Admin\AppData\Local\Temp\SNAGHTML46d9d42.PNG

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Quan sát đồ thị hàm số y = f'\left( -2x + \frac{7}{2} \right)+ 2 ta có

    f'\left( - 2x + \frac{7}{2} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( - 2x + \frac{7}{2} \right) + 2 < 2

    \Leftrightarrow 1 < x < 3(*) (đồ thị hàm số nằm dưới đường thẳng y = 2 khi và chỉ khi x \in (1;3))

    Đặt t = - 2x + \frac{7}{2} \Leftrightarrow x = \frac{7 - 2t}{4} khi đó (*) \Leftrightarrow f'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < \frac{{7 - 2t}}{4} < 3 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < t < \frac{3}{2}

    điều đó chứng tỏ hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng \left( - \frac{5}{2};\frac{3}{2} \right).

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}, hàm số y = f'(x - 2) có đồ thị như hình dưới.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right) nghịch biến trên khoảng \left( 4;\frac{9}{2} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có: đồ thị hàm số y = f'(x - 2) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y = f'(x) sang phải hai đơn vị. Khi đó hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

    Mặt khác:

    g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right)

    \Rightarrow g'(x) = f(2x - 8)f'\left( x^{2} - 8x + m \right)

    g'(x) = f(2x - 8)f'\left( x^{2} - 8x + m \right) < 0;\forall x \in \left( 4;\frac{9}{2} \right)

    - 3 \leq x^{2} - 8x + m \leq - 2\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}- x^{2} - 8x - 3 \leq m;\forall x \in \left( 4;\frac{9}{2} \right) \\- x^{2} - 8x - 2 \geq m;\forall x \in \left( 4;\frac{9}{2} \right)\end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq 13,75 \\m \geq 13\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 13.

    Do đó có 1 giá nguyên của m để g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right) nghịch biến trên khoảng \left( 4;\frac{9}{2} \right).

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên \mathbb{R}, thỏa mãn f( - 1) = 0. Biết bảng biến thiên của hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

    Hàm số g(x) = \left( x^{2} - x - 2 \right).f(x) nghịch biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f'(x) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f(x)như sau

    Ta có g'(x) = (2x - 1).f(x) + \left( x^{2} - x - 2 \right).f'(x).

    Ta lập bảng xét dấu:

    Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \left( - 1;\frac{1}{2} \right).

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Cho hàm số y = f(x + 2) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Biết y = f'(x + 2) có bảng biến thiên như hình vẽ

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số y = f(x) - \frac{1}{12}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} - (2m - 1)x + m đồng biến trên (1;3).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = f(x) - \frac{1}{12}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} - (2m - 1)x + m

    \Rightarrow y' = f'(x) - \frac{1}{3}x^{3} + 2x^{2} - 3x - 2m + 1

    Để hàm số đồng biến trên (1;3)

    \Rightarrow y' = f'(x) - \frac{1}{3}x^{3} + 2x^{2} - 3x - 2m + 1 \geq 0;\forall x \in (1;3)\ \ (1).

    Đặt x = t + 2 \Rightarrow t \in ( - 1;1)\ \ (1) trở thànhf'(t + 2) - \frac{1}{3}(t + 2)^{3} + 2(t + 2)^{2} - 3(t + 2) - 2m + 1 \geq 0;\forall t \in ( - 1;1)

    \Leftrightarrow g(t) = f'(t + 2) - \frac{1}{3}t^{3} + t + \frac{1}{3} \geq 2m;\forall t \in ( - 1;1)

    \Leftrightarrow g'(t) = f''(t + 2) - t^{2} + 1

    Vẽ hai đồ thị y = f''(t) và y = t^{2} - 1 trên cùng hệ trục

    Từ đồ thị ta thấy g'(t) \geq 0;\forall t \in ( - 1;1) \Rightarrow g(t) là hàm số đồng biến \forall t \in ( - 1;1)

    \Rightarrow 2m \leq g(t);\forall t \in ( - 1;1)

    \Leftrightarrow 2m \leq \underset{\lbrack - 1;1\rbrack}{\min g(t)} = g( - 1) = f'(1) + 1 = 3 \Rightarrow m \leq \frac{3}{2}

    Kết hợp m \in \lbrack - 2019;2019\rbrack \Rightarrow m \in \left\{ - 2019;...,0,1 \right\} có 2021 số

  • Câu 21: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}và bảng biến thiên y = f’(x) được cho như sau:

    Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số g(x) = f(x) - \ln\left( x^{2} + 1 \right) - mx đồng biến trên \lbrack - 1;1\rbrack.

    Hướng dẫn:

    Ta có: g(x) = f(x) - \ln\left( x^{2} + 1 \right) - mx có TXĐ D\mathbb{= R}

    g'(x) = f'(x) - \frac{2x}{x^{2} + 1} - m

    Hàm số g(x) đồng biến trên \lbrack - 1;1\rbrack \Leftrightarrow g'(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack

    \Leftrightarrow f'(x) - \frac{2x}{x^{2} + 1} - m \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack

    \Leftrightarrow m \leq f'(x) - \frac{2x}{x^{2} + 1};\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack

    f'(x) \geq 5(BBT);\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack,\frac{2x}{x^{2} + 1} \leq 1;\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack

    \Leftrightarrow f'(x) - \frac{2x}{x^{2} + 1} \geq 4;\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack dấu “=” xảy ra khi “x = 1”

    Vậy (1) \Leftrightarrow m \leq 4.

  • Câu 22: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x). Biết f(0) = 0 và hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên

    Khi đó, hàm số y = xf(x) đồng biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có y = xf(x) \Rightarrow y' = f(x) + xf'(x)

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f'(x) ta có f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \end{matrix} \right.\ ;(a < - 3)

    Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x).

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta có f(x) > 0;\forall x \in ( - 2;0)

    Và f'(x) < 0;\forall x \in ( - 2;0) \Rightarrow xf'(x) > 0;\forall x \in ( - 2;0)

    Từ đó suy ra y' = f(x) + xf'(x) > 0;\forall x \in ( - 2;0). Do đó hàm số y = xf(x) đồng biến trên ( - 2;0).

    Trên khoảng ( - \infty;0) thì f(x) và xf'(x) có thể âm hoặc dương nên không thể kết luận hàm số đã cho đồng biến trên ( - \infty;0)

    Trên (0;2) thì f(x) < 0 và f'(x) < 0 \Rightarrow xf'(x) < 0 \Rightarrow f(x) + xf(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên (0;2)

  • Câu 23: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Bảng biến thiên của hàm số \mathbb{R} như hình vẽ.

    0

    Hàm số g(x) = f\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Xét g(x) = f\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + x. Ta có g'(x) = - \frac{1}{2}f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + 1

    Xét g'(x) \leq 0 \Leftrightarrow f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) \geq 2

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f'(x) ta có:

    +) TH1: f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) > 2 \Leftrightarrow 2 < 1 - \frac{x}{2} < 3 \Leftrightarrow - 4 < x < - 2. Do đó hàm số nghịch biến trên (-4; -2).

    +) TH2: f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) > 2 \Leftrightarrow - 1 < 1 - \frac{x}{2} < a \Leftrightarrow 2 < 2 - 2a < x < 4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng (2 - 2a;4) chứ không nghịch biến trên toàn khoảng (2;4)

    Vậy hàm số g(x) = f\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + x nghịch biến trên ( - 4; - 2).

  • Câu 24: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có f(0) = - \frac{1}{3}. Bảng biến thiên của hàm số f'(x)

    như hình vẽ

    C:\Users\Admin\Downloads\Screenshot (523).png

    Hàm số g(x) = \frac{f(x)}{e^{x}} nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Vì y = f(x) là hàm số bậc ba nên y = f'(x) là hàm số bậc hai.

    Gọi f'(x) = ax^{2} + bx + c suy ra f''(x) = 2ax + b. Ta có hệ sau:

    \left\{ \begin{matrix} f''(1) = 0 \\ f'(1) = 0 \\ f'(0) = - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + b = 0 \\ a + b + c = 0 \\ c = - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 2 \\ c = - 1 \end{matrix} \right..

    Vậy f'(x) = - x^{2} + 2x - 1

    Suy ra f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( - x^{2} + 2x - 1 \right)dx} = \frac{- 1}{3}x^{3} + x^{2} - x + m, do f(0) = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}.

    Vậy f(x) = - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - x - \frac{1}{3}.

    Ta có g'(x) = \frac{f'(x)e^{x} - e^{x}.f(x)}{e^{2x}} = \frac{f'(x) - f(x)}{e^{x}}.

    \begin{matrix} g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) - f(x) = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} + 3x - \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 2 - \sqrt{3} \\ x = 2 + \sqrt{3} \end{matrix} \right.\ \end{matrix}.

    Lập bảng xét dấu y = g'(x)C:\Users\Admin\Downloads\Screenshot (522).png

    Dựa vào bảng xét dấu g'(x) hàm số nghịch biến trên (4; + \infty).

  • Câu 25: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và bảng xét dấu của y = f'(x) như sau:

    geogebra

    Hỏi hàm số g(x) = f(x) - \ln\left( x^{2} + x + 1 \right) nghịch biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm g(x) là D\mathbb{= R}

    Ta có g'(x) = f'(x) - \frac{2x + 1}{x^{2} + x + 1}

    Đặt h(x) = \frac{2x + 1}{x^{2} + x + 1} \Rightarrow h'(x) = \frac{- 2x^{2} - 2x + 1}{\left( x^{2} + x + 1 \right)^{2}}

    Ta có h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ x = \frac{- \sqrt{3} - 1}{2} \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên của hàm số y = h(x) như sau:

    geogebra

    Ta có h( - 1) = - 1;h(0) = h(1) = 1;h\left( - \frac{1}{2} \right) = 0

    Từ bảng biến thiên có h(x) > 1,\forall x \in (0;1);f'(x) < 0;\forall x \in ( - \infty; - 1) \cup (0;1)

    Nên suy ra f'(x) - h(x) < 0;\forall x \in (0;1) \Leftrightarrow g'(x) < 0;\forall x \in (0;1)

    Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên(0;1).

    Từ bảng biến thiên có h(x) \in ( - 1;0);f'(x) > 0;\forall x \in \left( - 1;\frac{- 1}{2} \right).

    \Rightarrow f'(x) - h(x) > 0;\forall x \in \left( - 1;\frac{- 1}{2} \right)

    Do đó hàm số y = g(x) đồng biến trên \left( - 1;\frac{- 1}{2} \right).

    Lại có trong các miền ( - \infty;0),( - 1; + \infty),( - 1;0) đều chứa miền \left( - 1;\frac{- 1}{2} \right).

    Vậy đáp án cần tìm là: (0;1).

  • Câu 26: Vận dụng cao
    Tìm tất cả các giá giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(x + m) đồng biến trên khoảng (0;2).

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng ( - 1;1),(1;3) và liên tục tại x = 1 nên đồng biến trên ( - 1;3).

    Ta có g'(x) = f'(x + m) và x \in (0;2) \Leftrightarrow x + m \in (m;m + 2).

    g(x) đồng biến trên khoảng (0;2) \Leftrightarrow (m;m + 2) \subset ( - 1;3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq - 1 \\ 2 + m \leq 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 1.

    Vì m\mathbb{\in Z} nên m có 3 giá trị là m = - 1;m = 0;m = 1.

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và f( - 1) = 2. Biết y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số y = \ln\left( f(x) + \frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + m \right)đồng biến trên ( - 1;3).

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \ln\left( f(x) + \frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + m \right) xác định trên \mathbb{R}

    \Leftrightarrow g(x) = f(x) + \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 9x + m > 0;\forall x \in ( - 1;3)

    \Leftrightarrow g'(x) = f'(x) + x^{2} - 6x + 9 \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = - x^{2} + 6x + 9

    Vẽ hai đồ thị y = f'(x) \vee y = x^{2} + 6x - 9 trên cùng hệ trục

    Vậy g'(x) \geq 0;\forall x \in ( - 1;3) \Rightarrow g(x) > g( - 1) = - \frac{31}{3} + m \geq 0 \Rightarrow m \geq \frac{31}{3}

    y = \ln\left( f(x) + \frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + m \right)

    \Rightarrow y' = \frac{f'(x) + x^{2} - 6x + 9}{f(x) + \frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + m} \geq 0;\forall x \in ( - 1;3)

    Đề hàm số đồng biến trên ( - 1;3) thì m \in \left( \frac{31}{3};2019 \right) \Rightarrow m \in 11;...;2018 có 2008 số.

  • Câu 28: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ, đồ thị y = f'(x) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là- 3;1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \lbrack - 10;20\rbrack để hàm số y = \left( f\left( x^{2} + 3x - m \right) \right)^{3} đồng biến trên khoảng (0;2)

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = 3(2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right).\left\lbrack f\left( x^{2} + 3x - m \right) \right\rbrack^{2}.

    Theo đề bài ta có:

    f'(x) = (x - 1)(x + 3) suy ra f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \end{matrix} \right. và f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1.

    Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) khi y' \geq 0;\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow y' = 3(2x + 3).f'\left( x^{2} + 3x - m \right).\left( f\left( x^{2} + 3x - m \right) \right)^{2} \geq 0;\forall x \in (0;2).

    Do x \in (0;2) nên 2x + 3 > 0;\forall x \in (0;2) và \left\lbrack f\left( x^{2} + 3x - m \right) \right\rbrack^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do đó, ta có:

    y' \geq 0 \Leftrightarrow f\left(x^{2} + 3x - m \right) \geq 0\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x^{2} + 3x - m \leq - 3 \\x^{2} + 3x - m \geq 1\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m \geq x^{2} + 3x + 3 \\m \leq x^{2} + 3x - 1\end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq \underset{(0;2)}{\max\left( x^{2} + 3x + 3 \right)} \\ m \leq \underset{(0;2)}{\max\left( x^{2} + 3x - 1 \right)} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 13 \\ m \leq - 1 \end{matrix} \right..

    Do m \in \lbrack - 10;20\rbrack nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.

0/28
28 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (4%):
    2/3
  • Thông hiểu (96%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại