Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1 1

Bài trước

Bài sau

Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 15, 16, 17, 18, 21.

Giải Toán 9 trang 15

Hoạt động 1 trang 15 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Cho hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 1}\\{ - 2x + 3y = - 1}\end{array}} \right.$

Thực hiện giải hệ phương trình này theo hướng dẫn sau:

- Từ phương trình (1), hãy biểu diễn x theo y.

- Thế x được biểu diễn ở trên vào phương trình (2), để nhận được một phương trình ẩn y.

- Giải phương trình ẩn y đó, rồi suy ra nghiệm của hệ.

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình (1) suy ra x = 1 + 2y

Thế vào (2) ta được:

- 2(1 + 2y) + 3y = -1

- 2 – 4y + 3y = -1

y = - 1

suy ra x = 2 + 2.(-1) = 0

Vậy (0;-1) là nghiệm của hệ phương trình.

Giải Toán 9 trang 16

Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Giải các hệ phương trình:

$a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = - 2}\\{5x - 4y = 11}\end{array}} \right.$

$b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = - 5}\\{ - 2x + y = 11}\end{array}} \right.$

$c) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 2}\\{6x + 2y = 4}\end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải:

$a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = - 2}\\{5x - 4y = 11}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 - 2y}\\{5.( - 2 - 2y) - 4y = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 - 2y}\\{ - 10 - 10y - 4y = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 - 2y}\\{ - 14y = 21}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = \frac{{ - 3}}{2}}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {1;\frac{{ - 3}}{2}} \right)$

$b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = - 5}\\{ - 2x + y = 11}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2x + 5}\\{ - 2x + 2x + 5 = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2x + 5}\\{0x = 6}\end{array}} \right.\end{array}$

Phương trình 0x = 6 vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

$c) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 2}\\{6x + 2y = 4}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 3x}\\{6x + 2.(2 - 3x) = 4}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 3x}\\{6x + 4 - 6x = 4}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 3x}\\{0x = 0}\end{array}} \right.\end{array}$

Phương trình 0x = 0 nghiệm đúng với mọi x $\in \mathbb{R}$ .

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Các nghiệm của hệ được viết như sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \mathbb{R}}\\{y = 2 - 3x}\end{array}} \right..$

Giải Toán 9 trang 17

Hoạt động 2 trang 17 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Cho hai hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. (I) và \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.(II)$

a) Giải hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II) bằng phương pháp thế. Có nhận xét gì về nghiệm của hai hệ này?

b) Bằng cách cộng từng vế của hai phương trình của hệ (II), ta nhận được một phương trình mới. Thay phương trình thứ nhất của hệ (II) bằng phương trình mới đó. Có nhận xét gì về kết quả nhận được?

Hướng dẫn giải:

a) Giải hệ (I) ta được:

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\end{array}$

Giải hệ (II) ta được:

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - (5 - x) = 1}\\{y = 5 - x}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{y = 5 - x}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\end{array}$

suy ra hệ phương trình (I) và (II) đều có nghiệm là (2;3).

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ này ta được phương trình 3x = 6.

Thay phương trình thứ nhất của hệ này bằng phương trình mới ta được hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.$ . Giải hệ phương trình này, ta được:

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2 + y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra nghiệm của hệ phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right..$

Ta thấy nghiệm vừa tìm được cũng chính là nghiệm tìm được ở phần a bằng phương pháp thế.

Giải Toán 9 trang 18

Thực hành 2 trang 18 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Giải các hệ phương trình:

$a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 5y = - 14}\\{2x + 3y = 2}\end{array}} \right.$

$b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5y = 15}\\{6x - 4y = 11}\end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải:

$a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 5y = - 14}\\{2x + 3y = 2}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được – 8y = - 16. Suy ra y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 2x + 6 = 2. Do đó x = - 2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-2;2).

$b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5y = 15}\\{6x - 4y = 11}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{12x + 15y = 45}\\{12x - 8y = 22}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 23y = 23. Suy ra y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 6x – 4y = 11. Do đó x = $\frac{5}{2}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {\frac{5}{2};1} \right)$ .

Vận dụng 1 trang 18 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2;-2) và B(-1;3).

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số đi qua A(2;-2) ta có phương trình: 2a + b = - 2

Đồ thị hàm số đi qua B(-1;3) ta có phương trình: -a + b = 3

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = - 2}\\{ - a + b = 3}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 3a = -5. Suy ra a = $\frac{{ - 5}}{3}$ .

Thay a = $\frac{{ - 5}}{3}$ vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $\frac{5}{3}$ + b = 3. Do đó b = $\frac{4}{3}$ .

Vậy a = $\frac{{ - 5}}{3}$ và b = $\frac{4}{3}$ .

Giải Toán 9 trang 21

Bài 1 trang 21 Toán 9 Tập 1:

Giải các hệ phương trình

$a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 3}\\{2x - y = 7}\end{array}} \right.$

$b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 3}\\{3x - 4y = 2}\end{array}} \right.$

$c) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5y = - 2}\\{2x - y = - 8}\end{array}} \right.$

$d) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 3}\\{ - 3y = 5}\end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải:

$a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 3}\\{2x - y = 7}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 3}\\{y = 2x - 7}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2x - 7 = 3}\\{y = 2x - 7}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x = 10}\\{y = 2x - 7}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = - 3}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; - 3).

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 3}\\{3x - 4y = 2}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + y}\\{3.(3 + y) - 4y = 2}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + y}\\{y = 7}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{y = 7}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (10; 7).

c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5y = - 2}\\{2x - y = - 8}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5.(2x + 8) = - 2}\\{y = 2x + 8}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{14x = - 42}\\{y = 2x + 8}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-3; 2).

d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 3}\\{ - 3y = 5}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{{ - 5}}{3} = 3}\\{y = \frac{{ - 5}}{3}}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = \frac{{14}}{3}}\\{y = \frac{{ - 5}}{3}}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{14}}{9}}\\{y = \frac{{ - 5}}{3}}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {\frac{{14}}{9};\frac{{ - 5}}{3}} \right)$ .

Bài 4 trang 21 Toán 9 Tập 1:

Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. So với tháng thứ nhất, trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất vượt 15%, tổ hai vượt 20% nên trong tháng này, cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Hướng dẫn giải:

Gọi x và y lần lượt là số chi tiết máy mà tổ một và tổ hai sản xuất được trong tháng thứ nhất ( $x \in \mathbb{N}*;y \in \mathbb{N}*$ ).

Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy, nên ta có phương trình:

x + y = 800 (1)

Trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất vượt 15%, tổ hai vượt 20% nên trong tháng này, cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy, ta có phương trình

(x + 0,15x) + (y + 0,2y) = 945 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 800}\\{1,15x + 1,2y = 945}\end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 300}\\{y = 500}\end{array}} \right.$

Vậy trong tháng 1, tổ một sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ hai sản xuất được 500 chi tiết máy.

Bài 5 trang 21 Toán 9 Tập 1:

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo khoác xuất khẩu. Nếu tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo. Biết rằng mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo. Hỏi trong một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu chiếc áo?(Năng suất may áo của mỗi tổ trong các ngày là như nhau.)

Hướng dẫn giải:

Gọi x và y lần lượt là số áo mà tổ thứ nhất và tổ thứ hai may được trong một ngày

( $x \in \mathbb{N}*;y \in \mathbb{N}*$ ).

Nếu tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo, nên ta có phương trình: 5x + 7y = 1540 (1)

Mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo, ta có phương trình: y – x = 20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + 5y = 1540}\\{y - x = 20}\end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 120}\\{y = 140}\end{array}} \right.$

Vậy trong một ngày tổ thứ nhất may được 120 chiếc áo, tổ thứ hai may được 140 chiếc áo.

Bài 6 trang 21 Toán 9 Tập 1:

Trên một cánh đồng, người ta cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng bao nhiêu? Biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn.

Hướng dẫn giải:

Gọi x và y lần lượt là năng suất lúa giống mới và giống cũ trên 1 ha

( $x \in \mathbb{N}*;y \in \mathbb{N}*$ ).

Người ta cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc, nên ta có phương trình: 60x + 40y = 660 (1)

Biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn, ta có phương trình: 4y – 3x = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{60x + 40y = 660}\\{4y - 3x = 3}\end{array}} \right.$