Đề thi chọn học sinh giỏi thi Quốc gia lớp 12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2012 - 2013 (Vòng 2)

Nhằm giúp các bạn chuẩn bị thật tốt kiến thức để làm bài thi đạt hiệu quả cao, Vndoc.com xin giới thiệu: Đề thi chọn học sinh giỏi thi Quốc gia lớp 12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2012 - 2013 (Vòng 2).

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán:

Câu 1.

Chứng minh rằng với mọi m thuộc R, phương trình sau luôn có nghiệm thực: m³sin⁴x – 2m³sin²x + sinx + m³ – m = 0.

Câu 2.

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 3.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Câu 4.

Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng (theo thứ tự đó). Gọi d và lần lượt là các đường thẳng vuông góc với đường thẳng AC tại A và C; M là một điểm di động trên Δ. Từ M kẻ các tiếp tuyến MD, ME đến đường tròn đường kính AB với D, E là các tiếp điểm. Các tiếp tuyến đó cắt d tương ứng tại các điểm P, Q. Gọi R và S lần lượt là giao điểm của d với các đường thẳng BD và BE.

a. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BRS luôn đi qua hai điểm cố định.

b. Xác định vị trí của điểm M trên Δ để tam giác MPQ có chu vi nhỏ nhất.

Câu 5.

Cho đa thức f(x) với hệ số thực, có bậc không nhỏ hơn 1 và đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau:

a. Phương trình f(x) = 0 không có nghiệm bội.

b.

Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm thực.