Giải Toán 9: Ôn tập Chương 4

Giải SGK Toán 9 trang 58, 59, 60

1 260

Ôn tập chương 4 Đại số 9

Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 55 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 56 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 58 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 60 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 61 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 63 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 64 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 65 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 66 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Giải Toán 9 Ôn tập Chương 4 hướng dẫn các bạn học sinh trả lời các câu hỏi trong sách giáo khoa Toán lớp 9 trang 63, 64. Thông qua tài liệu này, các bạn học sinh có thể so sánh, đối chiếu với kết quả bài làm của mình, từ đó nâng cao kỹ năng giải Toán 9. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2

Vẽ đồ thị của hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ và $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ trên cùng một hệ trục tọa độ

a) Qua điểm (B(0; 4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.

b) Tìm trên đồ thị của hàm số $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:

- Ước lượng trên hình vẽ:

- Tính toán theo công thức.

Hướng dẫn giải:

Vẽ đồ thị hàm số:

* Hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ và $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$

- Tập xác định D = R

- Bảng giá trị

x	-4	-2	2	4
$\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$	4	1	1	4
$\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$	-4	-1	-1	-4

- Vẽ đồ thị:

- Đồ thị hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ và $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ là các Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ nằm trên trục hoành, đồ thị hàm số $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ nằm dưới trục hoành.

a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox có dạng: y = 4.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 4 và đồ thị hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ là:

$\dfrac{1}{4}{x^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4$

Từ đó ta có hoành độ của M là x = 4, của M' là x = - 4.

b) Trên đồ thị hàm số $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ ta xác định được điểm N và N’ có cùng hoành độ với M, M’. Ta được đường thẳng NN'//Ox

Tìm tung độ của N, N’

- Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y = - 4; của N’ là y = -4

- Tính toán theo công thức:

Điểm N(4;y). Thay x = 4 vào $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ nên $\displaystyle y = - {1 \over 4}{.4^2} = - 4$

Điểm N’(-4;y). Thay x = - 4 vào $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ nên $\displaystyle y = - {1 \over 4}.{( - 4)^2} = - 4$

Vậy tung độ của N, N’ cùng bằng -4.

Bài 55 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2

Cho phương trình: x² - x - 2 = 0.

a) Giải phương trình.

b) Vẽ hai đồ thị y = x² và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.

c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Hướng dẫn giải:

a) x² – x – 2 = 0

Có a = 1; b = -1; c = -2 ⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2}

b) + Đường thẳng y = x + 2 cắt trục Ox tại (-2; 0) và cắt Oy tại (0; 2).

+ Parabol y = x² đi qua các điểm (-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4).

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x² = x + 2 ↔ x² - x- 2 = 0

Phương trình (*) chính là phương trình đã giải ở ý (a) Do đó hai nghiệm ở câu (a) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 56 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2

Giải các phương trình:

a) 3x⁴ – 12x² + 9 = 0;

b) 2x⁴ + 3x² – 2 = 0;

c) x⁴ + 5x² + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Cả ba phương trình trên đều là phương trình trùng phương.

a) 3x⁴ – 12x² + 9 = 0 (1)

Đặt x² = t, t ≥ 0.

(1) trở thành: 3t² – 12t + 9 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 3; b = -12; c = 9

⇒ a + b + c = 0

⇒ (2) có hai nghiệm t₁ = 1 và t₂ = 3.

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

+ t = 3 ⇒ x² = 3 ⇒ x = ±√3.

+ t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1.

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt

b) 2x⁴ + 3x² – 2 = 0 (1)

Đặt $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$

Ta có phương trình :

$\eqalign{ & 2{t^2} + 3t - 2 = 0 \cr & \Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5 \cr & \Rightarrow {t_1} = {{ - 3 + 5} \over 4} = {1 \over 2}(TM);{t_2} = - 2 \cr}$

Với $\displaystyle t = {1 \over 2} \Rightarrow {x^2} = {1 \over 2}$

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

c) x⁴ + 5x² + 1 = 0 (1)

Đặt x² = t, t > 0.

(1) trở thành: t² + 5t + 1 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 1; b = 5; c = 1

⇒ Δ = 5² – 4.1.1 = 21 > 0

Cả hai nghiệm đều < 0 nên không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2

Giải các phương trình:

$a) 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11$

$b) \displaystyle {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}$

$c) \displaystyle {x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}$

$d) \displaystyle {{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}$

$e) 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)$

$f) {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)$

Hướng dẫn giải:

$a) 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11$

$\eqalign{ & 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr & \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}$

⇒ Phương trình có hai nghiệm: x₁ = -1 và x₂ = -c/a = 2.

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1; 2}.

$b) \displaystyle {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}$

$\eqalign{ & {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr & \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr & \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6}$

$c) \displaystyle {x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}$

Điều kiện: $x \ne \left\{ {0;2} \right\}$

Ta có $\dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{10 - 2x}}{{{x^2} - 2x}}$

⇔ x² = 10 – 2x

⇔ x² + 2x – 10 = 0

Có a = 1; b = 2; c = -10 ⇒ Δ’ = 1² – 1.(-10) = 11 > 0

Phương trình trên có $\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 10} \right) = 11 > 0$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt {11} \\x = - 1 - \sqrt {11} \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = - 1 + \sqrt {11} ;x = - 1 - \sqrt {11} \ .$

$d) \displaystyle {{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}$

$\displaystyle {{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}$ ĐKXĐ $x \ne \pm {1 \over 3}$

⇔ (x + 0,5).(3x – 1) = 7x + 2

⇔ 3x² + 1,5x – x – 0,5 = 7x + 2

⇔ 3x² – 6,5x – 2,5 = 0.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất: $\displaystyle {x} = {5 \over 2}$

$e) 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)$

$\begin{array}{l} 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1 - \sqrt 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Delta = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} - 8\sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\\ \Delta = 3 - 2\sqrt 3 + 1 - 8\sqrt 3 + 24\\ = 28 - 10\sqrt 3 \\ = {5^2} - 2.5.\sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\\ = {\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 - 5 + \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\ {x_2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + 5 - \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

$f) {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)$

$\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr & \sqrt \Delta = 1 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 58 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2

Giải các phương trình:

a) 1,2x³ – x² – 0,2x = 0;

b) 5x³ – x² – 5x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

a) 1,2x³ – x² – 0,2x = 0;

$\Leftrightarrow x\left( {1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2 = 0(*) \hfill \cr} \right.$

Giải (*): $1,2x^2 – x – 0,2 = 0$

Ta có: a + b + c = 1,2 + (-1) + (-0,2) = 0

Vậy (*) có 2 nghiệm: $\displaystyle {x_1}= 1; \displaystyle {x_2} = {{ - 0,2} \over {1,2}} = - {1 \over 6}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = - {1 \over 6}$

$b) 5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0$

⇔ x²(5x – 1) – (5x – 1) = 0

⇔ (x² – 1)(5x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x + 1)(5x – 1) = 0

$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \matrix{5{\rm{x}} - 1 = 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \dfrac{1}{5} \hfill \cr x = \pm 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $\displaystyle {x_1} = {1 \over 5};{x_2} = - 1;{x_3} = 1$

Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2

Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

$a) 2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0$

$b) {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0$

Hướng dẫn giải:

$a) 2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0$

Đặt ${x^2} - 2x = t$ , ta thu được phương trình $2{t^2} + 3t + 1 = 0$

Phương trình trên có a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0 nên có hai nghiệm $t = - 1;t = - \dfrac{1}{2}.$

+ Với $t = - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x = - 1\\$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

+ Với $t = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} - 2x = - \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x - 1 = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x = 1;x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}$

$b) {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0$

ĐK: $x \ne 0.$

Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t$ , ta thu được phương trình {t^2} - 4t + 3 = 0

Phương trình trên có $a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0$ nên có hai nghiệm t = 1;t = 3.

+ Với $t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 = 0 .$

Xét $\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = - 3 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

+ Với $t = 3 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3$

$\Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\,$ (*)

Phương trình (*) có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 5 > 0$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$

Bài 60 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:

$a) \displaystyle 12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}$

$b) 2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3$

$c) {x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2$

d) x² - 2mx + m - 1 = 0

Hướng dẫn giải:

$a) \displaystyle 12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}$

$\displaystyle 12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}$

Ta có: $\displaystyle {x_1}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {1 \over 2}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {x_2} = {1 \over 6}$

$b) 2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3$

$2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3$

Ta có: $\displaystyle {x_1}.{x_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow - 3{{\rm{x}}_2} = {{ - 39} \over 2}$

$\Leftrightarrow \displaystyle {x_2} = {{13} \over 2}$

$c) {x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2$

${x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2$

Ta có:

$\eqalign{ & {x_1}.{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 2 .{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow {x_2} = {{\sqrt 2 - 2} \over { - \sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \over { - \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1 \cr}$

d) x² - 2mx + m - 1 = 0 (1)

Vì x₁ = 2 là một nghiệm của pt (1) nên:

2² - 2m.2 + m - 1 = 0

⇔ 4- 4 m+ m – 1 = 0

⇔ 3- 3m = 0

⇔ m = 1

Khi m = 1 ta có: x₁.x₂ = m - 1 (hệ thức Vi-ét)

⇔ 2.x₂ = 0 (vì x₁ = 2 và m = 1)

⇔ x₂ = 0

Bài 61 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 12, uv = 28 và u > v

b) u + v = 3, uv = 6

Hướng dẫn giải:

a) S = 12, P = 28 ⇒ S² – 4P = 32 > 0

⇒ u, v là hai nghiệm của phương trình: x² – 12x + 28 = 0.

Có a = 1; b = -12; c = 28 ⇒ Δ’ = (-6)² – 28 = 8 > 0

Phương trình có hai nghiệm x₁ = 6 + 2√2; x₂ = 6 - 2√2

Vì u > v nên u = 6 + 2√2 và v = 6 - 2√2

b) S = 3; P = 6 ⇒ S² – 4P = -15 < 0

Vậy không tồn tại u, v thỏa mãn yêu cầu.

Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Cho phương trình 7x² + 2(m – 1)x - m² = 0.

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: a = 7, b= 2(m-1), c = - m²

Suy ra: Δ' = (m - 1)² + 7m²

Do (m-1)² ≥ 0 mọi m và m² ≥ 0 mọi m

=> ∆’≥ 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁; x₂.

Theo hệ thức Viet ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{2(m-1)}{7}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{- m^2}{7} \end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l} x_1^2 + x_2^2=x_1^2 + x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2 \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\ = {\left[ {\dfrac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{7}} \right]^2} - 2.\dfrac{{ - {m^2}}}{7}\\ = \dfrac{{4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)}}{{49}} + \dfrac{{2{m^2}}}{7}\\ = \dfrac{{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}}}{{49}}\\ = \dfrac{{18{m^2} - 8m + 4}}{{49}} \end{array}$

Vậy $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}} .$

Bài 63 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

Hướng dẫn giải:

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x (x > 0).

Dân số thành phố sau 1 năm là:

2 + 2.x = 2.(1 + x) (triệu người)

Dân số thành phố sau 2 năm là:

2.(1 + x) + 2.(1 + x).x = 2.(1 + x)² (triệu người).

Theo bài ra ta có phương trình:

2.(1 + x)² = 2,020050

⇔ (1 + x)² = 1,010025

⇔ x + 1 = 1,005

⇔ x = 0,005 = 0,5%.

Vậy tỉ số tăng dân số trung bình một năm của thành phố là 0,5%.

Bài 64 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Gọi số mà đề bài đã cho là x, x nguyên dương, x > 2.

Bạn Quân đã chọn số x – 2 để nhân với x.

Theo đề bài, ta có: x(x – 2) = 120 hay $x^2 – 2x – 120 = 0$

Phương trình trên có $\Delta'=(-1)^2-1.(-120)=121>0$

Suy ra $x = 1+\sqrt {121}=12$ (thỏa mãn) hoặc $x=1-\sqrt {121}=-10$ (loại)

Nên số đầu bài cho là 12

Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của x với x +2

Vậy kết quả đúng phải là 168.

Bài 65 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường.Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc của xe lửa thứ nhất là: x (km/h) (x > 0)

⇒ vận tốc xe lửa thứ hai là: x + 5 (km/h)

Do hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường, với quãng đường từ Hà Nội đến Bình Sơn dài 900 km nên quãng đường mỗi xe đi được kể từ khi bắt đầu đến khi hai xe gặp nhau là 900: 2= 450 ( km)

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất. Điều kiện x > 0.

Khi đó vận tốc của xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h).

Đến khi gặp nhau tại chính giữa quang đường thì mỗi xe đều đi được 900:2=450 km.

Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: $\displaystyle {{450} \over x}$ (giờ)

Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: $\displaystyle {{450} \over {x + 5}}$ (giờ)

Vì xe lửa thứ hai đi sau 1 giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất 1 giờ. Ta có phương trình:

$\dfrac{{450}}{x} - \dfrac{{450}}{{x + 5}} = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 450\left( {x + 5} \right) - 450x = x\left( {x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 450x + 2250 - 450x = {x^2} + 5x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2250 = 0\\ \Delta = {5^2} - 4.\left( { - 2250} \right) = 9025 > 0,\sqrt \Delta = 95 \end{array}$

Từ đó ta có: ${x_1} = 45$ (nhận); ${x_2} = -50$ (loại)

Vậy:

Vận tốc của xe lửa thứ nhất là 45 km/h.

Vận tốc của xe lửa thứ hai là 50 km/h.

Bài 66 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm².

Hướng dẫn giải:

Gọi x (cm) là độ dài của đoạn AK. Điều kiện 0 < x < 12

Vì ∆ABC đồng dạng ∆AMN nên

$\eqalign{ & {{MN} \over {BC}} = {{AM} \over {AB}} = {{AK} \over {AH}} = {x \over {12}} \cr & \Rightarrow MN = {{16x} \over {12}} = {{4{\rm{x}}} \over 3} \cr}$

Ta có: MQ = KH = 12 – x

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

S_MNPQ = MN. NP = MN.KH = MN.( AH – AK)

=> S_MNPQ = 16k.( 12- 12k)

Theo đề bài diện tích hình chữ nhật đó là 36cm² nên

16k.( 12- 12k ) = 36

⇔ 16k.12( 1- k) = 36

⇔ 16k(1 – k) = 3 ( chia cả hai vế cho 12)

⇔ 16k – 16k² = 3

⇔ 16k²- 16k + 3= 0

Ta có: ∆’= (-8)² – 16.3 = 16> 0

Phương trình trên có 2 nghiệm là:

$k_{1}\frac{8+4}{16}=\frac{3}{4} ; k_{2}=\frac{8-4}{16}=\frac{1}{4}$

Vậy để diện tích hình chữ nhật MNPQ là 36cm² thì vị trí điểm M phải thỏa mãn:

$\frac{A M}{A B}=\frac{1}{4} \text { hoặc } \frac{A M}{A B}=\frac{3}{4}$

..................................................

Như vậy VnDoc đã giới thiệu các bạn tài liệu Giải SGK Toán lớp 9 Ôn tập Chương 4. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán 9 từ đó học tốt Toán 9 hơn. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt.

Bài tiếp theo: Giải Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung