Giải Toán 9: Ôn tập Chương 4

\(a) 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\)

\(\eqalign{ & 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr & \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}\)

⇒ Phương trình có hai nghiệm: x₁ = -1 và x₂ = -c/a = 2.

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1; 2}.

\(b) \displaystyle {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\)

\(\eqalign{ & {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr & \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr & \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6}\)

\(c) \displaystyle {x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)

Điều kiện: \(x \ne \left\{ {0;2} \right\}\)

Ta có \(\dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{10 - 2x}}{{{x^2} - 2x}}\)

⇔ x² = 10 – 2x

⇔ x² + 2x – 10 = 0

Có a = 1; b = 2; c = -10 ⇒ Δ’ = 1² – 1.(-10) = 11 > 0

Phương trình trên có \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 10} \right) = 11 > 0\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt {11} \\x = - 1 - \sqrt {11} \end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = - 1 + \sqrt {11} ;x = - 1 - \sqrt {11} \ .\)

\(d) \displaystyle {{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\)

\(\displaystyle {{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\) ĐKXĐ \(x \ne \pm {1 \over 3}\)

⇔ (x + 0,5).(3x – 1) = 7x + 2

⇔ 3x² + 1,5x – x – 0,5 = 7x + 2

⇔ 3x² – 6,5x – 2,5 = 0.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất:\(\displaystyle {x} = {5 \over 2}\)

\(e) 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1 - \sqrt 3 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Delta = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} - 8\sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\\ \Delta = 3 - 2\sqrt 3 + 1 - 8\sqrt 3 + 24\\ = 28 - 10\sqrt 3 \\ = {5^2} - 2.5.\sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\\ = {\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^2} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 - 5 + \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\ {x_2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + 5 - \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

\(f) {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)

\(\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr & \sqrt \Delta = 1 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

a) 1,2x³ – x² – 0,2x = 0;

\(\Leftrightarrow x\left( {1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2 = 0(*) \hfill \cr} \right.\)

Giải (*): \(1,2x^2 – x – 0,2 = 0\)

Ta có: a + b + c = 1,2 + (-1) + (-0,2) = 0

Vậy (*) có 2 nghiệm: \(\displaystyle {x_1}= 1; \displaystyle {x_2} = {{ - 0,2} \over {1,2}} = - {1 \over 6}\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = - {1 \over 6}\)

\(b) 5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\)

⇔ x²(5x – 1) – (5x – 1) = 0

⇔ (x² – 1)(5x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x + 1)(5x – 1) = 0

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \matrix{5{\rm{x}} - 1 = 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \dfrac{1}{5} \hfill \cr x = \pm 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = {1 \over 5};{x_2} = - 1;{x_3} = 1\)

\(a) 2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)

Đặt \({x^2} - 2x = t\), ta thu được phương trình \(2{t^2} + 3t + 1 = 0\)

Phương trình trên có a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0 nên có hai nghiệm \(t = - 1;t = - \dfrac{1}{2}.\)

+ Với \(t = - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x = - 1\\\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

+ Với \(t = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} - 2x = - \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x - 1 = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \(x = 1;x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\)

\(b) {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)

ĐK: \(x \ne 0.\)

Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = t\), ta thu được phương trình {t^2} - 4t + 3 = 0

Phương trình trên có \(a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0\) nên có hai nghiệm t = 1;t = 3.

+ Với \(t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 = 0 .\)

Xét \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = - 3 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

+ Với \(t = 3 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3\)

\(\Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\,\) (*)

Phương trình (*) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 5 > 0\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

\(a) \displaystyle 12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\)

\(\displaystyle 12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\)

Ta có: \(\displaystyle {x_1}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {1 \over 2}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {x_2} = {1 \over 6}\)

\(b) 2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\)

\(2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\)

Ta có: \(\displaystyle {x_1}.{x_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow - 3{{\rm{x}}_2} = {{ - 39} \over 2}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle {x_2} = {{13} \over 2}\)

\(c) {x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2\)

\({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2\)

Ta có:

\(\eqalign{ & {x_1}.{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 2 .{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow {x_2} = {{\sqrt 2 - 2} \over { - \sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \over { - \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1 \cr}\)

d) x² - 2mx + m - 1 = 0 (1)

Vì x₁ = 2 là một nghiệm của pt (1) nên:

2² - 2m.2 + m - 1 = 0

⇔ 4- 4 m+ m – 1 = 0

⇔ 3- 3m = 0

⇔ m = 1

Khi m = 1 ta có: x₁.x₂ = m - 1 (hệ thức Vi-ét)

⇔ 2.x₂ = 0 (vì x₁ = 2 và m = 1)

⇔ x₂ = 0