Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Trong chương trình Toán 9, Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương là nội dung quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về căn bậc hai và các quy tắc biến đổi biểu thức chứa căn. Việc nắm vững mối liên hệ này không chỉ giúp đơn giản hóa các biểu thức toán học mà còn là cơ sở để giải nhanh các bài tập phương trình, bất phương trình và nhiều dạng toán nâng cao khác. Bài viết dưới đây cung cấp lý thuyết chi tiết kết hợp với hệ thống bài tập minh họa, hỗ trợ học sinh học tốt và chuẩn bị hiệu quả cho các kỳ kiểm tra Toán 9.
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A. Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
I. Định lý
+ Với hai số a và b không âm, ta có: 
\(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b\)
➝ Chứng minh:
Có \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\) nên \(\sqrt a\) và \(\sqrt b\) xác định và không âm
Lại có \({\left( {\sqrt a .\sqrt b } \right)^2} = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.{\left( {\sqrt b } \right)^2} = a.b\)
Vậy \(\sqrt a .\sqrt b\) là căn bậc hai số học của \(a.b\), tức là \(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b\)
* Chú ý: Định lí có thể mở rộng với tích của nhiều số không âm:
Với ba số không âm a, b và c; ta có: \(\sqrt {abc} = \sqrt a .\sqrt b .\sqrt c\)
Với n số không âm \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) ta có: \(\sqrt {{x_1}{x_2}....{x_n}} = \sqrt {{x_1}} .\sqrt {{x_2}} ....\sqrt {{x_n}}\)
+ Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm, ta có:
\(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B\)
II. Áp dụng quy tắc khai phương và nhân các căn bậc hai
1. Quy tắc khai phương một tích
+ Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
+ Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương của một tích, tính:
| a, \(\sqrt {81.2,25.6400}\) |
b, \(\sqrt {0,04.90.160}\) |
➝ Lời giải:
a, \(\sqrt {81.2,25.6400} = \sqrt {81} .\sqrt {2,25} .\sqrt {6400} = 9.1,5.80 = 1080\)
b, \(\sqrt {0,04.90.160} = \sqrt {0,04.900.16} = \sqrt {0,04} .\sqrt {900} .\sqrt {16} = 0,2.30.4 = 24\)
2. Quy tắc nhân các căn bậc hai
+ Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
+ Ví dụ 2: Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, tính:
| a, \(\sqrt 5 .\sqrt {125}\) |
b, \(\sqrt {0,03} .\sqrt 3\) |
➝ Lời giải:
a, \(\sqrt 5 .\sqrt {125} = \sqrt {5.125} = \sqrt {625} = 25\)
b, \(\sqrt {0,03} .\sqrt 3 = \sqrt {0,03.3} = \sqrt {0,09} = 0,3\)
3. Mở rộng
+ Với biểu thức A không âm, ta có: \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = \sqrt {{A^2}} = A\)
+ Với biểu thức B không âm, ta có:
\(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}
A\sqrt B = A.\sqrt B \,\,\,\left( {A \ge 0} \right)\\
- A\sqrt B = - A.\sqrt B \,\,\,\left( {A < 0} \right)
\end{array} \right.\)
III. Bài tập tắc nghiệm và bài tập tự luận tự rèn luyện
1. Bài tập tự luận
Bài tập 1. Tính giá trị của biểu thức: \(A
= \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}\)
Bài tập 2. Rút gọn biểu thức sau:
a) \(A = \sqrt{72} - \sqrt{4}.\frac{1}{2} +
\sqrt{32} + \sqrt{162}\)
b) \(B = \left( 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}
\right).\sqrt{5} + \sqrt{60}\).
Bài tập 3. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) \(ab + b\sqrt{a} + \sqrt{a} + 1\) (với \(a \geq 0\))
b) \(4a + 1\) (với \(a < 0\))
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Biểu thức \(\sqrt{2 - 3x}\) xác định với các giá trị
A. \(x \geq \frac{2}{3}\) B. \(x \geq - \frac{2}{3}\) C. \(x \leq \frac{2}{3}\) D. \(x \leq - \frac{2}{3}\)
Câu 2. Rút gọn biểu thức \(\sqrt{3,6}.\sqrt{10}\)+ 4 bằng:
A. \(4\sqrt{36}\) B.\(\sqrt{40}\) C. 10 D. 40
Câu 3. Giá trị của biểu thức \(\sqrt{( -
11)^{2}}\) bằng:
A. -11 B. 121 C. -121 D. 11
Câu 4: Kết quả của phép tính \(\sqrt{81} -
\sqrt{80}.\sqrt{0,2}\) bằng:
A. \(3 - \sqrt{2}\) B. \(3\sqrt{2}\) C. \(5\) D. \(\sqrt{2}\)
Câu 5: Rút gọn biểu thức \(\sqrt{16b} +
2\sqrt{40b} - 3\sqrt{90b}\) với \(b
\geq 0\) là:
A. \(3\sqrt{b}\) B. \(2\sqrt{b} - 5\sqrt{b}\) C. \(4\sqrt{b} + 5\sqrt{10b}\) D. \(4\sqrt{b} - 5\sqrt{10b}\)
Câu 6: Biểu thức \(\sqrt{(3 - 2x)^{2}} =
?\)
A. \(3 -2x\) hoặc \(2x - 3\) B. \(2x
- 3\) C. \(3-2x\) D. \(3-2x\) và \(3 +
2x\)
Câu 7: \(\sqrt{\left( 3 - \sqrt{10}
\right)^{2}}\) bằng:
A. \(\sqrt{10} + 3\) B. \(3 -\sqrt{10}\) C. \(\sqrt{10} - 3\) D. \(10 - \sqrt{3}\)
Câu 8: Tính \(\sqrt{121.100}\) ta được
A. \(12100\) B. \(1210\) C. \(110\) D. \(101\)
Câu 9: Rút gọn biểu thức \(3\sqrt{a^{2}b} +
a\sqrt{b}\), với \(a <
0\)và \(b \geq 0\) ta được:
A. \(- 2a\sqrt{b}\) B. \(- 4a\sqrt{b}\) C.\(4a\sqrt{b}\) D. \(4\sqrt{a^{2}b}\)
Câu 10: Rút gọn biểu thức N = \(2\sqrt{3} -
4\sqrt{27} + \sqrt{75}\) bằng:
A. -5\(\sqrt{3}\) B. 4\(\sqrt{3}\) C. 5\(\sqrt{3}\) D. Đáp án khác
Đáp án bài tập tự luận
Bài tập 1
Ta có:
\(A = \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 +
4\sqrt{3}}\)
\(A = \sqrt{1 - 2.1.2\sqrt{3} + 12} +
\sqrt{1 + 2.1.2\sqrt{3} + 12}\)
\(A = \sqrt{\left( 1 - 2\sqrt{3}
\right)^{2}} + \sqrt{\left( 1 + 2\sqrt{3} \right)^{2}}\)
\(A = 2\sqrt{3} - 1 + 1 + 2\sqrt{3} =
4\sqrt{3}\)
Kết luận: Giá trị của biểu thức A bằng \(4\sqrt{3}\).
Bài tập 2
a) Ta có:
\(A = \sqrt{72} - \sqrt{4}.\frac{1}{2} +
\sqrt{32} + \sqrt{162}\)
\(A = \sqrt{36.2} - 2.\frac{1}{2} +
\sqrt{16.2} + \sqrt{81.2}\)
\(A = 6\sqrt{2} - 1 + 4\sqrt{2} +
9\sqrt{2}\)
\(A = 19\sqrt{2} - 1\)
b) Ta có:
\(B = (3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}).\sqrt{5} +
\sqrt{60}\)
\(B = 15 - 2\sqrt{15} +
2\sqrt{15}\)
B = 15
Bài tập 3
a) Với \(a \geq 0\) ta có: \(ab + b\sqrt{a} + \sqrt{a} + 1 = b\sqrt{a}(\sqrt{a}
+ 1) + (\sqrt{a} + 1)\)
\(= (\sqrt{a} + 1)(b\sqrt{a} +
1)\)
b) Với \(a < 0\) \(\Rightarrow - a > 0\)
Ta có: \(4a = - 4.( - a) = - (2\sqrt{-
a})^{2} \Rightarrow 1 + 4a = 1^{2} - (2\sqrt{- a})^{2}\)
\(= (1 - 2\sqrt{- a})(1 + 2\sqrt{-
a})\)
Đáp án bài tập trắc nghiệm
|
1 - C |
2 - C |
3 - D |
4 - C |
5 – D |
|
6 - A |
7 - C |
8 - C |
9 - A |
10 - A |
B. Giải Toán 9
Trong Sách giáo khoa Toán lớp 9, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 9. Mời các bạn học sinh tham khảo:
C. Giải Bài tập Toán 9
Sách bài tập Toán 9 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
D. Bài tập Toán 9
Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Căn bậc hai này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Bài tập về Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương cũng như Bài tập nâng cao do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
--------------------------------------------
Tóm lại, bài “Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương” không chỉ trang bị kiến thức cơ bản về căn bậc hai mà còn rèn luyện kỹ năng biến đổi, tư duy logic và phương pháp giải bài tập hiệu quả. Thông qua hệ thống lý thuyết và bài tập môn Toán 9 đi kèm lời giải chi tiết, học sinh sẽ dễ dàng áp dụng quy tắc vào thực hành, từ đó nâng cao khả năng xử lý nhanh gọn các dạng toán trong đề kiểm tra và đề thi vào lớp 10. Để đạt kết quả tốt nhất, học sinh nên kết hợp việc học lý thuyết, luyện tập thường xuyên và tham khảo thêm các chuyên đề mở rộng để củng cố chắc chắn nền tảng kiến thức.
