Giải Toán 9 bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\)

Rút x từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới , ta được:

\(\left\{ \matrix{ x - y = 3 \hfill \cr 3x - 4y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + y \hfill \cr 3\left( {3 + y} \right) - 4y = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + y \hfill \cr 9 + 3y - 4y = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + y \hfill \cr - y = 2 - 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + y \hfill \cr y = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + 7 \hfill \cr y = 7 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 10 \hfill \cr y = 7 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y)=(10; 7).

b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\)

Rút y từ phương trình dưới rồi thế vào phương trình trên, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x - 3.\left( {2 - 4x} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x - 6 + 12x = 5\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x + 12x = 5 + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\19x = 11\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\x = \dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = 2 - 4.\dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = - \dfrac{6}{{19}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \({\left(\dfrac{11}{19}; \dfrac{-6}{19} \right)}\)

c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)

Rút x từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới, ta có:

\(\left\{ \matrix{ x + 3y = - 2 \hfill \cr 5x - 4y = 11 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr 5\left( { - 2 - 3y} \right) - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 10 - 15y - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 15y - 4y = 11 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 19y = 21 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr y = - \dfrac{ 21}{ 19} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3. \dfrac{ - 21}{19} \hfill \cr y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{25}{19} \hfill \cr y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \({\left(\dfrac{25}{19}; \dfrac{-21}{19} \right)}\)

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ 3x - 2y = 11 \hfill \cr 4x - 5y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2y = 3x - 11 \hfill \cr 4x - 5y = 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = \dfrac{3x - 11}{2}\ (1) \hfill \cr 4x - 5.\dfrac{3x - 11}{ 2} = 3 \ (2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (2):

\(4x - 5.\dfrac{3x - 11}{ 2} = 3 \Leftrightarrow 4x - \dfrac{15x - 55}{ 2} = 3\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{4x.2}{2} - \dfrac{15x - 55}{ 2} = \dfrac{3.2}{2} \Leftrightarrow \dfrac{8x}{2} - \dfrac{15x - 55}{2} = \dfrac{6}{2}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{8x - 15x + 55}{2} = \dfrac{6}{2} \Leftrightarrow 8x - 15x + 55 = 6 \Leftrightarrow - 7x = 6 - 55\)

\(\Leftrightarrow - 7x = - 49 \Leftrightarrow x=7\)

Thay x=7 vào phương trình (1), ta được:

\(y = \dfrac{3.7 - 11}{2}=5\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (7; 5).

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \hfill \cr 5x - 8y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \dfrac{x }{2} = 1 + \dfrac{y}{3} \hfill \cr 5x - 8y = 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 + \dfrac{2y}{3} \ (1) \hfill \cr 5{\left(2 + \dfrac{2y}{3} \right)} - 8y = 3 \ (2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (2), ta được:

\(5{\left(2 + \dfrac{2y}{3} \right)} - 8y = 3 \Leftrightarrow 5.2 + 5. \dfrac{2y}{3}-8y = 3 \Leftrightarrow 10 + \dfrac{10y}{3} -8y =3\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{30}{3} +\dfrac{10y}{3} - \dfrac{24y}{3} = \dfrac{9}{3} \Leftrightarrow 30+ 10y -24y=9\)

\(\Leftrightarrow -14y=9-30 \Leftrightarrow -14y=-21\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{21}{14} \Leftrightarrow y= \dfrac{3}{2}\)

Thay \(y= \dfrac{3}{2}\)vào (1), ta được:

\(x = 2 + \dfrac{2. \dfrac{3}{2}}{3}=2+\dfrac{3}{3}=3.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \({\left(3; \dfrac{3}{2} \right)}.\)

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ x + y\sqrt 5 = 0 \hfill \cr x\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr \left( { - y\sqrt 5 } \right).\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr - 5y + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr - 2y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr y = \dfrac{1 - \sqrt 5 }{ - 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2}.\sqrt 5 \hfill \cr y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - \dfrac{5 - \sqrt 5 }{2} \hfill \cr y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{\sqrt 5 - 5}{ 2} \hfill \cr y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \({\left(\dfrac{\sqrt 5 - 5}{ 2} ; \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2} \right)}\)

b) \(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\left\{ \matrix{ \left( {2 - \sqrt 3 } \right)x - 3y = 2 + 5\sqrt 3 \hfill \cr 4x + y = 4 - 2\sqrt 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {2 - \sqrt 3 } \right)x - 3\left( {4 - 2\sqrt 3 - 4x} \right) = 2 + 5\sqrt 3 \ (1) \hfill \cr y = 4 - 2\sqrt 3 - 4x \ (2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (1), ta được:

\(( 2 - \sqrt 3 )x - 3(4 - 2\sqrt 3 - 4x) = 2 + 5\sqrt 3 \Leftrightarrow 2x -\sqrt 3 x -12 + 6 \sqrt 3 + 12x=2+ 5 \sqrt 3\)

\(\Leftrightarrow 2x -\sqrt 3 x + 12x=2+ 5 \sqrt 3 +12 -6 \sqrt 3 \Leftrightarrow (2 -\sqrt 3 + 12)x= 2+12 +5\sqrt 3 -6 \sqrt 3\)

\(\Leftrightarrow (14- \sqrt 3)x=14-\sqrt 3 \Leftrightarrow x=1\)

Thay x=1, vào (2), ta được:

\(y = 4 - 2\sqrt 3 - 4.1=-2 \sqrt 3.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((1; -2 \sqrt 3).\)

a) a = -1

Thay a = -1 vào hệ, ta được:

\(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ {\left((-1)^2+1 \right)}x+ 6y = 2.(-1) & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 -3y & & \\ (1-3y)+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 -3y & & \\ 1 = -1 (vô \ lý )& & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.

b) a = 0

Thay a = 0 vào hệ, ta được:

\(\left\{ \matrix{ x + 3y = 1 \hfill \cr \left( {0 + 1} \right)x + 6y = 2.0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 3y = 1 \hfill \cr x + 6y = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 3y = 1 \hfill \cr x = - 6y \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 6y + 3y = 1 \hfill \cr x = - 6y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3y = 1 \hfill \cr x = - 6y \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr x = - 6y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr x = - 6. \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm\({\left(2; -\dfrac{1}{3} \right)} .\)

c) a = 1

Thay a = 1 vào hệ, ta được:

\(\left\{ \matrix{ x + 3y = 1 \hfill \cr ({1^2} + 1)x + 6y = 2.1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 3y = 1 \hfill \cr 2x + 6y = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 3y = 1 \hfill \cr x + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\1 - 3y + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\1 = 1\left( {luôn\,đúng} \right)\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ 3x - y = 5 \hfill \cr 5x + 2y = 23 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 3x - 5 \hfill \cr 5x + 2\left( {3x - 5} \right) = 23 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 3x - 5 \hfill \cr 5x + 6x - 10 = 23 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 3x - 5 \hfill \cr 11x = 23 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 3x - 5 \hfill \cr 11x = 33 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 3x - 5 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 3.3 - 5 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 4 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = (3; 4).

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ 3x + 5y = 1 \hfill \cr 2x - y = - 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 5y = 1 \hfill \cr y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 5\left( {2x + 8} \right) = 1 \hfill \cr y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 10x + 40 = 1 \hfill \cr y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 13x = 1 - 40 \hfill \cr y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 13x = - 39 \hfill \cr y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr y = 2.\left( { - 3} \right) + 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (-3; 2).

c) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ \dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3} \hfill \cr x + y - 10 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr \dfrac{2y}{3} + y = 10 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr {\left( \dfrac{2}{3} + 1 \right)}y = 10 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr \dfrac{5}{ 3}y = 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr y = 6 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{2.6}{3} \hfill \cr y = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 4 \hfill \cr y = 6 \hfill \cr} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (4; 6).

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {\sqrt 2-y\sqrt 3 } \right)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \ (1) \hfill \cr x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \ (2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (1), ta được:

\(( \sqrt 2 - y\sqrt 3)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \Leftrightarrow (\sqrt 2)^2 - y\sqrt 3 . \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\)

\(\Leftrightarrow 2 - y\sqrt 3 . \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \Leftrightarrow -y\sqrt 3. \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 - 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - y\sqrt 6 - y\sqrt 3 = - 1\\ \Leftrightarrow y\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right) = 1\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{3} \end{array}\)

Thay y tìm được vào phương trình (2), ta được:

\(x = \sqrt 2 - \dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3}.\sqrt 3\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt 2 - \dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 3(\sqrt 2 -1)}{3} \Leftrightarrow x=\sqrt 2 - \dfrac{ 3(\sqrt 2 -1)}{3} =\sqrt 2 - (\sqrt 2 -1)\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt 2 -\sqrt 2 +1=1\\\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:\({\left( 1;\dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3} \right)}\)

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \hfill \cr x\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 5 \ (1) \hfill \cr \left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\ (2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (2), ta được:

\(\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10} \Leftrightarrow 2(\sqrt 2 .\sqrt 2)y + \sqrt 5 .\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\)

\(\Leftrightarrow 4y + \sqrt{10}+y=1- \sqrt{10} \Leftrightarrow 4y +y=1- \sqrt{10}- \sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow 5y=1-2 \sqrt{10} \Leftrightarrow y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\)

Thay \(y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\) vào (1), ta được:

\(x = 2\sqrt 2 .\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5} + \sqrt 5= \dfrac{2\sqrt 2 -4 \sqrt{20}}{5} + \sqrt 5\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt 2 -4 .2\sqrt{5}}{5} + \sqrt 5=\dfrac{2\sqrt 2 -8\sqrt{5}+ 5\sqrt 5}{5}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2 \sqrt 2 -3 \sqrt 5}{5}\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: \((x; y) = {\left(\dfrac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\dfrac{1 - 2\sqrt{10}}{5}\right)}\)

c) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - y = \sqrt 2 \hfill \cr x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)y = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - \sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - \sqrt 2 } \right] = 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải phương trình (2), ta được:

\(x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ { \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x} -\sqrt 2 \right] = 1\)

\(\Leftrightarrow x + (\sqrt 2 + 1) (\sqrt 2 - 1)x -( \sqrt 2 + 1). \sqrt 2 = 1\)

\(\Leftrightarrow x + {\left((\sqrt 2)^2 - 1^2 \right)}x-( 2 + \sqrt 2) = 1\)

\(\Leftrightarrow x + x = 1+( 2 + \sqrt 2) \Leftrightarrow 2x =3 +\sqrt 2 \Leftrightarrow x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\)

Thay \(x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\)vào (1), ta được:

\(y = \left( {\sqrt 2 - 1} \right).\dfrac{3+ \sqrt 2}{2} - \sqrt 2\)

\(\Leftrightarrow y= \dfrac{(\sqrt 2 - 1 )(3+ \sqrt 2)}{2} - \sqrt 2 \Leftrightarrow y= \dfrac{3\sqrt 2 -3 +2 -\sqrt 2}{2} - \sqrt 2\)

\(\Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1}{2} - \sqrt 2 \Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1-2\sqrt 2}{2} \Leftrightarrow y= \dfrac{-1}{2}\)

Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = {\left(\dfrac{3 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{-1}{2} \right)}\)

a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) khi và chỉ khi (1; -2) thỏa mãn hệ phương trình. Thay x=1, y=-2 vào hệ, ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 3+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 - 3& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -8& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy a=-4, b=3 thì hệ có nghiệm là (1; -2).

b) Thay \(x=\sqrt 2 - 1;\ y= \sqrt 2\) vào hệ phương trình đã cho, ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 - 2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -(2+ \sqrt{2})& & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a = \dfrac{-2+5\sqrt{2}}{2},\ b=-(2+ \sqrt{2})\) thì hệ trên có nghiệm là \((\sqrt 2 -1; \sqrt 2).\)

+) Ta có: P(x) chia hết cho \(x + 1 \Leftrightarrow P(-1)=0\)

\(\Leftrightarrow m.(-1)^3 + (m - 2).(-1)^2 - (3n - 5).(-1) - 4n=0\)

\(\Leftrightarrow -m + m - 2 + 3n - 5 - 4n = 0 \Leftrightarrow -n-7=0 \Leftrightarrow n+7=0 (1)\)

+) Lại có: P(x) chia hết cho \(x - 3 \Leftrightarrow P(3)=0\)

\(\Leftrightarrow m.3^3 + (m - 2).3^2 - (3n - 5).3 - 4n=0\)

\(\Leftrightarrow 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0\)

\(\Leftrightarrow 27m + 9m - 18 - 9n + 15 - 4n = 0\)

\(\Leftrightarrow 36m-13n=3 (2)\)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.

\(\left\{\begin{matrix} n+7 = 0 & & \\ 36m - 13n = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m -13.(-7)= 3 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m = -88 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \dfrac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=\dfrac{-22}{9},\ n=-7.\)