Giải Toán 9 Bài 4 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Giải SGK Toán 9 Tập 2 trang 79, 80

Giải Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hướng dẫn các bạn học sinh trả lời các câu hỏi trong sách giáo khoa Toán lớp 9 trang 79, 80. Thông qua tài liệu này, các bạn học sinh có thể so sánh, đối chiếu với kết quả bài làm của mình, từ đó nâng cao kỹ năng giải Toán 9. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Giải bài tập Toán 9 trang 79, 80 Tập 2

Giải bài tập Toán 9 trang 79, 80 Tập 2
Giải bài tập Toán 9 trang 80 Tập 2: Luyện tập

Giải bài tập Toán 9 trang 79, 80 Tập 2

Bài 27 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh

Hướng dẫn giải:

Vẽ hình minh họa:

Ta có: $\widehat{PBT}$ $\widehat{PBT}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây cung BP chắn cung $\overparen{PmB}.$ $\overparen{PmB}.$

$\Rightarrow \widehat{PBT} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{PmB} (1)$ $\Rightarrow \widehat{PBT} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{PmB} (1)$

Lại có: $\widehat{PAO}$ $\widehat{PAO}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overparen{PmB}$ $\overparen{PmB}$

$\Rightarrow \widehat{PAO} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{PmB}$ $\Rightarrow \widehat{PAO} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{PmB}$ (2)

Mặt khác: $\widehat{PAO}= \widehat{APO}$ $\widehat{PAO}= \widehat{APO}$ (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra $\widehat{APO} =\widehat{PBT}$ $\widehat{APO} =\widehat{PBT}$ (đpcm)

Bài 28 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải:

Nối AB.

Xét đường tròn (O') ta có: $\widehat {AQB} = \widehat {PAB}$ $\widehat {AQB} = \widehat {PAB}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB). (1)

Xét đường tròn (O) ta có: $\widehat {PAB} = \widehat {BPx}$ $\widehat {PAB} = \widehat {BPx}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung PB). (2)

Từ (1) và (2) có $\widehat {AQB} = \widehat {BPx} \, (= \widehat {PAB}).$ $\widehat {AQB} = \widehat {BPx} \, (= \widehat {PAB}).$

Mà hai góc này là hai góc so le trong $\Rightarrow AQ // Px.$ $\Rightarrow AQ // Px.$

Bài 29 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O') cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D. Chứng minh $\widehat {CBA} = \widehat {DBA}$ $\widehat {CBA} = \widehat {DBA}$

Hướng dẫn giải:

Xét đường tròn (O') có $\widehat {CAB}$ $\widehat {CAB}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB

Nên $\widehat {CAB} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AmB}$ $\widehat {CAB} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AmB}$ (1)

Và $\widehat {ADB} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{AmB}$ $\widehat {ADB} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{AmB}$ (2) (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{AmB}).$ $\overparen{AmB}).$

Từ (1), (2) suy ra: $\widehat {CAB} = \widehat {ADB} (*)$ $\widehat {CAB} = \widehat {ADB} (*)$

Xét đường tròn (O), ta có:

$\widehat {BAD}$ $\widehat {BAD}$ là góc tạo bởi một tiếp tuyến và dây cung AB

Nên $\widehat {BAD} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AnB}$ $\widehat {BAD} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AnB}$ (3)

Lại có $\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{AnB}$ $\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{AnB}$ (4) (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{AnB}).$ $\overparen{AnB}).$

Từ (3), (4) suy ra: $\widehat {BAD} = \widehat {ACB}$ $\widehat {BAD} = \widehat {ACB}$ (**)

Hai tam giác ABD và CBA có $\widehat {CAB} = \widehat {ADB}$ $\widehat {CAB} = \widehat {ADB}$ (theo (*)) và $\widehat {BAD} = \widehat {ACB}$ $\widehat {BAD} = \widehat {ACB}$ (theo (**)) nên $\Delta ACB \backsim \Delta DAB\left( {g - g} \right)$ $\Delta ACB \backsim \Delta DAB\left( {g - g} \right)$ suy ra $\widehat {CBA} = \widehat {DBA}$ $\widehat {CBA} = \widehat {DBA}$ (hai góc tương ứng) (đpcm).

Bài 30 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung , cụ thể là: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn(h.29).

Gợi ý: có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.

Hướng dẫn giải:

Chứng minh trực tiếp

Kẻ $OH \bot AB$ $OH \bot AB$ tại H và cắt (O) tại C như hình vẽ.

Suy ra H là trung điểm của AB và C là điểm chính giữa cung AB.

Theo giả thiết ta có: $\widehat {BAx} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB}.$ $\widehat {BAx} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB}.$

Lại có: $\widehat {{O_1}}=sđ \overparen{AC}= \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB}$ $\widehat {{O_1}}=sđ \overparen{AC}= \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB}$ (góc ở tâm chắn cung AC).

Suy ra: $\widehat {BAx} = \widehat {{O_1}}.$ $\widehat {BAx} = \widehat {{O_1}}.$

Ta có: $\widehat {{O_1}}+ \widehat {{OAB}} =90^0$ $\widehat {{O_1}}+ \widehat {{OAB}} =90^0$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OAH).

$\Rightarrow \widehat {BAx}+ \widehat {{OAB}} =90^0$ $\Rightarrow \widehat {BAx}+ \widehat {{OAB}} =90^0$ hay $OA \bot Ax.$ $OA \bot Ax.$

Vậy Ax phải là tiếp tuyến của (O) tại A.

Giải bài tập Toán 9 trang 80 Tập 2: Luyện tập

Bài 31 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A. Tính: $\widehat {ABC},\widehat {BAC}.$ $\widehat {ABC},\widehat {BAC}.$

Hướng dẫn giải:

Tam giác BOC có BC = OB = OC = R

Suy ra tam giác BOC là tam giác đều.

Xét (O) ta có: $\widehat {ABC}$ $\widehat {ABC}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến BA và dây cung BC của (O).

Ta có: sđ $\overparen{BC}=\widehat {BOC}=60^0$ $\overparen{BC}=\widehat {BOC}=60^0$ (góc ở tâm chắn $\overparen{BC}$ $\overparen{BC}$ ) và $\widehat {ABC}= \dfrac {1}{2} sđ\overparen{BC}=30^0$ $\widehat {ABC}= \dfrac {1}{2} sđ\overparen{BC}=30^0$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn $\overparen{BC}$ $\overparen{BC}$).

Vì AB,AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\widehat {ABO}=\widehat {ACO}=90^0$ $\widehat {ABO}=\widehat {ACO}=90^0$

Xét tứ giác OBAC có $\widehat {ABO}+\widehat {ACO}+\widehat {BOC}+\widehat {BAC}=360^0$ $\widehat {ABO}+\widehat {ACO}+\widehat {BOC}+\widehat {BAC}=360^0$

Suy ra $\widehat {BAC} = {360^0} - \widehat {ABO}-\widehat {ACO}-\widehat {BOC}$ $\widehat {BAC} = {360^0} - \widehat {ABO}-\widehat {ACO}-\widehat {BOC}$

$=360^0- {90^0}-90^0 - {60^0} = {120^0}$ $=360^0- {90^0}-90^0 - {60^0} = {120^0}$.

Bài 32 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T). Chứng minh: $\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}$ $\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}$

Hướng dẫn giải:

Vẽ hình minh họa

Ta có $\widehat {TPB}$ $\widehat {TPB}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB của đường tròn (O) nên $\widehat {TPB}=\dfrac{1}{2}sđ\overparen{BP}$ $\widehat {TPB}=\dfrac{1}{2}sđ\overparen{BP}$(cung nhỏ $\overparen{BP}$ $\overparen{BP}$)(1)

Lại có: $\widehat {BOP}=sđ\overparen{BP}$ $\widehat {BOP}=sđ\overparen{BP}$ (góc ở tâm chắn cung $\overparen{BP}$ $\overparen{BP}$). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {BOP} = 2.\widehat {TPB}.$ $\widehat {BOP} = 2.\widehat {TPB}.$

Trong tam giác vuông TPO ( $OP \bot TP$ $OP \bot TP$ vì TP là tiếp tuyến) ta có $\widehat {BOP} + \widehat {BTP}=90^0.$ $\widehat {BOP} + \widehat {BTP}=90^0.$

hay $\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}.$ $\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}.$

Bài 33 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2

Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn, At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.

Hướng dẫn giải:

Vẽ hình

Xét đường tròn (O) ta có:

$\widehat C$ $\widehat C$ là góc nội tiếp chắn cung AB

$\widehat{BAt}$ $\widehat{BAt}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AB.

$\Rightarrow \widehat {BAt} = \widehat C$ $\Rightarrow \widehat {BAt} = \widehat C$. (1)

Lại có vì MN//At nên $\widehat{AMN} = \widehat {BAt}$ $\widehat{AMN} = \widehat {BAt}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{AMN} = \widehat C$ $\widehat{AMN} = \widehat C$ (3)

Xét hai tam giác AMN và ACB ta có:

$\widehat A$ $\widehat A$ chung

$\widehat M = \widehat C$ $\widehat M = \widehat C$, (theo (3))

Vậy ∆AMN đồng dạng ∆ACB, (g-g)

$\displaystyle \Rightarrow {{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}$ $\displaystyle \Rightarrow {{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AB. AM = AC . AN (đpcm).

Bài 34 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.

Chứng minh MT² = MA.MB.

Hướng dẫn giải:

Vẽ hình

Xét hai tam giác BMT và TMA, chúng có:

$\widehat{M}$ $\widehat{M}$ chung

$\widehat{B} = \widehat{T}$ $\widehat{B} = \widehat{T}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung nhỏ $\overparen{AT})$ $\overparen{AT})$

⇒ ∆BMT đồng dạng ∆TMA , (g-g).

$\Rightarrow \dfrac{MT}{MA} = \dfrac{MB}{MT}$ $\Rightarrow \dfrac{MT}{MA} = \dfrac{MB}{MT}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

hay $MT^2 = MA. MB$ (đpcm).

Bài 35 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2

Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km (h.30)?

Hướng dẫn: Áp dụng kết quả của bài tập 34.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng kết quả bài 34 ta có:

+ MT² = MA.MB

MA = 40m = 0,04km ;

MB = MA + AB = MA + 2R = 12800,04 km.

⇒ MT ≈ 22,63 km

+ M’T² = M’A’.M’B’

M’A’ = 10m = 0,01km ;

M’B’ = M’A’ + A’B’ = M’A’ + 2R = 12800,01 km

⇒ M’T ≈ 11,31 km

⇒ MM’ = MT + M’T = 33,94 ≈ 34 km .

Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng 34km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.

..................................................

Như vậy VnDoc đã giới thiệu các bạn tài liệu Giải Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán 9 từ đó học tốt Toán 9 hơn. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt.

Bài tiếp theo: Giải Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.