Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên là dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi Toán lớp 9 cũng như tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm vững dạng Toán này, VnDoc gửi tới các bạn tài liệu Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên, kèm ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Tài liệu này sẽ giúp các em làm quen với các dạng bài tập tìm x, từ đó nâng cao kỹ năng giải bài để chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới. Dưới đây là nội dung chi tiết, mời các em cùng tham khảo nhé.

I. Cách tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

1. Dạng 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Thông thường biểu thức A sẽ có dạng \(A = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và g(x) ≠ 0

+ Cách làm:

- Bước 1: Tách về dạng \(A = m\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}\) trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên

- Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì \(\frac{k}{{g\left( x \right)}}\)nguyên hay \(k \vdots g\left( x \right)\) nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k

- Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

2. Dạng 2: Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Đây là một dạng nâng cao hơn của dạng bài tập tìm gá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên bởi ta chưa xác định giá trị của biến x có nguyên hay không để biến đổi biểu thức A về dạng \(A = m\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}\). Bởi vậy, để làm được dạng bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên

- Bước 2: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên

- Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận

II. Bài tập ví dụ tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên

a,\(\frac{2}{{x - 1}}\)                                   b,\(\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\)                                     c,\(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a,\(\frac{2}{{x - 1}}\) có điều kiện x ≠ 1

Để \(\frac{2}{{x - 1}}\) nhận giá trị nguyên thì \(2 \vdots \left( {x - 1} \right)\)⇔ x - 1 ∈ Ư(2) = {± 1; ± 2}

Ta có bảng:

Vậy với x ∈ {- 1; 0; 2; 3} thì biểu thức \(\frac{2}{{x - 1}}\) nhận giá trị nguyên

b, \(\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\)có điều kiện x ≠ 1

Ta có: \(\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\)

Để \(\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) nhận giá trị nguyên thì \(1 \vdots \left( {x - 1} \right)\)⇔ x - 1 ∈ Ư(1) = {± 1}

Ta có bảng:

Vậy với x ∈ {0; 2} thì biểu thức \(\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) nhận giá trị nguyên

c, \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)có điều kiện là x ≥ 0

\(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\)

Để \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) nhận giá trị nguyên thì \(3 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)

Ta có bảng:

\(\sqrt x + 1\)	-3	-1	1	3
\(\sqrt x\)	-4 (loại)	-2 (loại)	0	2
x			0 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)

Vậy với x ∈ {0; 4} thì biểu thức \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) nhận giá trị nguyên

Bài 2: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}\)                                             b,\(\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\)

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 2: tìm các giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}\) có điều kiện là x ≥ 0

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + 3 \ge 3 > 0 \end{array} \right.\). Suy ra ta có \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \ge 0\forall x \ge 0\) (1)

Lại có \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = \frac{2}{{\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(x \ge 0\) có \(\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3\)

\(\Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có:\(0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0\)

Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\)có điều kiện là x ≥ 0

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + \sqrt x + 1 \ge 0 \end{array} \right.\forall x \ge 0\)(1)

Lại có \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(x \ge 0\) có

\(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}\)(2)

Từ (1) va (2) ta có \(0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \le \frac{2}{3}\) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0\). Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 3: Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};B = \frac{7}{{\sqrt x - 8}}\) với x ≥ 0 và x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các số nguyên x để M = A. B đạt giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả: \(A = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\)

b) Ta có:

\(M = A.B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{7}{{\sqrt x + 8}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \Rightarrow 0 < M \leqslant \frac{7}{3}\)

Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2

Với M = 1 ta có:

\(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1 \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)

Với M = 2 ta có:

\(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + 3 = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)\)

Vậy biểu thức M = A. B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.

Bài 4: Cho biểu thức: \(A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}\) (điều kiện \(x > 0,x \ne 1\))

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải:

a) Học sinh thực hiện rút gọn biểu thức, ta có kết quả: \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}\)

b) Học sinh tham khảo một trong các cách làm dưới đây:

Cách 1: Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có: \(x + \sqrt x + 1 > \sqrt x + 1 > 1\)

Vậy 0 < A \(= \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 2\)

Vì A nguyên nên A = 1 \(\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 1\) => x = 1 (Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

\(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \Leftrightarrow Ax + \left( {A - 1} \right)\sqrt x + A - 2 = 0\)

Trường hợp 1: Nếu A = 0 \(\sqrt x = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset\)

Trường hợp 2: Nếu A khác 0

\(\begin{matrix} \Rightarrow \Delta = {\left( {A - 1} \right)^2} - 4A\left( {A - 2} \right) = - 3{A^2} + 6A + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A - \dfrac{1}{3} \leqslant 0 \Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 \leqslant \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {A - 1} \right)^2} \leqslant \dfrac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow A \in \left\{ {1;2} \right\} \hfill \\ A \in \mathbb{Z},A > 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Với A = 1 => x = 1 (Loại)

Với A = 2 \(\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 2\) => x = 0 (Loại)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

III. Bài tập tự luyện tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a,\(\frac{2}{{x - 1}}\)                                         b,\(\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\)                                     c,\(\frac{{x + 5}}{x}\)

d,\(\frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}}\)                                       e, \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)                                    f,\(\frac{7}{{\sqrt x + 3}}\)

Bài 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên:

a,\(\frac{{7\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 2}}\)                             b,\(\frac{{15\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\)                             c,\(\frac{{3\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x + 9}}\)

Bài 3: Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }}\)và \(B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 5}}\)với x ≥ 0; x ≠ 25.

1) Rút gọn B.

2) Đặt P = A + B. Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\)với x ≥ 0; x ≠ 1.

1) Rút gọn P.

2) Tìm x để P = -1.

3) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức:

\(A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}};B = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{x - 2\sqrt x }};\left( {x > 0;x \ne 4} \right)\)

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để C = A.B nhận giá trị nguyên.

Bài 6: Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}};B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x + 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)

(với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.

b) Đặt P = A/B. Chứng minh rằng \(P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}\)

c) Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài 7: Cho các biểu thức:

\(A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{x - 9}};B = \frac{2}{{\sqrt x - 3}}\) (với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16

b) Rút gọn biểu thức M = A + B

c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên.

Bài 8: Cho biểu thức \(B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}}\) với \(a \geqslant 0;a \ne 9\)

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.

Bài 9: Cho biểu thức \(A=\left(\frac{3x+\sqrt{16x}-7}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-1}\right):\left(2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để A = -6

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.