Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

7 10.345

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên, vốn là bài tập thường gặp trong câu hỏi phụ của phần Rút gọn biểu thức. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Nhắc lại về cách tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

1. Dạng 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Thông thường biểu thức A sẽ có dạng $A = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và $g\left( x \right) \ne 0$

+ Cách làm:

- Bước 1: Tách về dạng $A = m\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}$ trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên

- Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{k}{{g\left( x \right)}}$ nguyên hay $k \vdots g\left( x \right)$ nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k

- Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hơp, sau đó kết luận

2. Dạng 2: Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Đây là một dạng nâng cao hơn bài tập tìm gá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên bởi ta chưa xác định giá trị của biến x có nguyên hay không để biến đổi biểu thức A về dạng $A = m\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}$ . Bởi vậy, để làm được dạng bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên

- Bước 2: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên

- Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận

II. Bài tập ví dụ tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ b, $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ c, $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ có điều kiện $x \ne 1$

Để $\frac{2}{{x - 1}}$ nhận giá trị nguyên thì $2 \vdots \left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x - 1 \in U\left( 2 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}$

Ta có bảng:

x - 1	-2	-1	1	2
x	-1 (thỏa mãn)	0 (thỏa mãn)	2 (thỏa mãn)	3 (thỏa mãn)

Vậy với $x \in \left\{ { - 1;0;2;3} \right\}$ thì biểu thức $\frac{2}{{x - 1}}$ nhận giá trị nguyên

b, $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ có điều kiện $x \ne 1$

$\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}$

Để $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ nhận giá trị nguyên thì $1 \vdots \left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x - 1 \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}$

Ta có bảng:

x - 1	-1	1
x	0 (thỏa mãn)	2

Vậy với $x \in \left\{ {0;2} \right\}$ thì biểu thức $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ nhận giá trị nguyên

c, $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ có điều kiện là $x \ge 0$

$\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}$

Để $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ nhận giá trị nguyên thì $3 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$

Ta có bảng:

$\sqrt x + 1$	-3	-1	1	3
$\sqrt x$	-4 (loại)	-2 (loại)	0	2
x			0 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)

Vậy với $x \in \left\{ {0;4} \right\}$ thì biểu thức $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ nhận giá trị nguyên

Bài 2: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}$ b, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 2: tìm các giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}$ có điều kiện là $x \ge 0$

Có $x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + 3 \ge 3 > 0 \end{array} \right.$ . Suy ra ta có $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \ge 0\forall x \ge 0$ (1)

Lại có $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = \frac{2}{{\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $x \ge 0$ có $\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3$

$\Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0$

Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$ có điều kiện là $x \ge 0$

Có $x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + \sqrt x + 1 \ge 0 \end{array} \right.\forall x \ge 0$ (1)

Lại có $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $x \ge 0$ có

$\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}$ (2)

Từ (1) va (2) ta có $0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \le \frac{2}{3}$ mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0$ . Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

III. Bài tập tự luyện tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ b, $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}$ c, $\frac{{x + 5}}{x}$

d, $\frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}}$ e, $\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}$ f, $\frac{7}{{\sqrt x + 3}}$

Bài 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, $\frac{{7\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 2}}$ b, $\frac{{15\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$ c, $\frac{{3\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x + 9}}$

-----------------

Ngoài chuyên đề tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên Toán lớp 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Tham khảo thêm