Giải phương trình chứa căn

Ôn thi vào 10 môn Toán

Chuyên đề Toán 9: Giải phương trình chứa căn thức

A. Cách giải phương trình chứa căn thức
B. Bài tập tự rèn luyện

Bài tập Toán 9: Giải phương trình vô tỉ là chuyên đề ôn thi vào lớp 10 hay, hướng dẫn các em học sinh cách giải phương trình chứa căn, kèm bài tập vận dụng cho các em tham khảo và luyện tập.

A. Cách giải phương trình chứa căn thức

Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số

Phương pháp:

- Thêm bớt hạng tử.

- Nâng lên lũy thừa cả hai vế.

- Phép nhân liên hợp.

…

Từ đó các phép biển đổi đại số đó ta đi giải phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải.

Ví dụ 1: Giải phương trình

$\sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}}} = \frac{1}{3}\left( 3x^{3} - x^{2} + 6x - 2 \right)\ \$ $\sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}}} = \frac{1}{3}\left( 3x^{3} - x^{2} + 6x - 2 \right)\ $

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $VP \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}$ $V P \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}$

$(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{\left( x - \frac{1}{3} \right)^{2}}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$ $(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{2}{9} - \sqrt{{(x - \frac{1}{3})}^{2}}} = \frac{1}{3} (3 x - 1) (x^{2} + 2)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{9}} = \frac{1}{3} (3 x - 1) (x^{2} + 2)$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left( x - \frac{1}{3} \right)^{2}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt{{(x - \frac{1}{3})}^{2}} = \frac{1}{3} (3 x - 1) (x^{2} + 2)$

$\Leftrightarrow x - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right) \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$ $\Leftrightarrow x - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} (3 x - 1) (x^{2} + 2) \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} .$

Vậy $S = \left\{ \frac{1}{3} \right\}.$ $S = {\frac{1}{3}} .$

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{3x + 1} - \sqrt{6 - x} + 3x^{2} - 14x - 8 = 0\ (*)$ $\sqrt{3 x + 1} - \sqrt{6 - x} + 3 x^{2} - 14 x - 8 = 0 (*)$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6.$ $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6.$

$(*) \Leftrightarrow \left( \sqrt{3x + 1} - 4 \right) + \left( 1 - \sqrt{6 - x} \right) + 3x^{2} - 14x - 5 = 0$ $(*) \Leftrightarrow (\sqrt{3 x + 1} - 4) + (1 - \sqrt{6 - x}) + 3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 5)\left\lbrack \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3x + 1) \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (x - 5) [\frac{3}{\sqrt{3 x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3 x + 1)] = 0$

Với $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6$ $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6$ thì $\left\lbrack \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3x + 1) \right\rbrack > 0$ $[\frac{3}{\sqrt{3 x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3 x + 1)] > 0$

Khi đó $x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5(tm)$ $x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5 (t m)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 5 \right\}$ $S = {5}$ .

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Phương pháp: Đặt một ẩn, hai hoặc ba biểu thức phức tạp bằng ẩn mới (gọi là ẩn phụ) và giải phương trình thu được sau đó tìm nghiệm.

Loại 1: Sử dụng một ẩn phụ

Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ

Loại 3: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về hệ phương trình đối xứng.

Loại 4: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x^{4} + x^{2} + 1} + \sqrt{3}\left( x^{2} + 1 \right) = 3\sqrt{3}x.$ $\sqrt{x^{4} + x^{2} + 1} + \sqrt{3} (x^{2} + 1) = 3 \sqrt{3} x .$

Hướng dẫn giải

Với $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình trên.

Với $x \neq 0$ $x \neq 0$ ta chia hai vế của phương trình cho $x$ ta được

$\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1} + \sqrt{3}\left( x + \frac{1}{x} \right) = 3\sqrt{3}$ $\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1} + \sqrt{3} (x + \frac{1}{x}) = 3 \sqrt{3}$ .

Đặt $t = x + \frac{1}{x} \geq 2$ $t = x + \frac{1}{x} \geq 2$ (Cô-si)

Phương trình trở thành $\sqrt{t^{2} - 1} = \sqrt{3}(3 - t)$ $\sqrt{t^{2} - 1} = \sqrt{3} (3 - t)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \leq 3 \\ t^{2} - 9t + 14 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 2$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} t \leq 3 \\ t^{2} - 9 t + 14 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow t = 2$

(thỏa mãn).

Với $t = 2 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 1.$ $t = 2 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ 1 \right\}$ $S = {1}$ .

Ví dụ: Giải phương trình $x^{3} + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}.$ $x^{3} + 1 = 2 \sqrt[3]{2 x - 1} .$

Hướng dẫn giải

Phương trình $\Leftrightarrow x^{3} + 2x = 2x - 1 + 2\sqrt[3]{2x - 1}$ $\Leftrightarrow x^{3} + 2 x = 2 x - 1 + 2 \sqrt[3]{2 x - 1}$ .

Đặt $t = \sqrt[3]{2x - 1}.$ $t = \sqrt[3]{2 x - 1} .$

Ta được $x^{3} + 2x = t^{3} + 2t$ $x^{3} + 2 x = t^{3} + 2 t$

$\Leftrightarrow (x - t)\left( x^{2} + xt + t^{2} \right) + 2(x - t) = 0$ $\Leftrightarrow (x - t) (x^{2} + x t + t^{2}) + 2 (x - t) = 0$

$\Leftrightarrow (x - t)\left( x^{2} + xt + t^{2} + 2 \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - t) (x^{2} + x t + t^{2} + 2) = 0$

Vì $x^{2} + xt + t^{2} + 2 = \left( x + \frac{t}{2} \right)^{2} + \frac{3t^{2}}{4} + 2 > 0.$ $x^{2} + x t + t^{2} + 2 = {(x + \frac{t}{2})}^{2} + \frac{3 t^{2}}{4} + 2 > 0.$

Nên $x = t$ $\Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + x - 1 \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} + x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + x - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = \dfrac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + x - 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \end{matrix}$

Vậy $S = \left\{ 1;\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2};\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \right\}$ $S = {1; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}}$

Dạng 3: Đánh giá

Phương pháp: Phương trình $f (x) = g (x)$ nếu luôn có $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq m \\ g(x) \leq m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) = m \\ g(x) = m \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} f (x) \geq m \\ g (x) \leq m \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} f (x) = m \\ g (x) = m \end{matrix}$

Ví dụ: Giải phương trình

a) $\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} + \sqrt{5x^{2} + 10x + 14} = 4 - 2x - x^{2}.$ $\sqrt{3 x^{2} + 6 x + 7} + \sqrt{5 x^{2} + 10 x + 14} = 4 - 2 x - x^{2} .$

b) $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} = \sqrt{x + 9}.$ $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} = \sqrt{x + 9} .$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho $\Leftrightarrow \sqrt{3(x + 1)^{2} + 4} + \sqrt{5(x + 1)^{2} + 9} = 5 - (x + 1)^{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{3 (x + 1)^{2} + 4} + \sqrt{5 (x + 1)^{2} + 9} = 5 - (x + 1)^{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} VT \geq 5 \\ VP \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow VT = VP = 5.$ ${\begin{matrix} V T \geq 5 \\ V P \leq 5 \end{matrix} \Leftrightarrow V T = V P = 5.$

Dấu “ $=$ ” xảy ra $\Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1.$ $\Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1.$

Vậy $S = \left\{ \frac{21 + \sqrt{41}}{2} \right\}$ $S = {\frac{21 + \sqrt{41}}{2}}$ .

b) Điều kiện: $x \geq 0.$ $x \geq 0.$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: $(ax + by)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right).$ $(a x + b y)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) .$

Dấu “ $=$ ” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ .

$\left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} \right)^{2} \leq \left\lbrack \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} + x + 1 \right\rbrack\left\lbrack \frac{1}{x + 1} + \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} \right)^{2} \right\rbrack = x + 9$ ${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x})}^{2} \leq [{(2 \sqrt{2})}^{2} + x + 1] [\frac{1}{x + 1} + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}})}^{2}] = x + 9$

Dấu “ $=$ ” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$ $\Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$

Vậy $S = \left\{ \frac{1}{7} \right\}$ $S = {\frac{1}{7}}$ .

B. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Giải phương trình: $10\sqrt{x^{3} + 1} = 3\left( x^{2} + 2 \right)$ $10 \sqrt{x^{3} + 1} = 3 (x^{2} + 2)$ .

Bài 2: Giải phương trình $\sqrt{4x^{2} + 5x + 1} - 2\sqrt{x^{2} - x + 1} = 9x - 3.$ $\sqrt{4 x^{2} + 5 x + 1} - 2 \sqrt{x^{2} - x + 1} = 9 x - 3.$

Bài 3: Giải phương trình $2x^{2} + 3x + 7 = (x + 5)\sqrt{2x^{2} + 1}$ $2 x^{2} + 3 x + 7 = (x + 5) \sqrt{2 x^{2} + 1}$

Bài 4: Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 2x + 17} - 5|x - 1| = 4\ (**)$ $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17} - 5 | x - 1 | = 4 (* *)$ .

----------------------------------------------

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

2

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bon

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Giải phương trình chứa căn

297,6 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!