VnDoc.com

Giải phương trình chứa căn

Ôn thi vào 10 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 9: Giải phương trình chứa căn thức

A. Cách giải phương trình chứa căn thức
B. Bài tập tự rèn luyện

Bài tập Toán 9: Giải phương trình vô tỉ là chuyên đề ôn thi vào lớp 10 hay, hướng dẫn các em học sinh cách giải phương trình chứa căn, kèm bài tập vận dụng cho các em tham khảo và luyện tập.

A. Cách giải phương trình chứa căn thức

Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số

Phương pháp:

- Thêm bớt hạng tử.

- Nâng lên lũy thừa cả hai vế.

- Phép nhân liên hợp.

…

Từ đó các phép biển đổi đại số đó ta đi giải phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải.

Ví dụ 1: Giải phương trình

$\sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}}} = \frac{1}{3}\left( 3x^{3} - x^{2} + 6x - 2 \right)\ \$ $\sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}}} = \frac{1}{3}\left( 3x^{3} - x^{2} + 6x - 2 \right)\ \$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $VP \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}$ $VP \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}$

$(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{\left( x - \frac{1}{3} \right)^{2}}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$ $(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{\left( x - \frac{1}{3} \right)^{2}}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left( x - \frac{1}{3} \right)^{2}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt{\left( x - \frac{1}{3} \right)^{2}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$

$\Leftrightarrow x - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right) \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$ $\Leftrightarrow x - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right) \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ \frac{1}{3} \right\}.$ $S = \left\{ \frac{1}{3} \right\}.$

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{3x + 1} - \sqrt{6 - x} + 3x^{2} - 14x - 8 = 0\ (*)$ $\sqrt{3x + 1} - \sqrt{6 - x} + 3x^{2} - 14x - 8 = 0\ (*)$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6.$ $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6.$

$(*) \Leftrightarrow \left( \sqrt{3x + 1} - 4 \right) + \left( 1 - \sqrt{6 - x} \right) + 3x^{2} - 14x - 5 = 0$ $(*) \Leftrightarrow \left( \sqrt{3x + 1} - 4 \right) + \left( 1 - \sqrt{6 - x} \right) + 3x^{2} - 14x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 5)\left\lbrack \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3x + 1) \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (x - 5)\left\lbrack \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3x + 1) \right\rbrack = 0$

Với $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6$ $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6$ thì $\left\lbrack \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3x + 1) \right\rbrack > 0$ $\left\lbrack \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3x + 1) \right\rbrack > 0$

Khi đó $x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5(tm)$ $x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5(tm)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 5 \right\}$ $S = \left\{ 5 \right\}$.

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Phương pháp: Đặt một ẩn, hai hoặc ba biểu thức phức tạp bằng ẩn mới (gọi là ẩn phụ) và giải phương trình thu được sau đó tìm nghiệm.

Loại 1: Sử dụng một ẩn phụ

Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ

Loại 3: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về hệ phương trình đối xứng.

Loại 4: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Ví dụ: Giải phương trình: $\sqrt{x^{4} + x^{2} + 1} + \sqrt{3}\left( x^{2} + 1 \right) = 3\sqrt{3}x.$ $\sqrt{x^{4} + x^{2} + 1} + \sqrt{3}\left( x^{2} + 1 \right) = 3\sqrt{3}x.$

Hướng dẫn giải

Với $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình trên.

Với $x \neq 0$ $x \neq 0$ ta chia hai vế của phương trình cho $x$ ta được

$\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1} + \sqrt{3}\left( x + \frac{1}{x} \right) = 3\sqrt{3}$ $\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1} + \sqrt{3}\left( x + \frac{1}{x} \right) = 3\sqrt{3}$.

Đặt $t = x + \frac{1}{x} \geq 2$ $t = x + \frac{1}{x} \geq 2$ (Bất đẳng thức Cauchy)

Phương trình trở thành $\sqrt{t^{2} - 1} = \sqrt{3}(3 - t)$ $\sqrt{t^{2} - 1} = \sqrt{3}(3 - t)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \leq 3 \\ t^{2} - 9t + 14 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \leq 3 \\ t^{2} - 9t + 14 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 2$

(thỏa mãn).

Với $t = 2 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 1.$ $t = 2 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ 1 \right\}$ $S = \left\{ 1 \right\}$.

Ví dụ: Giải phương trình: $x^{3} + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}.$ $x^{3} + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}.$

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương:

$x^{3} + 2x =2x - 1 + 2\sqrt[3]{2x - 1}$ $x^{3} + 2x =2x - 1 + 2\sqrt[3]{2x - 1}$.

Đặt $t = \sqrt[3]{2x - 1}.$ $t = \sqrt[3]{2x - 1}.$

Ta được $x^{3} + 2x = t^{3} + 2t$ $x^{3} + 2x = t^{3} + 2t$

$\Leftrightarrow (x - t)\left( x^{2} + xt + t^{2} \right) + 2(x - t) = 0$ $\Leftrightarrow (x - t)\left( x^{2} + xt + t^{2} \right) + 2(x - t) = 0$

$\Leftrightarrow (x - t)\left( x^{2} + xt + t^{2} + 2 \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - t)\left( x^{2} + xt + t^{2} + 2 \right) = 0$

Vì $x^{2} + xt + t^{2} + 2 = \left( x + \frac{t}{2} \right)^{2} + \frac{3t^{2}}{4} + 2 > 0.$ $x^{2} + xt + t^{2} + 2 = \left( x + \frac{t}{2} \right)^{2} + \frac{3t^{2}}{4} + 2 > 0.$

Nên $x = t$ $\Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + x - 1 \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + x - 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + x - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = \dfrac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + x - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = \dfrac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $S = \left\{ 1;\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2};\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \right\}$ $S = \left\{ 1;\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2};\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \right\}$.

Ví dụ. Giải phương trình: $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$ $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x + 6 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq - 1$ $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x + 6 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq - 1$

Đặt $\sqrt{x + 1} = t \geq 0$ $\sqrt{x + 1} = t \geq 0$ => x + 1 = t², ta có phương trình

$t + \sqrt{t^{2} + 5} = 5 \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} + 5} = 5 - t$ $t + \sqrt{t^{2} + 5} = 5 \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} + 5} = 5 - t$ (*)

Điều kiện (*) là: 5 – t ≥ 0 ⬄ t ≤ 5, BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ của (*) ta có

t² + 5 = 25 – 10t + t² ⬄ t = 2 (thỏa mãn điều kiện của 0 ≤ t ≤ 5)

$\sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$ $\sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Ví dụ. Giải phương trình: $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$ $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x + 6 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq - 1$ $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x + 6 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq - 1$

Đặt $\sqrt{x + 1} = t \geq 0$ $\sqrt{x + 1} = t \geq 0$ => x + 1 = t², ta có phương trình

$t + \sqrt{t^{2} + 5} = 5 \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} + 5} = 5 - t$ $t + \sqrt{t^{2} + 5} = 5 \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} + 5} = 5 - t$ (*)

Điều kiện (*) là: 5 – t ≥ 0 ⬄ t ≤ 5, BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ của (*) ta có

t² + 5 = 25 – 10t + t² ⬄ t = 2 (thỏa mãn điều kiện của 0 ≤ t ≤ 5)

=> $\sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$ $\sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Dạng 3: Đánh giá

Phương pháp: Phương trình $f(x) = g(x)$nếu luôn có $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq m \\ g(x) \leq m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) = m \\ g(x) = m \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq m \\ g(x) \leq m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) = m \\ g(x) = m \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} + \sqrt{5x^{2} + 10x + 14} = 4 - 2x - x^{2}.$ $\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} + \sqrt{5x^{2} + 10x + 14} = 4 - 2x - x^{2}.$

b) $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} = \sqrt{x + 9}.$ $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} = \sqrt{x + 9}.$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho $\Leftrightarrow \sqrt{3(x + 1)^{2} + 4} + \sqrt{5(x + 1)^{2} + 9} = 5 - (x + 1)^{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{3(x + 1)^{2} + 4} + \sqrt{5(x + 1)^{2} + 9} = 5 - (x + 1)^{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} VT \geq 5 \\ VP \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow VT = VP = 5.$ $\left\{ \begin{matrix} VT \geq 5 \\ VP \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow VT = VP = 5.$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1.$ $\Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1.$

Vậy $S = \left\{ \frac{21 + \sqrt{41}}{2} \right\}$ $S = \left\{ \frac{21 + \sqrt{41}}{2} \right\}$.

b) Điều kiện: $x \geq 0.$ $x \geq 0.$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: $(ax + by)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right).$ $(ax + by)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right).$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}$.

$\left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} \right)^{2} \leq \left\lbrack \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} + x + 1 \right\rbrack\left\lbrack \frac{1}{x + 1} + \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} \right)^{2} \right\rbrack = x + 9$ $\left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} \right)^{2} \leq \left\lbrack \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} + x + 1 \right\rbrack\left\lbrack \frac{1}{x + 1} + \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} \right)^{2} \right\rbrack = x + 9$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$ $\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \left\{ \frac{1}{7} \right\}$ $S = \left\{ \frac{1}{7} \right\}$.

Ví dụ. Giải phương trình $\sqrt{x + 4 - 4\sqrt{x}} - \sqrt{x + 9 - 6\sqrt{x}} = 1$ $\sqrt{x + 4 - 4\sqrt{x}} - \sqrt{x + 9 - 6\sqrt{x}} = 1$ (*)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x ≥ 0

Với phương trình này ta dễ dàng nhận thấy:

$x + 4 - 4\sqrt{x} = \left( \sqrt{x} - 2 \right)^{2}$ $x + 4 - 4\sqrt{x} = \left( \sqrt{x} - 2 \right)^{2}$

$x + 9 - 6\sqrt{x} = \left( \sqrt{x} - 3 \right)^{2}$ $x + 9 - 6\sqrt{x} = \left( \sqrt{x} - 3 \right)^{2}$

Phương trình (*) tương đương: $\left| \sqrt{x} - 2 \right| - \left| \sqrt{x} - 3 \right| = 1$ $\left| \sqrt{x} - 2 \right| - \left| \sqrt{x} - 3 \right| = 1$

TH1: Nếu $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 9$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 9$ ta có:

0. $\sqrt{x}$ $\sqrt{x}$ = 0 => Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0

TH2: Nếu $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 4 \\ x < 9 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 4 \\ x < 9 \end{matrix} \right.$ ta có:

$\left( \sqrt{x} - 2 \right) - \left( 3 - \sqrt{x} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} = 6 \Leftrightarrow x = 9$ $\left( \sqrt{x} - 2 \right) - \left( 3 - \sqrt{x} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} = 6 \Leftrightarrow x = 9$ (Loại)

TH3: Nếu $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ \sqrt{x} - 3 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x < 4 \\ x \geq 9 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \in \varnothing$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ \sqrt{x} - 3 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x < 4 \\ x \geq 9 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \in \varnothing$

TH4: Nếu $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ \sqrt{x} - 3 < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \Leftrightarrow x < 4$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ \sqrt{x} - 3 < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \Leftrightarrow x < 4$ ta có:

$\left( 2 - \sqrt{x} \right) - \left( 3 - \sqrt{x} \right) = 1 \Leftrightarrow 0.\sqrt{x} = 2$ $\left( 2 - \sqrt{x} \right) - \left( 3 - \sqrt{x} \right) = 1 \Leftrightarrow 0.\sqrt{x} = 2$

=> Phương trình có vô nghiệm

Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12} + \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} = 8$ $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12} + \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} = 8$

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

3x² + 6x + 12 = 3(x² + 2x + 1) + 9 = 3(x + 1)² + 9 ≥ 9

=> $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12}$ $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12}$ ≥ 3

5x⁴ - 10x² + 30 = 5(x² - 2x + 1) + 25 = 5(x - 1)² + 25 ≥ 25

=> $\sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30}$ $\sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30}$ ≥ 5

Do đó: $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12} + \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} \geq 8$ $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12} + \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} \geq 8$

Phương trình thỏa mãn:

⬄ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{3x^{2} + 6x + 12} = 3 \\ \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} = 5 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{3x^{2} + 6x + 12} = 3 \\ \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} = 5 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3(x + 1)^{2} + 9\ = \ 9 \\ 5\left( x^{2} - 1 \right)^{2} + 25\ = \ 25 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3(x + 1)^{2} + 9\ = \ 9 \\ 5\left( x^{2} - 1 \right)^{2} + 25\ = \ 25 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 0 \\ x^{2} - 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = - 1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 0 \\ x^{2} - 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = - 1$

Vậy phương trình có nghiệm x = - 1.

B. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Giải phương trình: $10\sqrt{x^{3} + 1} = 3\left( x^{2} + 2 \right)$ $10\sqrt{x^{3} + 1} = 3\left( x^{2} + 2 \right)$.

Bài 2: Giải phương trình $\sqrt{4x^{2} + 5x + 1} - 2\sqrt{x^{2} - x + 1} = 9x - 3.$ $\sqrt{4x^{2} + 5x + 1} - 2\sqrt{x^{2} - x + 1} = 9x - 3.$

Bài 3: Giải phương trình $2x^{2} + 3x + 7 = (x + 5)\sqrt{2x^{2} + 1}$ $2x^{2} + 3x + 7 = (x + 5)\sqrt{2x^{2} + 1}$.

Bài 4: Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 2x + 17} - 5|x - 1| = 4\ (**)$ $\sqrt{x^{2} - 2x + 17} - 5|x - 1| = 4\ (**)$.

Bài 5. Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} + \sqrt{5x^{2} + 10x + 14} = 4 - 2x - x^{2}$ $\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} + \sqrt{5x^{2} + 10x + 14} = 4 - 2x - x^{2}$.

Bài 6. Giải phương trình $x^{2} - 2x + 3\sqrt{x^{2} - 2x - 3} = 7$ $x^{2} - 2x + 3\sqrt{x^{2} - 2x - 3} = 7$.

----------------------------------------------

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!

Tải về

Chọn file muốn tải về: