Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giải phương trình chứa căn

Ôn thi vào 10 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 9: Giải phương trình chứa căn thức

A. Cách giải phương trình chứa căn thức
B. Bài tập tự rèn luyện

Giải phương trình chứa căn không chỉ là một dạng toán trọng tâm trong chương trình Toán 9 mà còn là “điểm phân loại” quen thuộc trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để làm tốt dạng toán này, học sinh cần hiểu bản chất của phép biến đổi tương đương, biết cách đặt điều kiện xác định chính xác và đặc biệt là kỹ năng kiểm tra nghiệm để loại bỏ nghiệm ngoại lai – yếu tố thường khiến nhiều bạn mất điểm đáng tiếc.

Thông qua chuyên đề này, bạn đã được hệ thống lại đầy đủ từ lý thuyết nền tảng, các phương pháp giải phổ biến (bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương…) đến các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao bám sát cấu trúc đề thi vào 10. Đây chính là nền tảng quan trọng giúp bạn không chỉ giải nhanh mà còn giải đúng trong phòng thi – yếu tố quyết định để đạt điểm cao.

Bài tập Toán 9: Giải phương trình vô tỉ là chuyên đề ôn thi vào lớp 10 hay, hướng dẫn các em học sinh cách giải phương trình chứa căn, kèm bài tập vận dụng cho các em tham khảo và luyện tập.

A. Cách giải phương trình chứa căn thức

Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số

Phương pháp:

- Thêm bớt hạng tử.

- Nâng lên lũy thừa cả hai vế.

- Phép nhân liên hợp.

…

Từ đó các phép biển đổi đại số đó ta đi giải phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải.

Ví dụ 1: Giải phương trình

$\sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}}} = \frac{1}{3}\left( 3x^{3} - x^{2} + 6x - 2 \right)\ \$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $VP \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}$

$(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} - \sqrt{\left( x - \frac{1}{3} \right)^{2}}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left( x - \frac{1}{3} \right)^{2}} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right)$

$\Leftrightarrow x - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(3x - 1)\left( x^{2} + 2 \right) \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ \frac{1}{3} \right\}.$

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{3x + 1} - \sqrt{6 - x} + 3x^{2} - 14x - 8 = 0\ (*)$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6.$

$(*) \Leftrightarrow \left( \sqrt{3x + 1} - 4 \right) + \left( 1 - \sqrt{6 - x} \right) + 3x^{2} - 14x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 5)\left\lbrack \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3x + 1) \right\rbrack = 0$

Với $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6$ thì $\left\lbrack \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + (3x + 1) \right\rbrack > 0$

Khi đó x - 5 = 0 => x = 5 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {5}.

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Phương pháp: Đặt một ẩn, hai hoặc ba biểu thức phức tạp bằng ẩn mới (gọi là ẩn phụ) và giải phương trình thu được sau đó tìm nghiệm.

Loại 1: Sử dụng một ẩn phụ

Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ

Loại 3: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về hệ phương trình đối xứng.

Loại 4: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Ví dụ: Giải phương trình: $\sqrt{x^{4} + x^{2} + 1} + \sqrt{3}\left( x^{2} + 1 \right) = 3\sqrt{3}x.$

Hướng dẫn giải

Với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình trên.

Với x ≠ 0 ta chia hai vế của phương trình cho x ta được

$\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1} + \sqrt{3}\left( x + \frac{1}{x} \right) = 3\sqrt{3}$ .

Đặt $t = x + \frac{1}{x} \geq 2$ (Bất đẳng thức Cauchy)

Phương trình trở thành $\sqrt{t^{2} - 1} = \sqrt{3}(3 - t)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \leq 3 \\ t^{2} - 9t + 14 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 2$

(thỏa mãn).

Với $t = 2 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1}.

Ví dụ: Giải phương trình: $x^{3} + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}.$

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương:

$x^{3} + 2x =2x - 1 + 2\sqrt[3]{2x - 1}$ .

Đặt $t = \sqrt[3]{2x - 1}.$

Ta được x³ + 2x = t³ + 2t

⇔ (x - t)(x² + xt + t²) + 2(x - t) = 0

⇔ (x - t)(x² + xt + t² + 2) = 0

Vì $x^{2} + xt + t^{2} + 2 = \left( x + \frac{t}{2} \right)^{2} + \frac{3t^{2}}{4} + 2 > 0.$

Nên x = t ⇔ (x - 1)(x² + x - 1) = 0

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + x - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = \dfrac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $S = \left\{ 1;\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2};\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \right\}$ .

Ví dụ. Giải phương trình: $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x + 6 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq - 1$

Đặt $\sqrt{x + 1} = t \geq 0$ => x + 1 = t², ta có phương trình

$t + \sqrt{t^{2} + 5} = 5 \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} + 5} = 5 - t$ (*)

Điều kiện (*) là: 5 – t ≥ 0 ⬄ t ≤ 5, BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ của (*) ta có

t² + 5 = 25 – 10t + t² ⬄ t = 2 (thỏa mãn điều kiện của 0 ≤ t ≤ 5)

$\sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Ví dụ. Giải phương trình: $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x + 6 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq - 1$

Đặt $\sqrt{x + 1} = t \geq 0$ => x + 1 = t², ta có phương trình

$t + \sqrt{t^{2} + 5} = 5 \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} + 5} = 5 - t$ (*)

Điều kiện (*) là: 5 – t ≥ 0 ⬄ t ≤ 5, BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ của (*) ta có

t² + 5 = 25 – 10t + t² ⬄ t = 2 (thỏa mãn điều kiện của 0 ≤ t ≤ 5)

=> $\sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Dạng 3: Đánh giá

Phương pháp: Phương trình nếu luôn có $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq m \\ g(x) \leq m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) = m \\ g(x) = m \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} + \sqrt{5x^{2} + 10x + 14} = 4 - 2x - x^{2}.$

b) $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} = \sqrt{x + 9}.$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho $\Leftrightarrow \sqrt{3(x + 1)^{2} + 4} + \sqrt{5(x + 1)^{2} + 9} = 5 - (x + 1)^{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} VT \geq 5 \\ VP \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow VT = VP = 5.$

Dấu “” xảy ra ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy $S = \left\{ \frac{21 + \sqrt{41}}{2} \right\}$ .

b) Điều kiện: x ≥ 0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by) ≤ (a²+ b²)(x² + y²)

Dấu “” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ .

$\left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x} \right)^{2} \leq \left\lbrack \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} + x + 1 \right\rbrack\left\lbrack \frac{1}{x + 1} + \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} \right)^{2} \right\rbrack = x + 9$

Dấu “” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \left\{ \frac{1}{7} \right\}$ .

Ví dụ. Giải phương trình $\sqrt{x + 4 - 4\sqrt{x}} - \sqrt{x + 9 - 6\sqrt{x}} = 1$ (*)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x ≥ 0

Với phương trình này ta dễ dàng nhận thấy:

$x + 4 - 4\sqrt{x} = \left( \sqrt{x} - 2 \right)^{2}$

$x + 9 - 6\sqrt{x} = \left( \sqrt{x} - 3 \right)^{2}$

Phương trình (*) tương đương: $\left| \sqrt{x} - 2 \right| - \left| \sqrt{x} - 3 \right| = 1$

TH1: Nếu $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 9$ ta có:

0. $\sqrt{x}$ = 0 => Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0

TH2: Nếu $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 4 \\ x < 9 \end{matrix} \right.$ ta có:

$\left( \sqrt{x} - 2 \right) - \left( 3 - \sqrt{x} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} = 6 \Leftrightarrow x = 9$ (Loại)

TH3: Nếu $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ \sqrt{x} - 3 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x < 4 \\ x \geq 9 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \in \varnothing$

TH4: Nếu $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ \sqrt{x} - 3 < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \Leftrightarrow x < 4$ ta có:

$\left( 2 - \sqrt{x} \right) - \left( 3 - \sqrt{x} \right) = 1 \Leftrightarrow 0.\sqrt{x} = 2$

=> Phương trình có vô nghiệm

Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12} + \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} = 8$

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

3x² + 6x + 12 = 3(x² + 2x + 1) + 9 = 3(x + 1)² + 9 ≥ 9

=> $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12}$ ≥ 3

5x⁴ - 10x² + 30 = 5(x² - 2x + 1) + 25 = 5(x - 1)² + 25 ≥ 25

=> $\sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30}$ ≥ 5

Do đó: $\sqrt{3x^{2} + 6x + 12} + \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} \geq 8$

Phương trình thỏa mãn:

⬄ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{3x^{2} + 6x + 12} = 3 \\ \sqrt{5x^{4} - 10x^{2} + 30} = 5 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3(x + 1)^{2} + 9\ = \ 9 \\ 5\left( x^{2} - 1 \right)^{2} + 25\ = \ 25 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 0 \\ x^{2} - 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = - 1$

Vậy phương trình có nghiệm x = - 1.

B. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Giải phương trình: $10\sqrt{x^{3} + 1} = 3\left( x^{2} + 2 \right)$ .

Bài 2: Giải phương trình $\sqrt{4x^{2} + 5x + 1} - 2\sqrt{x^{2} - x + 1} = 9x - 3.$

Bài 3: Giải phương trình $2x^{2} + 3x + 7 = (x + 5)\sqrt{2x^{2} + 1}$ .

Bài 4: Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 2x + 17} - 5|x - 1| = 4\ (**)$ .

Bài 5. Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} + \sqrt{5x^{2} + 10x + 14} = 4 - 2x - x^{2}$ .

Bài 6. Giải phương trình $x^{2} - 2x + 3\sqrt{x^{2} - 2x - 3} = 7$ .

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!

----------------------------------------------

Đừng dừng lại ở việc “hiểu cách làm”, hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau, kết hợp bấm máy kiểm tra nhanh và rèn tư duy biến đổi linh hoạt. Khi đã thành thạo dạng toán phương trình chứa căn, bạn sẽ tự tin hơn rất nhiều khi đối mặt với các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong đề thi chính thức.

👉 Hãy lưu lại chuyên đề này để ôn tập nhiều lần và chia sẻ cho bạn bè nếu bạn thấy hữu ích – vì càng luyện tập sớm, cơ hội đạt điểm 8–9+ trong kỳ thi vào 10 môn Toán càng nằm chắc trong tay bạn!

Tải về

Chọn file muốn tải về: