VnDoc.com

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề thi vào 10: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

I. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
II. Bài tập ví dụ giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
III. Bài tập tự luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt cần thiết khi gặp các hệ phương trình có chứa biểu thức phức tạp hoặc dạng đối xứng. Đây là phương pháp giúp đơn giản hóa hệ, đưa bài toán về dạng quen thuộc dễ xử lý.

Trong bài viết này, bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết cách nhận biết dạng bài cần đặt ẩn phụ, quy trình thực hiện từng bước, cùng các ví dụ minh họa có lời giải giúp học sinh dễ hiểu và áp dụng hiệu quả. Đây là tài liệu hữu ích dành cho học sinh ôn tập, chuẩn bị cho các kỳ kiểm tra, thi vào lớp 10 môn Toán, hoặc đơn giản là muốn nắm chắc kỹ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Cùng tìm hiểu ngay sau đây!

I. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa

Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn phụ

Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số) sau đó kết hợp với điều kiện của ẩn phụ

Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước như sau:

+ Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới.

+ Dùng phương trình mới thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (vẫn giữ nguyên phương trình kia).

Chú ý:

Trường hợp 1: Nếu các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau thì ta trừ hai phương trình với nhau, còn nếu đối nhau thì ta cộng hai phương trình với nhau.

Trường hợp 2: Nếu các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau và không đối nhau ta phải thực hiện biến đổi cùng nhân hai vế các phương trình với một số nào đó để đưa về trường hợp 1.

Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước:

+ Từ một phương trình đã cho (coi như phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình mới (chỉ có một ẩn).

+ Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

Bước 4: Với mỗi giá trị ẩn phụ tìm được, tìm nghiệm tương ứng của hệ phương trình và kết hợp với điều kiện ban đầu

II. Bài tập ví dụ giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{y + 2} = - 1 \\ \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{y + 2} = \dfrac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{y + 2} = - 1 \\ \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{y + 2} = \dfrac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \neq 1;y \neq - 2$ $x \neq 1;y \neq - 2$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x - 1} = a \\ \dfrac{1}{y + 2} = b \\ \end{matrix} \right.\ ;(a;b \neq 0)$ $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x - 1} = a \\ \dfrac{1}{y + 2} = b \\ \end{matrix} \right.\ ;(a;b \neq 0)$ hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ \begin{matrix} 3a - 4b = - 1 \\ a + 2b = \dfrac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a - 4b = - 1 \\ a = \dfrac{4}{3} - 2b \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3a - 4b = - 1 \\ a + 2b = \dfrac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a - 4b = - 1 \\ a = \dfrac{4}{3} - 2b \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{4}{3} - 2b \right) - 4b = - 1 \\ a = \dfrac{4}{3} - 2b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 10b + 4 = - 1 \\ a = \dfrac{4}{3} - 2b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \dfrac{1}{2} \\ a = \dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{4}{3} - 2b \right) - 4b = - 1 \\ a = \dfrac{4}{3} - 2b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 10b + 4 = - 1 \\ a = \dfrac{4}{3} - 2b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \dfrac{1}{2} \\ a = \dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Với $\left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{x - 1} = \frac{1}{3} \Rightarrow x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4(tm) \\ b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{y + 2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y + 2 = 2 \Rightarrow y = 0(tm) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{x - 1} = \frac{1}{3} \Rightarrow x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4(tm) \\ b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{y + 2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y + 2 = 2 \Rightarrow y = 0(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (4;0)$.

Bài 2: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x - 2} - 3\sqrt{y + 1} = - 4 \\ 3\sqrt{x - 2} + 2\sqrt{y + 1} = 7 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x - 2} - 3\sqrt{y + 1} = - 4 \\ 3\sqrt{x - 2} + 2\sqrt{y + 1} = 7 \\ \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \geq 2;y \geq - 1$ $x \geq 2;y \geq - 1$

Đặt $\sqrt{x - 2} = a;\sqrt{y + 1} = b;(a \geq 0;b \geq 0)$ $\sqrt{x - 2} = a;\sqrt{y + 1} = b;(a \geq 0;b \geq 0)$

Hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{matrix} 2a - 3b = - 4 \\ 3a + 2b = 7 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2a - 3b = - 4 \\ 3a + 2b = 7 \\ \end{matrix} \right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 2a - 3b = - 4 \\ 3a + 2b = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 3b = - 4 \\ b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2a - 3b = - 4 \\ 3a + 2b = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 3b = - 4 \\ b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 3\left( \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \right) = - 4 \\ b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{13}{2}a - \dfrac{21}{2} = - 4 \\ b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 3\left( \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \right) = - 4 \\ b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{13}{2}a - \dfrac{21}{2} = - 4 \\ b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{13}{2}a = \dfrac{13}{2} \\ b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{13}{2}a = \dfrac{13}{2} \\ b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Với $a = 1 \Rightarrow \sqrt{x - 2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3(tm)$ $a = 1 \Rightarrow \sqrt{x - 2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3(tm)$

$b = 2 \Rightarrow \sqrt{y + 1} = 4 \Rightarrow y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3(tm)$ $b = 2 \Rightarrow \sqrt{y + 1} = 4 \Rightarrow y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3(tm)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (3;3)$.

Bài 3: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{5}{x + y - 3} - \dfrac{2}{x - y + 1} = 8 \\ \dfrac{3}{x + y - 3} + \dfrac{1}{x - y + 1} = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{5}{x + y - 3} - \dfrac{2}{x - y + 1} = 8 \\ \dfrac{3}{x + y - 3} + \dfrac{1}{x - y + 1} = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x + y \neq 3;x - y \neq - 1$ $x + y \neq 3;x - y \neq - 1$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x + y - 3} = u \\ \dfrac{1}{x - y + 1} = v \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x + y - 3} = u \\ \dfrac{1}{x - y + 1} = v \\ \end{matrix} \right.$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5u - 2v = 8 \\ 3u + v = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u = 1 \\ v = \dfrac{- 3}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x + y - 3} = 1 \\ \dfrac{1}{x - y + 1} = \dfrac{- 3}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5u - 2v = 8 \\ 3u + v = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u = 1 \\ v = \dfrac{- 3}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x + y - 3} = 1 \\ \dfrac{1}{x - y + 1} = \dfrac{- 3}{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y - 3 = 1 \\ x - y + 1 = - \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1\dfrac{1}{6} \\ y = 2\dfrac{5}{6} \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y - 3 = 1 \\ x - y + 1 = - \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1\dfrac{1}{6} \\ y = 2\dfrac{5}{6} \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( 1\frac{1}{6};2\frac{5}{6} \right)$ $(x;y) = \left( 1\frac{1}{6};2\frac{5}{6} \right)$.

Bài 4: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 3\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 3\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = 1 \end{array} \right.$	2, $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{{2x - y}} - \dfrac{6}{{x + y}} = - 1\\ \dfrac{1}{{2x - y}} - \dfrac{1}{{x + y}} = 0 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{{2x - y}} - \dfrac{6}{{x + y}} = - 1\\ \dfrac{1}{{2x - y}} - \dfrac{1}{{x + y}} = 0 \end{array} \right.$
3, $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{{x + y - 5}} + \dfrac{3}{{2x - y + 1}} = 2\\ \dfrac{4}{{x + y - 5}} - \dfrac{3}{{2x - y + 1}} = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{{x + y - 5}} + \dfrac{3}{{2x - y + 1}} = 2\\ \dfrac{4}{{x + y - 5}} - \dfrac{3}{{2x - y + 1}} = 1 \end{array} \right.$	4, $\left\{ \begin{array}{l} \left\| {x - 1} \right\| + y = 2\\ 3\left\| {1 - x} \right\| - 2y = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \left\| {x - 1} \right\| + y = 2\\ 3\left\| {1 - x} \right\| - 2y = 1 \end{array} \right.$
5, $\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {y + 1} = 0\\ 3\left( {{x^2} - 2x} \right) - 2\sqrt {y + 1} = - 7 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {y + 1} = 0\\ 3\left( {{x^2} - 2x} \right) - 2\sqrt {y + 1} = - 7 \end{array} \right.$	6, $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{5}{{x - 2}} - \dfrac{{2y - 4}}{{y - 3}} = 2\\ \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{y - 3}} = 4 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{5}{{x - 2}} - \dfrac{{2y - 4}}{{y - 3}} = 2\\ \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{y - 3}} = 4 \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

a, Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 3\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 3\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = 1 \end{array} \right.$(I) , điều kiện $x \ne 0;y \ne 0$ $x \ne 0;y \ne 0$

Đặt $a = \frac{1}{x};b = \frac{1}{y}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$ $a = \frac{1}{x};b = \frac{1}{y}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$

Khi đó hệ (I) trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 3\\ a + 2b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 3\\ 2a + 4b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {2a + 4b} \right) - \left( {2a + 3b} \right) = 2 - 3\\ 2a + 4b = 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 3\\ a + 2b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 3\\ 2a + 4b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {2a + 4b} \right) - \left( {2a + 3b} \right) = 2 - 3\\ 2a + 4b = 2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} b = - 1\\ 2a - 4 = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3 (tm)\\ b = - 1 (tm) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} b = - 1\\ 2a - 4 = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3 (tm)\\ b = - 1 (tm) \end{array} \right.$

Với $a = 3 \Rightarrow \frac{1}{x} = 3 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\left( {tm} \right)$ $a = 3 \Rightarrow \frac{1}{x} = 3 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\left( {tm} \right)$

Với $b = - 1 \Rightarrow \frac{1}{y} = - 1 \Leftrightarrow y = - 1\left( {tm} \right)$ $b = - 1 \Rightarrow \frac{1}{y} = - 1 \Leftrightarrow y = - 1\left( {tm} \right)$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{3}; - 1} \right)$ $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{3}; - 1} \right)$

b, Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{{2x - y}} - \dfrac{6}{{x + y}} = - 1\\ \dfrac{1}{{2x - y}} - \dfrac{1}{{x + y}} = 0 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{{2x - y}} - \dfrac{6}{{x + y}} = - 1\\ \dfrac{1}{{2x - y}} - \dfrac{1}{{x + y}} = 0 \end{array} \right.$(I), điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} 2x - y \ne 0\\ x + y \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x \ne y\\ x \ne - y \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2x - y \ne 0\\ x + y \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x \ne y\\ x \ne - y \end{array} \right.$

Đặt $a = \frac{1}{{2x - y}};b = \frac{1}{{x + y}}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$ $a = \frac{1}{{2x - y}};b = \frac{1}{{x + y}}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$

Khi đó hệ (I) trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} 3a - 6b = - 1\\ a - b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 6a = - 1\\ a = b \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3a - 6b = - 1\\ a - b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 6a = - 1\\ a = b \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a = - 1\\ a = b \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a = - 1\\ a = b \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{3} (tm)\\ b = \dfrac{1}{3} (tm) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{3} (tm)\\ b = \dfrac{1}{3} (tm) \end{array} \right.$

Với $a = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3} \Rightarrow 2x - y = 3$ $a = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3} \Rightarrow 2x - y = 3$(1)

Với $b = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x + y = 3$ $b = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x + y = 3$(2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 3\\ x + y = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {2x - y} \right) + \left( {x + y} \right) = 3 + 3\\ x + y = 3 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 3\\ x + y = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {2x - y} \right) + \left( {x + y} \right) = 3 + 3\\ x + y = 3 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2(tm)\\ y = 1(tm) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2(tm)\\ y = 1(tm) \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1)

c, Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{{x + y - 5}} + \dfrac{3}{{2x - y + 1}} = 2\\ \dfrac{4}{{x + y - 5}} - \dfrac{3}{{2x - y + 1}} = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{{x + y - 5}} + \dfrac{3}{{2x - y + 1}} = 2\\ \dfrac{4}{{x + y - 5}} - \dfrac{3}{{2x - y + 1}} = 1 \end{array} \right.$(I), điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} x + y - 5 \ne 0\\ 2x - y + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y \ne 5\\ 2x - y \ne - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + y - 5 \ne 0\\ 2x - y + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y \ne 5\\ 2x - y \ne - 1 \end{array} \right.$

Đặt $a = \frac{1}{{x + y - 5}};b = \frac{1}{{2x - y + 1}}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$ $a = \frac{1}{{x + y - 5}};b = \frac{1}{{2x - y + 1}}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$

Khi đó hệ (I) trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 2\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {2a + 3b} \right) + \left( {4a - 3b} \right) = 3\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a = 3\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 2\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {2a + 3b} \right) + \left( {4a - 3b} \right) = 3\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a = 3\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{2}\\ 4.\dfrac{1}{2} - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{2} (tm)\\ b = \dfrac{1}{3} (tm) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{2}\\ 4.\dfrac{1}{2} - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{2} (tm)\\ b = \dfrac{1}{3} (tm) \end{array} \right.$

Với $a = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{{x + y - 5}} = \frac{1}{2}$ $a = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{{x + y - 5}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow x + y - 5 = 2 \Leftrightarrow x + y = 7$ $\Rightarrow x + y - 5 = 2 \Leftrightarrow x + y = 7$ (1)

Với $b = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{2x - y + 1}} = \frac{1}{3}$ $b = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{2x - y + 1}} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2x - y + 1 = 3 \Leftrightarrow 2x - y = 2$ $\Rightarrow 2x - y + 1 = 3 \Leftrightarrow 2x - y = 2$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 7\\ 2x - y = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 7\\ 3x = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 4 \end{array} \right.\left( {tm} \right)$ $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 7\\ 2x - y = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 7\\ 3x = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 4 \end{array} \right.\left( {tm} \right)$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 4)

d, Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 1} \right| + y = 2\\ 3\left| {1 - x} \right| - 2y = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 1} \right| + y = 2\\ 3\left| {1 - x} \right| - 2y = 1 \end{array} \right.$(I)

Đặt $a = \left| {x - 1} \right|\left( {a \ge 0} \right)$ $a = \left| {x - 1} \right|\left( {a \ge 0} \right)$

Khi đó hệ (I) trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} a + y = 2\\ 3a - 2y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 2y = 4\\ 3a - 2y = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} a + y = 2\\ 3a - 2y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 2y = 4\\ 3a - 2y = 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5a = 5\\ 3a - 2y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\left( {tm} \right)\\ y = 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5a = 5\\ 3a - 2y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\left( {tm} \right)\\ y = 1 \end{array} \right.$

Với $a = 1 \Rightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 0 \end{array} \right.$ $a = 1 \Rightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 0 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (0; 1)

e, Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {y + 1} = 0\\ 3\left( {{x^2} - 2x} \right) - 2\sqrt {y + 1} = - 7 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {y + 1} = 0\\ 3\left( {{x^2} - 2x} \right) - 2\sqrt {y + 1} = - 7 \end{array} \right.$(I), điều kiện $y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge - 1$ $y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge - 1$

Đặt $a = {x^2} - 2x;b = \sqrt {y + 1} \left( {b \ge 0} \right)$ $a = {x^2} - 2x;b = \sqrt {y + 1} \left( {b \ge 0} \right)$

Hệ (I) trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 0\\ 3a - 2b = - 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a + 2b = 0\\ 3a - 2b = - 7 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 0\\ 3a - 2b = - 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a + 2b = 0\\ 3a - 2b = - 7 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7a = - 7\\ 3a - 2b = - 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 2\left( {tm} \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7a = - 7\\ 3a - 2b = - 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 2\left( {tm} \right) \end{array} \right.$

Với $a = - 1 \Rightarrow {x^2} - 2a = - 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ $a = - 1 \Rightarrow {x^2} - 2a = - 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1$

Với $b = 2 \Rightarrow \sqrt {y + 1} = 2 \Leftrightarrow y + 1 = 4 \Leftrightarrow y = 3\left( {tm} \right)$ $b = 2 \Rightarrow \sqrt {y + 1} = 2 \Leftrightarrow y + 1 = 4 \Leftrightarrow y = 3\left( {tm} \right)$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 3)

f, Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{5}{{x - 2}} - \dfrac{{2y - 4}}{{y - 3}} = 2\\ \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{y - 3}} = 4 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{5}{{x - 2}} - \dfrac{{2y - 4}}{{y - 3}} = 2\\ \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{y - 3}} = 4 \end{array} \right.$(I), điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x - 2 \ne 0\\ y - 3 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ y \ne 3 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x - 2 \ne 0\\ y - 3 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ y \ne 3 \end{array} \right.$

$\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{5}{{x - 2}} - \dfrac{{2\left( {y - 3} \right) + - 2}}{{y - 3}} = 2\\ \dfrac{{\left( {x - 2} \right) + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{y - 3}} = 4 \end{array} \right.$ $\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{5}{{x - 2}} - \dfrac{{2\left( {y - 3} \right) + - 2}}{{y - 3}} = 2\\ \dfrac{{\left( {x - 2} \right) + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{y - 3}} = 4 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{{x - 2}} - 2 + \frac{2}{{y - 3}} = 2\\ 1 + \frac{4}{{x - 2}} - \frac{2}{{y - 3}} = 4 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{{x - 2}} - 2 + \frac{2}{{y - 3}} = 2\\ 1 + \frac{4}{{x - 2}} - \frac{2}{{y - 3}} = 4 \end{array} \right.$

Đặt $a = \frac{1}{{x - 2}};b = \frac{1}{{y - 3}}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$ $a = \frac{1}{{x - 2}};b = \frac{1}{{y - 3}}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$

Hệ (I) trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} 5a + 2b = 4\\ 4a - 2b = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9a = 7\\ 4a - 2b = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{7}{9} (tm)\\ b = \frac{1}{{18}} (tm) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 5a + 2b = 4\\ 4a - 2b = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9a = 7\\ 4a - 2b = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{7}{9} (tm)\\ b = \frac{1}{{18}} (tm) \end{array} \right.$

Với $a = \frac{7}{9} \Rightarrow \frac{1}{{x - 2}} = \frac{7}{9} \Rightarrow x - 2 = \frac{9}{7} \Leftrightarrow x = \frac{{23}}{7}$ $a = \frac{7}{9} \Rightarrow \frac{1}{{x - 2}} = \frac{7}{9} \Rightarrow x - 2 = \frac{9}{7} \Leftrightarrow x = \frac{{23}}{7}$ (thỏa mãn)

Với $b = \frac{1}{{18}} \Rightarrow \frac{1}{{y - 3}} = \frac{1}{{18}} \Rightarrow y - 3 = 18 \Leftrightarrow y = 21$ $b = \frac{1}{{18}} \Rightarrow \frac{1}{{y - 3}} = \frac{1}{{18}} \Rightarrow y - 3 = 18 \Leftrightarrow y = 21$(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm.

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau đây :

a. $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{3}{2 - y} = 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{2 - y} = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{3}{2 - y} = 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{2 - y} = 1 \\ \end{matrix} \right.$ b. $\left\{ \begin{matrix} x + y + xy = - 7 \\ x^{2} + y^{2} - 3x - 3y = 16 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x + y + xy = - 7 \\ x^{2} + y^{2} - 3x - 3y = 16 \\ \end{matrix} \right.$ c. $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2xy + y^{2} = 11(1) \\ x^{2} + 2xy + 5y^{2} = 25(2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2xy + y^{2} = 11(1) \\ x^{2} + 2xy + 5y^{2} = 25(2) \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a. $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2 - y} = 2 \\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{2 - y} = 1 \\\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2 - y} = 2 \\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{2 - y} = 1 \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện xác định $x \neq 0\ ,\ y \neq 2$ $x \neq 0\ ,\ y \neq 2$

Đặt $\frac{1}{x} = a,\frac{1}{2 - y} = b$ $\frac{1}{x} = a,\frac{1}{2 - y} = b$ hệ phương trình trở thành :

$\left\{ \begin{matrix}a - 3b = 2 \\2a - b = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a - 3b = 2 \\6a - 3b = 3 \\\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}a - 3b = 2 \\2a - b = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a - 3b = 2 \\6a - 3b = 3 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}5a = 1 \\2a - b = 1 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}5a = 1 \\2a - b = 1 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \frac{1}{5} \\b = 2a - 1 = 2.\frac{1}{5} - 1 = - \frac{3}{5} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \frac{1}{5} \\b = 2a - 1 = 2.\frac{1}{5} - 1 = - \frac{3}{5} \\\end{matrix} \right.$

Thay a và b trở lại hệ phương trình ban đầu ta được:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{5} \\\frac{1}{2 - y} = - \dfrac{3}{5} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 5 \\y = 2 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{11}{3} \\\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{5} \\\frac{1}{2 - y} = - \dfrac{3}{5} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 5 \\y = 2 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{11}{3} \\\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: $(x;y) = \left( 5;\frac{11}{3} \right)$ $(x;y) = \left( 5;\frac{11}{3} \right)$

b. $\left\{ \begin{matrix}x + y + xy = - 7 \\x^{2} + y^{2} - 3x - 3y = 16 \\\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}x + y + xy = - 7 \\x^{2} + y^{2} - 3x - 3y = 16 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y + xy = - 7 \$x + y)^{2} - 2xy - 3(x + y) = 16 \\\end{matrix} \right.$ \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y + xy = - 7 \\(x + y)^{2} - 2xy - 3(x + y) = 16 \\\end{matrix} \right.$

Đặt x+ y = S, xy = P, hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{matrix}S + P = - 7 \\S^{2} - 2P - 3S = 16 \\\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}S + P = - 7 \\S^{2} - 2P - 3S = 16 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}P = - 7 - S \\S^{2} - 2( - 7 - S) - 3S = 16 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}P = - 7 - S \\S^{2} - 2( - 7 - S) - 3S = 16 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}P = - 7 - S \\S^{2} - S - 2 = 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}P = - 7 - S \\S^{2} - S - 2 = 0 \\\end{matrix} \right.$

Phương trình S² – S – 2 = 0 dễ thấy a - b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm S₁ = -1 , S₂ = 2

Với S = S₁ = -1 ta có P = -7 + 1 = -6 $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = - 1 \\ xy = - 6 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = - 1 \\ xy = - 6 \\ \end{matrix} \right.$

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai sau : A² + A - 6 = 0

$\Delta = 1^{2} - 4.1.( - 6) = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5$ $\Delta = 1^{2} - 4.1.( - 6) = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5$.

Phương trình có hai nghiệm:

$A_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2;A_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3$ $A_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2;A_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3$

=> Hệ phương trình có nghiệm là: (2; -3) và (-3; 2)

Với S = S₂ = 2 ta có P = -7 - 2 = -9

=> HS tự giải tương tự phía trên

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

(2; -3), (-3; 2), $\left( 1 - \sqrt{10};1 + \sqrt{10} \right),\left( 1 + \sqrt{10};1 - \sqrt{10} \right)$ $\left( 1 - \sqrt{10};1 + \sqrt{10} \right),\left( 1 + \sqrt{10};1 - \sqrt{10} \right)$

c. $\left\{ \begin{matrix}3x^{2} + 2xy + y^{2} = 11(1) \\x^{2} + 2xy + 5y^{2} = 25(2) \\\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}3x^{2} + 2xy + y^{2} = 11(1) \\x^{2} + 2xy + 5y^{2} = 25(2) \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}25.\left( 3x^{2} + 2xy + y^{2} \right) = 25.11 \\11.\left( x^{2} + 2xy + 5y^{2} \right) = 11.25 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}25.\left( 3x^{2} + 2xy + y^{2} \right) = 25.11 \\11.\left( x^{2} + 2xy + 5y^{2} \right) = 11.25 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 75x^{2} + 50xy + 25y^{2} = 275 \\ 11x^{2} + 22xy + 55y^{2} = 275 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 75x^{2} + 50xy + 25y^{2} = 275 \\ 11x^{2} + 22xy + 55y^{2} = 275 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có:

$\Rightarrow 75x^{2} + 50xy + 25y^{2} = 11x^{2} + 22xy + 55y^{2}$ $\Rightarrow 75x^{2} + 50xy + 25y^{2} = 11x^{2} + 22xy + 55y^{2}$

$\Leftrightarrow 64x^{2} + 28xy - 30y^{2} = 0 \Leftrightarrow 32x^{2} + 14xy - 15y^{2} = 0(*)$ $\Leftrightarrow 64x^{2} + 28xy - 30y^{2} = 0 \Leftrightarrow 32x^{2} + 14xy - 15y^{2} = 0(*)$

Với y = 0 thay vào hệ phương trình ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2} = 11 \\ x^{2} = 25 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2} = 11 \\ x^{2} = 25 \\ \end{matrix} \right.$ (hệ phương trình vô nghiệm)

Với y $\neq$ $\neq$0 chia hai vế của phương trình (*) cho y² ta được phương trình mới như sau :

$\frac{32x^{2}}{y^{2}} + \frac{14x}{y} - 15 = 0 \Leftrightarrow 32.\left( \frac{x}{y} \right)^{2} + 14.\frac{x}{y} - 15 = 0$ $\frac{32x^{2}}{y^{2}} + \frac{14x}{y} - 15 = 0 \Leftrightarrow 32.\left( \frac{x}{y} \right)^{2} + 14.\frac{x}{y} - 15 = 0$

Đặt t = $\frac{x}{y}$ $\frac{x}{y}$ ta có phương trình 32t² + 14t – 15 = 0

Phương trình trên có $\Delta$ $\Delta' = 7^{2} - 32.( - 15) = 529 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = 23$

Phương trình có hai nghiệm $t_{1} = \frac{- 7 - 23}{32} = - \frac{15}{16};t_{2} = \frac{- 7 + 23}{32} = \frac{1}{2}$ $t_{1} = \frac{- 7 - 23}{32} = - \frac{15}{16};t_{2} = \frac{- 7 + 23}{32} = \frac{1}{2}$

Xét trường hợp:

t = t₁ = $- \frac{15}{16}$ $- \frac{15}{16}$ $\Rightarrow \frac{x}{y} = - \frac{15}{16} \Rightarrow x = - \frac{15}{16}y$ $\Rightarrow \frac{x}{y} = - \frac{15}{16} \Rightarrow x = - \frac{15}{16}y$. Thay vào phương trình (2) ta có:

$\left( - \frac{15}{16}y \right)^{2} + 2.\left( - \frac{15}{16}y \right)y + 5y^{2} = 25$ $\left( - \frac{15}{16}y \right)^{2} + 2.\left( - \frac{15}{16}y \right)y + 5y^{2} = 25$

$\Leftrightarrow 225y^{2} - 480y^{2} + 1280y^{2} = 6400$ $\Leftrightarrow 225y^{2} - 480y^{2} + 1280y^{2} = 6400$

$\Leftrightarrow 1025y^{2} = 6400 \Leftrightarrow y^{2} = \frac{256}{41} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = \frac{16}{\sqrt{41}} \\ y = - \frac{16}{\sqrt{41}} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 1025y^{2} = 6400 \Leftrightarrow y^{2} = \frac{256}{41} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = \frac{16}{\sqrt{41}} \\ y = - \frac{16}{\sqrt{41}} \\ \end{matrix} \right.$

Với $y = \frac{16}{\sqrt{41}} \Rightarrow x = - \frac{15}{16}.\frac{16}{\sqrt{41}} = - \frac{15}{\sqrt{41}}$ $y = \frac{16}{\sqrt{41}} \Rightarrow x = - \frac{15}{16}.\frac{16}{\sqrt{41}} = - \frac{15}{\sqrt{41}}$

Với $y = - \frac{16}{\sqrt{41}} \Rightarrow x = - \frac{15}{16}.\left( - \frac{16}{\sqrt{41}} \right) = \frac{15}{\sqrt{41}}$ $y = - \frac{16}{\sqrt{41}} \Rightarrow x = - \frac{15}{16}.\left( - \frac{16}{\sqrt{41}} \right) = \frac{15}{\sqrt{41}}$

Xét trường hợp:

t = t₂ = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}y$ $\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}y$ . Thay vào phương trình (2) ta có :

$\left( \frac{1}{2}y \right)^{2} + 2.\left( \frac{1}{2}y \right)y + 5y^{2} = 25\ \Leftrightarrow y^{2} + 4y^{2} + 20y^{2} = 100$ $\left( \frac{1}{2}y \right)^{2} + 2.\left( \frac{1}{2}y \right)y + 5y^{2} = 25\ \Leftrightarrow y^{2} + 4y^{2} + 20y^{2} = 100$

$\Leftrightarrow 25y^{2} = 100 \Leftrightarrow y^{2} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = 2 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 25y^{2} = 100 \Leftrightarrow y^{2} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = 2 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

Với y = 2 $\Rightarrow x = \frac{1}{2}.2 = 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2}.2 = 1$

Với y = -2 $\Rightarrow x = \frac{1}{2}.( - 2) = - 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2}.( - 2) = - 1$

Kết luận: Hệ phương trình có bốn nghiệm (x; y) là:

$\left( - \frac{15}{\sqrt{41}};\frac{16}{\sqrt{41}} \right),\left( \frac{15}{\sqrt{41}}; - \frac{16}{\sqrt{41}} \right),(1;2),( - 1; - 2)$ $\left( - \frac{15}{\sqrt{41}};\frac{16}{\sqrt{41}} \right),\left( \frac{15}{\sqrt{41}}; - \frac{16}{\sqrt{41}} \right),(1;2),( - 1; - 2)$.

Bài 6. Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{matrix} x + 2\sqrt{(x - y)(y + 1)} = 4y + 3(1) \\ 3\sqrt{y + 1} = 3x - 5y(2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x + 2\sqrt{(x - y)(y + 1)} = 4y + 3(1) \\ 3\sqrt{y + 1} = 3x - 5y(2) \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x \geq y \\ y \geq - 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x \geq y \\ y \geq - 1 \end{matrix} \right.$

Đặt $u = \sqrt{x - y},v = \sqrt{y + 1},u \geq 0,v \geq 0$ $u = \sqrt{x - y},v = \sqrt{y + 1},u \geq 0,v \geq 0$

$(1)$ Hệ trở thành $u^{2} + 2uv - 3v^{2} = 0 \Leftrightarrow u = v$ $u^{2} + 2uv - 3v^{2} = 0 \Leftrightarrow u = v$ (vì $u = - 3v$ loại)

$\Rightarrow x = 2y + 1$ $\Rightarrow x = 2y + 1$ thay vào $(2)$ $3\sqrt{y + 1} = y + 1 \Leftrightarrow y = 8$ $3\sqrt{y + 1} = y + 1 \Leftrightarrow y = 8$ ( $y = - 1$ không thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (17; 8).

Bài 7: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 1 + x^{2}y^{2} + 5xy = 7x^{2} \\ 1 + xy + 3y = 5x \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 1 + x^{2}y^{2} + 5xy = 7x^{2} \\ 1 + xy + 3y = 5x \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

* Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.

* Với $x \neq 0$ $x \neq 0$ hệ $\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} + \frac{5y}{x} = 7 \\ \frac{1}{x} + y + 3\frac{y}{x} = 5 \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} + \frac{5y}{x} = 7 \\ \frac{1}{x} + y + 3\frac{y}{x} = 5 \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{x} + y \right)^{2} - 2.\frac{1}{x}.y + \frac{5y}{x} = 7 \\ \frac{1}{x} + y + 3\frac{y}{x} = 5 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{x} + y \right)^{2} + 3\frac{y}{x} = 7 \\ \frac{1}{x} + y + 3\frac{y}{x} = 5 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{x} + y \right)^{2} - 2.\frac{1}{x}.y + \frac{5y}{x} = 7 \\ \frac{1}{x} + y + 3\frac{y}{x} = 5 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{x} + y \right)^{2} + 3\frac{y}{x} = 7 \\ \frac{1}{x} + y + 3\frac{y}{x} = 5 \end{matrix} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = \frac{1}{x} + y \\ v = \frac{y}{x} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u = \frac{1}{x} + y \\ v = \frac{y}{x} \end{matrix} \right.$

Hệ trở thành $\left\{ \begin{matrix} u^{2} + 3v = 7\ \ \ (1) \\ u + 3v = 5\ \ \ \ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u^{2} + 3v = 7\ \ \ (1) \\ u + 3v = 5\ \ \ \ \ (2) \end{matrix} \right.$

Giải được $\left\lbrack \begin{matrix} u = - 1;v = 2 \\ u = 2;v = 1 \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} u = - 1;v = 2 \\ u = 2;v = 1 \end{matrix} \right.$

* Với $u = - 1 \Rightarrow v=2$ $u = - 1 \Rightarrow v=2$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + y = - 1 \\ \frac{y}{x} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + 2x = - 1 \\ y = 2x \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + x + 1 = 0\ \ \ (VN) \\ y = 2x \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + y = - 1 \\ \frac{y}{x} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + 2x = - 1 \\ y = 2x \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + x + 1 = 0\ \ \ (VN) \\ y = 2x \end{matrix} \right.$

* Với $u = 2 \Rightarrow v=1$ $u = 2 \Rightarrow v=1$ ta có

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + y = 2 \\ \frac{y}{x} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + x = 2 \\ y = x \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 2x + 1 = 0\ \\ y = x \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1\ \\ y = 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + y = 2 \\ \frac{y}{x} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + x = 2 \\ y = x \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 2x + 1 = 0\ \\ y = x \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1\ \\ y = 1 \end{matrix} \right.$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) \in \left\{ (1;1) \right\}$ $(x;y) \in \left\{ (1;1) \right\}$ .

III. Bài tập tự luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài tập 1; Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + \dfrac{5}{y} = 43\\\dfrac{7}{x} - \dfrac{3}{y} = 7\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + \dfrac{5}{y} = 43\\\dfrac{7}{x} - \dfrac{3}{y} = 7\end{array} \right.$	2, $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{y + 2}} = - 1\\\dfrac{3}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{y + 2}} = 2\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{y + 2}} = - 1\\\dfrac{3}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{y + 2}} = 2\end{array} \right.$
3, $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{y}{{y - 1}} = 0\\\dfrac{{2x}}{{x - 1}} - \dfrac{y}{{y - 1}} = 6\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{y}{{y - 1}} = 0\\\dfrac{{2x}}{{x - 1}} - \dfrac{y}{{y - 1}} = 6\end{array} \right.$	4, $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + {y^2} = 4\\ 3{x^2} - {y^2} = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + {y^2} = 4\\ 3{x^2} - {y^2} = 1 \end{array} \right.$
5, $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{{2x + 1}} + \dfrac{9}{{y - 1}} = - 1\\\dfrac{3}{{2x + 1}} - \dfrac{2}{{y - 1}} = \dfrac{{13}}{6}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{{2x + 1}} + \dfrac{9}{{y - 1}} = - 1\\\dfrac{3}{{2x + 1}} - \dfrac{2}{{y - 1}} = \dfrac{{13}}{6}\end{array} \right.$	6, $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{x + y - 1}} - \dfrac{1}{{x - y + 1}} = \dfrac{{ - 14}}{5}\\\dfrac{1}{{x + y - 1}} - \dfrac{1}{{x - y + 1}} = \dfrac{{ - 13}}{5}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{x + y - 1}} - \dfrac{1}{{x - y + 1}} = \dfrac{{ - 14}}{5}\\\dfrac{1}{{x + y - 1}} - \dfrac{1}{{x - y + 1}} = \dfrac{{ - 13}}{5}\end{array} \right.$
7, $\left\{ \begin{array}{l} 2x + 4\left\| y \right\| = 14\\ x - 5y = - 7 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2x + 4\left\| y \right\| = 14\\ x - 5y = - 7 \end{array} \right.$	8, $\left\{ \begin{array}{l} \left\| x \right\| + 4\left\| y \right\| = 18\\ 3\left\| x \right\| + \left\| y \right\| = 10 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \left\| x \right\| + 4\left\| y \right\| = 18\\ 3\left\| x \right\| + \left\| y \right\| = 10 \end{array} \right.$
9, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 13\\ 3{x^2} - 2{y^2} = - 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 13\\ 3{x^2} - 2{y^2} = - 6 \end{array} \right.$	10, $\left\{ \begin{array}{l} 3\sqrt x + 2\sqrt y = 16\\ 2\sqrt x - 3\sqrt y = - 11 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3\sqrt x + 2\sqrt y = 16\\ 2\sqrt x - 3\sqrt y = - 11 \end{array} \right.$
11, $\left\{ \begin{array}{l} 5\left\| {x - 1} \right\| - 3\left\| {y + 2} \right\| = 7\\ 2\sqrt {4{x^2} - 8x + 4} + 5\sqrt {{y^2} + 4y + 4} = 13 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 5\left\| {x - 1} \right\| - 3\left\| {y + 2} \right\| = 7\\ 2\sqrt {4{x^2} - 8x + 4} + 5\sqrt {{y^2} + 4y + 4} = 13 \end{array} \right.$

Bài tập 2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{4} - 4x^{2} + y^{2} - 6y + 9 = 0 \\ x^{2}y + x^{2} + 2y - 22 = 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{4} - 4x^{2} + y^{2} - 6y + 9 = 0 \\ x^{2}y + x^{2} + 2y - 22 = 0 \end{matrix} \right.$(2).

Bài tập 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2y^{2} - 4xy = 11 - \frac{1}{y}\left( 2x + \frac{1}{y} \right) \\ 2x + \frac{1}{y} - y = 4 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2y^{2} - 4xy = 11 - \frac{1}{y}\left( 2x + \frac{1}{y} \right) \\ 2x + \frac{1}{y} - y = 4 \end{matrix} \right.$ .

Gợi ý đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 2.

Biến đổi hệ phương trình (2) $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} (x^{2} - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{} \\ x^{2}(y + 1) + 2y - 22 = 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} (x^{2} - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{} \\ x^{2}(y + 1) + 2y - 22 = 0 \end{matrix} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = x^{2} - 2 \\ v = y - 3 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u = x^{2} - 2 \\ v = y - 3 \end{matrix} \right.$ lúc đó hệ trở thành: $\left\{ \begin{matrix} u^{2} + v^{2} = 4 \\ uv + 4(u + v) - 8 = 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u^{2} + v^{2} = 4 \\ uv + 4(u + v) - 8 = 0 \end{matrix} \right.$

Đặt S = u+v; P=uv; $S^{2} \geq 4P$ $S^{2} \geq 4P$

Hệ trở thành: $\left\{ \begin{matrix} S^{2} - 2P = 4 \\ P + 4S - 8 = 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S^{2} - 2P = 4 \\ P + 4S - 8 = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} S^{2} + 8S - 20 = 0 \\ P = 8 - 4S \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} S^{2} + 8S - 20 = 0 \\ P = 8 - 4S \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left\lbrack \begin{matrix} S = - 10;P = 48 \\ S = 2;P = 0(KTM) \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} S = - 10;P = 48 \\ S = 2;P = 0(KTM) \end{matrix} \right.$

Lúc đó, $\left\lbrack \begin{matrix} u = 0;v = 2 \\ u = 2;v = 0 \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} u = 0;v = 2 \\ u = 2;v = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2};y = 5 \\ x = \pm 2;y = 3 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2};y = 5 \\ x = \pm 2;y = 3 \end{matrix} \right.$

Vậy nghiệm của hệ: $\left( \pm \sqrt{2};5 \right);( \pm 2;3)$ $\left( \pm \sqrt{2};5 \right);( \pm 2;3)$.

Bài tập 3

Điều kiện xác định $y \neq 0$ $y \neq 0$

Hệ pt thành $\left\{ \begin{matrix} \left( x + \frac{1}{y} \right)^{2} + 2(x - y)^{2} = 11 \\ x + \frac{1}{y} + x - y = 4 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \left( x + \frac{1}{y} \right)^{2} + 2(x - y)^{2} = 11 \\ x + \frac{1}{y} + x - y = 4 \end{matrix} \right.$

Đặt $a = x + \frac{1}{y};\ \ b = x - y$ $a = x + \frac{1}{y};\ \ b = x - y$

Hệ thành $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + 2b^{2} = 11 \\ a + b = 4 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + 2b^{2} = 11 \\ a + b = 4 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 1 \end{matrix} \right.\ \vee \left\{ \begin{matrix} a = \frac{7}{3} \\ b = \frac{5}{3} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 1 \end{matrix} \right.\ \vee \left\{ \begin{matrix} a = \frac{7}{3} \\ b = \frac{5}{3} \end{matrix} \right.$

Với $\left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix} \right.$

Với $\left\{ \begin{matrix} a = \frac{7}{3} \\ b = \frac{5}{3} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} a = \frac{7}{3} \\ b = \frac{5}{3} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow$Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

----------------------------------------------------

Trên đây là hướng dẫn chi tiết về cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, cùng với ví dụ minh họa và lời giải dễ hiểu. Phương pháp này giúp bạn xử lý hiệu quả những hệ phương trình phức tạp bằng cách thay thế các biểu thức khó bằng ẩn phụ, đơn giản hóa quá trình giải.

Hy vọng tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh lớp 9 học tốt hơn, đặc biệt là trong quá trình ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để ghi nhớ cách đặt ẩn đúng và giải nhanh – chính xác. Đừng quên theo dõi các chuyên đề Toán 9 khác như: hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình chứa căn, phương trình quy về bậc hai,... để nâng cao kỹ năng toàn diện. Chúc các bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao!

Tải về

Chọn file muốn tải về: