Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Tài liệu cung cấp lý thuyết kèm bài tập liên quan. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m 

Hệ thức Viète

Phương trình bậc hai tổng quát ax^{2} +
bx + c = 0;(a \neq 0)\(ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)\).

Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) thì

\left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\
P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\
\end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.\)

Đảo lại

Nếu hai số x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} \\
P = x_{1}.x_{2} \\
\end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.\) thì x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) là nghiệm của phương trình x^{2} - S.x + P = 0\(x^{2} - S.x + P = 0\) (điều kiện S^{2} - 4P \geq 0\(S^{2} - 4P \geq 0\))

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

  • {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1}
+ x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}\({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}\)
  • {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1}
+ x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2}
\right)\({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)\)
  • {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left(
{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2} =
\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}
\right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}\({x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2} = \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} \right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}\)
  • \left| x_{1} - x_{2} \right| =
\sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2}
\right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}\(\left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}\)
  • \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}
= \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} +
x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}\(\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}\) với x_{1};x_{2} \neq 0\(x_{1};x_{2} \neq 0\)
  • \frac{1}{{x_{1}}^{2}} +
\frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left(
x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} -
2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}\(\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}\) với x_{1};x_{2} \neq 0\(x_{1};x_{2} \neq 0\)
  • \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} =
\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}\(\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}\)

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A  \ge 0\(A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0\)

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: a + b \ge 2\sqrt {ab}\(a + b \ge 2\sqrt {ab}\)

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2 + 2 (m+1) x + m2 - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

∆' = b'2 - ac = (m + 1)2 - (m2 - m + 1) = m2 - 2m + 1 - m2 + m - 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} =  - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.\)

A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}\)

A = [-2 (m + 1)]2 - (m2 - m + 1)

A = 4 (m + 1)2 - m2 + m - 1

A = 4m2 + 8m + 4 - m2 + m - 1

A = 3m2 + 9m + 3

A = (m2 + 3m + 1)

{m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1 = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}\({m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1 = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}\)

{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0\({\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0\)

\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0\(\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0\)

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)\(\Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)\)

Vậy min A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\(A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\)

Bài 2. Gọi x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình 2x^{2} + 2mx + m^{2}
- 2 = 0\(2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0\) với m\(m\) là tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
\left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|\(P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \Delta\(\Delta' = m^{2} - 2\left( m^{2} - 2 \right) = - m^{2} + 4\)

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi \Delta\(\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2(*)\)

Theo định lí Viète ta có: \left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = - m \\
x_{1}.x_{2} = \dfrac{m^{2} - 2}{2} \\
\end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1}.x_{2} = \dfrac{m^{2} - 2}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

Khi đó:

P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} -
4 \right| = \left| m^{2} - m - 6 \right|\(P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right| = \left| m^{2} - m - 6 \right|\)

= \left| (m + 2)(m - 3) \right| = - (m +
2)(m - 3)\(= \left| (m + 2)(m - 3) \right| = - (m + 2)(m - 3)\)

= - m^{2} + m + 6 = - \left( m -
\frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{25}{4} \leq \frac{25}{4}\(= - m^{2} + m + 6 = - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{25}{4} \leq \frac{25}{4}\) (do - 2 \leq m \leq 2\(- 2 \leq m \leq 2\) )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m =
\frac{1}{2}\(m = \frac{1}{2}\) thỏa mãn (*)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đó là: P_{\max} = \frac{25}{4}\(P_{\max} = \frac{25}{4}\) .

Bài 3. Cho phương trình x^{2} - (m - 1)x
- m^{2} + m - 2 = 0\(x^{2} - (m - 1)x - m^{2} + m - 2 = 0\) với m\(m\) là tham số. Gọi x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình. Xác định giá trị của tham số m để biểu thức A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} -
\left( \frac{x_{2}}{x_{3}} \right)^{3}\(A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} - \left( \frac{x_{2}}{x_{3}} \right)^{3}\) đạt giá trị lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Xét ac= - m^{2} + m - 2 = - \left( m -
\frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in
\mathbb{R}\(ac= - m^{2} + m - 2 = - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m\(m\) .

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x_{1},x_{2}\(x_{1},x_{2}\) .

Theo câu a) thì x_{1}x_{2} \neq 0\(x_{1}x_{2} \neq 0\) , do đó A\(A\) được xác định với mọi x_{1},x_{2}\(x_{1},x_{2}\) .
Do x_{1},x_{2}\(x_{1},x_{2}\) trái dấu nên \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = -
t\(\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - t\) với t > 0\(t > 0\) , suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} <
0\(\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} < 0\) , suy ra A < 0\(A < 0\)
Đặt \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} =
- t\(\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - t\) , với t > 0\(t > 0\) , suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} = -
\frac{1}{t}\(\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} = - \frac{1}{t}\) .

Khi đó A = - t -
\frac{1}{t}\(A = - t - \frac{1}{t}\) mang giá trị âm và A\(A\) đạt giá trị lớn nhất khi - A\(- A\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có - A = t + \frac{1}{t} \geq 2\(- A = t + \frac{1}{t} \geq 2\) , suy ra A \leq - 2\(A \leq - 2\) .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow
t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1\(t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1\) .

Với t
= 1\(t = 1\) , ta có:
\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - 1
\Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1\(\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - 1 \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1\)

\Leftrightarrow x_{1} = -
x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0\(\Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0\)

\Leftrightarrow - (m - 1) = 0
\Leftrightarrow m = 1\(\Leftrightarrow - (m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy với m =
1\(m = 1\) thì biểu thức A\(A\) đạt giá trị lớn nhất là -2 .

Bài 4: Cho phương trình {x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0\({x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0\) (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\(B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải

Ta có \Delta \(\Delta ' = {b^{'2}} - ac = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 8} \right)\)= {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24\(= {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m >  - 3\(\Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3\)

Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 8\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 8\end{array} \right.\)

Có  B = x1 + x2 - 3x1x2 = 2 (m + 4) - 3 (m2 - 8)

=  - 3{m^2} + 2m + 32 =  - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3}\(= - 3{m^2} + 2m + 32 = - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3}\)=  - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}\(= - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}\)

{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m >  - 3 \Leftrightarrow  - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m >  - 3\({\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m > - 3 \Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m > - 3\)

\Leftrightarrow  - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m >  - 3\(\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m > - 3\)

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{3}\(\Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}\)

Vậy maxB = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}\(B = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}\)

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2 (m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x1 - x2|

Có ∆' = (m + 1)2 - (m - 4) = m2 + 2m + 1 + m + 4 = m2 + 3m + 5

= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4} = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m\(= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4} = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m\)

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.\)

M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\(M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\)

M2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = [2(m + 1)]2 - 4 (m - 4)

= 4(m2 + 2m + 1) - 4m + 16

= 4m2 + 8m + 4 - 4m + 16

= 4m2 + 4m + 20 = 4 (m2 + m + 5)

{m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5\({m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5\)= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}\(= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}\)

\begin{array}{l}
{\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} \ge \dfrac{{19}}{4}\forall m\\
 \Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m
\end{array}\(\begin{array}{l} {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} \ge \dfrac{{19}}{4}\forall m\\ \Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m \end{array}\)

M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}\(M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\(m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy minM = \sqrt {19}  \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\(M = \sqrt {19} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\).

Bài 4. Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0, với m là tham số.

a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức của \left| x_{1} - x_{2} \right|\(\left| x_{1} - x_{2} \right|\).

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức {x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) +
{x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)\({x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)\).

Hướng dẫn giải

a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m – 1

\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1) =
4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1\(\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1) = 4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1\)

(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m\((2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m\) (2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m\((2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m\). Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy ta có điều cần chứng minh.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức của \left| x_{1} - x_{2} \right|\(\left| x_{1} - x_{2} \right|\)

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m - 1

\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1) =
4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1\(\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1) = 4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1\)

(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m\((2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m\) (2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall
m\((2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m\).

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lí Viet ta có : \left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\
x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.\)

Đặt A = \left| x_{1} - x_{2} \right| \geq
0 \Rightarrow A^{2} = \left| x_{1} - x_{2} \right|^{2} = \left( x_{1} -
x_{2} \right)^{2}\(A = \left| x_{1} - x_{2} \right| \geq 0 \Rightarrow A^{2} = \left| x_{1} - x_{2} \right|^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}\)

= {x_{1}}^{2} - 2x_{1}.x_{2} +
{x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} -
4x_{1}.x_{2}\(= {x_{1}}^{2} - 2x_{1}.x_{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}\)

Thay (1) và (2) vào ta có

A^{2} = (2m - 1)^{2} - 4(m - 1) = (2m -
2)^{2} + 1 \geq 1\(A^{2} = (2m - 1)^{2} - 4(m - 1) = (2m - 2)^{2} + 1 \geq 1\) với mọi m (3)

A \geq 0 \Rightarrow A \geq 1;\forall
m\(A \geq 0 \Rightarrow A \geq 1;\forall m\)

Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\(\Leftrightarrow m = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \left| x_{1} -
x_{2} \right|\(\left| x_{1} - x_{2} \right|\) là 1 xảy ra khi m = 1

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức {x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) +
{x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)\({x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)\)

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m - 1

\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1) =
4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1\(\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1) = 4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1\)

(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m\((2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m\) (2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m\((2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m\). Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lí Viet ta có : \left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\
x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có A = {x_{1}}^{2}\left( 1 -
{x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2}
\right)\(A = {x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)\)

= {x_{1}}^{2} - 5{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}
+ {x_{2}}^{2}\(= {x_{1}}^{2} - 5{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2} + {x_{2}}^{2}\) = \left( x_{1} +
x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} - 5\left( x_{1}.x_{2}
\right)^{2}\(= \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} - 5\left( x_{1}.x_{2} \right)^{2}\) (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta được :

A = (2m - 1)^{2} - 5(m - 1)^{2} - 2(m -
1)\(A = (2m - 1)^{2} - 5(m - 1)^{2} - 2(m - 1)\)

= 4m^{2} - 4m + 1 - 5m^{2} + 10m - 5 -
2m + 2\(= 4m^{2} - 4m + 1 - 5m^{2} + 10m - 5 - 2m + 2\)

= - m^{2} + 4m - 2 = 2 - \left( m^{2} -
4m + 4 \right)\(= - m^{2} + 4m - 2 = 2 - \left( m^{2} - 4m + 4 \right)\)

= 2 - (m - 2)^{2}\(= 2 - (m - 2)^{2}\)

(m - 2)^{2} \geq 0;\forall m
\Rightarrow A = 2 - (m - 2)^{2} \leq 2;\forall m\((m - 2)^{2} \geq 0;\forall m \Rightarrow A = 2 - (m - 2)^{2} \leq 2;\forall m\)

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2

Vậy GTLN của {x_{1}}^{2}\left( 1 -
{x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2}
\right)\({x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)\) là 2 khi m = 2

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0 (m tham số)

a, Tìm m để biểu thức A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\(C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho phương trình x2 + mx - m - 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho phương trình x2 - 2 (m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2\(A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2\) có giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho phương trình x2 - 2 (m + 4)x + m2 - 8 = 0 (x là ẩn, m là tham số)

a, Tìm m để biểu thức A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\(B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: Cho phương trình x2 - mx + m - 1 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\(B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\)

Bài 6: Goi x1, x2 là nghiệm của phương trình 2x2 - 2mx + m2 - 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |2x1x2 + x1 + x2 - 4|

Bài 7: Cho phương trình bậc hai x2 - (2m + 1)x + m - 3 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức B = {x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\(B = {x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất

-----------------

Ngoài tài liệu Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu học tập lớp 9 và các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Chia sẻ, đánh giá bài viết
50
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm