Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

1 1.608

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm min, max của biểu thức nghiệm

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nghiệm", "Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là $a \ne 0$ và $\Delta \ge 0$ )

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi $A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0$

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + 1 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}$

Lời giải:

Ta có:

$\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - m + 1} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + m - 1 = - m$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 $\Leftrightarrow - m > 0 \Leftrightarrow m < 0$

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1 \end{array} \right.$

Có $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}$

$\begin{array}{l} A = {\left[ { - 2\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - m + 1} \right)\\ A = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} + m - 1\\ A = 4{m^2} + 8m + 4 - {m^2} + m - 1\\ A = 3{m^2} + 9m + 3\\ A = 3\left( {{m^2} + 3m + 1} \right) \end{array}$

Có ${m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1 = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}$

${\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0$

$\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)$

Vậy min $A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}$

Bài 2: Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

Ta có $\Delta ' = {b^{'2}} - ac = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 8} \right) = {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3$

Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = {m^2} - 8 \end{array} \right.$

Có $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2} = 2\left( {m + 4} \right) - 3\left( {{m^2} - 8} \right)$

$= - 3{m^2} + 2m + 32 = - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3} = - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}$

${\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m > - 3 \Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m > - 3$

$\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m > - 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

Vậy max $B = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}$

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$

Có $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 4} \right) = {m^2} + 2m + 1 + m + 4 = {m^2} + 3m + 5$

$= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4} = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = m - 4 \end{array} \right.$

Có $M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}$

$\begin{array}{l} {M^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m - 4} \right)\\ = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 4m + 16\\ = 4{m^2} + 8m + 4 - 4m + 16\\ = 4{m^2} + 4m + 20 = 4\left( {{m^2} + m + 5} \right) \end{array}$

Có ${m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5 = {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}$

$\begin{array}{l} {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} \ge \frac{{19}}{4}\forall m\\ \Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m \end{array}$

$M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$

Vậy min $M = \sqrt {19} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0$ (m tham số)

a, Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức $C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho phương trình ${x^2} + mx - m - 2 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 6m + 3 = 0$ (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức $A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2$ có giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0$ (x là ẩn, m là tham số)

a, Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: Cho phương trình ${x^2} - mx + m - 1 = 0$ (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}$

Bài 6: Goi x1, x2 là nghiệm của phương trình $2{x^2} - 2mx + {m^2} - 2 = 0$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| {2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} - 4} \right|$

Bài 7: Cho phương trình bậc hai ${x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m - 3 = 0$ . Tìm giá trị của m để biểu thức $B = {x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2$ đạt giá trị lớn nhất

-----------------

Ngoài chuyên đề tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Tham khảo thêm