VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm min, max của biểu thức nghiệm

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Tài liệu cung cấp lý thuyết kèm bài tập liên quan. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m

Hệ thức Viète

Phương trình bậc hai tổng quát $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$.

Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thì

$\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.$

Đảo lại

Nếu hai số $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.$ thì $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - S.x + P = 0$ $x^{2} - S.x + P = 0$ (điều kiện $S^{2} - 4P \geq 0$ $S^{2} - 4P \geq 0$)

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}$ ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}$
${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$ ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$
${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$ ${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$ $=\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}\right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$ $=\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}\right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$
$\left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}$ $\left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}$
$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$ $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$ $x_{1};x_{2} \neq 0$
$\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}$ $\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$ $x_{1};x_{2} \neq 0$
$\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$ $\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi $A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0$ $A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0$

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$ $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x² + 2 (m+1) x + m² - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}$ $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

∆' = b'² - ac = (m + 1)² - (m² - m + 1) = m² - 2m + 1 - m² + m - 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.$

Có $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}$ $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2}$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2}$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}$

Thay các giá trị của hệ thức Viète vào biểu thức A đã biến đổi ta được:

A = [-2 (m + 1)]² - (m² - m + 1)

A = 4 (m + 1)² - m² + m - 1

A = 4m² + 8m + 4 - m² + m - 1

A = 3m² + 9m + 3

A = (m² + 3m + 1)

Có ${m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1$ ${m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1$

$= {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}$ $= {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}$

Vì ${\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0$ ${\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0$ $\Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0$ $\Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0$

$\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0$ $\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)$ $\Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)$

Vậy min $A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}$ $A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}$

Bài 2. Gọi $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0$ $2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|$ $P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta$ $\Delta' = m^{2} - 2\left( m^{2} - 2 \right) = - m^{2} + 4$

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi $\Delta$ $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2(*)$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1}.x_{2} = \dfrac{m^{2} - 2}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1}.x_{2} = \dfrac{m^{2} - 2}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó:

$P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right| = \left| m^{2} - m - 6 \right|$ $P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right| = \left| m^{2} - m - 6 \right|$

$= \left| (m + 2)(m - 3) \right| = - (m + 2)(m - 3)$ $= \left| (m + 2)(m - 3) \right| = - (m + 2)(m - 3)$

$= - m^{2} + m + 6 = - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{25}{4} \leq \frac{25}{4}$ $= - m^{2} + m + 6 = - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{25}{4} \leq \frac{25}{4}$ (do $- 2 \leq m \leq 2$ $- 2 \leq m \leq 2$ )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m = \frac{1}{2}$ $m = \frac{1}{2}$ thỏa mãn (*)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đó là: $P_{\max} = \frac{25}{4}$ $P_{\max} = \frac{25}{4}$ .

Bài 3. Cho phương trình $x^{2} - (m - 1)x - m^{2} + m - 2 = 0$ $x^{2} - (m - 1)x - m^{2} + m - 2 = 0$ với $m$ là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Xác định giá trị của tham số m để biểu thức $A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} - \left( \frac{x_{2}}{x_{3}} \right)^{3}$ $A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} - \left( \frac{x_{2}}{x_{3}} \right)^{3}$ đạt giá trị lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Xét $ac= - m^{2} + m - 2 = - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in \mathbb{R}$ $ac= - m^{2} + m - 2 = - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in \mathbb{R}$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi $m$ .

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ .

Theo câu a) thì $x_{1}x_{2} \neq 0$ $x_{1}x_{2} \neq 0$ , do đó $A$ được xác định với mọi $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ .
Do $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ trái dấu nên $\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - t$ $\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - t$ với $t > 0$ , suy ra $\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} < 0$ $\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} < 0$ , suy ra $A < 0$
Đặt $\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - t$ $\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - t$ , với $t > 0$ , suy ra $\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} = - \frac{1}{t}$ $\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} = - \frac{1}{t}$ .

Khi đó $A = - t - \frac{1}{t}$ $A = - t - \frac{1}{t}$ mang giá trị âm và $A$ đạt giá trị lớn nhất khi $- A$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có $- A = t + \frac{1}{t} \geq 2$ $- A = t + \frac{1}{t} \geq 2$ , suy ra $A \leq - 2$ $A \leq - 2$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1$ $t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1$ .

Với $t = 1$ , ta có:
$\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - 1 \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1$ $\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - 1 \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1$

$\Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0$ $\Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0$

$\Leftrightarrow - (m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1$ $\Leftrightarrow - (m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy với $m = 1$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị lớn nhất là -2 .

Bài 4: Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0$ ${x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}$ $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\Delta$ $\Delta ' = {b^{'2}} - ac = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 8} \right)$

$= {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24$ $= {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3$ $\Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3$

Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 8\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 8\end{array} \right.$

Có B = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ = 2 (m + 4) - 3 (m² - 8)

$= - 3{m^2} + 2m + 32$ $= - 3{m^2} + 2m + 32$ $= - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3}$ $= - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3}$

$= - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}$ $= - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}$

Vì ${\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m > - 3$ ${\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m > - 3$ $\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m > - 3$ $\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m > - 3$

$\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m > - 3$ $\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m > - 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

Vậy max $B = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}$ $B = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}$

Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x² - 2 (m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x₁ - x₂|.

Hướng dẫn giải

Có ∆' = (m + 1)² - (m - 4) = m² + 2m + 1 + m + 4 = m² + 3m + 5

$= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4}$ $= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4}$ $= {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m$ $= {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.$

Có $M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ $M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ $\Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}$ $\Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}$

M2 = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = [2(m + 1)]² - 4 (m - 4)

= 4(m² + 2m + 1) - 4m + 16

= 4m² + 8m + 4 - 4m + 16

= 4m² + 4m + 20 = 4 (m² + m + 5)

Có ${m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5$ ${m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5$ $= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}$ $= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}$

Vì ${\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m$ ${\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m$ $\Leftrightarrow {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} \ge \dfrac{{19}}{4}\forall m$ $\Leftrightarrow {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} \ge \dfrac{{19}}{4}\forall m$

$\Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m$ $\Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m$

$M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}$ $M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$ $m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$

Vậy min $M = \sqrt {19} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$ $M = \sqrt {19} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$.

Bài 6. Cho phương trình x² – (2m-1)x + m – 1 = 0, với m là tham số.

a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức của $\left| x_{1} - x_{2} \right|$ $\left| x_{1} - x_{2} \right|$.

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$ ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$.

Hướng dẫn giải

a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m – 1

$\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$

Vì $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$.

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy ta có điều cần chứng minh.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức của $\left| x_{1} - x_{2} \right|$ $\left| x_{1} - x_{2} \right|$.

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m - 1

$\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$

Vì $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$.

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lí Viet ta có : $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Đặt $A = \left| x_{1} - x_{2} \right| \geq 0 \Rightarrow A^{2} = \left| x_{1} - x_{2} \right|^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}$ $A = \left| x_{1} - x_{2} \right| \geq 0 \Rightarrow A^{2} = \left| x_{1} - x_{2} \right|^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}$

$= {x_{1}}^{2} - 2x_{1}.x_{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}$ $= {x_{1}}^{2} - 2x_{1}.x_{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}$

Thay (1) và (2) vào ta có

$A^{2} = (2m - 1)^{2} - 4(m - 1) = (2m - 2)^{2} + 1 \geq 1$ $A^{2} = (2m - 1)^{2} - 4(m - 1) = (2m - 2)^{2} + 1 \geq 1$ với mọi m (3)

Mà $A \geq 0 \Rightarrow A \geq 1;\forall m$ $A \geq 0 \Rightarrow A \geq 1;\forall m$

Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)² = 0 $\Leftrightarrow m = 1$ $\Leftrightarrow m = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| x_{1} - x_{2} \right|$ $\left| x_{1} - x_{2} \right|$ là 1 xảy ra khi m = 1.

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$ ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m - 1

$\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$

Vì $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$. Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lí Viet ta có : $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Ta có $A = {x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$ $A = {x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$

$= {x_{1}}^{2} - 5{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ $= {x_{1}}^{2} - 5{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} - 5\left( x_{1}.x_{2} \right)^{2}$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} - 5\left( x_{1}.x_{2} \right)^{2}$ (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta được :

$A = (2m - 1)^{2} - 5(m - 1)^{2} - 2(m - 1)$ $A = (2m - 1)^{2} - 5(m - 1)^{2} - 2(m - 1)$

$= 4m^{2} - 4m + 1 - 5m^{2} + 10m - 5 - 2m + 2$ $= 4m^{2} - 4m + 1 - 5m^{2} + 10m - 5 - 2m + 2$

$= - m^{2} + 4m - 2 = 2 - \left( m^{2} - 4m + 4 \right)$ $= - m^{2} + 4m - 2 = 2 - \left( m^{2} - 4m + 4 \right)$

$= 2 - (m - 2)^{2}$ $= 2 - (m - 2)^{2}$

Vì $(m - 2)^{2} \geq 0;\forall m \Rightarrow A = 2 - (m - 2)^{2} \leq 2;\forall m$ $(m - 2)^{2} \geq 0;\forall m \Rightarrow A = 2 - (m - 2)^{2} \leq 2;\forall m$

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)² = 0 hay m = 2

Vậy GTLN của ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$ ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$ là 2 khi m = 2.

Bài 7. Cho phương trình $x^{2} - (m + 1)x + m = 0$ $x^{2} - (m + 1)x + m = 0$ với m là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của tham số m để biểu thức $A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}.{x_{2}}^{2} + 2007$ $A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}.{x_{2}}^{2} + 2007$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\Delta = \left\lbrack - (m + 1) \right\rbrack^{2} - 4m = m^{2} - 2m + 1 = (m - 1)^{2}$ $\Delta = \left\lbrack - (m + 1) \right\rbrack^{2} - 4m = m^{2} - 2m + 1 = (m - 1)^{2}$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq 1$ $\Delta > 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq 1$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 1 \\ x_{1}.x_{2} = m \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 1 \\ x_{1}.x_{2} = m \end{matrix} \right.$

Ta có:

$A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}.{x_{2}}^{2} + 2007 = x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2007$ $A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}.{x_{2}}^{2} + 2007 = x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2007$

$= m(m + 1) + 2007 = m^{2} + m + 2007$ $= m(m + 1) + 2007 = m^{2} + m + 2007$

$= m^{2} + 2.m.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 2006 + \frac{3}{4}$ $= m^{2} + 2.m.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 2006 + \frac{3}{4}$

$= \left( m + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{8027}{4} \geq 0;\forall m$ $= \left( m + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{8027}{4} \geq 0;\forall m$

Dấu “=” xảy ra $m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$ $m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng $\frac{8027}{4}$ $\frac{8027}{4}$ với $m = - \frac{1}{2}$ $m = - \frac{1}{2}$.

Bài 8. Cho phương trình $x^{2} - mx + m - 1 = 0$ $x^{2} - mx + m - 1 = 0$ (với m là tham số).

a. Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$. Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1}{{x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}}$ $M = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1}{{x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}}$. Từ đó tìm giá trị của tham số m để $M > 0$.

b. Tìm giá trị của tham số m để biểu thức $P = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1$ $P = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $\Delta = m^{2} - 4(m - 1) = m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2} \geq 0\forall m$ $\Delta = m^{2} - 4(m - 1) = m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2} \geq 0\forall m$. Khi đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm.

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.$.

Ta có:

$M = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1}{{x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 1}{x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)}$ $M = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1}{{x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 1}{x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)}$

$= \frac{m^{2} - 2(m - 1) - 1}{(m - 1)m} = \frac{m^{2} - 2m + 1}{(m - 1)m} = \frac{(m - 1)^{2}}{(m - 1)m}$ $= \frac{m^{2} - 2(m - 1) - 1}{(m - 1)m} = \frac{m^{2} - 2m + 1}{(m - 1)m} = \frac{(m - 1)^{2}}{(m - 1)m}$

Để $M > 0 \Leftrightarrow \frac{(m - 1)^{2}}{(m - 1)m} > 0 \Leftrightarrow (m - 1)m > 0$ $M > 0 \Leftrightarrow \frac{(m - 1)^{2}}{(m - 1)m} > 0 \Leftrightarrow (m - 1)m > 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m > 0 \\ m - 1 > 0 \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m - 1 < 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m > 0 \\ m - 1 > 0 \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m - 1 < 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < 0 \end{matrix} \right.$

b. Ta có: $P = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 1$ $P = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 1$

$= m^{2} - 2(m - 1) - 1 = m^{2} - 2m + 1 = (m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $= m^{2} - 2(m - 1) - 1 = m^{2} - 2m + 1 = (m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$

Do đó $P_{\min} = 0$ $P_{\min} = 0$ và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy $P_{\min} = 0$ $P_{\min} = 0$ với m = 1.

Bài 9. Cho phương trình $x^{2} + 2mx + 2m - 1 = 0$ $x^{2} + 2mx + 2m - 1 = 0$ với m là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của tham số m để biểu thức $A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}$ $A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = (2m)^{2} - 4.1.(2m - 1) = 4m^{2} - 8m + 4 = 4(m - 1)^{2}$ $\Delta = (2m)^{2} - 4.1.(2m - 1) = 4m^{2} - 8m + 4 = 4(m - 1)^{2}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta > 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq 1$ $\Delta > 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq 1$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2m \\ x_{1}.x_{2} = 2m - 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2m \\ x_{1}.x_{2} = 2m - 1 \end{matrix} \right.$

Ta có:

$A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2} = x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$ $A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2} = x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$

$= (2m - 1)( - 2m) = - 4m^{2} + 2m$ $= (2m - 1)( - 2m) = - 4m^{2} + 2m$

$= - 4\left( m^{2} - \frac{1}{2}m \right) = - 4\left( m^{2} - 2.m.\frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{16} \right)$ $= - 4\left( m^{2} - \frac{1}{2}m \right) = - 4\left( m^{2} - 2.m.\frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{16} \right)$

$= - 4\left( m - \frac{1}{4} \right)^{2} + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4};\forall m$ $= - 4\left( m - \frac{1}{4} \right)^{2} + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4};\forall m$

Dấu “=” xảy ra $m - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$ $m - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất khi $m = \frac{1}{4}$ $m = \frac{1}{4}$.

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (m tham số)

a, Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}$ $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

b, Tìm m để biểu thức $C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}$ $C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2: Cho phương trình x² + mx - m - 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}$ $A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Cho phương trình x² - 2 (m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức $A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2$ $A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2$ có giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Cho phương trình x² - 2 (m + 4)x + m² - 8 = 0 (x là ẩn, m là tham số)

a, Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}$ $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

b, Tìm m để biểu thức $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}$ $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho phương trình x² - mx + m - 1 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}$ $B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}$.

Bài 6: Goi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình 2x² - 2mx + m² - 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |2x₁x₂ + x₁ + x₂ - 4|.

Bài 7: Cho phương trình bậc hai x² - (2m + 1)x + m - 3 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức $B = {x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2$ $B = {x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2$ đạt giá trị lớn nhất.

------------------------------------------------------------

Dạng toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một phần kiến thức trọng tâm trong Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10, yêu cầu học sinh vừa nắm chắc hệ thức Vi-ét, vừa thành thạo biến đổi đại số và kỹ thuật tìm GTLN – GTNN.

Khi làm dạng bài này, bạn cần lưu ý:

Xác định điều kiện nghiệm của phương trình để giới hạn phạm vi biến.
Biểu diễn biểu thức cần tìm theo một biến và áp dụng bất đẳng thức hoặc đạo hàm (nếu dùng phương pháp nâng cao).
Khai thác tính đối xứng hoặc dấu của nghiệm để rút gọn cách giải.
Luôn so sánh giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị để kết luận chính xác GTLN hoặc GTNN.

Việc luyện tập thường xuyên dạng toán này không chỉ giúp bạn tư duy tối ưu hóa biểu thức mà còn rèn kỹ năng xử lý nhanh các câu hỏi nâng cao trong đề thi. Với sự chuẩn bị kỹ lưỡng, bạn sẽ tự tin đạt điểm cao và chinh phục mục tiêu trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: