Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Tài liệu cung cấp lý thuyết kèm bài tập liên quan. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m 

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

• ${x_1}^2+{x_2}^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1.x_2$
• ${x_1}^3+{x_2}^3={(x_1+x_2)}^3-3x_1.x_2(x_1+x_2)$
• ${x_1}^4+{x_2}^4={({x_1}^2+{x_2}^2)}^2-2{x_1}^2.{x_2}^2={[{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2]}^2-2{x_1}^2.{x_2}^2$
• $|x_1-x_2|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2}=\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1.x_2}$
• $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{x_1.x_2}=\frac{{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2}{x_1.x_2}$ với $x_1;x_2\ne 0$
• $\frac{1}{{x_1}^2}+\frac{1}{{x_2}^2}=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2}=\frac{{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2}$ với $x_1;x_2\ne 0$
• ${(x_1-x_2)}^2={(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2$

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi $A\ge 0:A^2\ge 0;\sqrt{A}\ge 0$

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x² + 2 (m+1) x + m² - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=x_1^2+x_2^2+x_1{x}_2$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

∆' = b'² - ac = (m + 1)² - (m² - m + 1) = m² - 2m + 1 - m² + m - 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}=-2\left(m+1\right)\\ x_1{x}_2=m^2-m+1\end{array}$

Có $A=x_1^2+x_2^2+x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-x_1{x}_2$

A = [-2 (m + 1)]² - (m² - m + 1)

A = 4 (m + 1)² - m² + m - 1

A = 4m² + 8m + 4 - m² + m - 1

A = 3m² + 9m + 3

A = (m² + 3m + 1)

Có $m^2+3m+1=m^2+2.\frac{3}{2}.m+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+1={\left(m+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}$

${\left(m+\frac{3}{2}\right)}^2\ge 0\mathrm{\forall }m<0\iff {\left(m+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}\ge \frac{-5}{4}\mathrm{\forall }m<0$

$\iff 3\left[{\left(m+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}\right]\ge \frac{-15}{4}\mathrm{\forall }m<0$

Dấu “=” xảy ra $\iff m+\frac{3}{2}=0\iff m=\frac{-3}{2}\left(tm\right)$

Vậy min $A=\frac{-15}{4}\iff m=\frac{-3}{2}$

Bài 2. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $2x^2+2mx+m^2-2=0$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|2x_1{x}_2+x_1+x_2-4|$

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-2(m^2-2)=-m^2+4$

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0\iff -2\le m\le 2(\ast )$

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-m\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{m^2-2}{2}}\end{array}$

Khi đó:

$P=|2x_1{x}_2+x_1+x_2-4|=|m^2-m-6|$

$=|(m+2)(m-3)|=-(m+2)(m-3)$

$=-m^2+m+6=-{(m-\frac{1}{2})}^2+\frac{25}{4}\le \frac{25}{4}$ (do $-2\le m\le 2$ )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{1}{2}$ thỏa mãn (*)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đó là: $P_{max}=\frac{25}{4}$ .

Bài 3. Cho phương trình $x^2-(m-1)x-m^2+m-2=0$ với $m$ là tham số. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Xác định giá trị của tham số m để biểu thức $A={\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}^3-{\left(\frac{x_2}{x_3}\right)}^3$ đạt giá trị lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Xét $ac=-m^2+m-2=-{(m-\frac{1}{2})}^2-\frac{3}{4}<0,\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi $m$ .

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là $x_1,x_2$ .

Theo câu a) thì $x_1{x}_2\ne 0$ , do đó $A$ được xác định với mọi $x_1,x_2$ .
Do $x_1,x_2$ trái dấu nên ${\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}^3=-t$ với $t>0$ , suy ra ${\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^3<0$ , suy ra $A<0$
Đặt ${\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}^3=-t$ , với $t>0$ , suy ra ${\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^3=-\frac{1}{t}$ .

Khi đó $A=-t-\frac{1}{t}$ mang giá trị âm và $A$ đạt giá trị lớn nhất khi $-A$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có $-A=t+\frac{1}{t}\ge 2$ , suy ra $A\le -2$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $t=\frac{1}{t}\iff t^2=1\Rightarrow t=1$ .

Với $t=1$ , ta có:
${\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}^3=-1\iff \frac{x_1}{x_2}=-1$

$\iff x_1=-x_2\iff x_1+x_2=0$

$\iff -(m-1)=0\iff m=1$.

Vậy với $m=1$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị lớn nhất là -2 .

Bài 4: Cho phương trình $x^2-2\left(m+4\right)x+m^2-8=0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $B=x_1+x_2-3x_1{x}_2$ đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải

Ta có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{{}^{\prime }2}-ac={\left(m+4\right)}^2-\left(m^2-8\right)$$=m^2+8m+16-m^2+8=8m+24$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff 8m+24>0\iff m>-3$

Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}=2\left(m+4\right)\\ x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=m^2-8\end{array}$

Có  B = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ = 2 (m + 4) - 3 (m² - 8)

$=-3m^2+2m+32=-3\left(m^2+2.\frac{1}{3}.m+\frac{1}{9}\right)+\frac{97}{3}$$=-3{\left(m+\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{97}{3}$

${\left(m+\frac{1}{3}\right)}^2\ge 0\mathrm{\forall }m>-3\iff -3{\left(m+\frac{1}{3}\right)}^2\le 0\mathrm{\forall }m>-3$

$\iff -3{\left(m+\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{97}{3}\le \frac{97}{3}\mathrm{\forall }m>-3$

Dấu “=” xảy ra $\iff m+\frac{1}{3}=0\iff m=-\frac{1}{3}$

Vậy max$B=\frac{97}{3}\iff m=\frac{-1}{3}$

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x² - 2 (m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x₁ - x₂|

Có ∆' = (m + 1)² - (m - 4) = m² + 2m + 1 + m + 4 = m² + 3m + 5

$=\left(m^2+2.\frac{3}{2}.m+\frac{9}{4}\right)+\frac{11}{4}={\left(m+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0\mathrm{\forall }m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}=2\left(m+1\right)\\ x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=m-4\end{array}$

Có $M=\left|x_1-x_2\right|\Rightarrow M^2={\left(\left|x_1-x_2\right|\right)}^2=x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2$

M2 = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = [2(m + 1)]² - 4 (m - 4)

= 4(m² + 2m + 1) - 4m + 16

= 4m² + 8m + 4 - 4m + 16

= 4m² + 4m + 20 = 4 (m² + m + 5)

Có $m^2+m+5=\left(m^2+2.\frac{1}{2}.m+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}+5$$={\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{19}{4}$

$\begin{array}{l}{\left(m+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\ge 0\mathrm{\forall }m\iff {\left(m+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{19}{4}}\ge {\displaystyle \frac{19}{4}}\mathrm{\forall }m\\ \iff 4\left[{\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+{\displaystyle \frac{19}{4}}\right]\ge 19\mathrm{\forall }m\end{array}$

$M=\left|x_1-x_2\right|\Rightarrow M\ge \sqrt{19}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m+\frac{1}{2}=0\iff m=\frac{-1}{2}$

Vậy min$M=\sqrt{19}\iff m=\frac{-1}{2}$

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (m tham số)

a, Tìm m để biểu thức $A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức $C=x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2$ đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho phương trình x² + mx - m - 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $A=x_1^2+x_2^2-4x_1{x}_2$ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho phương trình x² - 2 (m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức $A=x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2$ có giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho phương trình x² - 2 (m + 4)x + m² - 8 = 0 (x là ẩn, m là tham số)

a, Tìm m để biểu thức $A=x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2$ đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức $B=x_1+x_2-3x_1{x}_2$ đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: Cho phương trình x² - mx + m - 1 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=\frac{2x_1{x}_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1{x}_2+1\right)}$

Bài 6: Goi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình 2x² - 2mx + m² - 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |2x₁x₂ + x₁ + x₂ - 4|

Bài 7: Cho phương trình bậc hai x² - (2m + 1)x + m - 3 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức $B=x_1{x}_2-x_1^2-x_2^2$ đạt giá trị lớn nhất

-----------------

Ngoài tài liệu Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu học tập lớp 9 và các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!