Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

9 51.274

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu, cùng dấu, cùng dấu âm, cùng dấu dương

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương, hai nghiệm cùng dấu âm

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 9. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào 10 này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu, hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm cùng dấu dương, hai nghiệm cùng dấu âm", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

1. Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right.$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.$

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$ .

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}$

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4$

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.$ (vô lý)

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình $3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Lời giải:

$3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

Có $\Delta ' = 4{m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right)$

$\begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Với mọi m ≠3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

$P > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right) > 0$

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{gathered} m + 1 > 0 \hfill \\ m - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m > 3$

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{gathered} m + 1 < 0 \hfill \\ m - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < - 1$

Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.$

Với $\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m \end{array}$

Với $P > 0 \Leftrightarrow m > 0$

Với $S < 0 \Leftrightarrow 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 3}}{2}$ kết hợp với m > 0

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 4: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$

Với $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {2m - 4} \right) > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m \end{array}$

Với $P > 0 \Leftrightarrow 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2$

Với $S > 0 \Leftrightarrow 2 > 0$ (luôn đúng)

Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương, hai nghiệm cùng dấu âm

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.	b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.	d) Cùng dấu dương.

Bài 2: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx - 6m - 9 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 13$

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.	b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.	d) Cùng dấu dương.

Bài 4: Tìm m để phương trình ${x^2} - 8x + m + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

Bài 5: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 5m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

Bài 6: Tìm m để phương trình $2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 7: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 8: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 9: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 10: Cho phương trình ${x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m = 0$ . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

-----------------

Ngoài chuyên đề tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc.

Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm: