Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu cung cấp cho các em phần lý thuyết cơ bản và một số dạng bài tập để các em biết cách làm các bài toán Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Mời các bạn tham khảo. 

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

∆ = b² – 4ac

Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\)

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right.\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.\)

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Bài 1: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\).

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}\)

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4\)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.\)(vô lý)

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình \(3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\).

Lời giải:

\(3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

Có \(\Delta ' = 4{m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right)\)

\(\begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered}\)

Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\(\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

\(P > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right) > 0\)

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{gathered} m + 1 > 0 \hfill \\ m - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m > 3\)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{gathered} m + 1 < 0 \hfill \\ m - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < - 1\)

Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 3: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.\)

Với \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m \end{array}\)

Với \(P > 0 \Leftrightarrow m > 0\)

Với \(S < 0 \Leftrightarrow 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 3}}{2}\) kết hợp với m > 0

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 4: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.\)

Với \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {2m - 4} \right) > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m \end{array}\)

Với \(P > 0 \Leftrightarrow 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2\)

Với \(S > 0 \Leftrightarrow 2 > 0\) (luôn đúng)

Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Bài 5. Cho phương trình bậc hai \({x^2} - mx - 1 = 0\left( * \right)\) (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải

Ta có a.c = 1.(-1) < 0 với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của tham số m.

Bài 6. Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 3 - m = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

a.c < 0

=> -3 – m < 0

=> m > -3

Vậy m > -3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương, hai nghiệm cùng dấu âm

Bài 1: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.	b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.	d) Cùng dấu dương.

Bài 2: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx - 6m - 9 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 13\)

Bài 3: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.	b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.	d) Cùng dấu dương.

Bài 4: Tìm m để phương trình \({x^2} - 8x + m + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

Bài 5: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx + 5m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

Bài 6: Tìm m để phương trình \(2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 7: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 8: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 9: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 10: Cho phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

Bài 11: Cho phương trình: x² - 2mx - 6m - 9 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thỏa mãn x ₁² +x ₂² =13 

Bài 12. Cho phương trình mx² + 2(m - 2)x + m - 3 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 

Bài 13. Tìm giá trị m để phương trình 2x² + mx + m - 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.