Bài toán về điểm cố định trong đường tròn

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề luyện thi vào 10: Điểm cố định trong đường tròn

I. Cách giải bài toán về điểm cố định trong đường tròn
II. Bài tập ví dụ cho các bài tập về bài toán điểm cố định trong đường tròn
III. Bài tập tự luyện các bài toán về điểm cố định trong đường tròn

Bài toán về điểm cố định trong đường tròn là một dạng toán nâng cao có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 và giúp các bạn học sinh đạt được điểm 9, 10 trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài liên quan đến điểm cố định và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách giải bài toán về điểm cố định trong đường tròn

Để giải được bài toán về điểm cố định ta có thể chứng minh theo các cách sau:

+ Chứng minh khoảng cách từ một điểm cố định đến một điểm cố định khác thuộc đường thẳng là không đổi

+ Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường thẳng cố định

+ Để chứng minh điểm nằm trên đường tròn cố định ta cần chứng minh nó là điểm cuối hay trung điểm của một cung cố định

II. Bài tập ví dụ cho các bài tập về bài toán điểm cố định trong đường tròn

Bài 1: Cho đường tròn (O) luôn thay đổi và ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. Kẻ AM, AN là hai tiếp tuyến với (O). I là trung điểm của BC. AO cắt MN tại H và (O) tại P và Q (P nằm giữa A và O). BC cắt MN tại K

a, Chứng mminh A, M, I, O, N thuộc cùng một đường tròn

b, Chứng minh tíchch AB.AC = AH.AO và K cố định khi (O) thay đổi

Lời giải:

Bài toán về điểm cố định trong đường tròn

a, + Xét tứ giác AMON có $\widehat {AMO} + \widehat {ANO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ $\widehat {AMO} + \widehat {ANO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AMON nội tiếp đường tròn hay 4 điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn đường kính AO (1)

+ Trong đường tròn (O) có I là trung điểm của BC $\Rightarrow OI \bot BC \Rightarrow \widehat {OIA} = {90^0}$ $\Rightarrow OI \bot BC \Rightarrow \widehat {OIA} = {90^0}$

Suy ra điểm I thuộc đường tròn đường kính AO (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, M, O, N, I cùng thuộc một đường tròn

b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM có:

$\widehat {MAC}$ $\widehat {MAC}$chung

$\widehat {AMB} = \widehat {ACM}$ $\widehat {AMB} = \widehat {ACM}$(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

Suy ra hai tam giác AMB và ACM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc

$\Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}$ $\Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}$(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Leftrightarrow A{M^2} = AB.AC$ $\Leftrightarrow A{M^2} = AB.AC$(3)

+ Có OM = ON (= R), AM = AM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường trung trực của MN

Suy ra AO vuông góc với MN tại H

+ Xét tam giác AMO vuông tại M có đường cao MH:

$\Leftrightarrow A{M^2} = AB.AC$ $\Leftrightarrow A{M^2} = AB.AC$(hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)

+ Từ (3) và (4) suy ra AB.AC = AH.AO (5)

+ Xét tam giác AHK và tam giác AIO có:

$\widehat {AHK} = \widehat {AIO} = {90^0}$ $\widehat {AHK} = \widehat {AIO} = {90^0}$

$\widehat {OAI}$ $\widehat {OAI}$chung

Suy ra tam giác AHK và tam giác AIO đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc

$\Rightarrow \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AK}}{{AO}} \Leftrightarrow AH.AO = AK.AI$ $\Rightarrow \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AK}}{{AO}} \Leftrightarrow AH.AO = AK.AI$(6)

Từ (5) và (6) suy ra $AK.AI = AB.AC \Leftrightarrow AK = \frac{{AB.AC}}{{AI}}$ $AK.AI = AB.AC \Leftrightarrow AK = \frac{{AB.AC}}{{AI}}$

Vì A, B, C cố định nên AB, AC, BC không đổi

Mà I là trung điểm của BC nên I cố định hay AI không đổi

Suy ra không đổi. Suy ra AK không đổi hay K cố định (vì A cố định)

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E. AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N

a, Tứ giác CMON là hình gì? Vì sao?

b, Chứng minh tích OM.OD + ON.OE không đổi

Lời giải:

Bài toán về điểm cố định trong đường tròn

a, + Có DA và DC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D. Suy ra DA = DC

lại có OA = OC

suy ra DO là đường trung trực của AC. Suy ra Do vuông góc với AC

mà M là giao điểm của OD và AC. Suy ra $\widehat {OMC} = {90^0}$ $\widehat {OMC} = {90^0}$

+ Tương tự ta cũng có $\widehat {ONC} = {90^0}$ $\widehat {ONC} = {90^0}$

+ Có DC và DA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra OD là phân giác của $\widehat {AOC}$ $\widehat {AOC}$

EC và EB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E suy ra OE là phân giác của $\widehat {COD}$ $\widehat {COD}$

Có $\widehat {AOC} + \widehat {COD} = {180^0}$ $\widehat {AOC} + \widehat {COD} = {180^0}$

Suy ra $\widehat {DOC} + \widehat {EOC} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0} \Leftrightarrow \widehat {MON} = {90^0}$ $\widehat {DOC} + \widehat {EOC} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0} \Leftrightarrow \widehat {MON} = {90^0}$

+ Xét tứ giác OMCN có $\widehat {OMC} = \widehat {ONC} = \widehat {MON} = {90^0}$ $\widehat {OMC} = \widehat {ONC} = \widehat {MON} = {90^0}$

Suy ra tứ giác OMCN là hình chữ nhật

b, + Xét tam giác AOD vuông tại A có AM vuông góc với DO

Suy ra $A{O^2} = OM.ON \Leftrightarrow OM.ON = {R^2}$ $A{O^2} = OM.ON \Leftrightarrow OM.ON = {R^2}$(1)

+ Xét tam giác OBE vuông tại B có BN vuông góc bới OE

Suy ra $O{B^2} = ON.OE \Leftrightarrow ON.OE = {R^2}$ $O{B^2} = ON.OE \Leftrightarrow ON.OE = {R^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OM.OD + ON.OE = 2{R^2}$ $OM.OD + ON.OE = 2{R^2}$

Do R không đổi nên OM.OD + ON.OE không đổi

III. Bài tập tự luyện các bài toán về điểm cố định trong đường tròn

Bài 1: Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC (A khác B và C), vẽ BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (E thuộc AC và F thuộc AB). Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng:

a, Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

b, BF.BA + CE.CA = BC²

c, Đường thẳng đi qua H và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định

Bài 2: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R), điểm A trên cung lớn BC (A không trùng với B, C và A không là điểm chính giữa cung). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AA'.

a) Chứng minh rằng tứ giác BHEA nội tiếp và HE AC

b) Chứng minh HE.AC = HF.AB

c) Khi A di động,chứng minh tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác HEF cố định.

Bài 3: Cho đường tròn tâm O và điểm M cố định không đổi. Qua M vẽ cát tuyến bất kì cắt (O) tại A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi (xét hai trường hợp M nằm trong đường tròn và M nằm ngoài đường tròn)

Bài 4: Cho I là một điểm cố định trong đường tròn (O; R). Kẻ hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh $A{B^2} + C{D^2}$ $A{B^2} + C{D^2}$ không đổi khi AB thay đổi

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!