™
Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Lý thuyết Toán 9

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10
Tải về

Chuyên đề luyện thi vào 10: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 x2

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh tham khảo. Tài liệu bao gồm lý thuyết kèm các bài tập minh họa và bài tập tự luyện giúp các em nắm vững các dạng bài và vận dụng vào giải bài tập hiệu quả. Mời các bạn tham khảo chi tiết dưới đây.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Định lý Vi ét đảo

+ Nếu có hai số {x_1};{x_2}x1;x2 thỏa mãn \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right){x1+x2=Sx1x2=P(S2≥4P) thì chúng là nghiệm số của phương trình: {X^2} - S.X + P = 0X2−S.X+P=0

II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1/x1 và 1/x2 biết x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - 2mx + m2 - 1 = 0.

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x1 + x2 và x1x2.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Nếu {x_1};{x_2}x1;x2 là nghiệm của phương trình {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0x2−2mx+m2−1=0 thì theo định lý Vi ét có:

\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.{x1+x2=2mx1x2=m2−1

Khi đó: Đặt {t_1} = \frac{1}{{{x_1}}};t = \frac{1}{{{x_2}}}t1=1x1;t=1x2 (điều kiện {x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1x1x2≠0⇔m2−1≠0⇔m≠±1)

Ta có {t_1} + {t_2} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}t1+t2=1x1+1x2=x1+x2x1x2=2mm2−1 và {t_1}{t_2} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{{m^2} - 1}}t1t2=1x1x2=1m2−1

Theo định lý Vi ét đảo thì t1, t2 hay 1/x1; 1/x2 là nghiệm của phương trình:

{t^2} - \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}t + \frac{1}{{{m^2} - 1}} = 0t2−2mm2−1t+1m2−1=0

Bài 2: Cho phương trình {x^2} - 3x + 2 = 0x2−3x+2=0 có hai nghiệm phân biệt {x_1};{x_2}x1;x2. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thỏa mãn {y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}y1=x2+1x1và {y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}y2=x1+1x2

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x1 + x2 và x1x2.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Có {x_1};{x_2}x1;x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình {x^2} - 3x + 2 = 0x2−3x+2=0 nên theo định lý Vi ét ta được:

\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2 \end{array} \right.{x1+x2=−ba=3x1x2=ca=2

Có {y_1} + {y_2} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}y1+y2=x2+1x1+x1+1x2=(x1+x2)+x1+x2x1x2=3+32=92

Và {y_1}{y_2} = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right) = {x_1}{x_2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = 2 + 2 + 2 = 6y1y2=(x1+1x2)(x2+1x1)=x1x2+1+1+1x1x2=2+2+2=6

Theo định lý Vi-ét đảo thì {y_1},{y_2}y1,y2 là nghiệm của phương trình :

{y^2} - \frac{9}{2}y + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - 9y + 12 = 0y2−92y+6=0⇔2y2−9y+12=0

III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình {x^2} - 7x + 3 = 0x2−7x+3=0. Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2{x_1} - {x_2}2x1−x2 và 2{x_2} - {x_1}2x2−x1

Bài 2: Không giải phương trình {x^2} - 11x + 5 =0x2−11x+5=0. Hãy lập phương trình bậc 2 có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình trên

Bài 3: Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc 2 có hai nghiệm là số đối hai nghiệm của phương trình {x^2} - x - 4 = 0x2−x−4=0

Bài 4: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là {x_1} = 2 - \sqrt 3x1=2−3 và {x_2} = 2 + \sqrt 3x2=2+3

Bài 5: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo nghiệm của phương trình {x^2} + mx - 2 = 0x2+mx−2=0

Bài 6: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số  \frac{1}{{{x_1}^2}}1x12và \frac{1}{{{x_2}^2}}1x22 trong đó {x_1},{x_2}x1,x2 là nghiệm của phương trình 2{x^2} - 7x + 6 = 02x2−7x+6=0

Bài 7: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số  1 + {x_1}^31+x13và 1 + {x_2}^31+x23 trong đó {x_1},{x_2}x1,x2 là nghiệm của phương trình 2{x^2} - 7x + 6 = 02x2−7x+6=0

Bài 8: Cho phương trình {x^2} - 5x - 1 = 0x2−5x−1=0 có hai nghiệm là {x_1};{x_2}x1;x2. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y (với các hệ số nguyên) có hai nghiệm lần lượt là:

a, {y_1} = 1 + \frac{1}{{{x_1}}}y1=1+1x1 và {y_2} = 1 + \frac{1}{{{x_2}}}y2=1+1x2

b, {y_1} = \frac{2}{{{x_1}}}y1=2x1 và {y_2} = \frac{2}{{{x_2}}}y2=2x2

c, {y_1} = {x_1}^3 + 3y1=x13+3 và {y_2} = 3 - {x_2}^3y2=3−x23

d, {y_2} = {x_1} + 2{x_2}^2y2=x1+2x22 và {y_2} = {x_2} + 2{x_1}^2y2=x2+2x12

Bài 9: Biết x_1;\;x_2x1;x2là nghiệm của phương trình bậc hai 5x^2-7x+1=05x2−7x+1=0. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là \frac{x_1}{x_2+1}x1x2+1 và \frac{x_2}{x_1+1}x2x1+1.

Bài 10: Cho phương trình bậc hai 2x^2-mx+m-2=02x2−mx+m−2=0 (m là tham số):

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y1; y2 biết y_1+y_2=x_1+x_2y1+y2=x1+x2 và y_1^2+y_2^2=1y12+y22=1.

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:
Chia sẻ, đánh giá bài viết
5
50.783 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Chọn file muốn tải về:

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2

181 KB

  • Tải tài liệu định dạng .doc

    161,2 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Nhiều người đang xem

Tham khảo thêm

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán
Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng