Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề luyện thi vào 10: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 x2

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm
- Định lý Vi ét đảo
II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ x₂ là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh tham khảo. Tài liệu bao gồm lý thuyết kèm các bài tập minh họa và bài tập tự luyện giúp các em nắm vững kiến thức được học, từ đó học tốt môn Toán hơn.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Định lý Vi ét đảo

+ Nếu có hai số ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ thì chúng là nghiệm số của phương trình: ${X^2} - S.X + P = 0$ ${X^2} - S.X + P = 0$

II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1/x₁ và 1/x₂ biết x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - 2mx + m² - 1 = 0.

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Nếu ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0$ ${x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0$ thì theo định lý Vi ét có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.$

Khi đó: Đặt ${t_1} = \frac{1}{{{x_1}}};t = \frac{1}{{{x_2}}}$ ${t_1} = \frac{1}{{{x_1}}};t = \frac{1}{{{x_2}}}$ (điều kiện ${x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$ ${x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$)

Ta có ${t_1} + {t_2} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}$ ${t_1} + {t_2} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}$ và ${t_1}{t_2} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{{m^2} - 1}}$ ${t_1}{t_2} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{{m^2} - 1}}$

Theo định lý Vi ét đảo thì t₁, t₂ hay 1/x1; 1/x2 là nghiệm của phương trình:

${t^2} - \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}t + \frac{1}{{{m^2} - 1}} = 0$ ${t^2} - \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}t + \frac{1}{{{m^2} - 1}} = 0$

Bài 2: Cho phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thỏa mãn ${y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}$ ${y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}$và ${y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}$ ${y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}$

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Có ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ ${x^2} - 3x + 2 = 0$ nên theo định lý Vi ét ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2 \end{array} \right.$

Có ${y_1} + {y_2} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ ${y_1} + {y_2} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Và ${y_1}{y_2} = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right) = {x_1}{x_2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = 2 + 2 + 2 = 6$ ${y_1}{y_2} = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right) = {x_1}{x_2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = 2 + 2 + 2 = 6$

Theo định lý Vi-ét đảo thì ${y_1},{y_2}$ ${y_1},{y_2}$ là nghiệm của phương trình :

${y^2} - \frac{9}{2}y + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - 9y + 12 = 0$ ${y^2} - \frac{9}{2}y + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - 9y + 12 = 0$

III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Cho x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 7x + 3 = 0$ ${x^2} - 7x + 3 = 0$. Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $2{x_1} - {x_2}$ $2{x_1} - {x_2}$ và $2{x_2} - {x_1}$ $2{x_2} - {x_1}$

Bài 2: Không giải phương trình ${x^2} - 11x + 5 =0$ ${x^2} - 11x + 5 =0$. Hãy lập phương trình bậc 2 có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình trên

Bài 3: Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc 2 có hai nghiệm là số đối hai nghiệm của phương trình ${x^2} - x - 4 = 0$ ${x^2} - x - 4 = 0$

Bài 4: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là ${x_1} = 2 - \sqrt 3$ ${x_1} = 2 - \sqrt 3$ và ${x_2} = 2 + \sqrt 3$ ${x_2} = 2 + \sqrt 3$

Bài 5: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo nghiệm của phương trình ${x^2} + mx - 2 = 0$ ${x^2} + mx - 2 = 0$

Bài 6: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số $\frac{1}{{{x_1}^2}}$ $\frac{1}{{{x_1}^2}}$và $\frac{1}{{{x_2}^2}}$ $\frac{1}{{{x_2}^2}}$ trong đó ${x_1},{x_2}$ ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình $2{x^2} - 7x + 6 = 0$ $2{x^2} - 7x + 6 = 0$

Bài 7: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số $1 + {x_1}^3$ $1 + {x_1}^3$và $1 + {x_2}^3$ $1 + {x_2}^3$ trong đó ${x_1},{x_2}$ ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình $2{x^2} - 7x + 6 = 0$ $2{x^2} - 7x + 6 = 0$

Bài 8: Cho phương trình ${x^2} - 5x - 1 = 0$ ${x^2} - 5x - 1 = 0$ có hai nghiệm là ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y (với các hệ số nguyên) có hai nghiệm lần lượt là:

a, ${y_1} = 1 + \frac{1}{{{x_1}}}$ ${y_1} = 1 + \frac{1}{{{x_1}}}$ và ${y_2} = 1 + \frac{1}{{{x_2}}}$ ${y_2} = 1 + \frac{1}{{{x_2}}}$

b, ${y_1} = \frac{2}{{{x_1}}}$ ${y_1} = \frac{2}{{{x_1}}}$ và ${y_2} = \frac{2}{{{x_2}}}$ ${y_2} = \frac{2}{{{x_2}}}$

c, ${y_1} = {x_1}^3 + 3$ ${y_1} = {x_1}^3 + 3$ và ${y_2} = 3 - {x_2}^3$ ${y_2} = 3 - {x_2}^3$

d, ${y_2} = {x_1} + 2{x_2}^2$ ${y_2} = {x_1} + 2{x_2}^2$ và ${y_2} = {x_2} + 2{x_1}^2$ ${y_2} = {x_2} + 2{x_1}^2$

Bài 9: Biết $x_1;\;x_2$ $x_1;\;x_2$là nghiệm của phương trình bậc hai $5x^2-7x+1=0$. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là $\frac{x_1}{x_2+1}$ $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ $\frac{x_2}{x_1+1}$.

Bài 10: Cho phương trình bậc hai $2x^2-mx+m-2=0$ (m là tham số):

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁; y₂ biết $y_1+y_2=x_1+x_2$ và $y_1^2+y_2^2=1$.

-----------------

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết chuyên đề lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ x₂ Toán 9. Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x₁ x₂". Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

Để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm:

Rút gọn biểu thức - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
Hàm số đồ thị - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
Phương trình, hệ phương trình - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Xem thêm Kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Hình học - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10 . Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.