Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

3 2.629

Chuyên đề luyện thi vào 10: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 x2

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm
II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 x2", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Định lý Vi ét đảo

+ Nếu có hai số ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ thì chúng là nghiệm số của phương trình: ${X^2} - S.X + P = 0$

II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1/x1 và 1/x2 biết x1, x2 là nghiệm của phương trình x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0

Lời giải:

Nếu ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0$ thì theo định lý Vi ét có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.$

Khi đó: Đặt ${t_1} = \frac{1}{{{x_1}}};t = \frac{1}{{{x_2}}}$ (điều kiện ${x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$ )

Ta có ${t_1} + {t_2} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}$ và ${t_1}{t_2} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{{m^2} - 1}}$

Theo định lý Vi ét đảo thì t1, t2 hay 1/x1; 1/x2 là nghiệm của phương trình:

${t^2} - \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}t + \frac{1}{{{m^2} - 1}} = 0$

Bài 2: Cho phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thỏa mãn ${y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}$ và ${y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}$

Lời giải:

Có ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ nên theo định lý Vi ét ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2 \end{array} \right.$

Có ${y_1} + {y_2} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Và ${y_1}{y_2} = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right) = {x_1}{x_2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = 2 + 2 + 2 = 6$

Theo định lý Vi-ét đảo thì ${y_1},{y_2}$ là nghiệm của phương trình :

${y^2} - \frac{9}{2}y + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - 9y + 12 = 0$

III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 7x + 3 = 0$ . Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $2{x_1} - {x_2}$ và $2{x_2} - {x_1}$

Bài 2: Không giải phương trình ${x^2} - 11x + 5$ . Hãy lập phương trình bậc 2 có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình trên

Bài 3: Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc 2 có hai nghiệm là số đối hai nghiệm của phương trình ${x^2} - x - 4 = 0$

Bài 4: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là ${x_1} = 2 - \sqrt 3$ và ${x_2} = 2 + \sqrt 3$

Bài 5: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo nghiệm của phương trình ${x^2} + mx - 2 = 0$

Bài 6: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số $\frac{1}{{{x_1}^2}}$ và $\frac{1}{{{x_2}^2}}$ trong đó ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình $2{x^2} - 7x + 6 = 0$

Bài 7: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số $1 + {x_1}^3$ và $1 + {x_2}^3$ trong đó ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình $2{x^2} - 7x + 6 = 0$

Bài 8: Cho phương trình ${x^2} - 5x - 1 = 0$ có hai nghiệm là ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y (với các hệ số nguyên) có hai nghiệm lần lượt là:

a, ${y_1} = 1 + \frac{1}{{{x_1}}}$ và ${y_2} = 1 + \frac{1}{{{x_2}}}$

b, ${y_1} = \frac{2}{{{x_1}}}$ và ${y_2} = \frac{2}{{{x_2}}}$

c, ${y_1} = {x_1}^3 + 3$ và ${y_2} = 3 - {x_2}^3$

d, ${y_2} = {x_1} + 2{x_2}^2$ và ${y_2} = {x_2} + 2{x_1}^2$

-----------------

Ngoài chuyên đề lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Tham khảo thêm