VnDoc.com

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 x2

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm
- Định lý Vi ét đảo
II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ x₂ là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh tham khảo. Tài liệu bao gồm lý thuyết kèm các bài tập minh họa và bài tập tự luyện giúp các em nắm vững các dạng bài và vận dụng vào giải bài tập hiệu quả. Mời các bạn tham khảo chi tiết dưới đây.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Định lý Vi ét đảo

+ Nếu có hai số ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ thì chúng là nghiệm số của phương trình: ${X^2} - S.X + P = 0$ ${X^2} - S.X + P = 0$.

II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1/x₁ và 1/x₂ biết x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - 2mx + m² - 1 = 0.

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Nếu ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0$ ${x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0$ thì theo định lý Vi ét có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.$

Khi đó: Đặt ${t_1} = \frac{1}{{{x_1}}};t = \frac{1}{{{x_2}}}$ ${t_1} = \frac{1}{{{x_1}}};t = \frac{1}{{{x_2}}}$ (điều kiện ${x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$ ${x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$)

Ta có ${t_1} + {t_2} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}$ ${t_1} + {t_2} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}$ và ${t_1}{t_2} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{{m^2} - 1}}$ ${t_1}{t_2} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{{m^2} - 1}}$

Theo định lý Vi ét đảo thì t₁, t₂ hay 1/x1; 1/x2 là nghiệm của phương trình:

${t^2} - \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}t + \frac{1}{{{m^2} - 1}} = 0$ ${t^2} - \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}t + \frac{1}{{{m^2} - 1}} = 0$

Bài 2: Cho phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thỏa mãn ${y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}$ ${y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}$và ${y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}$ ${y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}$

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Có ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ ${x^2} - 3x + 2 = 0$ nên theo định lý Vi ét ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2 \end{array} \right.$

Có ${y_1} + {y_2} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ ${y_1} + {y_2} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Và ${y_1}{y_2} = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right) = {x_1}{x_2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = 2 + 2 + 2 = 6$ ${y_1}{y_2} = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right) = {x_1}{x_2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = 2 + 2 + 2 = 6$

Theo định lý Vi-ét đảo thì ${y_1},{y_2}$ ${y_1},{y_2}$ là nghiệm của phương trình :

${y^2} - \frac{9}{2}y + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - 9y + 12 = 0$ ${y^2} - \frac{9}{2}y + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - 9y + 12 = 0$

Bài 3: Cho phương trình (m+1)x² - 2(m+2)x + m + 5 = 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ trong đó có một nghiệm là $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$. Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm là $\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}};\frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}}$ $\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}};\frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}}$?

Hướng dẫn giải

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 $\Leftrightarrow x = 2$ $\Leftrightarrow x = 2$.

Phương trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1, b = -2(m+2), c = m+5

$\Delta$ $\Delta' = (m + 2)^{2} - (m + 1)(m + 5)$

$= m^{2} + 4m + 4 - m^{2} - 6m - 5$ $= m^{2} + 4m + 4 - m^{2} - 6m - 5$

$= - 2m - 1$

Phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ khi nó là phương trình bậc hai có $\Delta \geq 0$ $\Delta \geq 0$

Tức là $\left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 2m - 1 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq - \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\ \ \ \ (1)$ $\left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 2m - 1 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq - \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\ \ \ \ (1)$

Thay $x = \frac{1}{2}$ $x = \frac{1}{2}$ vào phương trình đã cho ta có:

$(m + 1).\left( \frac{1}{2} \right)^{2} - 2(m + 2).\frac{1}{2} + m + 5 = 0$ $(m + 1).\left( \frac{1}{2} \right)^{2} - 2(m + 2).\frac{1}{2} + m + 5 = 0$

$\Leftrightarrow m + 1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0$ $\Leftrightarrow m + 1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0$

$\Leftrightarrow m = - 13\left( TM(1) \right)$ $\Leftrightarrow m = - 13\left( TM(1) \right)$

Vậy với m = -13 thì phương trình có hai nghiệm x₁ , x₂ trong đó có một nghiệm là $x = \frac{1}{2}$ $x = \frac{1}{2}$.

Thay m = -13 phương trình trở thành -12x² + 22x - 8 = 0 ⬄ 6x² - 11x + 4 = 0

Theo định lí Viète: $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{11}{6} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{11}{6} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\end{matrix} \right.$. Khi đó:

$\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}} + \frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}} = \frac{6{x_{1}}^{2} + x_{1} + 6{x_{2}}^{2} + x_{2}}{3x_{1}x_{2}}$ $\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}} + \frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}} = \frac{6{x_{1}}^{2} + x_{1} + 6{x_{2}}^{2} + x_{2}}{3x_{1}x_{2}}$

$=\frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2}- 12x_{1}x_{2} + \left( x_{1} + x_{2} \right)}{3x_{1}x_{2}}$ $=\frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2}- 12x_{1}x_{2} + \left( x_{1} + x_{2} \right)}{3x_{1}x_{2}}$

$= \dfrac{6\left( \dfrac{11}{6} \right)^{2}- 12.\dfrac{2}{3} + \left( \dfrac{11}{6} \right)}{3.\frac{2}{3}} =7$ $= \dfrac{6\left( \dfrac{11}{6} \right)^{2}- 12.\dfrac{2}{3} + \left( \dfrac{11}{6} \right)}{3.\frac{2}{3}} =7$

Lại có: $\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}}.\frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}} = \frac{36x_{1}x_{2} + 6\left( x_{1} + x_{2} \right) + 1}{9x_{1}x_{2}}$ $\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}}.\frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}} = \frac{36x_{1}x_{2} + 6\left( x_{1} + x_{2} \right) + 1}{9x_{1}x_{2}}$ $= \dfrac{36.\dfrac{2}{3} + 6.\dfrac{11}{6}+ 1}{9.\dfrac{2}{3}} = 6$ $= \dfrac{36.\dfrac{2}{3} + 6.\dfrac{11}{6}+ 1}{9.\dfrac{2}{3}} = 6$

Do đó phương trình cần tìm có dạng y² - 7y + 6 = 0.

III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Cho x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 7x + 3 = 0$ ${x^2} - 7x + 3 = 0$. Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $2{x_1} - {x_2}$ $2{x_1} - {x_2}$ và $2{x_2} - {x_1}$ $2{x_2} - {x_1}$.

Bài 2: Không giải phương trình ${x^2} - 11x + 5 =0$ ${x^2} - 11x + 5 =0$. Hãy lập phương trình bậc 2 có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình trên.

Bài 3: Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc 2 có hai nghiệm là số đối hai nghiệm của phương trình ${x^2} - x - 4 = 0$ ${x^2} - x - 4 = 0$.

Bài 4: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là ${x_1} = 2 - \sqrt 3$ ${x_1} = 2 - \sqrt 3$ và ${x_2} = 2 + \sqrt 3$ ${x_2} = 2 + \sqrt 3$.

Bài 5: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo nghiệm của phương trình ${x^2} + mx - 2 = 0$ ${x^2} + mx - 2 = 0$.

Bài 6: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số $\frac{1}{{{x_1}^2}}$ $\frac{1}{{{x_1}^2}}$và $\frac{1}{{{x_2}^2}}$ $\frac{1}{{{x_2}^2}}$ trong đó ${x_1},{x_2}$ ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình $2{x^2} - 7x + 6 = 0$ $2{x^2} - 7x + 6 = 0$.

Bài 7: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số $1 + {x_1}^3$ $1 + {x_1}^3$và $1 + {x_2}^3$ $1 + {x_2}^3$ trong đó ${x_1},{x_2}$ ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình $2{x^2} - 7x + 6 = 0$ $2{x^2} - 7x + 6 = 0$.

Bài 8: Cho phương trình ${x^2} - 5x - 1 = 0$ ${x^2} - 5x - 1 = 0$ có hai nghiệm là ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y (với các hệ số nguyên) có hai nghiệm lần lượt là:

a, ${y_1} = 1 + \frac{1}{{{x_1}}}$ ${y_1} = 1 + \frac{1}{{{x_1}}}$ và ${y_2} = 1 + \frac{1}{{{x_2}}}$ ${y_2} = 1 + \frac{1}{{{x_2}}}$

b, ${y_1} = \frac{2}{{{x_1}}}$ ${y_1} = \frac{2}{{{x_1}}}$ và ${y_2} = \frac{2}{{{x_2}}}$ ${y_2} = \frac{2}{{{x_2}}}$

c, ${y_1} = {x_1}^3 + 3$ ${y_1} = {x_1}^3 + 3$ và ${y_2} = 3 - {x_2}^3$ ${y_2} = 3 - {x_2}^3$

d, ${y_2} = {x_1} + 2{x_2}^2$ ${y_2} = {x_1} + 2{x_2}^2$ và ${y_2} = {x_2} + 2{x_1}^2$ ${y_2} = {x_2} + 2{x_1}^2$

Bài 9: Biết $x_1;\;x_2$ $x_1;\;x_2$là nghiệm của phương trình bậc hai $5x^2-7x+1=0$. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là $\frac{x_1}{x_2+1}$ $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ $\frac{x_2}{x_1+1}$.

Bài 10: Cho phương trình bậc hai $2x^2-mx+m-2=0$ (m là tham số):

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁; y₂ biết $y_1+y_2=x_1+x_2$ và $y_1^2+y_2^2=1$.

-------------------------------------------------------------

Dạng toán lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x₁, x₂ là một ứng dụng điển hình của hệ thức Vi-ét trong Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10. Việc thành thạo dạng bài này giúp học sinh:

Nắm vững mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai.
Vận dụng linh hoạt công thức tổng – tích nghiệm để xây dựng phương trình nhanh chóng.
Rèn luyện khả năng tư duy ngược: từ điều kiện nghiệm → phương trình.
Tự tin xử lý các bài toán biến đổi nâng cao khi nghiệm thỏa mãn điều kiện đặc biệt.

Khi luyện tập, bạn nên kết hợp cả bài tập cơ bản và nâng cao để làm quen với nhiều tình huống khác nhau, từ việc cho trực tiếp nghiệm đến các bài toán ẩn nghiệm qua điều kiện. Điều này không chỉ giúp bạn giải nhanh, nhớ lâu mà còn tăng khả năng ứng biến khi gặp các câu hỏi tương tự trong đề thi vào lớp 10.

Việc luyện đều dạng bài này sẽ là bước đệm vững chắc để bạn chinh phục toàn bộ chuyên đề phương trình bậc hai và đạt kết quả cao trong kỳ thi quan trọng sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: