Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 x2

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm
- Định lý Vi ét đảo
II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ x₂ là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh tham khảo. Tài liệu bao gồm lý thuyết kèm các bài tập minh họa và bài tập tự luyện giúp các em nắm vững các dạng bài và vận dụng vào giải bài tập hiệu quả. Mời các bạn tham khảo chi tiết dưới đây.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Định lý Vi ét đảo

+ Nếu có hai số ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ thì chúng là nghiệm số của phương trình: ${X^2} - S.X + P = 0$ .

II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1/x₁ và 1/x₂ biết x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - 2mx + m² - 1 = 0.

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Nếu ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0$ thì theo định lý Vi ét có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.$

Khi đó: Đặt ${t_1} = \frac{1}{{{x_1}}};t = \frac{1}{{{x_2}}}$ (điều kiện ${x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$ )

Ta có ${t_1} + {t_2} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}$ và ${t_1}{t_2} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{{m^2} - 1}}$

Theo định lý Vi ét đảo thì t₁, t₂ hay 1/x1; 1/x2 là nghiệm của phương trình:

${t^2} - \frac{{2m}}{{{m^2} - 1}}t + \frac{1}{{{m^2} - 1}} = 0$

Bài 2: Cho phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thỏa mãn ${y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}$ và ${y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}$

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Có ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ nên theo định lý Vi ét ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2 \end{array} \right.$

Có ${y_1} + {y_2} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Và ${y_1}{y_2} = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right) = {x_1}{x_2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = 2 + 2 + 2 = 6$

Theo định lý Vi-ét đảo thì ${y_1},{y_2}$ là nghiệm của phương trình :

${y^2} - \frac{9}{2}y + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - 9y + 12 = 0$

Bài 3: Cho phương trình (m+1)x² - 2(m+2)x + m + 5 = 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ trong đó có một nghiệm là $\frac{1}{2}$ . Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm là $\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}};\frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}}$ ?

Hướng dẫn giải

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 $\Leftrightarrow x = 2$ .

Phương trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1, b = -2(m+2), c = m+5

$\Delta' = (m + 2)^{2} - (m + 1)(m + 5)$

$= m^{2} + 4m + 4 - m^{2} - 6m - 5$

Phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ khi nó là phương trình bậc hai có $\Delta \geq 0$

Tức là $\left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 2m - 1 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq - \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\ \ \ \ (1)$

Thay $x = \frac{1}{2}$ vào phương trình đã cho ta có:

$(m + 1).\left( \frac{1}{2} \right)^{2} - 2(m + 2).\frac{1}{2} + m + 5 = 0$

$\Leftrightarrow m + 1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0$

$\Leftrightarrow m = - 13\left( TM(1) \right)$

Vậy với m = -13 thì phương trình có hai nghiệm x₁ , x₂ trong đó có một nghiệm là $x = \frac{1}{2}$ .

Thay m = -13 phương trình trở thành -12x² + 22x - 8 = 0 ⬄ 6x² - 11x + 4 = 0

Theo định lí Viète: $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{11}{6} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\end{matrix} \right.$ . Khi đó:

$\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}} + \frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}} = \frac{6{x_{1}}^{2} + x_{1} + 6{x_{2}}^{2} + x_{2}}{3x_{1}x_{2}}$

$=\frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2}- 12x_{1}x_{2} + \left( x_{1} + x_{2} \right)}{3x_{1}x_{2}}$

$= \dfrac{6\left( \dfrac{11}{6} \right)^{2}- 12.\dfrac{2}{3} + \left( \dfrac{11}{6} \right)}{3.\frac{2}{3}} =7$

Lại có: $\frac{6x_{1} + 1}{3x_{2}}.\frac{6x_{2} + 1}{3x_{1}} = \frac{36x_{1}x_{2} + 6\left( x_{1} + x_{2} \right) + 1}{9x_{1}x_{2}}$ $= \dfrac{36.\dfrac{2}{3} + 6.\dfrac{11}{6}+ 1}{9.\dfrac{2}{3}} = 6$

Do đó phương trình cần tìm có dạng y² - 7y + 6 = 0.

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: