Chuyên đề Hệ phương trình lớp 9
Chuyên đề Hệ phương trình Toán lớp 9
- Dạng 1: Giải bằng phương pháp thế hoặc công đại số:
- Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
- Dạng 3: Giải hệ phương trình ba ẩn
- Dạng 4: Giải và biện luận hệ phương trình:
- Dạng 5: Các bài toán có liên quan
- Dạng 6: Hệ phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
- Dạng 7: Hệ phương trình đối xứng loại I
- Dạng 8 : Hệ phương trình đối xứng loại II
- Dạng 9 : Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
Chuyên đề hệ phương trình Toán 9 là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt cần thiết cho các bạn học sinh chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Trong chuyên đề này, chúng tôi sẽ tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức cần nhớ, các phương pháp giải hệ phương trình lớp 9 (phương pháp thế, phương pháp cộng đại số), kèm theo hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Với cách trình bày rõ ràng, dễ hiểu, chuyên đề sẽ giúp bạn nắm vững bản chất của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, rèn luyện kỹ năng tư duy và phản xạ khi làm bài thi. Đây là tài liệu ôn tập hữu ích dành cho học sinh lớp 9 muốn củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi quan trọng. Hãy cùng bắt đầu hành trình chinh phục hệ phương trình ngay bây giờ!
A. Các phương pháp giải hệ phương trình
Dạng 1: Giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số:
1) Cách giải bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Chú ý: Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).
2) Cách giải bằng phương pháp thế:
+ Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
+ Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Trong trường hợp nếu có một ẩn trong 2 phương trình có hệ số là 1 hoặc -1 ta hãy sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình để tránh phức tạp.
Trắc nghiệm kiểm tra kiến thức
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa
+ Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn phụ
+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số) sau đó kết hợp với điều kiện của ẩn phụ
+ Bước 4: Với mỗi giá trị ẩn phụ tìm được, tìm nghiệm tương ứng của hệ phương trình và kết hợp với điều kiện ban đầu.
Dạng 3: Giải hệ phương trình ba ẩn
Dạng 4: Giải và biện luận hệ phương trình:
Dạng 5: Các bài toán có liên quan
Dạng 6: Hệ phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 7: Hệ phương trình đối xứng loại I
a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.
b) Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ phương trình thì (y0; x0) cũng là nghiệm của phương trình.
c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Đặt 
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = x + y} \\
{P = xy}
\end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.
Dạng 8 : Hệ phương trình đối xứng loại II
a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.
b) Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ phương trình thì (y0; x0) cũng là nghiệm của phương trình.
c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng
\(\left( {x - y} \right)\left[ {f\left( {x;y} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - y = 0} \\
{f\left( {x;y} \right) = 0}
\end{array}} \right.\)
Dạng 9 : Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n:
a1xm + akxn - kyk + ... + anyn = 0
Từ đó ta xét hai trường hợp:
y = 0 thay vào để tìm x
y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình \({a_1}{t^n} + {a_k}{t^{n - k}} + .... + {a_n} = 0\)
Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y.
B. Bài tập giải hệ phương trình có hướng dẫn
Dạng 1: Giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
| a, \(\left\{ \begin{matrix}
(m - 1)x + y = 3m - 4 \\
x + (m - 1)y = m \\
\end{matrix} \right.\) |
b, \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} - 5xy - 4y^{2} = - 3 \\
9y^{2} + 11xy - 8x = 6 \\
\end{matrix} \right.\) |
| c, \(\left\{
\begin{matrix}
mx - y = 1 \\
m^{3}x + \left( 3m^{2} - 1 \right)y = 2 \\
\end{matrix} \right.\) |
d, \(\left\{
\begin{matrix}
|x| + 2|y| = 3 \\
7x + 5y = 2 \\
\end{matrix} \right.\) |
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
| c, \(\left\{
\begin{matrix}
7x - 3y = 5 \\
4x + y = 2 \\
\end{matrix} \right.\) |
d, \(\left\{
\begin{matrix}
2x + 3y = - 2 \\
3x - 2y = - 3 \\
\end{matrix} \right.\) |
| a, \(\left\{ \begin{matrix}
4x + y = 2 \\
8x + 2y = 1 \\
\end{matrix} \right.\) |
b, \(\left\{
\begin{matrix}
x - y = 3 \\
3x - 4y = 2 \\
\end{matrix} \right.\) |
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
| a, \(\left\{ \begin{matrix}
x + 3y = - 2 \\
5x - 4y = 11 \\
\end{matrix} \right.\) |
b, \(\left\{
\begin{matrix}
3x - 2y = 11 \\
4x - 5y = 3 \\
\end{matrix} \right.\) |
| c, \(\left\{
\begin{matrix}
\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\
5x - 8y = 3 \\
\end{matrix} \right.\) |
d, \(\left\{
\begin{matrix}
0,3x + 0,5y = 3 \\
1,5x - 2y = 1,5 \\
\end{matrix} \right.\) |
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
| a, \(\left\{ \begin{matrix}
\sqrt{x - 1} - 3\sqrt{y + 2} = 2 \\
2\sqrt{x - 1} + 5\sqrt{y + 2} = 15 \\
\end{matrix} \right.\) |
b, \(\left\{
\begin{matrix}
(x + 3)^{2} - 3y^{3} = 6 \\
3(x + 3)^{2} + 5y^{3} = 7 \\
\end{matrix} \right.\) |
c, \(\left\{
\begin{matrix}
\frac{2x - 1}{x} + \frac{y - 1}{y + 1} = 3 \\
\frac{2x - 1}{2x} + \frac{3y - 3}{y + 1} = 2 \\
\end{matrix} \right.\) |
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
| a, \(\left\{ \begin{matrix}
\frac{2}{x + 3} - \frac{5}{y - 2} = 1 \\
\frac{x + 4}{x + 3} + \frac{y}{y - 2} = 2 \\
\end{matrix} \right.\) |
b, \(\left\{
\begin{matrix}
\frac{2x + 1}{x + 1} + \frac{y - 1}{y + 1} = 3 \\
\frac{4x - 2}{x + 1} - \frac{3y - 3}{y + 1} = - 4 \\
\end{matrix} \right.\) |
c, \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} + \frac{1}{y} = 5 \\
2x^{2} - \frac{3}{y} = 5 \\
\end{matrix} \right.\) |
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
| a, \(\left\{ \begin{matrix}
2x^{2} + \frac{1}{x - y} = 3 \\
3x^{2} - \frac{5}{x - y} + 2 = 0 \\
\end{matrix} \right.\) |
b, \(\left\{
\begin{matrix}
\frac{2x - y}{x + y} + \frac{x - y}{2x + y} = 8 \\
\frac{2x - y}{x + y} - \frac{x - y}{2x + y} = 4 \\
\end{matrix} \right.\) |
c, \(\left\{
\begin{matrix}
\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{y + 2} = 0 \\
\frac{2x + 4}{x + 1} + \frac{5y - 2}{y + 2} = 4 \\
\end{matrix} \right.\) |
Dạng 3: Giải hệ phương trình ba ẩn
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
2x - y = 8 \\
3x - z = 10 \\
x + 2y + 3z = 10 \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
x - 2y = 5 \\
x + 3z = - 8 \\
x + y + z = 3 \\
\end{matrix} \right.\) c, \(\left\{
\begin{matrix}
x + y + z = 6 \\
2x - y + 3z = 9 \\
x + z = 4 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
x - y - 3z = - 4 \\
x + y - z = 0 \\
x - y + 2z = 6 \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
2x + 3y - z = 11 \\
x - y + 2z = - 7 \\
x - y = 3 \\
\end{matrix} \right.\) c, \(\left\{
\begin{matrix}
3x + y - z = 1 \\
x + 5y + z = 4 \\
4x + 2y - 3z = 5 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
x + 2y + 3z = 11 \\
3x + y + 2z = 3 \\
2x + 3y + z = - 2 \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
2x + y = 7 \\
x - y + 2z = 7 \\
z - 3y = - 5 \\
\end{matrix} \right.\) c, \(\left\{
\begin{matrix}
x + y - z = 1 \\
2x + y + z = 3 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
\frac{xy}{x + y} = \frac{2}{3} \\
\frac{yz}{y + z} = \frac{3}{2} \\
\frac{xz}{x + z} = \frac{6}{7} \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
\frac{x + y}{xyz} = \frac{1}{2} \\
\frac{y + z}{xyz} = \frac{5}{6} \\
\frac{x + z}{xyz} = \frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\) c, \(\left\{
\begin{matrix}
\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y + 2} + \frac{3}{y + 3} = 10 \\
\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{y + 2} + \frac{1}{y + 3} = 13 \\
\frac{3}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} + \frac{2}{y + 3} = 13 \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn
a, Nếu x = y = z = 0 không phải là nghiệm của hệ, đảo ngược :
Bài 5: Giải hệ phương trình sau:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
\frac{x + y}{xy} = \frac{5}{6} \\
\frac{y + z}{yz} = \frac{2}{3} \\
\frac{x + z}{xz} = \frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
\frac{xy}{x + y} = \frac{6}{5} \\
\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3} \\
\frac{zx}{z + x} = \frac{12}{7} \\
\end{matrix} \right.\) c, \(\left\{
\begin{matrix}
6xy = 5(x + y) \\
3yz = 2(y + z) \\
7zx = 10(z + x) \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn
c, Dễ thấy x=y=z=0 là 1 nghiệm của hệ, Với \(x,y,z \neq 0\) khi đó \(6xy = 5(x + y) \Leftrightarrow \frac{x + y}{xy} =
\frac{6}{5}\).
Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
xy - x - y = 5 \\
yz - y - z = 11 \\
zx - z - x = 7 \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
x(y - z) = - 4 \\
y(z - x) = 9 \\
z(x + y) = 1 \\
\end{matrix} \right.\) c, \(\left\{
\begin{matrix}
3x^{2} + xz - yz + y^{2} = 2 \\
y^{2} + xy - yz + z^{2} = 0 \\
x^{2} - xy - xz - z^{2} = 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn
a, Phân tích các phương trình thành nhân tử: \(xy - x - y = 5 \Leftrightarrow (x - 1)(y - 1) =
6\)
b, Cộng ba vế của pt ta được: 2yz = 6 => yz = 3
Cộng (1) với (2) rồi trừ cho (3) ta được: xz = - 2
Cộng (1) với (3) rồi trừ cho (2) ta được: xy = - 6
c, Lấy (1) + (2) - (3) ta được: \((x +
y)^{2} + (y - z)^{2} + (x + z)^{2} = 0 = > x = - y = - z\)
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
2x - y + z = 12 \\
3x + 4y - 5z = - 17 \\
8x - 6y - 3z = 42 \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
x + 2y + 3z = 11 \\
3x + y + 2z = 3 \\
2x + 3y + z = - 2 \\
\end{matrix} \right.\) c, \(\left\{
\begin{matrix}
(x + y)(y + z) = 187 \\
(y + z)(z + x) = 154 \\
(z + x)(x + y) = 238 \\
\end{matrix} \right.\)
Dạng 4: Giải biện luận hệ phương trình
Bài 1: Cho hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
mx + 4y = m + 2 \\
x + my = m \\
\end{matrix} \right.\)
a, Giải hệ phương trình khi m=1
b, Giải và biện luận hệ phương trình
c, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x,y nguyên
Bài 2: Cho hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
(m - 1)x + y = 3m - 4 \\
x + (m - 1)y = m \\
\end{matrix} \right.\)
a, Giải hệ khi m=-1
b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x+y=3
Bài 3: Cho hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
(2m + 1)x + y = 2m - 2 \\
m^{2}x - y = m^{2} - 3m \\
\end{matrix} \right.\)
Trong đó m nguyên và \(m \neq - 1\), Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên
Hướng dẫn
Với \(m \neq - 1\) thì \(x = \frac{m - 2}{m + 1},y = \frac{3m}{m +
1}\) tìm m để x,y nguyên.
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của a để các hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất
a, \(\left\{ \begin{matrix}
3x - 2y = 6 \\
ax + y = - 3 \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
x - (a - 2)y = a + 2 \\
ax + y = a + 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của a để các hệ phương trình sau có vô số nghiệm:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
3x + ay = 3 \\
ax + 3y = 3 \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
(a + 1)x + 8y = 4a \\
ax + (a + 3)y = 3a - 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn
b, Nếu a=0 => hệ có 1 nghiệm (loại)
Nếu a= -1 hệ \(\Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
a(a + 1)x + 8ay = 4a^{2} \\
a(a + 1)x + (a + 1)(a + 3)y = (3a - 1)(a + 1) \\
\end{matrix} \right.\)=>\(- (a -
1)(a - 3)y = (a - 1)^{2}\)
Với a=-1 thì hệ vô số nghiệm
Với a \(\neq\)-1 thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của b để các hệ phương trình sau vô nghiệm:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
- 4x + by = 1 + b \\
(6 + b)x + 2y = 3 + b \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
x + by = 1 \\
bx - 3by = 2b + 3 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị của m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a, \(\left\{ \begin{matrix}
2x + 3y = 5 \\
x - y = 2 \\
x + 4y = m \\
\end{matrix} \right.\) b, \(\left\{
\begin{matrix}
x + 2y = 3 \\
mx - 4y = - 6 \\
x + y = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
a. Ta đi giải hệ \(\left\{ \begin{matrix}
2x + 3y = 5 \\
x - y = 2 \\
\end{matrix} \right.\ = > \left\{ \begin{matrix}
x = 11/5 \\
y = 1/5 \\
\end{matrix} \right.\)
Để hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm (x;y) cũng là nghiệm của phương trình (3)
Bài 8: Cho hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
(m - 1)x - my = 3m - 1 \\
2x - y = m + 5 \\
\end{matrix} \right.\)
a, Giải hệ khi m=2
b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn: \(S = x^{2} + y^{2}\)đặt gái trị nhỏ nhất
Hướng dẫn
b, Từ \((2) = > y = 2x - m - 5 = > (m
+ 1)x = (m + 1)^{2}\), Điều kiện hệ có nghiệm là m # -1
=> x = m+1, y = m - 3 => \(S = (m +
1)^{2} + (m - 3)^{2} = 2m^{2} - 4m + 10\)
Bài 9: Cho hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
x + my = 2 \\
mx - 2y = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
a, Giải hệ phương trình khi m=2
b, Tìm tất cả các giá trị của m nguyên để pt có nghiệm duy nhất t/m x>0, y<0
c, Tìm số m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất cũng là các số nguyên
Bài 10: Cho hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
mx + 4y = m + 2 \\
x + my = m \\
\end{matrix} \right.\)
a, Giải hệ phương trình khi m=1
b, Giải và biện luận hệ phương trình
c, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x,y nguyên
Bài 11: Cho hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
(m - 1)x + y = 3m - 4 \\
x + (m - 1)y = m \\
\end{matrix} \right.\)
a, Giải hệ khi m=-1
b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x+y=3
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-------------------------------------------
Trên đây là toàn bộ nội dung chuyên đề hệ phương trình Toán 9, bao gồm phần lý thuyết cô đọng, các dạng bài tập thường gặp trong đề thi và hướng dẫn giải chi tiết. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh lớp 9 học tốt môn Toán, đặc biệt là trong giai đoạn ôn thi vào lớp 10 đầy áp lực.
Để học tốt phần giải hệ phương trình lớp 9, bạn nên luyện tập thường xuyên, ghi nhớ các bước giải và rút ra phương pháp phù hợp với từng dạng bài. Đừng quên theo dõi thêm các chuyên đề Toán lớp 9 khác như: căn bậc hai, phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Vi-et, phương trình đường thẳng... để xây dựng nền tảng vững chắc cho kỳ thi sắp tới.
Chúc các bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả thật tốt trong kỳ thi vào 10!
