Tìm số chính phương
Chuyên đề Số chính phương Toán lớp 9
Số chính phương là chuyên đề quan trọng và không thể thiếu trong các bài thi Toán 9 cũng như trong các đề thi vào lớp 10 môn Toán. Để giúp các em học sinh học tốt phần này, VnDoc giới thiệu tới các bạn tài liệu Chuyên đề Số chính phương Toán 9 (theo chương trình mới) cho các em tham khảo, luyện tập.
1. Số chính phương
Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
2. Bài tập tìm số chính phương
Ví dụ 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Hướng dẫn giải
Gọi 
\(A = \overline {abcd} = {k^2}\).
Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số \(B = \overline {(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)} = {m^2}\) với k, m N và 32 < k < m < 100 và a, b, c, d = \(\overline {1;\,9}\)
Suy ra ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
A = \overline {abcd} = {k^2} \hfill \\
B = \overline {abcd} + 1111 = {m^2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\). Đúng khi cộng không có nhớ
=> m2 – k2 = 1111\(\Leftrightarrow\) (m - k)(m + k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101
Do đó: \(\left\{ \begin{gathered}
m - k = 11 \hfill \\
m + k = 101 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m = 56 \hfill \\
n = 45 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
A = 2025 \hfill \\
B = 3136 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Ví dụ 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị.
Hướng dẫn giải
Đặt \(\overline {abcd\,} \, = \,{k^2}\) ta có \(\overline {ab} - \overline {cd} = 1\) và k N, 32 k < 100
Suy ra : 101 \(\overline {cd}\) = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10 101 hoặc k – 10 101
Mà (k – 10; 101) = 1 k + 10 101
Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91
=> \(\overline {abcd}\)= 912 = 8281
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi số chính phương phải tìm là: \(\overline {aabb}\) = n2 với a, b N, 1 a 9; 0 b 9
Ta có: n2 = \(\overline {aabb}\) = 11.\(\overline {a0b}\) = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1)
Nhận xét thấy \(\overline {aabb}\) chia hết 11 => a + b \(\vdots\) 11
Mà 1 a 9; 0 b 9 nên 1 a + b 18 => a + b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn b = 4
Số cần tìm là: 7744
Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Hướng dẫn giải
Gọi số chính phương đó là \(\overline {abcd}\). Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt \(\overline {abcd}\) = x2 = y3 với x, y N
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương.
Ta có : 1000 ≤ \(\overline {abcd}\) ≤ 9999 => 10≤ y≤ 21 và y chính phương
y = 16 = 4096
3. Bài tập tự rèn luyện tìm số chính phương
Bài 1: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
Bài 3: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu.
Bài 4: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
Bài 5: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
Bài 6: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.
--------------------------------------------------
Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo có đáp án chi tiết!
