Tổng hợp các bài toán thực tế Lãi suất lớp 9: Cách giải nhanh và chính xác
Cách giải nhanh bài toán lãi suất lớp 9 ôn thi vào 10
Trong chương trình Toán 9, dạng toán thực tế về lãi suất là một chủ đề quan trọng và gắn liền với nhiều tình huống quen thuộc trong đời sống như gửi tiết kiệm, vay vốn, trả góp. Đây là dạng toán giúp học sinh rèn luyện khả năng áp dụng kiến thức toán học vào các bài toán kinh tế thực tế, đồng thời thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ và đặc biệt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
Bài viết “Tổng hợp các bài toán thực tế Lãi suất lớp 9: Cách giải nhanh và chính xác” sẽ hệ thống các công thức tính lãi đơn, lãi kép, phương pháp giải từng dạng bài tập và mẹo xử lý nhanh khi gặp dạng toán này. Qua đó, học sinh không chỉ nắm vững lý thuyết mà còn biết cách áp dụng linh hoạt để đạt kết quả tốt trong phần Toán thực tế ôn thi vào 10.
A. Các công thức tính lãi suất cần nhớ
1. Lãi đơn
Là số tiền lãi được xác định chỉ dựa trên số tiền gốc ban đầu mà không tính phần tiền lãi do số tiền gốc sinh ra với một lãi suất nhất định.
Công thức: Khách hàng gửi (vay) ngân hàng 
\(A\) (đồng) với lãi đơn \(r\%\)/ kì hạn thì số tiền \(S_{n}\) mà khách hàng nhận (trả) cả vốn lẫn lãi sau \(n\) kì hạn \(\left( n \in \mathbb{N}^{*} \right)\) là:
\(S_{n} = A + n.A.r\% = A(1 +
n.r\%)\)
Chứng minh công thức:
Số tiền khách hàng nhận được sau 1 năm là: \(S_{1} = A + 1.A.r\% = A(1 + 1.r\%)\) (đồng).
Số tiền khách hàng nhận được sau 2 năm là: \(S_{2} = A + 2.A.r\% = A(1 + 2.r\%)\) (đồng).
Số tiền khách hàng nhận được sau 3 năm là: \(S_{3} = A + 3.A.r\% = A(1 + 3.r\%)\) (đồng).
Khái quát hóa công thức ta có:
Số tiền khách hàng nhận được sau n năm là: \(S_{n} = A + n.A.r\% = A(1 + n.r\%)\) (đồng).
2. Lãi kép
Là số tiền lãi được xác định dựa trên cơ sở số tiền lại của các thời kì trước được gộp vào gốc vốn để làm căn cứ tính tiền lãi các thời kì tiếp theo.
Công thức: Khách hàng gửi (vay) ngân hàng \(A\) (đồng) với lãi kép \(r\%\)/ kì hạn thì số tiền \(S_{n}\) mà khách hàng nhận (trả) cả vốn lẫn lãi sau \(n\) kì hạn \(\left( n \in \mathbb{N}^{*} \right)\) là:
\(S_{n} = A(1 + r\%)^{n}\)
Chứng minh công thức:
Số tiền khách hàng nhận được sau 1 năm là: \(S_{1} = A(1 + r\%)\) (đồng)
Số tiền khách hàng nhận được sau 2 năm là:
\(S_{2} = A(1 + r\%)(1 + r\%) = A(1 +
r\%)^{2}\)
Số tiền khách hàng nhận được sau 3 năm là:
\(S_{3} = A(1 + r\%)^{2}.(1 + r\%) = A(1 +
r\%)^{3}\)
Tổng quát mô hình trên ta được:
Số tiền khách hàng nhận được sau n năm là: \(S_{n} = A(1 + r\%)^{n}\) (điều phải chứng minh).
3. Tỉ lệ gia tăng dân số
Công thức: \(A = a(1 +
r\%)^{n}\).
Trong đó:
\(A\): Dân số năm thứ \(n\)
\(a\): Dân số đầu kì
\(r\%\): Tỉ lệ tăng dân số.
B. Bài tập minh họa tính lãi suất có hướng dẫn giải chi tiết
Ví dụ 1. Chị Trang vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn một năm. Lẽ ra đúng một năm sau chị phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song chị đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm chị Trang phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi xuất cho vay của ngân hàng là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
Hướng dẫn giải
Gọi x là lãi suất của ngân hàng cho vay. Điều kiện x > 0
Số tiền cả vốn lẫn lãi của chị Trang phải trả sau 1 năm là: \(100000000(1 + x)\) (đồng)
Số tiền cả vốn lẫn lãi chị Trang phải trả sau 1 năm là:
\(100000000(1 + x).(1 + x) = 100000000(1 +
x)^{2}\)
Hết hai năm chị Trang phải trả 121 triệu đồng. Ta có phương trình:
\(100000000(1 + x)^{2} =
121000000\)
\((1 + x)^{2} = 1,21\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
1 + x = 1,1 \\
1 + x = - 1,1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0,1(tm) \\
x = - 2,1(L)
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow x = 10\%\)
Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng là 10% một năm.
Ví dụ 2. Chị Ngọc mang 300 triệu đồng gửi vào ngân hàng B với lãi suất 8% một năm, kì hạn một năm. Sau một vài năm, khi hết kì hạn gửi chị đến ngân hàng rút được số tiền cả vốn lẫn lãi là 408146688 đồng. Hỏi chị Ngọc dẫ gửi trong thời gian bao lâu, biết số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính tiền lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ
Hướng dẫn giải
Gọi x (năm) là thời gian chị Ngọc gửi. Điều kiện \(x \in \mathbb{N}^{*}\)
Số tiền cả vốn lẫn lãi của chị Ngọc rút được sau x năm là: \(300000000.(1 + 8\%)^{x}\) (đồng)
Khi hết kì hạn gửi chị đến ngân hàng rút số tiền cả vốn lẫn lãi là: 408146688 (đồng).
Ta có phương trình:
\(300000000.(1 + 8\%)^{x} =
408146688\)
\(1,08^{x} = 1,36048896\)
\(1,08^{x} = 1,08^{4}\)
\(x = 4\) (thỏa mãn)
Vậy chị Ngọc đã gửi tiền vào ngân hàng 4 năm.
Ví dụ 3. Chị Trang gửi tiền vào ngân hàng 500 triệu đồng với kì hạn 3 tháng với lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng chị gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn lãi suất như trước đó. Tổng số tiền chị Trang nhận được trong 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
3 tháng = 1 quý nên 6 tháng = 2 quý và 1 năm = 4 quý
Số tiền chị Trang nhận được sau 1 quý là: \(500000000.(1 + 2\%) = 510000000\) (đồng)
Số tiền chị Trang nhận được sau 2 quý là: \(510000000.(1 + 2\%) = 520200000\)(đồng)
Số tiền chị Trang gửi ngân hàng sau khi thêm 100 triệu đồng:
\(520200000 + 100000000 =
620200000\)(đồng)
Số tiền chị Trang nhận được sau 3 quý là:
\(620200000.(1 + 2\%) = 632604000\) (đồng)
Số tiền chị Trang nhận được sau 4 quý (1 năm) là:
\(632604000.(1 + 2\%) = 645256080\) (đồng)
Vậy sau 1 năm chị Trang nhận được \(645256080\) đồng.
Ví dụ 4. Sau nhiều năm làm việc chị Trang tích góp được 450 triệu đồng. Chị Trang chia số tiền thành hai phần và gưi hai ngân hàng A và B theo phương thức lãi kép. Số tiền ở phần thứ nhất chị Trang gửi ở ngân hàng A với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 18 tháng. Số tiền ở phẫn thứ hai chị Trang gửi ở ngân hàng B với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 10 tháng. Tổng số tiền lãi thu được ở hai ngân hàng là 50,01059203 triệu đồng. Hỏi số tiền chị Trang gửi mỗi ngân hàng A và B là bao nhiêu? Biết: Khách hàng gửi vào ngân hàng m đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền n S mà khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn \(\left( n \in \mathbb{N}^{*}
\right)\) là: \(S_{n} = m.(1 +
r\%)^{n}\)
Hướng dẫn giải
Gọi x; y (triệu đồng) lần lượt là số tiền chị Trang gửi ở ngân hàng A và ngân hàng B. Điều kiện \(x > 0;y >
0\)
Chị Trang có 450 triệu đồng nên \(x + y =
450\ \ \ (1)\)
Số tiền lãi chị Trang nhận được ở ngân hàng A sau 18 tháng (n = 6) là:
\(x.(1 + 2,1\%)^{6} - x = x.\left\lbrack
(1 + 2,1\%)^{6} - 1 \right\rbrack\)
Số tiền lãi chị Trang nhận được ở ngân hàng B sau 10 tháng là:
\(y.(1 + 0,73\%)^{10} - y = y.\left\lbrack
(1 + 0,73\%)^{10} - 1 \right\rbrack\) (triệu đồng)
Tổng số tiền lãi thu được ở hai ngân hàng là 50,01059203 triệu đồng nên ta:
\(x.\left\lbrack (1 + 2,1\%)^{6} - 1
\right\rbrack + y.\left\lbrack (1 + 0,73\%)^{10} - 1 \right\rbrack =
50,01059203\ \ (2)\)
Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{matrix}
x + y = 450 \\
x.\left\lbrack (1 + 2,1\%)^{6} - 1 \right\rbrack + y.\left\lbrack (1 +
0,73\%)^{10} - 1 \right\rbrack = 50,01059203
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 280 \\
y = 170
\end{matrix} \right.\)
Vậy chị Trang gửi ngân hàng A 280 triệu đồng, ngân hàng B 170 triệu đồng
Ví dụ 5. Dân số xã A hiện nay là 10 000 người. Người ta dự đoán sau 2 năm dân số xã A là 10 404 người. Hỏi trung bình hằng năm xã A tăng thêm bao nhiêu %?
Hướng dẫn giải
Gọi tỉ số % tăng dân số trung bình xã A là x(%). Điều kiện: x > 0
Sau 1 năm dân số xã A là: \(10000(1 +
x\%)\) (người)
Sau 2 năm dân số xã A là: \(10000(1 +
x\%).(1 + x\%) = 10000(1 + x\%)^{\ ^{2}}\) (người)
Sau 2 năm dân số xã A là: \(10404\) người nên ta có phương trình:
\(10000(1 + x\%)^{\ ^{2}} =
10404\)
\(1 + x\% = \sqrt{\frac{10404}{10000}} =
1,02\)
\(\Rightarrow x = 2\%\)
Vậy trung bình hằng năm xã A tăng thêm 2% dân số.
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Ông Sáu gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kì hạn 1 năm là 6%. Tuy nhiên sau kì hạn một năm ông Sáu ông đến lấy lãi mà để thêm một năm nữa mới lãnh. Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ. Sau 2 năm ông Sáu nhận được số tiền là 112360000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu ông Sáu đã gửi bao nhiêu tiền?
Bài tập 2. Ông Bình gửi tiết kiệm ngân hàng Đông Á 100 triệu đồng còn ông Minh thì đi gửi ngân hàng ABC\(\
150\) triệu đồng cùng một ngày, cùng kì hạn 12 tháng. Sau một năm, tổng số tiền hai ông nhận được 266400000 đồng. Tính mức lāi suất kì hạn 12 tháng của mỗi ngân hàng. Biết lãi suất của ACB hơn Đông Á \(0.1\%\).
Bài tập 3. Bác Bình gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng \(A\), kì hạn 1 năm. Cùng ngày, bác gửi tiết kiệm 150 triệu đồng vào ngân hàng \(B\), kì hạn 1 năm, với lãi suất cao hơn lãi suất ngân hàng \(A\) là \(1\%\) /năm. Biết sau đúng một năm kể từ ngày gửi tiền, bác Bình nhận được tổng số tiền lãi là 16,5 triệu đồng từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm nêu trên. Hỏi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng \(A\) là bao nhiêu phần trăm?
Bài tập 4. Ông Hạnh có 650 triệu đồng, ông dùng một phần số tiền này để gửi ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Phần còn lại ông đầu tư vào nhà hàng của một người bạn để nhận lãi kinh doanh. Sau một năm ông thu về số tiền cả vốn lẫn lãi từ cả hai nguồn trên là 747,5 triệu đồng. Biết tiền lãi kinh nhà hàng bằng 20% tiền đầu tư. Hỏi ông Hạnh đã sử dụng bao nhiêu tiền cho mỗi hình thức đầu tư.
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
-----------------------------------------------------------
Tóm lại, dạng bài toán thực tế lãi suất lớp 9 là chuyên đề quan trọng, vừa mang tính ứng dụng cao vừa giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy logic và kỹ năng giải toán nhanh. Việc nắm chắc công thức, hiểu rõ bản chất từng dạng toán và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh xử lý hiệu quả mọi bài tập liên quan đến lãi suất trong kỳ thi.
Hy vọng rằng tài liệu tổng hợp bài toán thực tế lãi suất lớp 9 trong bài viết này sẽ mang đến cho học sinh kiến thức đầy đủ, hệ thống và dễ áp dụng. Để đạt điểm cao, các em nên thường xuyên luyện đề thi tuyển sinh vào 10, chú trọng vào các dạng toán thực tế và rèn luyện tốc độ làm bài. Đây chính là chìa khóa để tự tin chinh phục thành công kỳ thi quan trọng sắp tới.
