Giải biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu
Biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán 9
Trong chương trình Toán 9, dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu là một chuyên đề quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy và xử lý điều kiện của nghiệm. Một trong những dạng nâng cao thường gặp là giải biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu, nơi học sinh phải xác định điều kiện xác định, phân tích giá trị của tham số và xét từng trường hợp để tìm nghiệm phù hợp.
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu, giúp bạn hiểu rõ bản chất bài toán, đồng thời cung cấp bài tập có lời giải chi tiết để luyện tập và củng cố kiến thức trong chuyên đề Phương trình Toán 9.
A. Bài toán minh họa biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: 
\(\frac{x + m}{x - 1} = \frac{x + 3}{x -
2}\)
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: \(x - 1 \neq 0\) và \(x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\) và \(x \neq 2\)
Mẫu thức chung: \((x - 1)(x -
2)\)
Quy đồng và khử mẫu, ta được:
\(\ (x + m)(x - 2) = (x + 3)(x -
1)\)
\(x^{2} - 2x + mx - 2m = x^{2} - x + 3x -
3\)
\(\ (m - 4)x = 2m - 3\ \ \ (\
*)\)
+ Nếu \(m\ - 4 = 0 \Leftrightarrow m =
4\)
Ta có (*) \(\Leftrightarrow 0x = 5\) (vô nghiệm)
+ Nếu \(m - 4 \neq 0 \Rightarrow m \neq
4\)
Ta có \((*) \Leftrightarrow x = \frac{2m -
3}{m - 4}\)
Vì \(x \neq 1\) và \(x \neq 2 \Rightarrow \frac{2m - 3}{m - 4} \neq
1\) và \(\frac{2m - 3}{m - 4} \neq
2\)
\(\ \Rightarrow m \neq - 1\) và \(\ 2m - 3 \neq 2m - 8\)
\(\Rightarrow m \neq - 1\)
Kết luận:
+) \(m \neq - 1\) và \(m \neq 4\). Tập nghiệm của (1): \(S = \left\{ \frac{2\ m - 3}{\ m - 4}
\right\}\).
+) \(m = - 1\) hoặc \(m = 4\). Tập nghiệm của (1): \(S = \varnothing\).
Ví dụ 2. Tìm \(m\) để phương trình sau vô nghiệm:
\(\frac{1 - x}{x - m} + \frac{x - 2}{x + m}
= \frac{2(x - m) - 2}{m^{2} - x^{2}}\)
Gợi ý: Tìm ĐKXĐ và đưa phương trình vể dạng \(ax + b = 0\), xét \(a = 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(m^{2} - x^{2} = - \left( x^{2} -
m^{2} \right) = - (x - m)(x + m)\)
ĐKXĐ: \(x + m \neq 0\) và \(x - m \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm
m\)
Quy đồng và khử mẫu, ta được:
\(\ (1 - x)(x + m) + (x - 2)(x - m) = 2 -
2(x - m)\)
\(\ (2m - 1)x = m - 2\ (*)\)
+ Nếu \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m =
\frac{1}{2}\)
Ta có \((*) \Leftrightarrow 0x = \frac{-
3}{2}\) (vô nghiệm)
+ Nếu \(m \neq \frac{1}{2}\), ta có \((\ *) \Leftrightarrow x = \frac{m - 2}{2m -
1}\)
Xét \(x = m \Leftrightarrow \frac{m - 2}{2m
- 1} = m \Leftrightarrow m - 2 = 2m^{2} - m\)
\(2m^{2} - 2m + 2 = 0 \Rightarrow m^{2} -
m + 1 = 0\)
\(\left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} +
\frac{3}{4} = 0\) (không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét \(x = - m \Leftrightarrow \frac{m -
2}{2m - 1} = - m \Leftrightarrow m - 2 = - 2m^{2} + m\)
\(\Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow
m = \pm 1\)
Đáp số: Phương trình vô nghiệm khi \(m = \frac{1}{2}\) hoặc \(m = \pm 1\).
Nhận xét: Qua cách giải trên, ta có phương trình đã cho có nghiệm khi \(m \neq \frac{1}{2}\) và \(m = \pm 1\).
(Phương trình có nghiệm \(x = \frac{m - 2}{2m
- 1}\) ).
B. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có hướng dẫn
Bài tập 1. Giải và biện luận phương trình:
a) \(m - 5 + \frac{2m + 5}{x - 2} =
0\) (2) b) \(\frac{2m - 2}{x - 1} = m -
1\) (3)
Bài tập 2. Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \(\frac{x}{x - m} - \frac{2m}{x
+ m} = \frac{8m^{2}}{x^{2} - m^{2}}\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
---------------------------------------------------------------------------
Dạng giải biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về điều kiện xác định và nghiệm của phương trình, mà còn là bước quan trọng trong việc làm quen với tư duy tham số chuẩn bị cho chương trình Toán THPT.
Qua hệ thống bài tập minh họa và đáp án chi tiết, học sinh có thể tự đánh giá năng lực, củng cố kỹ năng trình bày và tư duy logic. Hy vọng bài viết Giải biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu sẽ giúp bạn học tốt chuyên đề Phương trình Toán 9, nắm vững phương pháp biện luận và đạt kết quả cao trong học tập.
