VnDoc.com

Bất đẳng thức tam giác: Công thức, bổ đề mở rộng và bài tập có đáp án chi tiết

Chuyên đề Toán 9 Bất đẳng thức

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Toán 9: Bất đẳng thức trong tam giác - Có đáp án chi tiết

A. Bất đẳng thức trong tam giác
- Công thức bất đẳng thức tam giác
B. Bổ đề mở rộng bất đẳng thức tam giác trong hình học
C. Bài tập minh họa bất đẳng thức tam giác (có lời giải chi tiết)
D. Bài tập tự luyện bất đẳng thức tam giác có đáp án

Bất đẳng thức tam giác là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán trung học, đặc biệt phổ biến trong các bài toán hình học và đại số liên quan đến độ dài đoạn thẳng. Việc hiểu rõ định nghĩa, công thức, cũng như biết cách vận dụng các bổ đề mở rộng sẽ giúp học sinh giải bài hiệu quả hơn. Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp đầy đủ kiến thức về bất đẳng thức tam giác, bao gồm công thức chuẩn, bổ đề áp dụng trong nhiều trường hợp và hệ thống bài tập minh họa, bài luyện tập có đáp án chi tiết, giúp học sinh ôn tập toàn diện và nâng cao kỹ năng giải toán.

A. Bất đẳng thức trong tam giác

Công thức bất đẳng thức tam giác

$|AB - AC| < BC < AB + BC$

B. Bổ đề mở rộng bất đẳng thức tam giác trong hình học

a) Với 3 điểm $A,B,C$ bất kỳ ta luôn có: $AB + BC \geq AC$ $AB + BC \geq AC$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A,B,C$ thẳng hàng và điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A,C$.

b) Với 3 điểm $A,B,C$ bất kỳ ta luôn có: $|AB - AC| \leq BC$ $|AB - AC| \leq BC$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A,B,C$ thẳng hàng và điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A,C$.

c) Cho hai điểm $A,B$ nằm về một phía đường thẳng $(d)$. Điểm $M$ chuyển động trên đường thẳng $(d)$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(d)$. Ta có kết quả sau:

+ $MA + MB = MA' + MB \geq A'B$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $A'B$ và đường thẳng $(d)$.( $M$ trùng với $M_{0}$ $M_{0}$)

+ $|MA - MB| \leq AB$ $|MA - MB| \leq AB$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $AB$ và đường thẳng $(d)$( $M$ trùng với $M_{1}$ $M_{1}$).

d) Cho hai điểm $A,B$ nằm về hai phía đường thẳng $(d)$. Điểm $M$ chuyển động trên đường thẳng $(d)$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(d)$. Ta có kết quả sau:

+ $MA + MB \geq AB$ $MA + MB \geq AB$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $AB$ và đường thẳng $(d)$.( $M$ trùng với $M_{0}$ $M_{0}$)

+ $|MA - MB| = |MA' - MB| \leq A'B$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $A'B$ và đường thẳng $(d)$( $M$ trùng với $M_{1}$ $M_{1}$).

e) Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên.

Trong hình vẽ: $AH \leq AB$ $AH \leq AB$

C. Bài tập minh họa bất đẳng thức tam giác (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng:

a. $MB + MC < AB + AC$

b. $\frac{1}{2}(AB + BC + CA) < MA + MB + MC < AB + BC + CA$ $\frac{1}{2}(AB + BC + CA) < MA + MB + MC < AB + BC + CA$

c. $BM + MN + NC < AB + AC$ trong đó điểm $N$ nằm trong tam giác sao cho $MN$ cắt hai cạnh $AB,AC$.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

a. Đường thẳng $BM$ cắt $AC$ ở $P$.

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:

$MB + MC < MB + MP + PC$

$= BP + PC < AB + AP + PC = AB + AC$

b. Theo trên ta có:

$BC < MB + MC < AB + AC;CA < MC + MA < AB + BC;AB < MA + MB < AC + BC$.

Cộng theo từng vế các BĐT trên ta có điều phải chứng minh.

c. Áp dụng câu 1) ta có: $BM + MN + NC < BE + EM + MN + NF + FC$

$= BE + EF + FC < BE + EA + AF + FC = AB + AC$.

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ và 3 trung tuyến $AM,BN,CP$. Chứng minh rằng:

a. $\frac{AB + AC - BC}{2} < AM < \frac{AB + AC}{2}$ $\frac{AB + AC - BC}{2} < AM < \frac{AB + AC}{2}$

b. $\frac{3(AB + BC + CA)}{4} < AM + BN + CP < AB + BC + CA$ $\frac{3(AB + BC + CA)}{4} < AM + BN + CP < AB + BC + CA$

c. Giả sử $AB \geq AC$ $AB \geq AC$. Gọi $AD,AM$ theo thứ tự là đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

d. $\frac{AB + AC - BC}{2} < AD \leq AM < \frac{AB + AC}{2}$ $\frac{AB + AC - BC}{2} < AD \leq AM < \frac{AB + AC}{2}$

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

a) Xét các tam giác $MAB,MAC$ ta có:

$AM > AB - BM,AM > AC - MC$

Suy ra $2AM > AB + AC - (MC + MC)$

$\Leftrightarrow 2AM > AB + AC - BC$ $\Leftrightarrow 2AM > AB + AC - BC$

Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$ thì $ABDC$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AD = 2AM$.

Trong tam giác $A CD$ ta có: $AD < AC + CD \Leftrightarrow 2AM < AB + AC$ $AD < AC + CD \Leftrightarrow 2AM < AB + AC$

Như vậy: $\frac{AB + AC - BC}{2} < AM < \frac{AB + AC}{2}$ $\frac{AB + AC - BC}{2} < AM < \frac{AB + AC}{2}$.

b) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) cho 3 đường trung tuyến $AM,BN,CP$ ta có: $\frac{AB + AC - BC}{2} < AM < \frac{AB + AC}{2}$ $\frac{AB + AC - BC}{2} < AM < \frac{AB + AC}{2}$,

$\frac{BC + AB - AC}{2} < BN < \frac{AC + BC}{2}$ $\frac{BC + AB - AC}{2} < BN < \frac{AC + BC}{2}$,

$\frac{BC + AC - AB}{2} < CP < \frac{AC + BC}{2}$ $\frac{BC + AC - AB}{2} < CP < \frac{AC + BC}{2}$.

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta có:

$\frac{3(AB + BC + CA)}{4} < AM + BN + CP < AB + BC + CA$ $\frac{3(AB + BC + CA)}{4} < AM + BN + CP < AB + BC + CA$.

c) Trong tam giác $ABD,ADC$ có $AB < AD + BD;AC < AD + DC$.

Cộng theo từng vế hai BĐT trên được:$AB + AC < 2AD + BC$.

$\Rightarrow \frac{AB + AC - BC}{2} < AD$ $\Rightarrow \frac{AB + AC - BC}{2} < AD$

Kết quả này vẫn đúng với $D$ là điểm bất kỳ nằm bên trong đoạn $BC$.

Dựng $AH\bot BC$ $AH\bot BC$.

Với $AB = AC$ thì $AM = AD$. Với $AB > AC$ thì $BH > CH$

$\Rightarrow BM < BH \Rightarrow M$ $\Rightarrow BM < BH \Rightarrow M$ thuộc đoạn $BH$.

Hơn nữa $\widehat{ADB} > \widehat{ADC} \Rightarrow \widehat{ADB}$ $\widehat{ADB} > \widehat{ADC} \Rightarrow \widehat{ADB}$ tù. Do đó $D$ thuộc đoạn $BH$.

Lấy điểm $P$ trên $AB$ sao cho $AP = AC \Rightarrow \Delta ADP = \Delta ADC$ $AP = AC \Rightarrow \Delta ADP = \Delta ADC$ (c.g.c)

$\Rightarrow DP = DC,\widehat{APD} = \widehat{ACD}$ $\Rightarrow DP = DC,\widehat{APD} = \widehat{ACD}$.

+ Nếu $\widehat{ACB} \leq 90^{0}$ $\widehat{ACB} \leq 90^{0}$ (hình) thì $\widehat{APD} = \widehat{ACB} \leq 90^{0} \Rightarrow \widehat{BPD} \geq 90^{0} > \widehat{ACB} > \widehat{PBD}$ $\widehat{APD} = \widehat{ACB} \leq 90^{0} \Rightarrow \widehat{BPD} \geq 90^{0} > \widehat{ACB} > \widehat{PBD}$

$\Rightarrow BD > PD = CD \Rightarrow BM < BD \Rightarrow MH > DH \Rightarrow AM > AD$ $\Rightarrow BD > PD = CD \Rightarrow BM < BD \Rightarrow MH > DH \Rightarrow AM > AD$.

+ Nếu $\widehat{ACB} > 90^{0}$ $\widehat{ACB} > 90^{0}$ (hình) thì $\widehat{BPD} = \widehat{ACH} > \widehat{ADC} > \widehat{ABC}$ $\widehat{BPD} = \widehat{ACH} > \widehat{ADC} > \widehat{ABC}$

$\Rightarrow BD > PD = CD \Rightarrow BM < BD \Rightarrow MH > DH \Rightarrow AM > AD$ $\Rightarrow BD > PD = CD \Rightarrow BM < BD \Rightarrow MH > DH \Rightarrow AM > AD$.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có chu vi $2p = a + b + c$ ($a;b;c$ là độ dài các cạnh của tam giác). Chứng minh rằng: $\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ $\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}p - a = \dfrac{b + c - a}{2} > 0 \\p - b = \dfrac{a + c - b}{2} > 0 \\p - c = \dfrac{b + a - c}{2} > 0\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}p - a = \dfrac{b + c - a}{2} > 0 \\p - b = \dfrac{a + c - b}{2} > 0 \\p - c = \dfrac{b + a - c}{2} > 0\end{matrix} \right.$

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ ta được:

$\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} \geq \frac{4}{(p - a) + (p - b)} = \frac{4}{c}$ $\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} \geq \frac{4}{(p - a) + (p - b)} = \frac{4}{c}$

Tương tự: $\frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \geq \frac{4}{a}$ $\frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \geq \frac{4}{a}$ và $\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - c} \geq \frac{4}{b}$ $\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - c} \geq \frac{4}{b}$

$\Rightarrow 2\left( \frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \right) \geq 4\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ $\Rightarrow 2\left( \frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \right) \geq 4\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$

Hay $\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ $\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu '' = '' xảy ra khi: $p - a = p - b = p - c \Leftrightarrow a = b = c$ $p - a = p - b = p - c \Leftrightarrow a = b = c$

Khi đó tam giác ABC là đều.

D. Bài tập tự luyện bất đẳng thức tam giác có đáp án

Bài 1: Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm là điểm $H$. Chứng minh rằng: $HA + HB + HC < \frac{2}{3}(AB + BC + CA)$ $HA + HB + HC < \frac{2}{3}(AB + BC + CA)$

Bài 2: Cho tam giác đều $ABC$có cạnh bằng $3a$. $M$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$, gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB,AC$. Tìm vị trí điểm $M$ để:

a. $PQ$ có độ dài nhỏ nhất

b. Dựng một đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$ sao cho $AE = 2a$.Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $MA + ME + MF$ nhỏ nhất

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} < 60^{0}$ $\widehat{A} < 60^{0}$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $I$ cố định. Tìm trên cạnh $AB,AC$ lấy hai điểm $M,N$ để chu vi tam giác $IMN$đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1

Hình vẽ minh họa:

Dựng đường thẳng qua $H$ song song với

$AB$ cắt $AC$ tại $D$. Dựng đường thẳng

qua $H$ song song $AC$ cắt $AB$ tại $E$.

Tứ giác $AEHD$ là hình bình hành nên $AD = HE,AE = HD$

Xét tam giác $AHD$ ta có: $HA < HD + AD \Leftrightarrow HA < AE + AD$ $HA < HD + AD \Leftrightarrow HA < AE + AD$ (1) .

Vì $HE//AC$ mà $AC\bot BH \Rightarrow HE\bot BH$ $AC\bot BH \Rightarrow HE\bot BH$.

Trong tam giác vuông $HBE$ ta có: $HB < BE$ (2)

Tương tự ta có: $HC < DC$ (3).

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều $(1),(2),(3)$ ta suy ra

$HA + HB + HC < (AE + EB) + (AD + DC) = AB + AC$

Tương tự ta cũng có:

$HA + HB + HC < AC + BC,HA + HB + HC < AB + BC$

Suy ra $HA + HB + HC < \frac{2}{3}(AB + BC + CA)$ $HA + HB + HC < \frac{2}{3}(AB + BC + CA)$.

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

--------------------------------------

Qua bài viết, bạn đã nắm được những kiến thức trọng tâm về bất đẳng thức tam giác, từ công thức cơ bản đến các bổ đề mở rộng, cùng với hệ thống bài tập đa dạng và có đáp án chi tiết. Hãy luyện tập thường xuyên, nắm chắc bản chất và kỹ năng trình bày lời giải rõ ràng để đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Đừng quên theo dõi website để cập nhật thêm nhiều chuyên đề Toán học lớp 9, lớp 10, luyện thi THPT và ôn thi học sinh giỏi nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: