Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình - Dạng toán hình học là một dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán gần đây. Tài liệu được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

2. Các công thức cần nhớ khi giải bài toán dạng hình học

+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Công thức tính diện tích hình tam giác, hình chữ nhật, hình thoi, hình tròn,…

+ Định lý Pytago

3. Công thức hình học

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

• Với tam giác

$S=\frac{1}{2}a.h;C=a+b+c$

Độ dài cạnh huyền $c^2=a^2+b^2$ (xét trong tam giác vuông và $c$ là cạnh huyền).

Trong đó:

S là diện tích tam giác $k{m}^2;c{m}^2;...$; $a;b;c$ là độ dài các cạnh của tam giác, đơn vị là: $km;m;...$; $C$ là chu vi tam giác đơn vị là $km;m;...$

• Với hình vuông:

$S=a^2;C=4a$

Trong đó:

$a$ là độ dài cạnh hình vuông đơn vị là $km;m;...$

• Với hình chữ nhật

$S=a.b;C=2(a+b)$

Trong đó:

$a;b$ là kích thước chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật đơn vị là $km;m;...$

• Với hình thang

$S=\frac{1}{2}(a+b).h$

Trong đó:

$a;b$ là độ dài đáy hình thang đơn vị là $km;m;...$

$h$ là chiều cao hình thang đơn vị là $km;m;...$

• Với hình hình hành:

$S=a.h;C=2(a+b)$

Trong đó:

$a;b$ là độ dài đáy hình bình hành đơn vị là $km;m;...$

$h$ là chiều cao tương ứng với cạnh đáy hình bình hành đơn vị là $km;m;...$

• Với hình thoi

$S=\frac{1}{2}b.c;C=4a$

Trong đó:

$a$ là độ dài cạnh hình thoi đơn vị là $km;m;...$

$b;c$ là độ dài hai đường chéo hình thoi đơn vị là $km;m;...$

• Với đa giác: Số đường chéo có công thức

$S=\frac{1}{2}a.h;C=a+b+c$

II. Bài tập giải toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 400cm. Nếu tăng chiều dài thêm 6cm và giảm chiều rộng 6cm thì diện tích giảm 276cm². Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Nửa chu vi của hình chữ nhật bằng 400 : 2 = 200cm

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, x > 0)

Chiều rộng của hình chữ nhật là 200 – x (cm)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: x(200 – x) (cm²)

Tăng chiều dài thêm 6cm được chiều dài có độ dài bằng x + 6 (cm)

Giảm chiều rộng đi 6cm được chiều rộng có độ dài bằng 200 – x – 6 = 194 – x (cm)

Nếu tăng chiều dài thêm 6cm và giảm chiều rộng 6cm thì diện tích giảm 276cm² nên ta có phương trình:

$x\left(200-x\right)-\left(x+6\right)\left(194-x\right)=276$

Giải phương trình tính được x = 120 (thỏa mãn)

Suy ra chiều rộng của hình chữ nhật là 200 – 120 = 80 (cm)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật bằng 120cm và chiều rộng bằng 80cm

* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Nửa chu vi của hình chữ nhật bằng 400 : 2 = 200cm

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a (cm, 0 < a < 200)

Chiều rộng của hình chữ nhật là b (cm, 0 < b < 200)

Nửa chu vi của hình chữ nhật bằng 200cm nên ta có phương trình a + b = 200 (1)

Nếu tăng chiều dài thêm 6cm và giảm chiều rộng 6cm thì diện tích giảm 276cm² nên ta có phương trình: ab – (a + 6)(b – 6) = 276 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được a = 120 (thỏa mãn) và b = 80 (thỏa mãn)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật bằng 120cm và chiều rộng của hình chữ nhật bằng 80cm

Bài 2: Cạnh bé nhất của một tam giác vuông có độ dài là 12cm. Cạnh huyền có độ dài lớn hơn cạnh góc vuông còn lại 4cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi độ dài cạnh huyền của hình tam giác là x (x > 12, cm)

Độ dài cạnh góc vuông còn lại của hình tam giác là x – 4 (cm)

Áp dụng định lý Pytago, ta có phương trình

Giải phương trình tính được x = 20 (thỏa mãn)

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 20cm

* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi độ dài cạnh huyền của hình tam giác là a (a > 12, cm)

Độ dài cạnh góc vuông còn lại của hình tam giác là b (b > 0, cm)

Theo đề bài, cạnh huyền có độ dài lớn hơn cạnh góc vuông còn lại 4cm nên ta có phương trình a – b = 4 (1)

Theo định lý Pytago ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}a+b=200\\ ab-\left(a+6\right)\left(b-6\right)=276\end{array}$

Giải hệ phương trình ta điợc a = 20 (thỏa mãn) và b = 16 (thỏa mãn)

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là 20cm.

Bài 3: Nhà bạn Dũng được ông bà ngoại cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Nam đến nhà Dũng chơi, Dũng đố Nam tìm ra kích thước của mảnh đất khi biết: mảnh đất có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích mảnh đất đó tăng thêm $20m^2$ . Các em hãy giúp bạn Nam tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất nhà bạn Dũng.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x(m) (điều kiện x > 2)

Khi đó chiều dài của mảnh đất là 4x (m)

Diện tích mảnh đất nhà bạn Dũng là 4x² (m²)

Diện tích mảnh đất sau khi giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài lên gấp đôi là 8x.(x – 2) (m²)

Theo bài ra ta có phương trình 8x(x – 2) – 4x² = 20

=> Giải phương trình ra được x = 5 (thỏa mãn) hoặc x = -1(loại)

Vậy chiều rộng của mảnh đất là 5m và chiều dài của mảnh đất là 20m.

Bài 4: Ông của Khôi sở hữu mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $100m$ . Ông định bán mảnh đất với giá thị trương là 15 triệu đồng cho một mét vuông. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất biết chiều dài gấp bốn lần chiều rộng.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x(m) (điều kiện 0 < x < 50)

Khi đó chiều dài của mảnh đất là 4x (m)

Chu vi mảnh đất là 100m:

(x + 4x).2 = 100

=> x = 10

Vậy chiều rộng của mảnh đất là 10m, chiều dài của mảnh đất là 40m

Diện tích của mảnh đất là 40.10 = 400(m²)222

Giá tiền của mảnh đất đó là:

400 . 15 000 000 = 6 000 000 000 (đồng) = 6 tỷ đồng.

Bài 5: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $118m$ . Nếu giảm chiều dài đi $5m$ và tăng chiều rộng thêm $3m$ thì diện tích giảm đi $14m^2$ . Tính diện tích của mảnh vườn.

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $x(m);y(m)$

Điều kiện $x>0;y>0$

Ta có:

$\{\begin{array}{c}x+y=59\\ (x-5)(y+3)=xy-14\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=59-x\\ (x-5)(y+3)=xy-14\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=59-x\\ (x-5)(59-x+3)=x(59-x)-14\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=59-x\\ 8x=296\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=59-x\\ x=37\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=22\\ x=37\end{array}(tm)$

Vậy diện tích hình chữ nhật là $37.22=814m^2$

Bài 6: Một hình thang có diện tích $96c{m}^2$ , chiều cao $8cm$ . Tính độ dài cạnh đáy của hình thang, biết rằng chúng hơn kém nhau $10cm$ .

Lời giải:

* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi độ dài đáy lớn là x (cm) độ dài cạnh bé là y(cm)

Điều kiện $x>y>0$

Ta có hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{c}\frac{(x+y).8}{2}=96\\ x-y=10\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=17\\ y=7\end{array}(tm)$

Vậy độ dài đáy lớn là 17cm và độ dài đáy bé là 7cm.

III. Bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học

Giải các bài toán dưới đây bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bài 1: Một thửa ruông hình chữ nhật có chu vi là 300m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu giảm chiều dài đi 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi của thửa ruộng không thay đổi

Bài 2: ​Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 225m² và chu vi bằng 40m. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn

Bài 3: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông ABC, biết rằng nếu tăng hai cạnh góc vuông AB, AC lên 5cm thì diện tích tăng thêm 95cm² còn nếu giảm cạnh AB 4cm và cạnh AC giảm 3cm thì diện tích giảm đi 36cm²

Bài 4: Một hình chữ nhật có chu vi là 122cm và có diện tích bằng 900cm². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn

Bài 5: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 45cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 9cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đó.

Bài 6: Một thửa ruộng tam giác có diện tích 180m². Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên 4m và chiều cao tương ứng giảm đi 1m thì diện tích không đổi

Bài 7: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương đường chéo gấp 5 lần chu vi. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Bài 8: Một tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m. Nếu tăng một cạnh góc vuông lên 2 lần và giảm một cạnh góc vuông đi 3 lần thì được tam giác mới có diện tích 51m2. Tính độ dài hai cạnh góc vuông

Bài 9: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m. Nếu chiều dài tăng thêm 1/4 lần độ dài của nó thì được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 3m2. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu.

Bài 10: Một tam giác vuông có chu vi là 60m và có cạnh huyền là 25m. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác.

Bài 11: Một ngôi trường trung học cơ sở cải tạo một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 40m. Nhà trường xây dựng một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 6000m2 ở chính giữa khuôn viên mảnh vườn. Phần đất còn lại vừa đủ để làm lối đi rộng 10m xung quanh bể bơi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Bài 12: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích mảnh vườn đó tăng gấp đôi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Bài 13: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m².

Bài 14: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 250m. Tính diện tích của khu vườn biết rằng nếu một cạnh giảm 3 lần và cạnh còn lại tăng 2 lần thì chu vi của khu vườn không đổi

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các các tài liệu môn Toán lớp 9 được cập nhật liên tục trên VnDoc để học tốt Toán 9 và chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới.