Bài tập Toán cổ lớp 9 có đáp án chi tiết – Tài liệu ôn thi vào 10

Các dạng toán cổ lớp 9 có lời giải

Trong hành trình học Toán 9, bên cạnh những dạng bài hiện đại, các em học sinh còn được tiếp cận với bài toán cổ – những dạng toán thú vị, có lịch sử lâu đời và mang tính tư duy cao. Đây là những bài toán không chỉ giúp rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, mà còn mở rộng khả năng sáng tạo, liên hệ kiến thức toán học với thực tiễn. Đặc biệt, bài toán cổ lớp 9 thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, đề ôn luyện và thậm chí cả trong kỳ thi tuyển sinh vào 10.

Bài viết Bài tập Toán cổ lớp 9 có đáp án chi tiết – Tài liệu ôn thi vào 10 sẽ tổng hợp những dạng toán cổ điển thường gặp, cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng phương pháp tiếp cận hiệu quả.

Bài tập 1. Giải bài toán cổ sau:

Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (con) là số con gà. Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}^{*};x < 36\)

Khi đó số chân gà là \(2x\)

Vì cả gà và chó là 36 con nên số con chó là 36 − x và số chân chó là \(4.(36 - x)\)

Tổng số chân là 100 nên ta có phương trình:

\(2x + 4(36 - x) = 100\)

\(\Leftrightarrow 2x + 144 - 4x = 100\)

\(\Leftrightarrow x = 22\) (nhận).

Vậy số con gà là 22 con và số con chó là \(36 - 22 = 14\) con.

Bài tập 2. Giải bài toán sau:

Thời thơ ấu của Đi-ô-phăng chiếm \(\frac{1}{6}\) cuộc đời. \(\frac{1}{12}\) cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi. Thêm \(\frac{1}{7}\) cuộc đời nữa ông sống độc thân. Sau khi lập gia đình được 5 thì sinh một con trai. Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha. Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất. Đi-ô-phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra?

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi thọ của Đi-ô-phăng là \(x\) (tuổi).

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}^{*}\)

Số tuổi thời thơ ấu: \(\frac{x}{6}\) (tuổi).

Số tuổi thời thanh niên: \(\frac{x}{12}\) (tuổi).

Số tuổi sống độc thân: \(\frac{x}{7}\) (tuổi).

Số tuổi của con ông: \(\frac{x}{2}\) (tuổi).

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + \frac{x}{2} + 5 + 4 = x\)

\(\Leftrightarrow \frac{3}{28}x = 9 \Leftrightarrow x = 84\) (nhận).

Vậy ông sống đến năm 84 (tuổi).

Bài tập 3. Giải bài toán sau:

- Thưa Py-ta-go lỗi lạc, lớp của người có bao nhiêu môn đệ?

Nhà hiền triết trả lời:

- Hiện nay, một nửa đang học Toán, một phần tư đang học Nhạc, một phần bảy đang ngồi yên suy nghĩ.

Ngoài ra còn có phụ nữ. Hỏi lớp học của Py-ta-go có bao nhiêu người?

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (người) là số người học trong lớp học của Py-ta-go (\(x\) nguyên dương).

Số người đang học toán: \(\frac{x}{2}\) (người).

Số người đang học nhạc: \(\frac{x}{4}\) (người).

Số người đang suy nghĩ: \(\frac{x}{7}\) (người).

Theo giả thiết ta có phương trình:

\(\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{7} + 3 = x\)

\(\Leftrightarrow \frac{3}{28}x = 3 \Leftrightarrow x = 28\) (nhận).

Vậy lớp học của Py-ta-go là 28 (người).

Bài tập 4. Giải bài toán sau:

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui.

Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.

Trăm người, trăm miếng ngọt lành

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

Hướng dẫn giải

Giả sử cả 17 quả đều là cam.

Khi đó ta chia được: \(17.10 = 170\) (miếng) và hơn số miếng đầu bài cho là: \(170 - 100 = 70\) (miếng).

Mỗi quả cam bổ ra hơn số quả quýt bổ ra là: \(10 - 3 = 7\) (miếng).

Suy ra số quả quýt là: \(70:7 = 10\) (quả).

Số quả cam là: \(17 - 10 = 7\) (quả)

Cách khác:

Gọi x (quả), y (quả) lần lượt là số quả quýt và số quả cam.

Điều kiện \(0 < x;y < 17,x\mathbb{\in N},y\mathbb{\in N}\)

Theo đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} x + y = 17 \\ 3x + 10y = 100 \end{matrix} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được: \(\left\{ \begin{matrix} x = 10 \\ y = 7 \end{matrix} \right.\) (nhận).

Vậy, có 10 quả quýt và 7 quả cam.

Bài tập 5. Giải bài toán sau:

Một đàn khỉ chia thành hai nhóm.

Nhóm chơi đùa vui vẻ ngoài trời

Bằng bình phương một phần tám của đàn.

Mười hai con nhảy nhót trên cây.

Không khí tươi vui sưởi ấm nơi này.

Hỏi có tất cả bao nhiêu con khỉ?

Hướng dẫn giải

Gọi số khỉ của đàn là x (con)

Điều kiện \(x \in \mathbb{N}^{*};x \vdots 8\)

Nhóm khỉ chơi đùa ngoài trời có: \(\left( \frac{x}{8} \right)^{2}\)

Theo đè bài ta có phương trình: \(x = \left( \frac{x}{8} \right)^{2} + 12 \Leftrightarrow x^{2} - 64x + 768 = 0\)

Giải phương trình ta được: \(x = 48(tm)\) hay \(x = 16(tm)\)

Vậy số khỉ trong cả đàn là 48 con hoặc 16 con.

Bài tập 6. Hai nông dân đem 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được một tiền bằng nhau. Mộ người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được \(15\) đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được \(6\frac{2}{3}\) đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng?

Hướng dẫn giải

Gọi số trứng của người thứ nhất là x (quả).

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}^{*};x < 100\). Suy ra số trứng của người thứ hai là \(100 - x\) (quả).

Giá tiền một quả trứng của người thứ nhất là \(\frac{15}{100 - x}\) (đồng).

Giá tiền một quả trứng của người thứ hai là \(\frac{20}{3x}\) (đồng).

Số tiền thu được của người thứ nhất là \(\frac{15x}{100 - x}\) (đồng).

Số tiền thu được của người thứ hai là \(\frac{20(100 - x)}{3x}\) (đồng).

Do đó ta có phương trình: \(\frac{15x}{100 - x} = \frac{20(100 - x)}{3x}\)

Giải phương trình ta được x = −200 (loại) hay x = 40 (nhận).

Vậy số trứng của người thứ nhất là 40 quả và số trứng của người thứ hai là 60 quả.

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

------------------------------------------------------------

Tóm lại, dạng bài toán cổ lớp 9 không chỉ mang giá trị rèn luyện trí tuệ mà còn góp phần giúp học sinh tiếp cận sâu sắc hơn với tư duy toán học. Việc luyện tập thường xuyên những bài toán này sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng suy luận, mở rộng vốn hiểu biết và xử lý linh hoạt nhiều dạng đề trong kỳ thi.

Hy vọng rằng tài liệu bài tập Toán cổ lớp 9 có đáp án chi tiết mà chúng tôi chia sẻ sẽ trở thành nguồn tham khảo hữu ích, giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt thành tích cao trong kỳ thi tuyển sinh vào 10. Để tối ưu hiệu quả, các em nên kết hợp học lý thuyết với thực hành nhiều dạng bài, đồng thời tham khảo đề thi qua các năm để có sự chuẩn bị tốt nhất.