Rút gọn biểu thức căn bậc hai - có đáp án chi tiết
Bài tập rút gọn căn bậc hai ôn thi vào 10
Trong chương trình Toán lớp 9 và ôn thi vào 10, phần căn bậc hai và rút gọn biểu thức căn bậc hai là nội dung trọng tâm giúp học sinh củng cố kỹ năng biến đổi, tính toán chính xác. Bài viết này tổng hợp phương pháp rút gọn căn bậc hai chi tiết, kèm ví dụ minh họa và đáp án cụ thể, giúp bạn nắm vững kiến thức – làm bài nhanh – tránh sai sót thường gặp trong các đề thi
A. Kiến thức cần nhớ về căn bậc hai
1. Căn bậc hai
- Căn bậc hai của số thực
\(a\) không âm là số thực \(x\) sao cho \(x^{2} = a\). - Số âm không có căn bậc hai.
- Số \(0\) có một căn bậc hai là \(0\).
- Số dương \(a\) có đúng hai căn bậc hai đối nhau là \(\sqrt{a}\) và \(- \sqrt{a}\).
2. Căn thức bậc hai
- Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng \(\sqrt{A}\) trong đó \(A\) là một biểu thức đại số.
- Khi đó: \(A\) được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.
- \(\sqrt{A}\) xác định khi \(A\) lấy giá trị không âm và hay \(A \geq 0\) là điều kiện xác định ( điều kiện có nghĩa) của \(\sqrt{A}\).
B. Ví dụ minh họa rút gọn biểu thức căn bậc hai
Ví dụ 1: Căn bậc hai của \(25\) là \(\sqrt{25} = 5\) và \(- \sqrt{25} = - 5\).
Tính chất \(\sqrt{a^{2}} = |a|\) với mọi số thực \(a\).
Ví dụ 2: Tính:
a) \(\sqrt{12^{2}}\) b) \(\sqrt{( - 13)^{2}}\) c) \(- \sqrt{( - 3)^{2}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\sqrt{12^{2}} = |12| = 12\)
b) Ta có: \(\sqrt{( - 13)^{2}} = | - 13| = 13\)
c) Ta có: \(- \sqrt{( - 3)^{2}} = - | - 3| = -
3\)
Ví dụ 3: Tính:
a) \(\sqrt{5} - \sqrt{\left( \sqrt{5} - 1
\right)^{2}}\) b) \(\sqrt{\left( 2 -
\sqrt{3} \right)^{2}}\) c) \(\sqrt{\left( \sqrt{5} - 3
\right)^{2}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\sqrt{5} - \sqrt{\left( \sqrt{5} - 1
\right)^{2}} = \sqrt{5} - \left| \sqrt{5} - 1 \right|\)
\(= \sqrt{5} - \left( \sqrt{5} - 1 \right)
= 1\) (vì \(\sqrt{5} - 1 >
0\)).
b) Ta có: \(\sqrt{\left( 2 - \sqrt{3} \right)^{2}}
= \left| 2 - \sqrt{3} \right| = 2 - \sqrt{3}\) (Vì \(2 - \sqrt{3} > 0\)).
c) Ta có: \(\sqrt{\left( \sqrt{5} - 3 \right)^{2}}
= \left| \sqrt{5} - 3 \right| = 3 - \sqrt{5}\) (Vì \(\sqrt{5} - 3 < 0\)).
Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau:
\(A = \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{18 -
8\sqrt{2}}\) \(A = \sqrt{28 +
10\sqrt{3}} + \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}\)
\(B = \left( 1 - \sqrt{3} \right)^{2} -
\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + 3\sqrt{3}\) \(B
= \sqrt{\left( \sqrt{3} - 2 \right)^{2}} + \sqrt{19 +
8\sqrt{3}}\)
Hướng dẫn giải
|
Ta có:
|
Ta có:
|
|
Ta có:
|
Ta có:
|
C. Bài tập vận dụng rút gọn biểu thức
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
| 1) \(\sqrt{3^{2}} +
\sqrt{5^{2}}\) |
2) \(\sqrt{4^{2}} + \sqrt{( -
2)^{4}}\) |
3) \(\sqrt{2^{2}} + \sqrt{( -
7)^{2}}\) |
| 4) \(\sqrt{( - 6)^{2}} +
\sqrt{6^{2}}\) |
5) \(\sqrt{( - 3)^{2}} - \sqrt{( -
1)^{4}}\) |
6) \(\sqrt{( - 11)^{2}} - \sqrt{( -
9)^{2}}\) |
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
| 1) \(\sqrt{\left( 4 - \sqrt{9}
\right)^{2}}\) |
2)\(\sqrt{\left( 4 - \sqrt{6}
\right)^{2}}\) |
| 3) \(\sqrt{\left( 3 - \sqrt{11}
\right)^{2}}\) |
4) \(\sqrt{\left( 2\sqrt{2} - 3
\right)^{2}}\) |
| 5) \(\sqrt{\left( 10 - \sqrt{10}
\right)^{2}}\) |
6) \(\sqrt{\left( \sqrt{3} - 2
\right)^{2}}\) |
| 7) \(\sqrt{\left( 1 + \sqrt{3}
\right)^{2}}\) |
8) \(\sqrt{\left( \sqrt{3} - 3
\right)^{2}}\) |
| 9) \(\sqrt{\left( \sqrt{5} - 3
\right)^{2}}\) |
10) \(\sqrt{\left( 3 - \sqrt{8}
\right)^{2}}\) |
| 11) \(\sqrt{\left( \sqrt{2} - 1
\right)^{2}}\) |
12) \(\sqrt{\left( 3 + \sqrt{8}
\right)^{2}}\) |
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
| 1) \(\sqrt{\left( 2 - \sqrt{3}
\right)^{2}} + \sqrt{\left( 1 - \sqrt{3} \right)^{2}}\) |
2) \(\sqrt{\left( 3 + \sqrt{2}
\right)^{2}} - \sqrt{\left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2}}\) |
| 3) \(\sqrt{\left( \sqrt{2} + 1
\right)^{2}} - \sqrt{\left( \sqrt{2} - 5 \right)^{2}}\) |
4) \(\sqrt{\left( 5 - \sqrt{6}
\right)^{2}} - \sqrt{\left( 5 + \sqrt{6} \right)^{2}}\) |
| 5) \(\sqrt{\left( \sqrt{5} - 2
\right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} + 2 \right)^{2}}\) |
6) \(\sqrt{\left( \sqrt{3} - 2
\right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 \right)^{2}}\) |
| 7) \(\sqrt{\left( 1 - \sqrt{2}
\right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{2} + 3 \right)^{2}}\) |
8) \(\sqrt{\left( \sqrt{5} - 3
\right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} - 2 \right)^{2}}\) |
| 9) \(\sqrt{\left( 3 - \sqrt{10}
\right)^{2}} - \sqrt{\left( \sqrt{10} - 5 \right)^{2}}\) |
10) \(\sqrt{\left( 2 - \sqrt{5}
\right)^{2}} - \sqrt{\left( 2 + \sqrt{5} \right)^{2}}\) |
| 11) \(\sqrt{\left( 3 + \sqrt{5}
\right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} - 6 \right)^{2}}\) |
12) \(\sqrt{\left( \sqrt{5} - 1
\right)^{2}}.\mathbf{\ }\left( \sqrt{5} + 1 \right)\) |
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
1) \(\sqrt{3 - 2\sqrt{3} +
1}\) 2) \(\sqrt{5 - 2\sqrt{5} +
1}\) 3) \(\sqrt{1 - 2\sqrt{2} +
2}\)
4) \(\sqrt{4 - 4\sqrt{5} +
5}\) 5) \(\sqrt{4 + 4\sqrt{3} +
3}\) 6) \(\sqrt{5 - 6\sqrt{5} +
9}\)
7) \(\sqrt{7 - 4\sqrt{7} +
4}\) 8) \(\sqrt{6 - 8\sqrt{6} +
16}\) 9) \(\sqrt{25 - 10\sqrt{5} +
5}\)
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
1) \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\) 2) \(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\) 3) \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}\)
4) \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\) 5) \(\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}\) 6) \(\sqrt{30 - 10\sqrt{5}}\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
--------------------------------------------------
FAQ
1. Rút gọn biểu thức căn bậc hai là gì?
Rút gọn biểu thức căn bậc hai là quá trình sử dụng các tính chất của căn thức và các phép biến đổi đại số để đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất, giúp việc tính toán và giải toán trở nên thuận lợi hơn.
2. Vì sao dạng toán rút gọn căn bậc hai quan trọng trong Toán 9?
Đây là chuyên đề nền tảng vì:
- Xuất hiện thường xuyên trong đề thi vào lớp 10.
- Hỗ trợ giải phương trình chứa căn.
- Là cơ sở cho các bài toán cực trị và chứng minh.
- Giúp rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số.
3. Những công thức nào cần ghi nhớ khi rút gọn căn thức?
Một số công thức quan trọng:
- \(\sqrt{a^2}=|a|\)
- \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\)
- \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ liên quan đến căn thức.
4. Điều kiện xác định của biểu thức chứa căn bậc hai là gì?
Để căn thức có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(A \geq 0\)
Đây là bước cần kiểm tra trước khi tiến hành biến đổi.
5. Các dạng bài tập rút gọn biểu thức căn bậc hai thường gặp là gì?
Các dạng phổ biến gồm:
- Rút gọn căn thức đơn giản.
- Trục căn thức ở mẫu.
- Tính giá trị biểu thức.
- Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến.
- Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức.
6. Học sinh thường mắc những lỗi nào khi rút gọn căn thức?
Các lỗi thường gặp:
- Quên dấu giá trị tuyệt đối.
- Tách căn sai quy tắc.
- Không xét điều kiện xác định.
- Nhầm lẫn giữa phép cộng căn thức và phép nhân căn thức.
---------------------------------
Qua bài viết rút gọn biểu thức căn bậc hai – có đáp án chi tiết, bạn đã nắm được cách nhận dạng, biến đổi và xử lý nhanh các dạng bài thường gặp trong đề thi vào 10. Hãy tiếp tục luyện tập thêm ở các chuyên đề căn bậc hai, căn thức bậc hai và các phép biến đổi căn thức để đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới. Đừng quên theo dõi các bài viết ôn tập khác để củng cố toàn bộ kiến thức Toán THCS nhé!
