VnDoc.com

Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Bất đẳng thức Toán 9 Có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Mức độ: Khó

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Toán 9: Bất đẳng thức Cauchy - Có đáp án

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về ứng dụng bất đẳng thức Cauchy trong việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức toán học. Bất đẳng thức Cauchy là một trong những công cụ quan trọng trong Toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 9. Chúng ta sẽ cùng phân tích cách sử dụng bất đẳng thức này để giải các bài toán tìm cực trị của biểu thức, từ đó nâng cao khả năng giải quyết các bài tập trong môn Toán. Hãy cùng khám phá cách áp dụng lý thuyết vào thực tế với những ví dụ minh họa chi tiết!

A. Công thức bất đẳng thức Cauchy

Với hai số không âm a, b bất kỳ, ta luôn có: $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$. Đẳng thức xảy ra khi $a = b$.

- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq ab$ $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq ab$. $\frac{(a + b)^{2}}{4} \geq ab$ $\frac{(a + b)^{2}}{4} \geq ab$.

Hệ quả:

Nếu $a;b$ là các số không âm và $a + b = S$ không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}S^{2}$ $\frac{1}{4}S^{2}$ khi và chỉ khi $a = b = \frac{1}{2}S$ $a = b = \frac{1}{2}S$.
Nếu $a;b$ là các số không âm và $ab = P$ không đổi thì $a + b$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{P}$ $2\sqrt{P}$ khi và chỉ khi $a = b = \sqrt{P}$ $a = b = \sqrt{P}$.
Với $a > 0;b > 0$ thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$. Đẳng thức xảy ra khi $a = b$.

Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta luôn có: $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$.

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$.

- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:

$\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} \geq abc$ $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} \geq abc$ $\frac{(a + b + c)^{3}}{27} \geq abc$ $\frac{(a + b + c)^{3}}{27} \geq abc$.

Hệ quả:

Nếu a, b, c là các số không âm và $a + b + c = S$ không đổi thì abc đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{27}S^{3}$ $\frac{1}{27}S^{3}$ khi và chỉ khi $a = b = c = \frac{1}{3}S$ $a = b = c = \frac{1}{3}S$.
Nếu $a;b;c$ là các số không âm và $abc = P$ không đổi thì $a + b + c$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $3\sqrt[3]{P}$ $3\sqrt[3]{P}$ khi $a = b = c = \sqrt[3]{P}$ $a = b = c = \sqrt[3]{P}$.
Với $a > 0;b > 0;c > 0$ thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}$. Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$.

B. Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức bằng bđt Cauchy

Ví dụ 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \frac{3}{x}$ $f(x) = x + \frac{3}{x}$ với$x > 0$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $g(x) = x + \frac{3}{x - 1}$ $g(x) = x + \frac{3}{x - 1}$ với $x > 1$.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $h(x) = x + \frac{3}{2x + 1}$ $h(x) = x + \frac{3}{2x + 1}$ với $x > - \frac{1}{2}$ $x > - \frac{1}{2}$.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của $p(x) = x + \frac{3}{4x + 7}$ $p(x) = x + \frac{3}{4x + 7}$ với $x \geq 2$ $x \geq 2$.

Lời giải

a) Do $x > 0$ nên ta có $f(x) = x + \frac{3}{x} \geq 2\sqrt{x.\frac{3}{x}} = 2\sqrt{3}$ $f(x) = x + \frac{3}{x} \geq 2\sqrt{x.\frac{3}{x}} = 2\sqrt{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi $x = \frac{3}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt{3}$ $x = \frac{3}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt{3}$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0$).

Vậy $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$ khi $x = \sqrt{3}$ $x = \sqrt{3}$.

b) Do $x > 1$ nên ta có $g(x) = x - 1 + \frac{3}{x - 1} + 1 \geq 2\sqrt{(x - 1).\frac{3}{x - 1}} + 1 = 2\sqrt{3} + 1$ $g(x) = x - 1 + \frac{3}{x - 1} + 1 \geq 2\sqrt{(x - 1).\frac{3}{x - 1}} + 1 = 2\sqrt{3} + 1$.

Đẳng thức xảy ra khi $x - 1 = \frac{3}{x - 1} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt{3}$ $x - 1 = \frac{3}{x - 1} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt{3}$ (thỏa mãn).

c) Ta có $h(x) = x + \frac{3}{2x + 1} \Leftrightarrow 2h(x) = 2x + \frac{6}{2x + 1} = 2x + 1 + \frac{6}{2x + 1} - 1$ $h(x) = x + \frac{3}{2x + 1} \Leftrightarrow 2h(x) = 2x + \frac{6}{2x + 1} = 2x + 1 + \frac{6}{2x + 1} - 1$.

Do $x > - \frac{1}{2}$ $x > - \frac{1}{2}$ nên ta có $2h(x) \geq 2\sqrt{(2x + 1).\frac{6}{2x + 1}} - 1 = 2\sqrt{6} - 1$ $2h(x) \geq 2\sqrt{(2x + 1).\frac{6}{2x + 1}} - 1 = 2\sqrt{6} - 1$

$\Leftrightarrow h(x) \geq \frac{2\sqrt{6} - 1}{2}$ $\Leftrightarrow h(x) \geq \frac{2\sqrt{6} - 1}{2}$.

Đẳng thức xảy ra khi $2x + 1 = \frac{6}{2x + 1} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}$ $2x + 1 = \frac{6}{2x + 1} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $h(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{2\sqrt{6} - 1}{2}$ $\frac{2\sqrt{6} - 1}{2}$ khi $x = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}$ $x = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}$.

d) Ta có;

$p(x) = x + \frac{3}{4x + 7} \Leftrightarrow 4p(x) = 5x + \frac{12}{4x + 7}$ $p(x) = x + \frac{3}{4x + 7} \Leftrightarrow 4p(x) = 5x + \frac{12}{4x + 7}$

$\Leftrightarrow 4p(x) = \frac{4}{75}.(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7} + \frac{71}{75}(4x + 7) - 7$ $\Leftrightarrow 4p(x) = \frac{4}{75}.(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7} + \frac{71}{75}(4x + 7) - 7$

Từ giả thiết ta có $4x + 7 \geq 15$ $4x + 7 \geq 15$. Do đó

$4p(x) \geq 2\sqrt{\frac{4}{75}.(4x + 7).\frac{12}{4x + 7}} + \frac{71}{75}.15 - 7 = \frac{44}{5}$ $4p(x) \geq 2\sqrt{\frac{4}{75}.(4x + 7).\frac{12}{4x + 7}} + \frac{71}{75}.15 - 7 = \frac{44}{5}$

$\Leftrightarrow p(x) \geq \frac{11}{5}$ $\Leftrightarrow p(x) \geq \frac{11}{5}$.

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{4}{75}.(4x + 7) = \frac{12}{4x + 7} \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 2(tm)$ $\left\{ \begin{matrix} \frac{4}{75}.(4x + 7) = \frac{12}{4x + 7} \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 2(tm)$ (thỏa mãn).

Vậy $p(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{11}{5}$ $\frac{11}{5}$ khi $x = 2$.

Nhận xét: Về hình thức thì các biểu thức $f(x);g(x);h(x);p(x)$ tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất. Cụ thể cả bốn biểu thức cần phải tìm cách đánh giá $f(x) \geq m_{1};g(x) \geq m_{2};h(x) \geq m_{3};p(x) \geq m_{4}$ $f(x) \geq m_{1};g(x) \geq m_{2};h(x) \geq m_{3};p(x) \geq m_{4}$.

- Việc đánh giá $f(x) \geq m_{1}$ $f(x) \geq m_{1}$ thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức $f(x)$.

- Việc đánh giá $g(x) \geq m_{2};h(x) \geq m_{3}$ $g(x) \geq m_{2};h(x) \geq m_{3}$ thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy, do nếu áp dụng thì vế phải vẫn còn biến số.

Vì vậy chúng ta cần điều chỉnh hình thức của biểu thức $g(x) = x + \frac{3}{x - 1}$ $g(x) = x + \frac{3}{x - 1}$ thành $g(x) = x - 1 + \frac{3}{x - 1} + 1$ $g(x) = x - 1 + \frac{3}{x - 1} + 1$, còn $h(x) = x + \frac{3}{2x + 1}$ $h(x) = x + \frac{3}{2x + 1}$ thành $2h(x) = 2x + 1 + \frac{6}{2x + 1} - 1$ $2h(x) = 2x + 1 + \frac{6}{2x + 1} - 1$ (nhằm khi đánh giá thì về phải không còn biến số).

- Việc đánh giá $p(x) \geq m_{4}$ $p(x) \geq m_{4}$ chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy được mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của p(x) để đạt được mục tiêu. Ngay cả khi viết $4p(x) = \frac{4}{75}.(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7} + \frac{71}{75}(4x + 7) - 7$ $4p(x) = \frac{4}{75}.(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7} + \frac{71}{75}(4x + 7) - 7$ thì chúng ta cũng không thể áp dụng luôn bất đẳng thức Cauchy $4p(x) \geq 2\sqrt{(4x + 7).\frac{12}{4x + 7}} = 4\sqrt{3} - 7$ $4p(x) \geq 2\sqrt{(4x + 7).\frac{12}{4x + 7}} = 4\sqrt{3} - 7$.

Vì lúc này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(4x + 7) = \frac{12}{4x + 7} \Leftrightarrow x = \frac{2\sqrt{3} - 7}{4} < 2$ $(4x + 7) = \frac{12}{4x + 7} \Leftrightarrow x = \frac{2\sqrt{3} - 7}{4} < 2$ , trong khi điều kiện của biến là $x \geq 2$ $x \geq 2$. Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại viết $4p(x)$ thành

$4p(x) = \frac{4}{75}.(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7} + \frac{71}{75}(4x + 7) - 7$ $4p(x) = \frac{4}{75}.(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7} + \frac{71}{75}(4x + 7) - 7$?

Và số $\frac{4}{75}$ $\frac{4}{75}$ được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:

Chúng ta để ý khi $x \geq 2$ $x \geq 2$ thì $\frac{3}{4x + 7} \leq \frac{1}{5};\frac{12}{4x + 7} \leq \frac{4}{5}$ $\frac{3}{4x + 7} \leq \frac{1}{5};\frac{12}{4x + 7} \leq \frac{4}{5}$, trong khi chúng ta đang cần đánh giá $p(x) \geq m_{4}$ $p(x) \geq m_{4}$ nên ta phải tìm cách ghép $m(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7}$ $m(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7}$, với $m > 0$ để áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm triệt tiêu $4x + 7$ ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi $x = 2$ thì $m(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7}$ $m(4x + 7) + \frac{12}{4x + 7}$. Dễ dàng tìm được $m = \frac{4}{75}$ $m = \frac{4}{75}$ và chúng ta có lời giải như trên.

Ví dụ 2: a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn $x + y = 5$. Chứng minh rằng

$\frac{16}{x} + \frac{1}{4y} \geq \frac{81}{20}$ $\frac{16}{x} + \frac{1}{4y} \geq \frac{81}{20}$.

b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn $\frac{16}{x} + \frac{1}{4y} = \frac{81}{20}$ $\frac{16}{x} + \frac{1}{4y} = \frac{81}{20}$. Chứng minh rằng

$x + y \geq 5$ $x + y \geq 5$.

Lời giải

Ta có $(x + y)\left( \frac{16}{x} + \frac{1}{4y} \right) = \frac{65}{4} + \frac{16y}{x} + \frac{x}{4y} \geq \frac{65}{4} + 2\sqrt{\frac{16y}{x}.\frac{x}{4y}} = \frac{65}{4} + 4 = \frac{81}{14}$ $(x + y)\left( \frac{16}{x} + \frac{1}{4y} \right) = \frac{65}{4} + \frac{16y}{x} + \frac{x}{4y} \geq \frac{65}{4} + 2\sqrt{\frac{16y}{x}.\frac{x}{4y}} = \frac{65}{4} + 4 = \frac{81}{14}$.

a) Khi $x + y = 5$ thì $\frac{16}{x} + \frac{1}{4y} \geq \frac{81}{20}$ $\frac{16}{x} + \frac{1}{4y} \geq \frac{81}{20}$.

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix} x + y = 5 \\ x^{2} = 64y^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow (x;y) = \left( \frac{40}{9};\frac{5}{9} \right)$ $\left\{ \begin{matrix} x + y = 5 \\ x^{2} = 64y^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow (x;y) = \left( \frac{40}{9};\frac{5}{9} \right)$.

b) Khi $\frac{16}{x} + \frac{1}{4y} = \frac{81}{20}$ $\frac{16}{x} + \frac{1}{4y} = \frac{81}{20}$ thì $x + y \geq 5$ $x + y \geq 5$.

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix} x + y = 5 \\ x^{2} = 64y^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow (x;y) = \left( \frac{40}{9};\frac{5}{9} \right)$ $\left\{ \begin{matrix} x + y = 5 \\ x^{2} = 64y^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow (x;y) = \left( \frac{40}{9};\frac{5}{9} \right)$.

--------------------------------------------------

Tóm lại, bất đẳng thức Cauchy là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức toán học. Việc nắm vững cách áp dụng bất đẳng thức này không chỉ giúp ích trong chương trình Toán lớp 9 mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao sau này. Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải quyết các bài toán và củng cố kỹ năng giải toán của mình. Hãy tiếp tục học hỏi và thực hành để cải thiện khả năng làm bài tập Toán ngày càng tốt hơn!

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Bon

1

12

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!