Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về ứng dụng bất đẳng thức Cauchy trong việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức toán học. Bất đẳng thức Cauchy là một trong những công cụ quan trọng trong Toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 9. Chúng ta sẽ cùng phân tích cách sử dụng bất đẳng thức này để giải các bài toán tìm cực trị của biểu thức, từ đó nâng cao khả năng giải quyết các bài tập trong môn Toán. Hãy cùng khám phá cách áp dụng lý thuyết vào thực tế với những ví dụ minh họa chi tiết!

A. Công thức bất đẳng thức Cauchy

Hệ quả:

• Nếu là các số không âm và a + b = S không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi a= b = 1/2.S.
• Nếu là các số không âm và ab = P không đổi thì a + b đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi .
• Với a >0; b > 0 thì . Đẳng thức xảy ra khi a = b.

Hệ quả:

• Nếu a, b, c là các số không âm và a + b + c = S không đổi thì abc đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
• Nếu a; b; c là các số không âm và abc = P không đổi thì a + b + c đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
• Với a > 0; b > 0; c > 0 thì . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

B. Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức bằng bđt Cauchy

Lời giải

a) Do x > 0 nên ta có .

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

b) Do x > 1 nên ta có .

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).

c) Ta có .

Do x > -1/2 nên ta có

.

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).

Vậy h(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

d) Ta có;

Từ giả thiết ta có 4x + 7 ≥ 15. Do đó

.

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).

Vậy p(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11/5 khi x = 2.

Nhận xét: Về hình thức thì các biểu thức f(x); g(x); h(x); p(x) tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất. Cụ thể cả bốn biểu thức cần phải tìm cách đánh giá f(x) ≥ m₁; g(x) ≥ m₂; h(x) ≥ m₃; p(x) ≥ m₄.

- Việc đánh giá f(x) ≥ m₁ thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức f(x).

- Việc đánh giá g(x) ≥ m₂; h(x) ≥ m₃ thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy, do nếu áp dụng thì vế phải vẫn còn biến số.

Vì vậy chúng ta cần điều chỉnh hình thức của biểu thức thành , còn thành (nhằm khi đánh giá thì về phải không còn biến số).

• Việc đánh giá p(x) ≥ m₄ chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy được mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của p(x) để đạt được mục tiêu.
• Ngay cả khi viết thì chúng ta cũng không thể áp dụng luôn bất đẳng thức Cauchy .

Vì lúc này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , trong khi điều kiện của biến là x ≥ 2. Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại viết 4p(x) thành

?

Và số 4/75 được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:

Chúng ta để ý khi x ≥ 2 thì , trong khi chúng ta đang cần đánh giá p(x) ≥ m₄ nên ta phải tìm cách ghép , với m > 0 để áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm triệt tiêu 4x + 7 ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi x = 2 thì . Dễ dàng tìm được m = 4/75 và chúng ta có lời giải như trên.

Lời giải

Ta có .

a) Khi y + y = 5 thì .

Đẳng thức xảy ra khi .

b) Khi thì x + y ≥ 5 .

Đẳng thức xảy ra khi .

--------------------------------------------------

Tóm lại, bất đẳng thức Cauchy là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức toán học. Việc nắm vững cách áp dụng bất đẳng thức này không chỉ giúp ích trong chương trình Toán lớp 9 mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao sau này. Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải quyết các bài toán và củng cố kỹ năng giải toán của mình. Hãy tiếp tục học hỏi và thực hành để cải thiện khả năng làm bài tập Toán ngày càng tốt hơn!