VnDoc.com

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

I. Điều kiện để phương trình có nghiệm
- 1. Phương trình bậc nhất
- 2. Phương trình bậc hai
II. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm
III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm

Tìm m để phương trình sau có nghiệm là dạng bài quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9, thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp phân tích điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó luyện tập hiệu quả và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới.

I. Điều kiện để phương trình có nghiệm

1. Phương trình bậc nhất

Phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 có nghiệm khi a ≠ 0.

2. Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 có nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta \ge 0 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta \ge 0 \end{array} \right.$

II. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để phương trình -2x² - 4x + 3 = m có nghiệm

Gợi ý giải

Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.

Hướng dẫn giải

-2x² - 4x + 3 = m ⇔ -2x² - 4x + 3 - m = 0

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆' > 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 2} \right).\left( {3 - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4 + 6 - 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2m \ge - 10\\ \Leftrightarrow m \le 5 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 2} \right).\left( {3 - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4 + 6 - 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2m \ge - 10\\ \Leftrightarrow m \le 5 \end{array}$

Vậy với m ≤ 5 thì phương trình có -2x² - 4x + 3 = m có nghiệm

Bài 2: Tìm m để phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.

Lời giải:

Để phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 1.\left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 4m - 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow 6m \ge 2\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3} \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 1.\left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 4m - 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow 6m \ge 2\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3} \end{array}$

Vậy với $m \ge \frac{1}{3}$ $m \ge \frac{1}{3}$ thì phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm

Bài 3: Chứng minh phương trình x² + (m - 3)x - 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Gợi ý giải

Xét ∆ và chứng minh ∆ luôn dương với mọi tham số m, khi đó phương trình luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có ∆ = (m - 3)² - 4.1.(-3m) = m² + 6m + 9 = (m + 3)² ≥ 0 ∀ m

Vậy phương trình x² + (m - 3)x - 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m

Bài 4: Tìm m để phương trình (m - 1)x² - 2(m + 2)x + m + 2 = 0 có nghiệm.

Gợi ý giải

Do hệ số của biến x² chứa tham số m nên ta phải chia thành hai trường hợp để giải bài toán.

Hướng dẫn giải

Bài toán chia thành 2 trường hợp

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn $- 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ $- 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai một ẩn $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 2 = 0$ $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 2 = 0$

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 1} \right).\left( {m + 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - {m^2} - m + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3m + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 1}}{2} \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 1} \right).\left( {m + 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - {m^2} - m + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3m + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 1}}{2} \end{array}$

Vậy với $m \ge \frac{{ - 1}}{2}$ $m \ge \frac{{ - 1}}{2}$ thì phương trình (m - 1)x² - 2(m + 2)x + m + 2 = 0 có nghiệm

Bài 5: Tìm m để phương trình $m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0$ $m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0$ có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Bài toán chia thành 2 trường hợp

TH1: m = 0. Khi đó phương trình trở thành: 3 = 0 (vô lý)

Với m = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

TH2: m ≠ 0. Khi đó phương trình trở thành: $m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0$ $m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0$

Để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$ $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$

$\begin{matrix} {m^2} - 4.{m^2}.3 \geq 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} - 12{m^2} \geq 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 11{m^2} \geq 0 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} {m^2} - 4.{m^2}.3 \geq 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} - 12{m^2} \geq 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 11{m^2} \geq 0 \hfill \\ \end{matrix}$

→ Vô lý

Vậy không tồn tại giá trị của m để phương trình $m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0$ $m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0$ có nghiệm.

Bài 6 (Nâng cao): Cho các biểu thức $C = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 4}$ $C = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 4}$ và biểu thức $D = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 4}$ $D = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 4}$. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình $\frac{C}{D} - m = 1$ $\frac{C}{D} - m = 1$ có nghiệm?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $a > 0;a \neq 16$ $a > 0;a \neq 16$

Ta có:

$\frac{C}{D} = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a}} = 1 + \frac{3}{\sqrt{a}}$ $\frac{C}{D} = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a}} = 1 + \frac{3}{\sqrt{a}}$

Theo bài ra ta có:

$\frac{C}{D} - m = 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{3}{\sqrt{a}} = m + 1$ $\frac{C}{D} - m = 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{3}{\sqrt{a}} = m + 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{a} = \frac{3}{m}$ $\Leftrightarrow \sqrt{a} = \frac{3}{m}$

Dựa vào điều kiện xác định $a > 0;a \neq 16$ $a > 0;a \neq 16$ thì để phương trình có nghiệm thì $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{3}{m} > 0 \\ \dfrac{3}{m} \neq 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m \neq \dfrac{3}{4} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{3}{m} > 0 \\ \dfrac{3}{m} \neq 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m \neq \dfrac{3}{4} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $m > 0;m \neq \frac{3}{4}$ $m > 0;m \neq \frac{3}{4}$ thì phương trình $\frac{C}{D} - m = 1$ $\frac{C}{D} - m = 1$ có nghiệm.

Bài 7 (Nâng cao): Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}$ $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$ $B = \frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$ với $x > 0;x \neq 1$ $x > 0;x \neq 1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình $C = \frac{1}{a}$ $C = \frac{1}{a}$ có nghiệm, biết $C = \frac{A}{B}$ $C = \frac{A}{B}$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$C = \frac{A}{B} = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}:\frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$ $C = \frac{A}{B} = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}:\frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$

$= \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{2\left( \sqrt{x} + 2 \right)}$ $= \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{2\left( \sqrt{x} + 2 \right)}$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ $= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Theo bài ra ta có:

$C = \dfrac{1}{a} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{a} \\ a \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$ $C = \dfrac{1}{a} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{a} \\ a \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow a.\sqrt{x} + a = 2\sqrt{x} \Leftrightarrow (2 - a)\sqrt{x} = a\ \ \ \ (*)$ $\Leftrightarrow a.\sqrt{x} + a = 2\sqrt{x} \Leftrightarrow (2 - a)\sqrt{x} = a\ \ \ \ (*)$

TH1: Với $a = 2$ thì phương trình (*) vô nghiệm.

TH2: $a \neq 2 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{a}{2 - a}$ $a \neq 2 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{a}{2 - a}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} > 0 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{a}{2 - a} > 0\ \ \ \ (1) \\ \dfrac{a}{2 - a} \neq 1\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} > 0 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{a}{2 - a} > 0\ \ \ \ (1) \\ \dfrac{a}{2 - a} \neq 1\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Ta có: $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$. Vì $\sqrt{x} > 0 \Rightarrow a > 0\ \ \ \ (3)$ $\sqrt{x} > 0 \Rightarrow a > 0\ \ \ \ (3)$

Từ phương trình (1) $\Leftrightarrow \frac{a}{2 - a} > 0 \Rightarrow 2 - a > 0 \Leftrightarrow a < 2\ \ \ (4)$ $\Leftrightarrow \frac{a}{2 - a} > 0 \Rightarrow 2 - a > 0 \Leftrightarrow a < 2\ \ \ (4)$

Từ phương trình (2) $\Leftrightarrow \frac{a}{2 - a} \neq 1 \Rightarrow a \neq 1\ \ \ (5)$ $\Leftrightarrow \frac{a}{2 - a} \neq 1 \Rightarrow a \neq 1\ \ \ (5)$

Từ (3), (4), (5) ta được: $\left\{ \begin{matrix} 0 < a < 2 \\ a \neq 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 0 < a < 2 \\ a \neq 1 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy để phương trình $C = \frac{1}{a}$ $C = \frac{1}{a}$ có nghiệm thì $0 < a < 2;a \neq 1$ $0 < a < 2;a \neq 1$.

Bài 8 (Nâng cao). Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: ${x^3} - 7{x^2} + (m + 6)x - m = 0$ ${x^3} - 7{x^2} + (m + 6)x - m = 0$.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương:

$(x - 1)({x^2} - 6x + m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ {x^2} - 6x + m = 0{\text{ }}(1) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $(x - 1)({x^2} - 6x + m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ {x^2} - 6x + m = 0{\text{ }}(1) \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay: $\left\{ \begin{gathered} \Delta$ $\left\{ \begin{gathered} \Delta ' = 9 - m > 0 \hfill \\ {1^2} - 6.1 + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 9 \hfill \\ m \ne 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (*).

Khi đó, phương trình đã cho có ba nghiệm ${x_1},{x_2}$ ${x_1},{x_2}$ và ${x_3} = 1$ ${x_3} = 1$, trong đó ${x_1},{x_2}$ ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của (1).

Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = m \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = m \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (2).

Xét các trường hợp sau:

*) Nếu ${x_1}.{x_3} = x_2^2 \Leftrightarrow {x_1} = x_2^2$ ${x_1}.{x_3} = x_2^2 \Leftrightarrow {x_1} = x_2^2$ (3). Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = m \hfill \\ {x_1} = x_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x_2^2 + {x_2} - 6 = 0 \hfill \\ {x_1} = x_2^2 \hfill \\ m = x_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = m \hfill \\ {x_1} = x_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x_2^2 + {x_2} - 6 = 0 \hfill \\ {x_1} = x_2^2 \hfill \\ m = x_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_2} = 2;{x_1} = 4;m = 8 \hfill \\ {x_2} = - 3;{x_1} = 9;m = - 27 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_2} = 2;{x_1} = 4;m = 8 \hfill \\ {x_2} = - 3;{x_1} = 9;m = - 27 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

*) Nếu ${x_1}.{x_2} = x_3^2 \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} = 1$ ${x_1}.{x_2} = x_3^2 \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} = 1$ (4). Từ (2) và (4) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $m = 1,m = 8,m = - 27$.

III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây có nghiệm:

1, ${x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0$ ${x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0$

2, ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 4m + 3 = 0$ ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 4m + 3 = 0$

3, ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0$ ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0$

4, ${x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0$ ${x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0$

5, $3{x^2} - 2x - m + 1 = 0$ $3{x^2} - 2x - m + 1 = 0$

6, ${x^2} - 2x + m - 1 = 0$ ${x^2} - 2x + m - 1 = 0$

7, ${x^2} - 2mx + m - 2 = 0$ ${x^2} - 2mx + m - 2 = 0$

8, ${x^2} - 5x + m = 0$ ${x^2} - 5x + m = 0$

9, ${x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0$ ${x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0$

10, ${x^2} - 4x + m + 2 = 0$ ${x^2} - 4x + m + 2 = 0$

11, ${x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0$ ${x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0$

12, $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m = 0$ $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m = 0$

13, ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m = 0$ ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m = 0$

14, ${x^2} + 2mx + {m^2} + m - 3 = 0$ ${x^2} + 2mx + {m^2} + m - 3 = 0$

15, $m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0$ $m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0$

Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình dưới đây luôn có nghiệm với mọi m

1, ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m - 4 = 0$ ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m - 4 = 0$

2, $x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0$ $x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0$

Bài 3. Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây có nghiệm:

1) $3{x^2} - mx + {m^2} = 0$ $3{x^2} - mx + {m^2} = 0$

2) ${x^2} - 2mx + \left( {5m - 4} \right) = 0$ ${x^2} - 2mx + \left( {5m - 4} \right) = 0$

3) $m{x^2} - x + 2 = 0$ $m{x^2} - x + 2 = 0$

4) ${x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x - 2\left( {m - 1} \right) = 0$ ${x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x - 2\left( {m - 1} \right) = 0$

5) ${x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0$ ${x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0$

----------------------------------------------------------------

Trong chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10, dạng bài tìm m để phương trình có nghiệm đóng vai trò rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh. Dạng bài này đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt kiến thức về phương trình bậc hai, điều kiện có nghiệm (có nghiệm, có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm), và cách xét dấu biệt thức Δ. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải dạng bài tìm tham số m để phương trình có nghiệm, đồng thời cung cấp ví dụ minh họa và bài tập tự luyện có đáp án. Đây là tài liệu ôn tập hữu ích giúp học sinh lớp 9 củng cố kiến thức, luyện kỹ năng phân tích điều kiện và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: