Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Tìm m để phương trình sau có nghiệm cung cấp lý thuyết cơ bản và các dạng bài tập tìm m để phương trình có nghiệm, từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 môn Toán sắp tới. Dươi đây là nội dung tài liệu, mời các bạn tham khảo.

I. Nhắc lại về điều kiện để phương trình có nghiệm

1. Nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

+ Để phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 có nghiệm khi a ≠ 0.

2. Nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

+ Để phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 có nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta \ge 0 \end{array} \right.\)

II. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 1:Tìm m để phương trình -2x² - 4x + 3 = m có nghiệm

Hướng dẫn:

Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.

Lời giải:

-2x² - 4x + 3 = m ⇔ -2x² - 4x + 3 - m = 0

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆' > 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 2} \right).\left( {3 - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4 + 6 - 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2m \ge - 10\\ \Leftrightarrow m \le 5 \end{array}\)

Vậy với m ≤ 5 thì phương trình có -2x² - 4x + 3 = m có nghiệm

Bài 2: Tìm m để phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn:

Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.

Lời giải:

Để phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 1.\left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 4m - 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow 6m \ge 2\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3} \end{array}\)

Vậy với \(m \ge \frac{1}{3}\) thì phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm

Bài 3: Chứng minh phương trình x² + (m - 3)x - 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn:

Xét ∆ và chứng minh ∆ luôn dương với mọi tham số m, khi đó phương trình luôn có nghiệm.

Lời giải:

Ta có  ∆ = (m - 3)² - 4.1.(-3m) = m² + 6m + 9 = (m + 3)² ≥ 0 ∀ m

Vậy phương trình x² + (m - 3)x - 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m

Bài 4: Tìm m để phương trình (m - 1)x² - 2(m + 2)x + m + 2 = 0 có nghiệm

Hướng dẫn:

Do hệ số của biến x² chứa tham số m nên ta phải chia thành hai trường hợp để giải bài toán.

Lời giải:

Bài toán chia thành 2 trường hợp

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn \(- 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai một ẩn \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 2 = 0\)

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 1} \right).\left( {m + 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - {m^2} - m + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3m + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 1}}{2} \end{array}\)

Vậy với \(m \ge \frac{{ - 1}}{2}\) thì phương trình (m - 1)x² - 2(m + 2)x + m + 2 = 0 có nghiệm

Bài 5: Tìm m để phương trình \(m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0\) có nghiệm

Lời giải

Bài toán chia thành 2 trường hợp

TH1: m = 0. Khi đó phương trình trở thành: 3 = 0 (vô lý)

Với m = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

TH2: m ≠ 0. Khi đó phương trình trở thành: \(m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0\)

Để phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta \geq 0\)

\(\begin{matrix} {m^2} - 4.{m^2}.3 \geq 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} - 12{m^2} \geq 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 11{m^2} \geq 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

→ Vô lý

Vậy không tồn tại giá trị của m để phương trình \(m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0\) có nghiệm

III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây có nghiệm

1, \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0\)

2, \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 4m + 3 = 0\)

3, \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\)

4, \({x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\)

5, \(3{x^2} - 2x - m + 1 = 0\)

6, \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\)

7, \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\)

8, \({x^2} - 5x + m = 0\)

9, \({x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\)

10, \({x^2} - 4x + m + 2 = 0\)

11, \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0\)

12,\(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m = 0\)

13, \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m = 0\)

14, \({x^2} + 2mx + {m^2} + m - 3 = 0\)

15, \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\)

Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình dưới đây luôn có nghiệm với mọi m

1, \({x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m - 4 = 0\)

2, \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0\)

Bài 3. Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây có nghiệm:

1) \(3{x^2} - mx + {m^2} = 0\)

2) \({x^2} - 2mx + \left( {5m - 4} \right) = 0\)

3) \(m{x^2} - x + 2 = 0\)

4) \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x - 2\left( {m - 1} \right) = 0\)

5) \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\)