Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

I. Điều kiện để phương trình có nghiệm
- 1. Phương trình bậc nhất
- 2. Phương trình bậc hai
II. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm
III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm

Tìm m để phương trình sau có nghiệm là dạng bài quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9, thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp phân tích điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó luyện tập hiệu quả và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới.

Video bài giảng Tìm m để phương trình có nghiệm

Video bài giảng tìm m để phương trình có nghiệm giúp học sinh Toán 9 nắm vững cách xét điều kiện tham số, áp dụng biệt thức và giải nhanh dạng toán thường gặp trong ôn thi vào lớp 10.

I. Điều kiện để phương trình có nghiệm

1. Phương trình bậc nhất

Phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 có nghiệm khi a ≠ 0.

2. Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 có nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta \ge 0 \end{array} \right.$

II. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm tham số m để phương trình -2x² - 4x + 3 = m có nghiệm

Gợi ý giải

Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.

Hướng dẫn giải

Biến đổi phương trình như sau:

-2x² - 4x + 3 = m ⇔ -2x² - 4x + 3 - m = 0

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆' > 0

⇔ ( -2)² - (-2).(3- m) > 0

⇔ 4 + 6 - 2m > 0

⇔ -2m > -10 ⇔ m <5

Vậy với m < 5 thì phương trình có -2x² - 4x + 3 = m có nghiệm

Bài 2: Tìm m để phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.

Lời giải:

Để phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm ⇔ ∆' > 0

⇔ (m + 1)² - 1.(m² - 4m + 3) > 0

⇔ m² + 2m +1 - m² + 4m - 3 > 0

⇔ 6m > 2 ⇔ m > 1/2

Vậy với m > 1/3 thì phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 4m + 3 = 0 có nghiệm

Bài 3: Chứng minh phương trình x² + (m - 3)x - 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Gợi ý giải

Xét ∆ và chứng minh ∆ luôn dương với mọi tham số m, khi đó phương trình luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có ∆ = (m - 3)² - 4.1.(-3m) = m² + 6m + 9 = (m + 3)² ≥ 0 ∀ m

Vậy phương trình x² + (m - 3)x - 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m

Bài 4: Tìm m để phương trình (m - 1)x² - 2(m + 2)x + m + 2 = 0 có nghiệm.

Gợi ý giải

Do hệ số của biến x² chứa tham số m nên ta phải chia thành hai trường hợp để giải bài toán.

Hướng dẫn giải

Bài toán chia thành 2 trường hợp

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1.

Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn - 6x + 3 = 0 $\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.

Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai một ẩn

(m - 1)x² - 2(m + 2)x + m + 2 = 0

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0

⇔ (m + 2)²- (m - 1).(m + 2) ≥ 0

⇔ m² + 4m + 4 - m² - m + 2 ≥ 0

⇔ 3m + 6 ≥ 0

⇔ m ≥ -1/2

Vậy với $m \ge \frac{{ - 1}}{2}$ thì phương trình (m - 1)x² - 2(m + 2)x + m + 2 = 0 có nghiệm

Bài 5: Tìm tham số m để phương trình mx² + m²x + 3 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Bài toán chia thành 2 trường hợp

TH1: m = 0. Khi đó phương trình trở thành: 3 = 0 (vô lý)

Với m = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

TH2: m ≠ 0. Khi đó phương trình trở thành: mx² + m²x + 3 = 0

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0

⇔ m² - 4.m².3 ≥ 0 ⇔ m²- 12m² ≥ 0 ⇔ -11.m²≥ 0

=> Vô lý

Vậy không tồn tại giá trị của m để phương trình mx² + m²x + 3 = 0 có nghiệm.

Bài 6 (Nâng cao): Cho các biểu thức $C = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 4}$ và biểu thức $D = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 4}$ . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình $\frac{C}{D} - m = 1$ có nghiệm?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định a >0; a ≠ 16

Ta có: $\frac{C}{D} = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a}} = 1 + \frac{3}{\sqrt{a}}$

Theo bài ra ta có: $\frac{C}{D} - m = 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{3}{\sqrt{a}} = m + 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{a} = \frac{3}{m}$

Dựa vào điều kiện xác định $a > 0;a \neq 16$ thì để phương trình có nghiệm thì $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{3}{m} > 0 \\ \dfrac{3}{m} \neq 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m \neq \dfrac{3}{4} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $m > 0;m \neq \frac{3}{4}$ thì phương trình $\frac{C}{D} - m = 1$ có nghiệm.

Bài 7 (Nâng cao): Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$ với $x > 0;x \neq 1$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình $C = \frac{1}{a}$ có nghiệm, biết $C = \frac{A}{B}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$C = \frac{A}{B} = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}:\frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$ $= \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{2\left( \sqrt{x} + 2 \right)}$ $= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Theo bài ra ta có: $C = \dfrac{1}{a} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{a} \\ a \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow a.\sqrt{x} + a = 2\sqrt{x} \Leftrightarrow (2 - a)\sqrt{x} = a\ \ \ \ (*)$

Trường hợp 1: Với a = 2 thì phương trình (*) vô nghiệm.

Trường hợp 2: $a \neq 2 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{a}{2 - a}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} > 0 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{a}{2 - a} > 0\ \ \ \ (1) \\ \dfrac{a}{2 - a} \neq 1\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Ta có: $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ . Vì $\sqrt{x} > 0 \Rightarrow a > 0\ \ \ \ (3)$

Từ phương trình (1) $\Leftrightarrow \frac{a}{2 - a} > 0 \Rightarrow 2 - a > 0 \Leftrightarrow a < 2\ \ \ (4)$

Từ phương trình (2) $\Leftrightarrow \frac{a}{2 - a} \neq 1 \Rightarrow a \neq 1\ \ \ (5)$

Từ (3), (4), (5) ta được: $\left\{ \begin{matrix} 0 < a < 2 \\ a \neq 1 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy để phương trình $C = \frac{1}{a}$ có nghiệm thì 0 < a < 2; a ≠ 1.

Bài 8 (Nâng cao). Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x³ - 7x² + (m + 6)x -m = 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương:

$(x - 1)({x^2} - 6x + m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ {x^2} - 6x + m = 0{\text{ }}(1) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay: $\left\{ \begin{gathered} \Delta ' = 9 - m > 0 \hfill \\ {1^2} - 6.1 + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 9 \hfill \\ m \ne 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (*).

Khi đó, phương trình đã cho có ba nghiệm x₁; x₂và x₃ = 1, trong đó x₁; x₂ là nghiệm của (1).

Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = m \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (2).

Xét các trường hợp sau:

*) Nếu ${x_1}.{x_3} = x_2^2 \Leftrightarrow {x_1} = x_2^2$ (3).

Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = m \hfill \\ {x_1} = x_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x_2^2 + {x_2} - 6 = 0 \hfill \\ {x_1} = x_2^2 \hfill \\ m = x_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_2} = 2;{x_1} = 4;m = 8 \hfill \\ {x_2} = - 3;{x_1} = 9;m = - 27 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

*) Nếu ${x_1}.{x_2} = x_3^2 \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} = 1$ (4).

Từ (2) và (4) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ {x_1} + {x_2} = 6 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m = 1; m = 8; m = -27.

III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm

Bài tập 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $x^{2} + (m + 1)x + m - \frac{1}{3} = 0$ có nghiệm?

A. $m\mathbb{\in R}.$ B. C. $- \frac{3}{4} < m < 1.$ D. $m > - \frac{3}{4}.$

Bài tập 2. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $(m - 1)x^{2} - 2(m + 3)x - m + 2 = 0$ có nghiệm.

A. $m \in \varnothing.$ B. $m\mathbb{\in R}.$ C. $- \ 1 < m < 3.$ D. $- \ 2 < m < 2.$

Bài tập 3. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $(m - 5)x^{2} - 4mx + m - 2 = 0$ có nghiệm.

A. $m \neq 5.$ B. $- \frac{10}{3} \leq m \leq 1.$ C. $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \frac{10}{3} \\ m \geq 1 \end{matrix} \right.\ .$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \frac{10}{3} \\ 1 \leq m \neq 5 \end{matrix} \right.\ .$

Bài tập 4. Phương trình $x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0$ (với m là tham số) có nghiệm khi

A. $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 5 \end{matrix} \right.\ .$ B. $- \ 5 \leq m \leq - \ 1.$ C. $\left\lbrack \begin{matrix} m < - \ 5 \\ m > - 1 \end{matrix} \right.\ .$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \ 5 \\ m \geq - \ 1 \end{matrix} \right.\ .$

Bài tập 5. Giá trị nào của tham số m thì phương trình $(m - 3)x^{2} + (m + 3)x - (m + 1) = 0$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $m\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 3 \right\}$ . B. $m \in \left( - \infty;\ - \frac{3}{5} \right) \cup (1;\ + \infty)\backslash\left\{ 3 \right\}$ .

C. $m \in \left( - \frac{3}{5};\ 1 \right)$ . D. $m \in \left( - \frac{3}{5};\ + \infty \right)$ .

Bài tập 6. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

$2x^{2} + 2(m + 2)x + 3 + 4m + m^{2} = 0$ có nghiệm?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Bài tập 7. Phương trình $(m - 1)x^{2} - 2x + m + 1 = 0$ (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt khi:

A. $m\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 0 \right\}.$ B. $m \in \left( - \ \sqrt{2};\sqrt{2} \right).$

C. $m \in \left( - \sqrt{2};\sqrt{2} \right)\backslash\left\{ 1 \right\}.$ D. $m \in \left\lbrack - \ \sqrt{2};\sqrt{2} \right\rbrack\backslash\left\{ 1 \right\}.$

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Xét phương trình $x^{2} + (m + 1)x + m -\frac{1}{3} = 0$ ta có:

$\Delta_{x} = (m + 1)^{2} - 4\left( m - \frac{1}{3} \right) = m^{2} - 2m + \frac{7}{3}.$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} a = 1 > 0 \\ {\Delta'}_{m} = 1 - \frac{7}{3} = - \frac{4}{3} < 0 \end{matrix} \right.$ suy ra $m^{2} - 2m + \frac{7}{3} > 0,\ \ \forall m\mathbb{\in R \Rightarrow}\Delta_{x} > 0,\ \forall m\mathbb{\in R}.$

Bài tập 2.

Xét phương trình $(m - 1)x^{2} - 2(m + 3)x - m + 2 = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Trường hợp 1. Với m - 1 = 0 ⇔ m = 1 khi đó $(*) \Leftrightarrow - \ 2.4x - 1 + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{8}.$

Suy ra với m = 1 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{8}.$

Trường hợp 2. Với m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 khi đó để phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \ \ {\Delta'}_{x} \geq 0$

$\Leftrightarrow (m + 3)^{2} - (m - 1)(2 - m) \geq 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + 6m + 9 - \left( - \ m^{2} + 3m - 2 \right) \geq 0$

$\Leftrightarrow 2m^{2} + 3m + 11 \geq 0 \Leftrightarrow 2\left( m + \frac{3}{4} \right)^{2} + \frac{79}{8} \geq 0,\ \ \forall m\mathbb{\in R}$ suy ra ${\Delta'}_{x} \geq 0,\ \ \forall m\mathbb{\in R}.$

Do đó, với $m \neq 1$ thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Kết hợp hai trường hợp, ta được $m\mathbb{\in R}$ là giá trị cần tìm. Chọn B.

Bài tập 3.

Xét phương trình $(m - 5)x^{2} - 4mx + m - 2 = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Trường hợp 1. Với $m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5,$ khi đó $(*) \Leftrightarrow - \ 20x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{20}.$

Suy ra với thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{3}{20}.$

Trường hợp 2. Với $m - 5 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 5,$ khi đó để phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \ \ {\Delta'}_{x} \geq 0$

$\Leftrightarrow ( - \ 2m)^{2} - (m - 5)(m - 2) \geq 0$ $\Leftrightarrow 4m^{2} - \left( m^{2} - 7m + 10 \right) \geq 0$

$\Leftrightarrow 3m^{2} + 7m - 10 \geq 0$ $\Leftrightarrow (m - 1)(3m + 10) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 1 \\ m \leq - \frac{10}{3} \end{matrix} \right.\ .$

Do đó, với $\left\lbrack \begin{matrix} 5 \neq m \geq 1 \\ m \leq - \frac{10}{3} \end{matrix} \right.$ thì phương trình có nghiệm.

Kết hợp hai trường hợp, ta được $\left\lbrack \begin{matrix} m \geq 1 \\ m \leq - \frac{10}{3} \end{matrix} \right.$ là giá trị cần tìm. Chọn C.

Bài tập 4.

Xét phương trình $x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0,$ có ${\Delta'}_{x} = (m + 2)^{2} + 2m + 1.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \ \ {\Delta'}_{x} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 4m + 4 + 2m + 1 \geq 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + 6m + 5 \geq 0$

$\Leftrightarrow (m + 1)(m + 5) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq - \ 1 \\ m \leq - \ 5 \end{matrix} \right.$ là giá trị cần tìm. Chọn D.

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

----------------------------------------------------------------

FAQ

Muốn tìm m để phương trình có nghiệm cần bắt đầu từ đâu?

Trước tiên cần xác định dạng của phương trình (bậc nhất, bậc hai, chứa căn hoặc chứa tham số), sau đó áp dụng điều kiện tương ứng để thiết lập các bất đẳng thức hoặc phương trình theo m .

Khi giải phương trình bậc hai có tham số m cần xét những điều kiện nào?

Học sinh thường cần xét điều kiện về biệt thức Δ (delta), hệ số của phương trình và các yêu cầu riêng của đề bài như có nghiệm phân biệt, nghiệm kép, nghiệm dương hoặc nghiệm nguyên.

Bài toán tìm m để phương trình có nghiệm thường xuất hiện trong những dạng nào?

Các dạng phổ biến gồm tìm m để phương trình có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước hoặc kết hợp với định lý Viète và bất đẳng thức.

Những lỗi nào học sinh thường mắc khi giải bài toán có tham số?

Các lỗi thường gặp là quên xét điều kiện xác định, tính sai biệt thức Δ, bỏ sót trường hợp đặc biệt, biến đổi thiếu chặt chẽ hoặc kết luận chưa đầy đủ các giá trị của m .

Có cần kiểm tra lại điều kiện sau khi tìm được m không?

Có. Sau khi tìm được giá trị hoặc khoảng giá trị của m , học sinh cần thay lại vào phương trình để kiểm tra xem các điều kiện của đề bài đã được thỏa mãn hay chưa.

------------------------------

Trong chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10, dạng bài tìm m để phương trình có nghiệm đóng vai trò rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh. Dạng bài này đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt kiến thức về phương trình bậc hai, điều kiện có nghiệm (có nghiệm, có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm), và cách xét dấu biệt thức Δ. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải dạng bài tìm tham số m để phương trình có nghiệm, đồng thời cung cấp ví dụ minh họa và bài tập tự luyện có đáp án. Đây là tài liệu ôn tập hữu ích giúp học sinh lớp 9 củng cố kiến thức, luyện kỹ năng phân tích điều kiện và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: