Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 là tài liệu do VnDoc sưu tầm và giới thiệu cho các bạn học sinh và thầy cô nghiên cứu, học tập tốt môn Toán 9 cũng như luyện tập nhằm chuẩn bị tốt nhất cho các kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn tham khảo.

Tài liệu sẽ đưa ra công thức delta và delta phẩy cho các bạn học sinh, đồng thời cũng sẽ giải thích lý do chúng ta phải tính biệt thức delta này. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về phương trình bậc hai và cách vận dụng vào giải các bài Toán lớp 9.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Thông thường đối với một học sinh lớp 9, khi hỏi cách tính phương trình bậc 2, các bạn học sinh sẽ trả lời là: “Ta đi tính Δ, rồi từ đó phụ thuộc vào Δ mà ta có cách tính cụ thể cho từng nghiệm”. Vậy tại sao phải tính Δ, đa phần các bạn học sinh sẽ không trả lời được, bởi vậy phần dưới đây sẽ trả lời câu hỏi đó!

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0

Trong đó a ≠0, a, b là hệ số, c là hằng số.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính: Δ = b^2 - 4ac

Nếu Δ >0 thì phương trình ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0 có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b\ +\sqrt{\triangle}}{2a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle}}{2a}

Nếu Δ\ =0 thì phương trình ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0 có nghiệm kép:

x_1=x_2=\frac{-b}{2a}

Nếu Δ\ <0 thì phương trình ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0 vô nghiệm:

+ Tính :\ Δ'=b'^2-ac;\ b'=\frac{b}{2}

Nếu Δ' >0 thì phương trình ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0 có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b'\ +\sqrt{\triangle'}}{a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle'}}{a}

Nếu Δ'=0 thì phương trình ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0 có nghiệm kép:

x_1=x_2=\frac{-b'}{a}

Nếu Δ'<0 thì phương trình ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0 vô nghiệm.

3. Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:

ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0

⇔\ a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\ =0

⇔\ a\left[x^2\ +2.\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\ -\ \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c\ =\ 0

⇔\ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ -\frac{b^2}{4a}+c=0

\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2}{4a}-c

\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2-4ac}{4a}

\Leftrightarrow 4a^2.\left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = b^2-4ac (1)

Vế phải chính là \triangle mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Và do vế trái của đẳng thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b^2-4ac.

+ Với b^2-4ac<0, vì vế trái lớn hơn bằng 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với b^2-4ac=0, phương trình trên trở thành:

4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}

Phương trình đã cho có nghiệm kép x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.

+ Với b^2-4ac>0, phương trình trên trở thành:

4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right ) ^2= b^2-4ac

\Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \\ 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = - \sqrt {{b^2} - 4ac} \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x + \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right.

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

x_1 = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}x_2 = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng b^2-4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt \triangle =b^2-4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

4. Các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Bài 1: Giải các phương trình dưới đây:

a, x^2-5x+4=0 b, 6x^2+x+5=0
c, 16x^2-40x+25=0 d, x^2-10x+21=0
e, x^2-2x-8=0 f, 4x^2-5x+1=0
g, x^2+3x+16=0 h, 2x^2+2x+1=0

Lời giải:

a, x^2-5x+4=0

Ta có: \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4.1.4=25-16=9>0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;4}

b, 6x^2+x+5=0

Ta có: \Delta=b^2-4ac=1^2-4.6.5=1-120=-119<0

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm

c, 16x^2-40x+25=0

Ta có: \Delta'=b'^2-ac=(-20)^2-16.25=400-400=0

Phương trình đã cho có nghiệm kép: x_1=x_2=\frac{-b'}{a}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=\left \{ \frac{5}{4} \right \}

d, x^2-10x+21=0

Ta có: \Delta'=b'^2-ac=(-5)^2-1.21=25-21=4>0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5+2}{1}=-3x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5-2}{1}=-7

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-7; -3}

e, x^2-2x-8=0

Ta có: \Delta'=b'^2-ac=(-1)^2-1.(-8)=1+8=9>0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a} =\frac{1+3}{1}=4x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{1-3}{1}=-2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}

f, 4x^2-5x+1=0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x_1=1x_2=\frac{1}{4}

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=\left \{ \frac{1}{4};1 \right \}

g, x^2+3x+16=0

Học sinh tính được và nhận thấy < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

h, 2x^2+2x+1=0

Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Cho phương trình x^2-6x+m^2-4m=0(1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

1^2-6.1+m^2-4m=0 \Leftrightarrow m^2-4m-5=0 (2)

Xét phương trình (2)

\Delta'=b'^2-ac=(-2)^2-1.(-5)=9>0

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt m_1=5m_2=-1

Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét phương trình (1) có:

\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi \Delta'=0

\Leftrightarrow -m^2+4m+9=0 (2)

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có m=2\pm \sqrt{13}

Vậy với m=2\pm\sqrt{13} thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét phương trình (1) có:

\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \Delta'>0

\Leftrightarrow -m^2+4m+9>0 

\Leftrightarrow 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}

Vậy với 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13} thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

 

Trên đây VnDoc đã chia sẻ tới các bạn bài Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh nắm chắc Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Ngoài ra để có thể ôn tập hiệu quả nhất môn Toán 9 chuẩn bị thi vào lớp 10, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm tài liệu Các dạng Toán thi vào 10

hay tham khảo thêm các Bộ đề thi thử vào lớp 10 qua các năm được VnDoc tổng hợp, như:

-------------------

Ngoài Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 Toán 9, đề cương ôn tập môn Toán 9 học kì 2,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
169 387.683
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm