Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

Cách tính delta, delta phẩy trong phương trình bậc 2 là một kiến thức quan trọng được học trong chương trình môn Toán lớp 9 và cũng là phần nội dung không thể thiếu trong các bài thi, bài kiểm tra Toán 9. Đây cũng là nền tảng cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao của Toán lớp 9. Tài liệu sau đây sẽ trình bày đến các bạn chi tiết công thức tính delta, delta phẩy ứng dụng giải phương trình bậc 2 và các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức ngiệm thu gọn. Mời các bạn tham khảo.

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax2 + bx + c = 0

Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính: = b2 – 4ac

Nếu > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b\ +\sqrt{\triangle}}{2a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle}}{2a}

Nếu = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép:

x_1=x_2=\frac{-b}{2a}

Nếu < 0 thì phương trìnhax2 + bx + c = 0  vô nghiệm:

+ Tính : ’ = b’2 - ac trong đó b'=\frac{b}{2} ( được gọi là công thức nghiệm thu gọn)

Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b'\ +\sqrt{\triangle'}}{a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle'}}{a}

Nếu ' = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép:

x_1=x_2=\frac{-b'}{a}

Nếu ' < 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm.

3. Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

⇔ a(x2 + \frac{b}{a}x) + c = 0 (rút hệ số a làm nhân tử chung)

⇔ a[x2 +2.\frac{b}{{2a}}.x + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} - {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}]+ c = 0 (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức)

⇔\ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ -\frac{b^2}{4a}+c=0 (biến đổi hằng đẳng thức)

\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2}{4a}-c (chuyển vế)

\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2-4ac}{4a} (quy đồng mẫu thức)

\Leftrightarrow 4a^2.\left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = b^2-4ac (1) (nhân chéo do a ≠ 0)

Vế phải của phương trình (1) chính là \triangle mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Vì 4a> 0 với mọi a ≠ 0 và  \left ( x+\frac{b}{2a}\right ) ^2 \ge 0 nên vế trái luôn dương. Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b2 – 4ac.

Biện luận nghiệm của biểu thức 

+ Với b2 – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương trình (1)  nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với b2 – 4ac = 0, phương trình trên trở thành:

4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}

Phương trình đã cho có nghiệm kép x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.

+ Với b2 – 4ac > 0, phương trình trên trở thành:

4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right ) ^2= b^2-4ac

\Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \\
2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) =  - \sqrt {{b^2} - 4ac} 
\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\
x + \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\
x = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}
\end{array} \right.

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

x_1 = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}x_2 = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng b2 – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt = b2 – 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

4. Một số ví dụ giải phương trình bậc hai

Giải các phương trình sau:

a)\ 2{x^2} - 4 = 0

+ Nhận xét: a = 2,b = 0,c =  - 4

+ Ta có: \Delta  = {b^2} - 4ac = 0 - 4.2.( - 4) = 32 > 0

+ Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \sqrt 2 ;{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \sqrt 2

b)\ {x^2} + 4x = 0

+ Nhận xét: a = 1,b = 4,c = 0

+ Ta có: \Delta  = {b^2} - 4ac = 16 - 4.1.0 = 16 > 0

+ Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = 0;{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} =  - 4

c)\ {x^2} - 5x + 4 = 0

+ Nhận xét: a = 1,b =  - 5,c = 4

+ Ta có: \Delta  = {b^2} - 4ac = 25 - 4.1.4 = 9 > 0

+ Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = 4;{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = 1

4. Các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Bài 1: Giải các phương trình dưới đây:

a, x2 - 5x + 4 = 0b, 6x2 + x + 5 = 0
c, 16x2 - 40x + 25 = 0d, x2 - 10x + 21 = 0
e, x2 - 2x - 8 = 0f, 4x2 - 5x + 1 = 0
g, x2 + 3x + 16 = 0h, 2x2 + 2x + 1 = 0

Nhận xét: đây là dạng toán điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương trình bậc hai, sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x2 - 5x + 4 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-5)2 - 4.1.4 = 25 - 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4}

b, 6x2 + x + 5 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có:  ∆ = b2 – 4ac = 12 - 4.6.5 = 1 - 120 = - 119 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c, 16x2 - 40x + 25 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép)

Ta có: ∆' = b'2 – ac = (-20)2 - 16.25 = 400 - 400 = 0

Phương trình đã cho có nghiệm kép: x_1=x_2=\frac{-b'}{a}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=\left \{ \frac{5}{4} \right \}

d, x2 - 10x + 21 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆' = b'2 – ac = (-5)2 - 1.21 = 25 - 21 = 4 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5+2}{1}=-3x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5-2}{1}=-7

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-7; -3}

e, x2 - 2x - 8 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆' = b'2 – ac = (-1)2 - 1.(-8) = 1 + 8 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a} =\frac{1+3}{1}=4x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{1-3}{1}=-2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}

f, 4x2 - 5x + 1 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có:  ∆ = b2 – 4ac = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x_1=1x_2=\frac{1}{4}

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=\left \{ \frac{1}{4};1 \right \}

g,  x2 + 3x + 16 = 0

(Học sinh tính được và nhận thấy < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 - 4.1.16 = 9 - 64 = -55 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

h, 2x^2+2x+1=0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' < 0 nên phương trình đã cho có vô nghiệm)

Ta có: \Delta  = {b'^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = 1 - 8 =  - 7 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Cho phương trình x^2-6x+m^2-4m=0(1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về cách tính công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

1^2-6.1+m^2-4m=0 \Leftrightarrow m^2-4m-5=0 (2)

Xét phương trình (2)

\Delta'=b'^2-ac=(-2)^2-1.(-5)=9>0

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt m_1=5m_2=-1

Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét  phương trình (1) có:

\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi \Delta'=0

\Leftrightarrow -m^2+4m+9=0 (2)

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có m=2\pm \sqrt{13}

Vậy với m=2\pm\sqrt{13} thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét  phương trình (1) có:

\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \Delta'>0

\Leftrightarrow -m^2+4m+9>0

\Leftrightarrow 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}

Vậy với 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13} thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0;

b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0;

Lời giải:

a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0

Ta có: a = 4,\ b' = 2,\ c = 1

Suy ra \Delta' = {2^2} - 4.1 = 0

Do đó phương trình có nghiệm kép:

{x_1} = {x_2} = \dfrac{ - 2}{4} = - \dfrac{1 }{ 2}.

b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0

Ta có: a = 13852,\ b' = - 7,\ c = 1

Suy ra \Delta' = {( - 7)^2} - 13852.1 = - 13803 < 0

Do đó phương trình vô nghiệm.

5. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 5: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2 < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.

Bài 7: Cho f(x) = x² – 2(m +2)x+ 6m +1

Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.

Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

Bài 8: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx +c thỏa mãn điều kiện Ι f(x)Ι =< 1 với mọi x ∈ { -1; 1 }. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a² + 3b².

Bài 9: Cho phương trình (x²)² – 13 x² + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:

a. Có bốn nghiệm phân biệt.

b. Có ba nghiệm phân biệt.

c. Có hai nghiệm phân biệt.

d. Có một nghiệm

e. Vô nghiệm.

--------------------

VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời thầy cô và các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Trên đây là những nội dung cơ bản và quan trọng về Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Các em học sinh cần nắm chắc kiến thức cơ bản cũng như luyện tập những dạng bài tập liên quan mà VnDoc đã cung cấp ở trên để có thể nắm vững Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Đây không chỉ là phần nội dung thường xuất hiện trong các bài kiểm tra Toán 9 mà cũng là phần nội dung không thể thiếu trong chương trình luyện thi vào lớp 10, chính vì thế các em cần ôn tập kỹ phần này nhé.

Ngoài Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2, mời các bạn tham khảo thêm Toán lớp 9, Văn 9, Hóa 9, Tiếng Anh 9...đều có trong Tài liệu học tập lớp 9.

Dưới đây là Các dạng Toán thi vào 10  các em tham khảo nhé:

Bộ đề thi thử vào lớp 10 qua các năm được VnDoc tổng hợp, như:

Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của VnDoc
Hỏi - ĐápTruy cập ngay: Hỏi - Đáp học tập
Đánh giá bài viết
271 1.259.399
Sắp xếp theo
    Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm