VnDoc.com

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

1. Định nghĩa về Delta trong toán học
2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
4. Tại sao phải tìm ∆?
5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2
6. Các dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy
7. Bài tập tự luyện

Cách tính delta, delta phẩy trong phương trình bậc 2 là một kiến thức quan trọng được học trong chương trình môn Toán lớp 9 và cũng là phần nội dung không thể thiếu trong các bài thi, bài kiểm tra Toán 9. Đây cũng là nền tảng cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao của Toán lớp 9. Tài liệu sau đây sẽ trình bày đến các bạn chi tiết công thức tính delta, delta phẩy ứng dụng giải phương trình bậc 2 và các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức ngiệm thu gọn. Mời các bạn tham khảo.

1. Định nghĩa về Delta trong toán học

– Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp, được kí hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường).

– Trong toán học, đặc biệt là Toán 9, ký hiệu Δ chỉ một biệt thức trong phương trình bậc hai mà dựa vào từng giá trị của delta ta có thể kết luận được số nghiệm của phương trình bậc hai.

Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm kép.
Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.

– Ngoài ra delta còn dùng để kí hiệu cho đường thẳng mà các bạn sẽ được học ở các lớp cao hơn.

Tóm lại, "Delta" trong toán học có thể đề cập đến ký hiệu chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp hoặc có ý nghĩa đặc biệt trong việc giải phương trình bậc hai và đại diện cho đường thẳng trong các lớp toán cao hơn.

2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax² + bx + c = 0

Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính: ∆ = b² – 4ac (được gọi là biệt thức đelta)

Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\ +\sqrt{\triangle}}{2a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle}}{2a}$ $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{△}}{2 a}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{△}}{2 a}$

Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$

Nếu ∆ < 0 thì phương trìnhax² + bx + c = 0 vô nghiệm.

+ Tính : ∆’ = b’² – ac trong đó $b^{'} = \frac{b}{2}$ (được gọi là biệt thức đelta phẩy)

Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b$ $x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{△^{'}}}{a}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{△^{'}}}{a}$

Nếu ∆' = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a}$

Nếu ∆' < 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm.

4. Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

⇔ $a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0$ $a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = 0$ (rút hệ số a làm nhân tử chung)

⇔ $a\left[x^2+2.\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c=0$ $a [x^{2} + 2. \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}] + c = 0$ (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức)

$⇔\ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ -\frac{b^2}{4a}+c=0$ $\Leftrightarrow a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c = 0$ (biến đổi hằng đẳng thức)

$\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2}{4a}-c$ $\Leftrightarrow a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a} - c$ (chuyển vế)

$\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2-4ac}{4a}$ $\Leftrightarrow a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ (quy đồng mẫu thức)

$\Leftrightarrow 4a^2.\left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = b^2-4ac$ $\Leftrightarrow 4 a^{2} . {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = b^{2} - 4 a c$ (1) (nhân chéo do a ≠ 0)

Vế phải của phương trình (1) chính là $\triangle$ $△$ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Vì 4a²> 0 với mọi a ≠ 0 và $\left ( x+\frac{b}{2a}\right ) ^2 \ge 0$ ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} \geq 0$ nên vế trái luôn dương. Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b² – 4ac.

Biện luận nghiệm của biểu thức

• Với b² – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

• Với b² – 4ac = 0, phương trình trên trở thành:

$4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}$ $4 a^{2} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{2 a}$

Phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ .

• Với b² – 4ac > 0, phương trình trên trở thành:

$4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right ) ^2= b^2-4ac$ $4 a^{2} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = b^{2} - 4 a c$

$\Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \\ 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = - \sqrt {{b^2} - 4ac} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {[2 a (x + \frac{b}{2 a})]}^{2} = b^{2} - 4 a c \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 a (x + \frac{b}{2 a}) = \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ 2 a (x + \frac{b}{2 a}) = - \sqrt{b^{2} - 4 a c} \end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x + \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x + \frac{b}{2 a} = - \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$x_1 = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ và $x_2 = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng b² – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b² – 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Trường hợp nghiệm	Công thức nghiệm: ∆ = b² – 4ac	Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số $b$ chẵn) ∆ = b'² – ac với $b^{'} = \frac{b}{2}$
Phương trình vô nghiệm	∆ < 0	∆' < 0
Phương trình có nghiệm kép	∆ = 0. Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$	∆' = 0. Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a}$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt	∆ > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$	∆' > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b$ $x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a}$ $x_2=\frac{{ - b$ $x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a}$

6. Các dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy

6.1. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1: Giải các phương trình dưới đây:

a, x² – 5x + 4 = 0

b, 6x² + x + 5 = 0

c, 16x² – 40x + 25 = 0

d, x² – 10x + 21 = 0

e, x² – 2x – 8 = 0

f, 4x² – 5x + 1 = 0

g, x² + 3x + 16 = 0

h, 2x² + 2x + 1 = 0

Nhận xét: đây là dạng toán điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương trình bậc hai, sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết:

a, x² – 5x + 4 = 0

Ta có: ∆ = b² – 4ac

= (– 5)² – 4 . 1 . 4

= 25 – 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4$ $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1$ $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4}

b, 6x² + x + 5 = 0

Ta có: ∆ = b² – 4ac

= 1² – 4 . 6 . 5

= 1 – 120 = – 119 < 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c, 16x² – 40x + 25 = 0

Ta có: ∆' = b'² – ac

= (– 20)² – 16 . 25

= 400 – 400 = 0

Phương trình đã cho có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left \{ \frac{5}{4} \right \}$ $S = {\frac{5}{4}}$

d, x² – 10x + 21 = 0

Ta có: ∆' = b'² – ac

= (– 5)² – 1 . 21

= 25 – 21 = 4 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b$ $x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a} = \frac{- 5 + 2}{1} = - 3$ và $x_2=\frac{-b$ $x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a} = \frac{- 5 - 2}{1} = - 7$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {– 7; – 3}

e, x² – 2x – 8 = 0

Ta có: ∆' = b'² – ac

= (– 1)² – 1 . (– 8)

= 1 + 8 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b$ $x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a} = \frac{1 + 3}{1} = 4$ và $x_2=\frac{-b$ $x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a} = \frac{1 - 3}{1} = - 2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {– 2; 4}

f, 4x² – 5x + 1 = 0

Ta có: ∆ = b² – 4ac

= (– 5)² – 4 . 4 . 1

= 25 – 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 và $x_2=\frac{1}{4}$ $x_{2} = \frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left \{ \frac{1}{4};1 \right \}$ $S = {\frac{1}{4}; 1}$

g, x² + 3x + 16 = 0

Ta có: ∆ = b² – 4ac

= 3² – 4 . 1 . 16

= 9 – 64 = – 55 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

h, 2x² + 2x + 1 = 0

Ta có: ∆' = b'² – ac

= 1² –2 . 1

= – 1 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Cho phương trình x² – 6x + m² – 4m = 0 (1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về cách tính công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

1² – 6. 1 + m² – 4m = 0

⇔ m² – 4m – 5 = 0 (2)

Xét phương trình (2)

Có $\Delta$ $Δ^{'} = b^{' 2} - a c = (- 2)^{2} - 1. (- 5) = 9 > 0$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt m₁ = 5 và m₂ = – 1

Vậy với m = 5 hoặc m = – 1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét phương trình (1) có:

$\Delta$ $Δ^{'} = b^{' 2} - a c = (- 3)^{2} - 1. (m^{2} - 4 m) = - m^{2} + 4 m + 9$

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi $\Delta$ $Δ^{'} = 0$

$\Leftrightarrow -m^2+4m+9=0$ $\Leftrightarrow - m^{2} + 4 m + 9 = 0$ (2)

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có $m=2\pm \sqrt{13}$ $m = 2 \pm \sqrt{13}$

Vậy với $m=2\pm\sqrt{13}$ $m = 2 \pm \sqrt{13}$ thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét phương trình (1) có:

$\Delta$ $Δ^{'} = b^{' 2} - a c = (- 3)^{2} - 1. (m^{2} - 4 m) = - m^{2} + 4 m + 9$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta$ $Δ^{'} > 0$

$\Leftrightarrow -m^2+4m+9>0$ $\Leftrightarrow - m^{2} + 4 m + 9 > 0$

$\Leftrightarrow 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}$ $\Leftrightarrow 2 - \sqrt{13} < m < 2 + \sqrt{13}$

Vậy với $2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}$ $2 - \sqrt{13} < m < 2 + \sqrt{13}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) 4x² + 4x + 1 = 0

b) 13852x² – 14x + 1 = 0

Lời giải chi tiết:

a) 4x² + 4x + 1 = 0

Ta có: a = 4, b' = 2, c = 1

Suy ra $\Delta$ $Δ^{'} = 2^{2} - 4.1 = 0$

Do đó phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \dfrac{ - 2}{4} = - \dfrac{1 }{ 2}.$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} .$

b) 13852x² – 14x + 1 = 0

Ta có: a = 13852, b' = – 1, c = 1

Suy ra $\Delta$ $Δ^{'} = (- 7)^{2} - 13852.1 = - 13803 < 0$

Do đó phương trình vô nghiệm.

Dạng 2: Biện luận nghiệm phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp

Xét phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ $a x^{2} + b x + c = 0$

1. Phương trình có một nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ = 0 \end{matrix}$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ ${\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} = 0 \end{matrix}$

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ > 0 \end{matrix}$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ ${\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} > 0 \end{matrix}$

3. Phương trình có một nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 0 \\ b \neq 0 \end{matrix}$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ = 0 \end{matrix}$

4. Phương trình vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 0; b = 0; c \neq 0 \\ a \neq 0; Δ < 0 \end{matrix}$ hoặc $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 0; b^{'} = 0; c \neq 0 \\ a \neq 0; Δ^{'} < 0 \end{matrix}$

Ví dụ: Cho phương trình $mx^{2} + 2(m + 1)x + m - 2 = 0$ $m x^{2} + 2 (m + 1) x + m - 2 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ 4 m + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ m = - \frac{1}{4} \end{matrix} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ 4 m + 1 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ m > - \frac{1}{4} \end{matrix}$

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} {\begin{matrix} a = 0 \\ b^{'} \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m = 0 \\ m + 1 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 0 \\ {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ 4 m + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4} \end{matrix}$

d) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 0; b^{'} = 0; c \neq 0 \\ a \neq 0; Δ^{'} < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0; m + 1 = 0; m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0, 4 m + 1 < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0; m = - 1; m \neq 2 \\ m \neq 0, m < \frac{1}{4} \end{matrix} \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$

e) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = b^{'} = c = 0 \\ a = 0; b^{'} \neq 0 \\ a \neq 0; Δ^{'} \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = m + 1 = m + 2 = 0 \\ m = 0; m + 1 \neq 0 \\ m \neq 0; 4 m + 1 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}$

Ví dụ: Cho phương trình $mx^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0$ $m x^{2} - 2 (m - 1) x + m + 1 = 0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a = m;b = - (m - 1);c = m + 1 \\ \Delta$ ${\begin{matrix} a = m; b = - (m - 1); c = m + 1 \\ Δ^{'} = (m - 1)^{2} - m (m + 1) = - 3 m + 1 \end{matrix}$

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ - 3 m + 1 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ m < \frac{1}{3} \end{matrix}$

Vậy $m \neq 0;m < \frac{1}{3}$ $m \neq 0; m < \frac{1}{3}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ - 3 m + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ m = \frac{1}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$

Vậy $m = \frac{1}{3}$ $m = \frac{1}{3}$ thì phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Với $m = 0$ ta có phương trình $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ $2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Với $m \neq 0$ $m \neq 0$ phương trình vô nghiệm nếu $- 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$ $- 3 m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

Vậy $m > \frac{1}{3}$ $m > \frac{1}{3}$ thì phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:

x² - 2x + m = 0

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.1.m = 4 - 4m$ $Δ = {(- 2)}^{2} - 4.1 . m = 4 - 4 m$

+ Với $\Delta < 0 \Leftrightarrow 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m < 1$ $Δ < 0 \Leftrightarrow 4 - 4 m < 0 \Leftrightarrow m < 1$ , phương trình vô nghiệm.

+ Với $\Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1$ $Δ = 0 \Leftrightarrow 4 - 4 m = 0 \Leftrightarrow m = 1$ , phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{2}{2} = 1$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} = \frac{2}{2} = 1$

+ Với $\Delta > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow m > 1$ $Δ > 0 \Leftrightarrow 4 - 4 m > 0 \Leftrightarrow m > 1$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{2 + \sqrt {4 - 4m} }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 4m} }}{2}$ $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{2 + \sqrt{4 - 4 m}}{2}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{2 - \sqrt{4 - 4 m}}{2}$

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình $2{x^2} - 4x + m = 0$ $2 x^{2} - 4 x + m = 0$

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $2{x^2} - 4x + m = 0$ $2 x^{2} - 4 x + m = 0$ với các hệ số a = 2, b = – 4, c = m

Ta có ${\Delta ^\prime } = {2^2} - 2m = 4 - 2m$ $Δ^{'} = 2^{2} - 2 m = 4 - 2 m$

a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ${\Delta ^\prime }>0$ $Δ^{'} > 0$

Suy ra 4 – 2 m > 0 hay m < 2

b) Để phương trình có nghiệm kép thì ${\Delta ^\prime }=0$ $Δ^{'} = 0$

Suy ra 4 – 2m = 0 hay m = 2

c) Để phương trình vô nghiệm thì ${\Delta ^\prime }<0$ $Δ^{'} < 0$

Suy ra 4 – 2 m < 0 hay m > 2

d) Để phương trình có nghiệm thì ${\Delta ^\prime }\ge0$ $Δ^{'} \geq 0$

Suy ra 4 – 2m ≥ 0 hay m ≤ 2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx² + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0

a) Có nghiệm

b) Có 2 nghiệm phân biệt

c) Có nghiệm kép

d) Vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình mx² + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0 với các hệ số a = m, b' = 3(m – 2), c = 4m – 7

Ta có: ${\Delta ^\prime } = {\left[ {3\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - m.\left( {4m - 7} \right) = 9{m^2} - 36m + 36 - 4{m^2} + 7m$ $Δ^{'} = {[3 (m - 2)]}^{2} - m . (4 m - 7) = 9 m^{2} - 36 m + 36 - 4 m^{2} + 7 m$

= 5m² – 29m + 36

a) Để phương trình có nghiệm thì:

Xét m = 0. Phương trình trở thành:

0x² + 6(0 – 2)x + 4 . 0 – 7 = 0

– 12x – 7 = 0

⇒ $x = \frac{{ - 7}}{{12}}$ $x = \frac{- 7}{12}$

Xét m ≠ 0: ${\Delta ^\prime } \ge 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{9}{5}}\\{m \ge 4}\end{array}} \right.$ $Δ^{'} \geq 0 \Leftrightarrow 5 m^{2} - 29 m + 36 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m \leq \frac{9}{5} \\ m \geq 4 \end{matrix}$

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Delta ^\prime } > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \frac{9}{5}}\\ {m > 4} \end{array}} \right.}\\ {m \ne 0} \end{array}} \right.$ ${\begin{matrix} Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 5 m^{2} - 29 m + 36 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < \frac{9}{5} \\ m > 4 \end{matrix} \\ m \neq 0 \end{matrix}$

c) Để phương trình có nghiệm kép thì ${\Delta ^\prime } = 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \dfrac{9}{5}}\\{m = 4}\end{array}} \right.$ $Δ^{'} = 0 \Leftrightarrow 5 m^{2} - 29 m + 36 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = \frac{9}{5} \\ m = 4 \end{matrix}$

d) Để phương trình vô nghiệm thì ${\Delta ^\prime } < 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \frac{9}{5} < m < 4$ $Δ^{'} < 0 \Leftrightarrow 5 m^{2} - 29 m + 36 \Leftrightarrow \frac{9}{5} < m < 4$ .

Dạng 3: Một số bài toán liên quan đến tính số nghiệm của phương trình bậc hai

Bài toán 1: Chứng minh ít nhất một trong các phương trình bậc hai có nghiệm

Phương pháp

Bước 1: Tính các biệt thức $\Delta;\Delta$ $Δ; Δ^{'}$ .

Bước 2: Chứng minh tồn tại một $\Delta > 0;(\Delta$ $Δ > 0; (Δ^{'} \geq 0)$ và kết luận.

Ví dụ: Cho hai phương trình $x^{2} - 2ax - 2b - 1 = 0$ $x^{2} - 2 a x - 2 b - 1 = 0$ và $x^{2} - 2bx + 4a - 6 = 0$ $x^{2} - 2 b x + 4 a - 6 = 0$ . Chứng minh rằng trong hai phương trình có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét biệt thức $\Delta$ $Δ^{'}$ của hai phương trình $\left\{ \begin{matrix} \Delta$ ${\begin{matrix} Δ_{1}^{'} = a^{2} + 2 b + 1 \\ Δ_{2}^{'} = b^{2} - 4 a + 6 \end{matrix}$

Ta có:

$\Delta$ $Δ_{1}^{'} + Δ_{2}^{'} = a^{2} + 2 b + 1 + b^{2} - 4 a + 6$

$= \left( a^{2} - 4a + 4 \right) + \left( b^{2} + 2b + 1 \right) + 2$ $= (a^{2} - 4 a + 4) + (b^{2} + 2 b + 1) + 2$

$= (a - 2)^{2} + (b + 1)^{2} + 2$ $= (a - 2)^{2} + (b + 1)^{2} + 2$

$\Rightarrow \Delta$ $\Rightarrow Δ_{1}^{'} + Δ_{2}^{'} > 0$ với mọi $a; b$

Do đó tồn tại ít nhất một $\Delta$ $Δ_{i}^{'} \geq 0; (i = 1; 2)$

Vậy tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài toán 2: Chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm chung.

Phương pháp

Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ $a x^{2} + b x + c = 0$ và $a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'} = 0$ có nghiệm chung, ta làm như sau:

Bước 1: Gọi $x_{0}$ $x_{0}$ là nghiệm chung của hai phương trình. Từ đó thay $x_{0}$ $x_{0}$ vào hai phương trình để tìm được điều kiện của tham số.

Bước 2: Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem hai phương trình có nghiệm chung hay không và kết luận.

Ví dụ: Cho hai phương trình $x^{2} + ax + b = 0$ $x^{2} + a x + b = 0$ và $x^{2} + cx + d = 0$ $x^{2} + c x + d = 0$ . Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì $(b - d)^{2} + (a - c)(ad - bc) = 0$ $(b - d)^{2} + (a - c) (a d - b c) = 0$ .

Hướng dẫn giải

Giả sử $x_{0}$ $x_{0}$ là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có hệ sau: $\left\{ \begin{matrix} {x_{0}}^{2} + ax_{0} + b = 0\ \ (1) \\ {x_{0}}^{2} + cx_{0} + d = 0\ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} {x_{0}}^{2} + a x_{0} + b = 0 (1) \\ {x_{0}}^{2} + c x_{0} + d = 0 (2) \end{matrix}$

Lấy (1) – (2) ta được

$x_{0}(a - c) = - (b - d) \Leftrightarrow {x_{0}}^{2}(a - c)^{2} = (b - d)(*)$ $x_{0} (a - c) = - (b - d) \Leftrightarrow {x_{0}}^{2} (a - c)^{2} = (b - d) (*)$

Lấy $(1)$ nhân với $(c)$ , lấy $(2)$ nhân với $a$ ta có: $\left\{ \begin{matrix} c{x_{0}}^{2} + acx_{0} + bc = 0\ \ (3) \\ a{x_{0}}^{2} + cax_{0} + da = 0\ \ (4) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} c {x_{0}}^{2} + a c x_{0} + b c = 0 (3) \\ a {x_{0}}^{2} + c a x_{0} + d a = 0 (4) \end{matrix}$

Lấy (4) – (3) ta được

$(a - c){x_{0}}^{2} + ad - bc = 0$ $(a - c) {x_{0}}^{2} + a d - b c = 0$

$\Leftrightarrow (a - c){x_{0}}^{2} = - (ad - bc)$ $\Leftrightarrow (a - c) {x_{0}}^{2} = - (a d - b c)$

$\Leftrightarrow (a - c)^{2}{x_{0}}^{2} = - (a - c)(ad - bc)(**)$ $\Leftrightarrow (a - c)^{2} {x_{0}}^{2} = - (a - c) (a d - b c) (* *)$

Từ (*) và (**) suy ra

$(b - d)^{2} = - (a - c)(ad - bc)$ $(b - d)^{2} = - (a - c) (a d - b c)$

$\Leftrightarrow (b - d)^{2} + (a - c)(ad - bc) = 0(dpcm)$ $\Leftrightarrow (b - d)^{2} + (a - c) (a d - b c) = 0 (d p c m)$

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m² + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x₁, x₂ hãy tính theo m

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a + 1)x² – 2 (a + b)x + (b – 1) = 0

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x + 5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 5: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ – x₂ = 4.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x₁, x₂ thỏa mãn – 1 < x₁ < x₂ < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, hãy lập một hệ thức giữa x₁, x₂ không có m.

Bài 7: Cho f(x) = x² – 2(m + 2)x+ 6m +1

Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.

Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

Bài 8: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx +c thỏa mãn điều kiện|f(x)| ≤ 1 với mọi x ∈ { – 1; 1}. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a² + 3b².

Bài 9: Cho phương trình (x²)² – 13x² + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:

a. Có bốn nghiệm phân biệt.

b. Có ba nghiệm phân biệt.

c. Có hai nghiệm phân biệt.

d. Có một nghiệm

e. Vô nghiệm.

--------------------

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm các Đề thi học kì 1 lớp 9 và Đề thi học kì 2 lớp 9 được cập trên trên VnDoc để có sự chuẩn bị cho kì thi quan trọng sắp tới.

Để biết thêm các thông tin về kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023, mời các bạn vào chuyên mục Thi vào lớp 10 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp các thông tin quan trọng về kỳ thi vào lớp 10 như điểm thi, đề thi....

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

343

1.702.773

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Công Tử

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

147 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
149,2 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!