VnDoc.com

Tìm m để phương trình vô nghiệm

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm tham số m để phương trình vô nghiệm

I. Khi nào phương trình vô nghiệm?
II. Bài tập tìm m để phương trình vô nghiệm
III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình vô nghiệm

Trong quá trình ôn luyện Toán lớp 9 để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, việc nắm vững các dạng toán liên quan đến điều kiện vô nghiệm của phương trình là vô cùng quan trọng. Một trong những bài toán thường gặp là "Tìm m để phương trình vô nghiệm" – dạng bài kiểm tra khả năng tư duy đại số, xử lý tham số và vận dụng điều kiện nghiệm một cách linh hoạt. Ở chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết cách giải, mẹo nhận biết nhanh và các ví dụ minh họa cụ thể để giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng làm bài thi hiệu quả.

I. Khi nào phương trình vô nghiệm?

Điều kiện để phương trình vô nghiệm

Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 vô nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b \ne 0 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b \ne 0 \end{array} \right.$.

Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta < 0 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b' = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' < 0 \\ \end{matrix} \right.$

II. Bài tập tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài 1: Tìm m để phương trình mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 vô nghiệm?

Gợi ý giải

Do hệ số ở biến x² có chứa tham số m, nên khi giải bài toán ta phải chia hai trường hợp là m = 0 và m ≠ 0.

Hướng dẫn giải

Bài toán được chia thành 2 trường hợp

TH1: m = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}$ $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}$(loại)

Với m = 0 thì phương trình mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 có nghiệm $x = \frac{{ - 1}}{2}$ $x = \frac{{ - 1}}{2}$

TH2: m ≠ 0

Phương trình trở thành phương trình bậc hai một ẩn:

mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0

Để phương trình vô nghiệm thì ∆' < 0

⇔ (m - 1)² - m(m - 1) < 0

⇔ m²-2m + 1 - m² - m < 0

⇔ -3m < -1 $\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}$ $\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}$

Vậy với $m > \frac{1}{3}$ $m > \frac{1}{3}$ thì phương trình mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 vô nghiệm.

Bài 2. Cho phương trình mx² + 2(m + 1) + m - 2 = 0 với m là tham số. Tìm giá trị tham số m để phương trình vô nghiệm?

Hướng dẫn giải

Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b' = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$

Vậy để phương trình đã cho vô nghiệm thì $m <1/4$.

Bài 3. Cho phương trình mx² - 3x + 1 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt.	b) Có nghiệm kép.
c) Vô nghiệm.	d) Có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = 9 - 4m$ $\Delta = 9 - 4m$

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 9 - 4m > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m < \dfrac{9}{4} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 9 - 4m > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m < \dfrac{9}{4} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $m \neq 0;m < \frac{9}{4}$ $m \neq 0;m < \frac{9}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 9 - 4m = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 9 - 4m = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m = \dfrac{9}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{4}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m = \dfrac{9}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{4}$

Vậy $m = \frac{9}{4}$ $m = \frac{9}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép.

c) Xét a = 0 ⇔ m = 0 phương trình đã cho trở thành $- 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ $- 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$

Vậy phương trình có một nghiệm.

Xét a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 phương trình vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 9 - 4m < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 9 - 4m < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m > \cfrac{9}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{4}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m > \cfrac{9}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{4}$

Vậy $m > \frac{9}{4}$ $m > \frac{9}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.

d) Xét a = 0 ⇔ m = 0 theo câu c ta có phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{3}(*)$ $x = \frac{1}{3}(*)$

Xét a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow 9 - 4m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{9}{4}(**)$ $\Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow 9 - 4m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{9}{4}(**)$

Từ (*) và (**) ta có: $m \leq \frac{9}{4}$ $m \leq \frac{9}{4}$ thì phương trình có nghiệm.

Bài 4. Cho phương trình x⁴ - mx² + 4 = 0, với m là tham số. Tìm điều kiện của tham số m để:

a) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: x⁴ - mx² + 4 = 0 (*)

Đặt $t = x^{2};(t \geq 0)$ $t = x^{2};(t \geq 0)$ ta có phương trình t² - mt + 4 = 0 (2)

$\Delta = m^{2} - 16$ $\Delta = m^{2} - 16$

a) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 16 > 0 \\ m > 0 \\ 4 > 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 16 > 0 \\ m > 0 \\ 4 > 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m > 4 \\ m < - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \\ m > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 4$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m > 4 \\ m < - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \\ m > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 4$

b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 4 < 0$ $\Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 4 < 0$ (vô lí)

Vậy không có giá trị nào của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình (*) vô nghiệm khi (2) vô nghiệm hoặc (2) có hai nghiệm âm.

(2) vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 16 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4$ $\Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 16 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4$

(2) có hai nghiệm âm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta \geq 0 \\S < 0 \\P > 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m^{2} - 16 \geq 0 \\m < 0 \\4 > 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta \geq 0 \\S < 0 \\P > 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m^{2} - 16 \geq 0 \\m < 0 \\4 > 0 \\\end{matrix} \right.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}m \geq 4 \\m \leq - 4 \\\end{matrix} \right.\ \\m < 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \leq - 4$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}m \geq 4 \\m \leq - 4 \\\end{matrix} \right.\ \\m < 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \leq - 4$

Suy ra m < 4 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 5: Tìm m để phương trình 5x² - 2x + m = 0 vô nghiệm?

Gợi ý giải

Do hệ số ở biến x² là một số khác 0 nên phương trình là phương trình bậc hai một ẩn. Ta sẽ áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm vào giải bài toán.

Hướng dẫn giải

Để phương trình 5x² - 2x + m = 0 vô nghiệm thì ∆' < 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 - 5m < 0\\ \Leftrightarrow m > \frac{4}{5} \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 - 5m < 0\\ \Leftrightarrow m > \frac{4}{5} \end{array}$

Vậy với $m > \frac{4}{5}$ $m > \frac{4}{5}$ thì phương trình 5x² - 2x + m = 0 vô nghiệm

Bài 6: Tìm m để phương trình 3x² + mx + m² = 0 vô nghiệm?

Gợi ý giải

Do hệ số ở biến x² là một số khác 0 nên phương trình là phương trình bậc hai một ẩn. Ta sẽ áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm vào giải bài toán.

Hướng dẫn giải

Để phương trình 3x² + mx + m² = 0 vô nghiệm thì ∆ < 0

⇔ m² - 4.3.m²< 0

⇔ -11m² < 0; ∀m ≠ 0

Vậy với mọi m ≠ 0 thì phương trình 3x² + mx + m² = 0 vô nghiệm

Bài 7. Tìm m để phương trình m²x² - 2m²x + 4m² + 6m + 3 = 0 vô nghiệm.

Gới ý giải

Do hệ số ở biến x2 có chứa tham số m, nên khi giải bài toán ta phải chia hai trường hợp là m = 0 và m ≠ 0.

Hướng dẫn giải

TH1: m = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn 0x = -3 (phương trình vô nghiệm)

Với m = 0 thì phương trình vô nghiệm

TH2: m ≠ 0

Để phương trình m²x² - 2m²x + 4m² + 6m + 3 = 0 vô nghiệm thì ∆' < 0

$\Leftrightarrow {\left( { - {m^2}} \right)^2} - {m^2}\left( {4{m^2} + 6m + 3} \right) < 0$ $\Leftrightarrow {\left( { - {m^2}} \right)^2} - {m^2}\left( {4{m^2} + 6m + 3} \right) < 0$

$\Leftrightarrow - 3{m^4} - 6{m^3} - 3{m^2} < 0$ $\Leftrightarrow - 3{m^4} - 6{m^3} - 3{m^2} < 0$

$\Leftrightarrow - 3{m^2}.\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) < 0$ $\Leftrightarrow - 3{m^2}.\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) < 0$

$\Leftrightarrow - 3{m^2}.{\left( {m + 1} \right)^2} < 0\forall m \ne - 1$ $\Leftrightarrow - 3{m^2}.{\left( {m + 1} \right)^2} < 0\forall m \ne - 1$

Vậy với mọi m ≠ - 1 thì phương trình m²x² - 2m²x + 4m² + 6m + 3 = 0 vô nghiệm

Bài 8. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm (m - 2)x² + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình: (m - 2)x² + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 (1)

- Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (1) trở thành:

2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (1) có một nghiệm

Do đó m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

- Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

Δ' = (2m - 3)² - (m - 2)(5m - 6)

= 4m² - 12m + 9 - 5m 2 + 6m + 10m - 12

= -m² + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)

(1) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài 1. Tìm m để phương trình x⁴ + (1 – 2m)x² + m² - 1 = 0 (1) vô nghiệm

A. không tồn tại m	B. m < -1 hoặc m > 5/4
C. m > -1 hoặc m < -3	D. m > 2 hoặc m < -1

Bài 2. Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây vô nghiệm

a, x² - (3m + 1)x - 2m + 1 = 0	h, x² + 2x + m - 2 = 0
b, 3x² - 2x + m = 0	i, 5x² + 18x + m = 0
c, 4x² + mx + m² = 0	k, 48x² + mx - 5 = 0
d, x² - (m + 5)x - m + 6 = 0	l, x² - 2x - m = 3
e, 2x² - 6x + 3m - 5 = 0	p, (m + 1)x² - (2m + 1)x + m - 2 = 0
f, mx² - 2(m + 1)x + m - 4 = 0	q, (m + 1)x² - (2m + 1)x + m - 2 = 0
g. (m – 1)x⁴ + 2(m – 3)x ² + m + 3 = 0

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Hy vọng qua bài viết "Tìm m để phương trình vô nghiệm", các bạn học sinh lớp 9 đã hiểu rõ bản chất của dạng toán này cũng như nắm được phương pháp giải một cách khoa học, dễ áp dụng. Để làm tốt các đề thi vào lớp 10, việc luyện tập thường xuyên và rèn luyện kỹ năng phân tích tham số là điều không thể thiếu. Đừng quên theo dõi thêm các bài viết khác trong chuyên mục Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10 để cập nhật kiến thức mới nhất, bám sát cấu trúc đề thi và tăng tốc ôn luyện hiệu quả. Nếu bạn thấy nội dung hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè cùng học và để lại bình luận nếu có thắc mắc cần giải đáp nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: