Tìm m để phương trình vô nghiệm

Tìm m để phương trình vô nghiệm lớp 9 cung cấp cho các em lý thuyết về điều kiện để phương trình vô nghiệm, một số dạng bài tập tìm m để phương trình vô nghiệm có đáp án đi kèm cho các em tham khảo và vận dụng giải bài tập liên quan hiệu quả.

I. Nhắc lại về điều kiện để phương trình vô nghiệm

1. Phương trình bậc nhất một ẩn

+ Phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 vô nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b \ne 0 \end{array} \right.\)

2. Phương trình bậc hai một ẩn

+ Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 vô nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right.\)

II. Bài tập tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài 1: Tìm m để phương trình mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 vô nghiệm

Hướng dẫn:

Do hệ số ở biến x² có chứa tham số m, nên khi giải bài toán ta phải chia hai trường hợp là m = 0 và m ≠ 0.

Lời giải:

Bài toán được chia thành 2 trường hợp

TH1: m = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\)(loại)

Với m = 0 thì phương trình mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 có nghiệm \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

TH2: m ≠ 0

Phương trình trở thành phương trình bậc hai một ẩn:

mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0

Để phương trình vô nghiệm thì ∆' < 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - m.\left( {m + 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - {m^2} - m < 0\\ \Leftrightarrow - 3m < - 1\\ \Leftrightarrow m > \frac{1}{3} \end{array}\)

Vậy với \(m > \frac{1}{3}\) thì phương trình mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 vô nghiệm

Bài 2: Tìm m để phương trình 5x² - 2x + m = 0 vô nghiệm

Hướng dẫn:

Do hệ số ở biến x² là một số khác 0 nên phương trình là phương trình bậc hai một ẩn. Ta sẽ áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm vào giải bài toán.

Lời giải:

Để phương trình 5x² - 2x + m = 0 vô nghiệm thì ∆' < 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 - 5m < 0\\ \Leftrightarrow m > \frac{4}{5} \end{array}\)

Vậy với \(m > \frac{4}{5}\) thì phương trình 5x² - 2x + m = 0 vô nghiệm

Bài 3: Tìm m để phương trình 3x² + mx + m² = 0 vô nghiệm

Hướng dẫn:

Do hệ số ở biến x² là một số khác 0 nên phương trình là phương trình bậc hai một ẩn. Ta sẽ áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm vào giải bài toán.

Lời giải:

Để phương trình 3x² + mx + m² = 0 vô nghiệm thì ∆ < 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 4.3.{m^2} < 0\\ \Leftrightarrow - 11{m^2} < 0\forall m \ne 0 \end{array}\)

Vậy với mọi m ≠ 0 thì phương trình 3x² + mx + m² = 0 vô nghiệm

Bài 4: Tìm m để phương trình m²x² - 2m²x + 4m² + 6m + 3 = 0 vô nghiệm

Hướng dẫn:

Do hệ số ở biến x2 có chứa tham số m, nên khi giải bài toán ta phải chia hai trường hợp là m = 0 và m ≠ 0.

Lời giải:

TH1: m = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn 0x = -3 (phương trình vô nghiệm)

Với m = 0 thì phương trình vô nghiệm

TH2: m ≠ 0

Để phương trình m²x² - 2m²x + 4m² + 6m + 3 = 0 vô nghiệm thì ∆' < 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - {m^2}} \right)^2} - {m^2}\left( {4{m^2} + 6m + 3} \right) < 0\\ \Leftrightarrow - 3{m^4} - 6{m^3} - 3{m^2} < 0\\ \Leftrightarrow - 3{m^2}.\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow - 3{m^2}.{\left( {m + 1} \right)^2} < 0\forall m \ne - 1 \end{array}\)

Vậy với mọi m ≠ - 1 thì phương trình m²x² - 2m²x + 4m² + 6m + 3 = 0 vô nghiệm

Bài 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm (m - 2)x² + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0

Hướng dẫn giải:

(m - 2)x² + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 (1)

- Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (1) trở thành:

2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (1) có một nghiệm

Do đó m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

- Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

Δ' = (2m - 3)² - (m - 2)(5m - 6)

= 4m² - 12m + 9 - 5m 2 + 6m + 10m - 12

= -m² + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)

(1) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài 1. Tìm m để phương trình x⁴ + (1 – 2m)x² + m² - 1 = 0 (1) vô nghiệm

A. không tồn tại m

B. m < -1 hoặc m > 5/4

C. m > -1 hoặc m < -3

D. m > 2 hoặc m < -1

Bài 2. Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây vô nghiệm

1, \({x^2} - \left( {3m + 1} \right)x - 2m + 1 = 0\)

2, \({x^2} + 2x + m - 2 = 0\)

3, \(3{x^2} - 2x + m = 0\)

4, \(5{x^2} + 18x + m = 0\)

5, \(4{x^2} + mx + {m^2} = 0\)

6, \(48{x^2} + mx - 5 = 0\)

7, \({x^2} - \left( {m + 5} \right)x - m + 6 = 0\)

8, \({x^2} - 2x - m = 3\)

9, \(2{x^2} - 6x + 3m - 5 = 0\)

10, \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m - 2 = 0\)

11, \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\)

12, \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m - 2 = 0\)

13. (m – 1)x ⁴ + 2(m – 3)x ² + m + 3 = 0