Sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức

Phương pháp Hoocne trong chia đa thức

Sử dụng lược đồ Horner để chia đa thức môn Toán lớp 8, 9 được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 8, 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là tài liệu nâng cao kiến thức về cách chia đa thức. Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức. Đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8 và các lớp sau.

Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, có những bài toán đa thức các bạn học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử. Bởi vậy, VnDoc giới thiệu tài liệu này để giúp các bạn học sinh tiếp cận được với phương pháp chia đa thức, phân tích đa thức nhân tử một cách tiết kiệm thời gian và chính xác. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và hiểu rõ hơn về Đa thức và cách chia đa thức cũng như ôn luyện thi học sinh giỏi.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Giới thiệu về lược đồ Hoocne

Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức. Đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8 và các lớp sau.

Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, có những bài toán đa thức các bạn học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử.

Bởi vậy, VnDoc giới thiệu tài liệu này để giúp các bạn học sinh tiếp cận được với phương pháp chia đa thức, phân tích đa thức nhân tử một cách tiết kiệm thời gian và chính xác.

2. Cách sử dụng lược đồ Hoocne

Sơ đồ Horner (Hoocne/ Hoắc - le/ Hắc - le) dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f\left( x \right) cho đa thức x - \alpha, khi đó ta thực hiện như sau:

Giả sử cho đa thức

f\left( x \right) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n}

Khi đó đa thức thương g\left( x \right) = {b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}} và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

Sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức

Ta được cách làm theo các bước như sau:

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức f\left( x \right) theo ẩn giảm dần và đặt số \alpha vào cột đầu tiên của hàng thứ 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào đó thì ta coi hệ số của nó bằng 0 và vẫn phải điền vào lược đồ.

Bước 2: Cột thứ 2 của hàng 2 ta hạ hệ số {a_0} ở hàng trên xuống. Đây chính là hệ số đầu tiên của g\left( x \right) tìm được, tức là {b_0}.

Bước 3: Lấy số \alpha nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1 (Ví dụ nếu ta muốn tìm hệ số {b_1} ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy \alpha nhân với hệ số {b_0} sau đó cộng với hệ số {a_1} ở hàng trên; tương tự như vậy nếu ta muốn tìm hệ số {b_2} ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy \alpha nhân với hệ số {b_1} sau đó cộng với hệ số {a_2} ở hàng trên,….)

Quy tắc nhớ: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO.

Bước 4: Cứ tiếp tục như vậy cho tới hệ số cuối cùng và kết quả ta sẽ có

f\left( x \right) = \left( {x - \alpha } \right).g\left( x \right) + r

hay

{a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n} = \left( {x - \alpha } \right)\left( {{b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}} \right) + r

* Chú ý:

+ Bậc của đa thức g\left( x \right) luôn nhỏ hơn bậc của đa thức f\left( x \right) 1 đơn vị vì đa thức chia x - \alpha có bậc là 1.

+ Nếu r = 0 thì đa thức f\left( x \right) chia hết cho đa thức g\left( x \right)x = \alpha sẽ là một nghiệm của đa thức f\left( x \right). Trong trường hợp này chính là phân tích đa thức thành nhân tử. Để tìm được \alpha, ta sẽ nhẩm một nghiệm nguyên của đa thức f\left( x \right), \alpha chính là nghiệm mà ta vừa nhẩm được.

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2 cho đa thức x + 3.

Lời giải:

Lưu ý rằng: nếu chia cho đa thức x + 3 thì \alpha = 3, còn nếu chia cho đa thức x + 3 thì \alpha = - 3.

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hoocne như sau:

Sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức

Đa thức g\left( x \right) tìm được ở đây chính là:

g\left( x \right) = 1.{x^3} + \left( { - 5} \right).{x^2} + 12.x + \left( { - 29} \right)r = 85

Vậy khi chia đa thức f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2 cho đa thức x + 3 ta được:

f\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^3} - 5{x^2} + 12x - 29} \right) + 85

* Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hoocne. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng sơ đồ:

+ Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.

+ Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình 2{x^3} - {x^2} - 5x - 2 = 0.

Lời giải:

Với phương trình này, khi ta bấm máy tính để tính nghệm sẽ được 3 nghiệm của phương trình này là x = - 1;x = 2;x = - \frac{1}{2}.

Tuy nhiên, trong trình bày bài toán ta không thể viết “Theo máy tính ta được nghiệm của phương trình là….” mà ta sẽ đi phân tích đa thức f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} - 5x - 2 thành nhân tử.

Việc sử dụng máy tính sẽ cho ta biết được ít nhất 1 nghiệm nguyên của phương trình, từ đó ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để biến đổi.

Phương trình trên có một nghiệm nguyên x = - 1 thì ta sẽ thực hiện phép chia đa thức f\left( x \right) cho đa thức x + 1.

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hoocne như sau:

Sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức

Vậy khi chia đa thức f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2 cho đa thức x + 3 ta được:

f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - 3x - 2} \right)

Việc thực hiện sơ đồ Hoocne ta chỉ nên thực hiện trong nháp. Khi trình bày ta sẽ trình bày như sau:

2{x^3} - {x^2} - 5x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - 3x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = \frac{{ - 1}}{2}\\ x = 2 \end{array} \right.

3. Bài tập vận dụng chia đa thức cho đa thức

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, {x^3} - 4{x^2} + x + 6

b, {x^3} - 5{x^2} - 2x + 24

c, 2{x^4} - {x^3} - 17{x^2} + x + 15

d, 3{x^4} + 5{x^3} - 5{x^2} - 5x + 2

Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức:

a, {x^5} + 6{x^4} + 3{x^2} - 2x - 10 cho x + 8

b, 2{x^7} - 8{x^5} + 3{x^3} - 9{x^2} - 10x + 1 cho x - 5

c, {x^4} + 12{x^2} - 25 cho 2x + 5

d, {x^5} - 7{x^4} + 8{x^3} - 4{x^2} - 10x + 13 cho x + 1

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a, 2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0

b, \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 6} \right) + 6{x^2} = 0

c, \left( {{x^2} + x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 6

d, 2{x^4} - 21{x^3} + 34{x^2} + 105x + 50 = 0

------------

Ngoài chuyên đề sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức này, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu như tài liệu học tập lớp 8, tài liệu học tập lớp 9, đề thi học kì 1 lớp 8, đề thi học kì 2 lớp 8, đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 1 lớp 9,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
1 6.988
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi học sinh giỏi lớp 9 Xem thêm