Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước". Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a≠0 và \Delta  \ge 0Δ0)

– Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

Nếu phương trình {\bf{a{x^2} + bx + c = 0} } \  \left(  a \ne 0  \right)ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1 và x2 phân biệt thì:

\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\
P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.{S=x1+x2=baP=x1x2=ca

Một số biến đổi biểu thức nghiệm thường gặp:

  • x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}x12+x22=x12+x22+2x1x22x1x2=(x1+x2)22x1x2
  • x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]x13+x23=(x1+x2)(x12x1x2+x22)=(x1+x2)[(x1+x2)23x1x2]

– Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho phương trình bậc hai {x^2} - 2mx + 4m - 4 = 0x22mx+4m4=0 (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m khác 2

b, Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn hệ thức: 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}3(x1+x2)=x1x2

Hướng dẫn:

a) Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm, ta chứng minh ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

b) Khi phương trình đã có 2 nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để thay vào hệ thức và tìm giá trị của tham số.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \Delta Δ=b2ac

= {m^2} - \left( {4m - 4} \right)=m2(4m4)

= {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} > 0\ \ \forall m \ne 2=m24m+4=(m2)2>0  m2

Vậy với mọi m khác 2 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b, Với mọi m ≠ 2 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 4m - 4
\end{array} \right.{x1+x2=ba=2mx1x2=ca=4m4

Ta có: 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}3(x1+x2)=x1x2

\Leftrightarrow 3.2m = 4m - 43.2m=4m4

\Leftrightarrow 2m =  - 42m=4

\Leftrightarrow m =  - 2m=2 (tm)

Vậy với m = – 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}3(x1+x2)=x1x2

Bài 2: Cho phương trình {x^2} - 2mx - 1 = 0x22mx1=0 (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1, x2 của phương trình thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 = x_1^2x_2^2 + 2x12+x22=x12x22+2

Hướng dẫn:

a) Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm, ta chứng minh ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

b) Khi phương trình đã có 2 nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để thay vào hệ thức và tìm giá trị của tham số.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có \Delta Δ=b2ac

= {m^2} + 1 \ge 1 > 0\forall m=m2+11>0m

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} =  - 1
\end{array} \right.{x1+x2=ba=2mx1x2=ca=1

Ta có: x_1^2 + x_2^2 = x_1^2x_2^2 + 2x12+x22=x12x22+2

\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 2(x1+x2)22x1x2=(x1x2)2+2

\Leftrightarrow 4{m^2} - 2.\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 24m22.(1)=(1)2+2

\Leftrightarrow 4{m^2} + 2 = 1 + 24m2+2=1+2

\Leftrightarrow 4{m^2} = 14m2=1

\Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{1}{2}m2=14m=±12

Vậy với m =  \pm \frac{1}{2}m=±12 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 = x_1^2x_2^2 + 2x12+x22=x12x22+2

Bài 3: Tìm m để phương trình {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 2 = 0x2+2(m+1)x2=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 3{x_1} + 2{x_2} = 43x1+2x2=4

Hướng dẫn:

• Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

• Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

• Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán. 

Lời giải chi tiết:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta Δ>0

Ta có \Delta Δ=(m+1)2(2)=(m+1)2+2>0m

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} =  - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}\\
{x_2}{x_2} = \frac{c}{a} =  - 2
\end{array} \right.{x1+x2=ba=2(m+1)x1=2(m+1)x2x2x2=ca=2

Ta có: 3{x_1} + 2{x_2} = 43x1+2x2=4

\Leftrightarrow 3\left[ { - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}} \right] + 2{x_2} = 43[2(m+1)x2]+2x2=4

\Leftrightarrow  - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 46(m+1)3x2+2x2=4

\Leftrightarrow {x_2} =  - 6\left( {m + 1} \right) - 4 =  - 10 - 6mx2=6(m+1)4=106m

\Rightarrow {x_1} =  - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8x1=2(m+1)+6(m+1)+4=4m+8

Mặt khác: {x_1}{x_2} =  - 2 \Leftrightarrow  - \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) =  - 2x1x2=2(6m+10)(4m+8)=2

\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2\\
 \Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2\\
 \Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - 3}}{2}\\
m = \frac{{ - 13}}{6}
\end{array} \right.
\end{array}(6m+10)(4m+8)=224m2+48m+40m+80=224m2+88m+78=0[m=32m=136

Vậy với m =  - \frac{3}{2}m=32 hoặc m = \frac{{ - 13}}{6}m=136 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3{x_1} + 2{x_2} = 43x1+2x2=4

Bài 4: Cho phương trình {x^2} - 5x + m = 0x25x+m=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3|x1x2|=3.

Hướng dẫn:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta  > 0Δ>0

Ta có \Leftrightarrow 25 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{25}}{4}254m>0m<254

Vậy với m < \frac{{25}}{4}m<254 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 5\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = m
\end{array} \right.{x1+x2=ba=5x1x2=ca=m

A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3A=|x1x2|=3

\Rightarrow {A^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9A2=(x1x2)2=9

\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9x12+x222x1x2=9

\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9(x1+x2)24x1x2=9

\Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4254m=94m=16m=4

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3|x1x2|=3

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho phương trình: x2 – 14x + 29 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy tính:

a) {x_1}^3 + {x_2}^3x13+x23 b) \frac{{1 - {x_1}}}{{{x_1}}} + \frac{{1 - {x_2}}}{{{x_2}}}1x1x1+1x2x2

Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0, m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = – 5.

b) Chứng minh rằng: Phương trình luôn có nghiệm x1, x2 với mọi tham số m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

e) Chứng minh rằng biểu thức A = x1(1 – x2) + x2(x – x1) không phụ thuộc tham số m.

Bài 3: Cho phương trình ẩn x: (m – a)x2 + 2mx + m – 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = \sqrt 2x=2. Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép?

d) Khi phương trình có nghiệm x1, x2 hãy tính:

i) A = x21 + x22 theo tham số m.

ii) Tìm m để A = 1

Bài 4: Cho phương trình x2 + mx + 2m – 4 = 0 (m tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x21 + x22 = 4.

Bài 5: Cho phương trình x2 – 2x + m – 1 = 0

a, Giải phương trình khi m = – 2

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn {x_1} = 2{x_2}x1=2x2

Bài 6: Tìm m để phương trình 2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 02x2+(2m1)x+m1=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3{x_1} - 4{x_2} = 113x14x2=11

Bài 7: Tìm m để phương trình {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + 1 = 0x2+2(m+1)x+m2m+1=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 3x12+x22+x1x2=3

Bài 8: Tìm m để phương trình {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4 = 0x22(m1)x4=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 31x1+1x2=3

Bài 9: Tìm m để phương trình \left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + 1 = 0(m1)x22x+1=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = – 1

Bài 10: Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 với a, b là các tham số.

a) Giải phương trình khi a = 3; b = – 5.

b) Tìm giá trị của a và b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x_1} - {x_2} = 3} \\ 
  {{x_1}^2 - {x_2}^2 = 9} 
\end{array}} \right.{x1x2=3x12x22=9.

Bài 11: Cho phương trình ẩn x: x2 – (2m + 1)x + m2 + 5m = 0.

a) Giải phương trình với m = – 2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.

Bài 12: Cho phương trình x^2-2mx+m-4=0x22mx+m4=0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x_1^3+x_2^3=26mx13+x23=26m.

b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

..........................

Chia sẻ, đánh giá bài viết
97
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
4 Bình luận
Sắp xếp theo
  • Nh Tam
    Nh Tam

    mình cảm thấy hình như câu 3a (phần I) sai ạ, theo delta phẩy thì b phẩy bình - ac = (m+1)bình -1.(-2) mới đúng ạ, theo đề bài thì các hệ số a,b,c không xuất hiện số 4 ạ, nếu làm theo người giải bên trên thì phải là delta thường mới đúng ạ! (người giải ghi delta phẩy nhưng lại lấy -4ac nên sai ấy ạ)

    Thích Phản hồi 18:56 19/05
  • Nguyên Ân
    Nguyên Ân

    Tìm m để phương trình

    Thích Phản hồi 14/12/21
  • Ba Thinh Ngo
    Ba Thinh Ngo Hay ạ !
    Thích Phản hồi 12/07/20
  • Hoàng Tân
    Hoàng Tân

    chỉ em cái này với ạ là x1-x2=8 e ko bt tính nhiệm sao cho thỏa mãn luôn 


    Thích Phản hồi 29/03/23

Nhiều người đang xem

🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng