VnDoc.com

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước". Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện cho trước

– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là a ≠ 0 và $\Delta \ge 0$ $\Delta \ge 0$)

– Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0; \left( a \ne 0 \right)$ $a{x^2} + bx + c = 0; \left( a \ne 0 \right)$ có hai nghiệm x₁ và x₂ phân biệt thì:

$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Một số biến đổi biểu thức nghiệm thường gặp:

$x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}$ $x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$
$x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)$ $x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)$ $= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]$ $= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]$

– Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho phương trình $x^{2} - 5x + m = 0$ $x^{2} - 5x + m = 0$ với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình với $m = 6$.

b) Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left| x_{1} - x_{2} \right| = 3$ $\left| x_{1} - x_{2} \right| = 3$.

Hướng dẫn giải

a) Với $m = 6$ ta có phương trình $x^{2} - 5x + 6 = 0$ $x^{2} - 5x + 6 = 0$ có $\Delta = 25 - 4.6 = 1$ $\Delta = 25 - 4.6 = 1$

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_{1} = 3;x_{2} = 2$ $x_{1} = 3;x_{2} = 2$.

b) Ta có: $\Delta = 25 - 4m$ $\Delta = 25 - 4m$

Để phương trình đã cho có nghiệm khi $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{25}{4}(*)$ $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{25}{4}(*)$

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 5\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 5\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Mặt khác $\left| x_{1} - x_{2} \right| = 3\ \ \ \ (3)$ $\left| x_{1} - x_{2} \right| = 3\ \ \ \ (3)$

Từ (1) và (3) suy ra

$\left| x_{1} - 5 + x_{1} \right| = 3$ $\left| x_{1} - 5 + x_{1} \right| = 3$

$\Leftrightarrow \left| 2x_{1} - 5 \right| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x_{1} - 5 = 3 \\ 2x_{1} - 5 = - 3 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left| 2x_{1} - 5 \right| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x_{1} - 5 = 3 \\ 2x_{1} - 5 = - 3 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \Rightarrow x_{2} = 1 \\ x_{1} = 1 \Rightarrow x_{2} = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ (4)$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \Rightarrow x_{2} = 1 \\ x_{1} = 1 \Rightarrow x_{2} = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ (4)$

Từ (2) và (4) suy ra $m = 4$

Thử lại thì thỏa mãn. Vậy với $m = 4$ thỏa mãn yêu cầu.

Bài 2: Cho phương trình $x^{2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0(1)$ $x^{2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0(1)$ với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình với $m = - 3$.

b) Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10$ ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10$.

Hướng dẫn giải

a) Với $m = - 3$ ta có phương trình $x^{2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 8 \\ \end{matrix} \right.$ $x^{2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 8 \\ \end{matrix} \right.$

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi

$\Delta$ $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} + (m + 3) \geq 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{15}{4} \geq 0\forall m$ $\Leftrightarrow m^{2} - m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{15}{4} \geq 0\forall m$

Vậy chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) \\ x_{1}.x_{2} = - m - 3 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) \\ x_{1}.x_{2} = - m - 3 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 10$ ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 10$

$\Leftrightarrow 4(m - 1)^{2} + 2(m + 3) = 10$ $\Leftrightarrow 4(m - 1)^{2} + 2(m + 3) = 10$ $\Leftrightarrow 4m^{2} - 6m + 10 = 10$ $\Leftrightarrow 4m^{2} - 6m + 10 = 10$ $\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 0 \\m = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 0 \\m = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m = 0;m = \frac{3}{2}$ $m = 0;m = \frac{3}{2}$ là các giá trị cần tìm.

Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y = x^{2}$ $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = (m - 1)x + 1$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh: Khi giá trị của $m$ thay đổi thì $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ là các hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$. Tìm giá trị tham số m sao cho ${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3$ ${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3$.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$x^{2} = (m - 1)x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1)x - 1 = 0(*)$ $x^{2} = (m - 1)x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1)x - 1 = 0(*)$

Do $\Delta = (m - 1)^{2} + 4 \geq 4\forall m$ $\Delta = (m - 1)^{2} + 4 \geq 4\forall m$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Ta có:

${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3 \Leftrightarrow x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3(**)$ ${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3 \Leftrightarrow x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3(**)$

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1}x_{2} = - 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1}x_{2} = - 1 \\ \end{matrix} \right.$ thay vào (**) ta được:

$- 1(m - 1) + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 0$ $- 1(m - 1) + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 2mx + 4m - 4 = 0$ ${x^2} - 2mx + 4m - 4 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m khác 2.

b, Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình thỏa mãn hệ thức: $3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}$ $3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}$.

Hướng dẫn:

a) Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm, ta chứng minh ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

b) Khi phương trình đã có 2 nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để thay vào hệ thức và tìm giá trị của tham số.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $\Delta$ $\Delta ' = b{'^2} - ac$

$= {m^2} - \left( {4m - 4} \right)$ $= {m^2} - \left( {4m - 4} \right)$

$= {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} > 0\ \ \forall m \ne 2$ $= {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} > 0\ \ \forall m \ne 2$

Vậy với mọi m khác 2 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m ≠ 2 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 4m - 4\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 4m - 4\end{array} \right.$

Ta có: $3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}$ $3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}$ $\Leftrightarrow 3.2m = 4m - 4$ $\Leftrightarrow 3.2m = 4m - 4$

$\Leftrightarrow 2m = - 4$ $\Leftrightarrow 2m = - 4$ $\Leftrightarrow m = - 2$ $\Leftrightarrow m = - 2$ (thỏa mãn)

Vậy với m = – 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}$ $3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}{x_2}$.

Bài 5: Cho phương trình ${x^2} - 2mx - 1 = 0$ ${x^2} - 2mx - 1 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ của phương trình thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = x_1^2x_2^2 + 2$.

Hướng dẫn:

a) Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm, ta chứng minh ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

b) Khi phương trình đã có 2 nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để thay vào hệ thức và tìm giá trị của tham số.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $\Delta$ $\Delta ' = b{'^2} - ac$ $= {m^2} + 1 \ge 1 > 0\forall m$ $= {m^2} + 1 \ge 1 > 0\forall m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 1\end{array} \right.$

Ta có:

$x_1^2 + x_2^2 = x_1^2x_2^2 + 2$

$\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 2$ $\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 2$

$\Leftrightarrow 4{m^2} - 2.\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 2$ $\Leftrightarrow 4{m^2} - 2.\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 2$ $\Leftrightarrow 4{m^2} + 2 = 1 + 2$ $\Leftrightarrow 4{m^2} + 2 = 1 + 2$

$\Leftrightarrow 4{m^2} = 1$ $\Leftrightarrow 4{m^2} = 1$ $\Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$

Vậy với $m = \pm \frac{1}{2}$ $m = \pm \frac{1}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = x_1^2x_2^2 + 2$.

Bài 6: Tìm m để phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 2 = 0$ ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $3{x_1} + 2{x_2} = 4$ $3{x_1} + 2{x_2} = 4$.

Hướng dẫn:

• Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

• Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

• Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta$ $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

Ta có $\Delta$ $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( { - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 > 0\forall m$

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}\\{x_2}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}\\{x_2}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2\end{array} \right.$

Ta có:

$3{x_1} + 2{x_2} = 4$ $3{x_1} + 2{x_2} = 4$

$\Leftrightarrow 3\left[ { - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}} \right] + 2{x_2} = 4$ $\Leftrightarrow 3\left[ { - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}} \right] + 2{x_2} = 4$

$\Leftrightarrow - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4$ $\Leftrightarrow - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4$

$\Leftrightarrow {x_2} = - 6\left( {m + 1} \right) - 4 = - 10 - 6m$ $\Leftrightarrow {x_2} = - 6\left( {m + 1} \right) - 4 = - 10 - 6m$

$\Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8$ $\Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8$

Mặt khác: ${x_1}{x_2} = - 2 \Leftrightarrow - \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = - 2$ ${x_1}{x_2} = - 2 \Leftrightarrow - \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = - 2$

$\Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2$ $\Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2$ $\Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2$ $\Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2$

$\Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0$ $\Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 3}}{2}\\m = \dfrac{{ - 13}}{6}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 3}}{2}\\m = \dfrac{{ - 13}}{6}\end{array} \right.$

Vậy với $m = - \frac{3}{2}$ $m = - \frac{3}{2}$ hoặc $m = \frac{{ - 13}}{6}$ $m = \frac{{ - 13}}{6}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $3{x_1} + 2{x_2} = 4$ $3{x_1} + 2{x_2} = 4$

Bài 7: Cho phương trình ${x^2} - 5x + m = 0$ ${x^2} - 5x + m = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$ $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$.

Hướng dẫn:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0$ $\Leftrightarrow \Delta > 0$

Ta có $\Leftrightarrow 25 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{25}}{4}$ $\Leftrightarrow 25 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{25}}{4}$

Vậy với $m < \frac{{25}}{4}$ $m < \frac{{25}}{4}$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m\end{array} \right.$

Có $A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$ $A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$

$\Rightarrow {A^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9$ $\Rightarrow {A^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9$

$\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9$ $\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9$

$\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9$ $\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9$

$\Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4$ $\Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4$

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$ $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$.

Bài 8 (Nâng cao): Cho phương trình ẩn x: $x^{4} - 2(2m + 1)x^{2} + 4m^{2} = 0\ \ (1)$ $x^{4} - 2(2m + 1)x^{2} + 4m^{2} = 0\ \ (1)$ với m là tham s

1) Giải phương trình (1) khi m = 2.

2) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}$ $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}$ thoả mãn $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} + x_{4}^{4} = 17$ $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} + x_{4}^{4} = 17$.

Hướng dẫn giải

1. Với m = 2 phương trình (1) có dạng: $x^{4} - 10x^{2} + 16 = 0$ $x^{4} - 10x^{2} + 16 = 0$(2)

Đặt y = x² $(y \geq 0)$ $(y \geq 0)$thì phương trình (2) có dạng $y^{2} - 10y + 16 = 0$ $y^{2} - 10y + 16 = 0$ (3)

Giải phương trình (3) ta được $y_{1} = 2;y_{2} = 8$ $y_{1} = 2;y_{2} = 8$ (thoả mãn)

$\left\lbrack \begin{matrix} y_{1} = 2 \\ y_{2} = 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 2 \\ x^{2} = 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2} \\ x = \pm 2\sqrt{2} \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} y_{1} = 2 \\ y_{2} = 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 2 \\ x^{2} = 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2} \\ x = \pm 2\sqrt{2} \end{matrix} \right.$

Phương trình đã cho có bốn nghiệm

$x_{1} = \sqrt{2};x_{2} = - \sqrt{2};x_{3} = 2\sqrt{2};x_{4} = - 2\sqrt{2}$ $x_{1} = \sqrt{2};x_{2} = - \sqrt{2};x_{3} = 2\sqrt{2};x_{4} = - 2\sqrt{2}$

2. Đặt $y = x^{2};(y \geq 0)$ $y = x^{2};(y \geq 0)$ thì phương trình (1) trở thành

$y^{2} - 2(2m + 1)y + 4m^{2} = 0$ $y^{2} - 2(2m + 1)y + 4m^{2} = 0$ (4) có $\Delta$ $\Delta' = (2m + 1)^{2} - 4m^{2} = 4m + 1$

Để phương trình (1) có bốn nghiệm $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}$ $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}$phân biệt thì phương trình (4) phải có hai nghiệm dương $y_{1},y_{2}$ $y_{1},y_{2}$phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta' > 0 \\\dfrac{c}{a} > 0 \\- \dfrac{b}{a} > 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m + 1 > 0 \\ 4m^{2} > 0 \\ 2(2m + 1) > 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m + 1 > 0 \\ 4m^{2} > 0 \\ 2(2m + 1) > 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{4} \\m \neq 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{4} \\m \neq 0\end{matrix} \right.$ (*)

Giả sử ${x_{1}}^{2} = {x_{2}}^{2} = y_{1};{x_{3}}^{2} = {x_{4}}^{2} = y_{2}$ ${x_{1}}^{2} = {x_{2}}^{2} = y_{1};{x_{3}}^{2} = {x_{4}}^{2} = y_{2}$

$\Rightarrow {x_{1}}^{4} = {x_{2}}^{4} = {y_{1}}^{2};{x_{3}}^{4} = {x_{4}}^{4} = {y_{2}}^{2}$ $\Rightarrow {x_{1}}^{4} = {x_{2}}^{4} = {y_{1}}^{2};{x_{3}}^{4} = {x_{4}}^{4} = {y_{2}}^{2}$

Do đó: ${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + {x_{3}}^{4} + {x_{4}}^{4} = 17$ ${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + {x_{3}}^{4} + {x_{4}}^{4} = 17$ $\Leftrightarrow 2\left( {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} \right) = 17$ $\Leftrightarrow 2\left( {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} \right) = 17$

$\Leftrightarrow 2\left\lbrack 4(2m + 1)^{2} - 8m^{2} \right\rbrack = 17 \Leftrightarrow 16m^{2} + 32m - 9 = 0$ $\Leftrightarrow 2\left\lbrack 4(2m + 1)^{2} - 8m^{2} \right\rbrack = 17 \Leftrightarrow 16m^{2} + 32m - 9 = 0$

$\Leftrightarrow m = - \frac{9}{4}$ $\Leftrightarrow m = - \frac{9}{4}$ hoặc $m = \frac{1}{4}$ $m = \frac{1}{4}$ kết hợp với điều kiện (*) ta được m = $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$

Bài 9 (Nâng cao): 1) Giải phương trình: $10\left( \frac{2 - x}{x + 1} \right)^{2} + \left( \frac{2 + x}{1 - x} \right)^{2} = \frac{11x^{2} - 44}{x^{2} - 1}$ $10\left( \frac{2 - x}{x + 1} \right)^{2} + \left( \frac{2 + x}{1 - x} \right)^{2} = \frac{11x^{2} - 44}{x^{2} - 1}$.

2) Cho $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 6x + 1 = 0$ $x^{2} - 6x + 1 = 0$. Đặt $S_{n} = {x_{1}}^{n} + {x_{2}}^{n}$ $S_{n} = {x_{1}}^{n} + {x_{2}}^{n}$. Tìm số dư khi chia $S_{2019}$ $S_{2019}$ cho 5.

Hướng dẫn giải

1. Ta có:

$10\left( \frac{x - 2}{x + 1} \right)^{2} + \left( \frac{x + 2}{x - 1} \right)^{2} - 11\left( \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 1} \right) = 0$ $10\left( \frac{x - 2}{x + 1} \right)^{2} + \left( \frac{x + 2}{x - 1} \right)^{2} - 11\left( \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 1} \right) = 0$

Điều kiện xác định: $x \neq 1;x \neq 2$ $x \neq 1;x \neq 2$.

Đặt $a = \frac{x - 2}{x + 1};b = \frac{x + 2}{x - 1}$ $a = \frac{x - 2}{x + 1};b = \frac{x + 2}{x - 1}$ ta có phương trình:

$10a^{2} + b^{2} - 11ab = 0$ $10a^{2} + b^{2} - 11ab = 0$

$\Leftrightarrow (10a - b)(a - b) = 0$ $\Leftrightarrow (10a - b)(a - b) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b \\ b = 10a \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b \\ b = 10a \end{matrix} \right.$

+) Với a = b ta có $\frac{x - 2}{x + 1} = \frac{x + 2}{x - 1} \Rightarrow x = 0$ $\frac{x - 2}{x + 1} = \frac{x + 2}{x - 1} \Rightarrow x = 0$ (thoả mãn điều kiện)

+) Với b = 10a ta có $\frac{x + 2}{x - 1} = 10.\left( \frac{x - 2}{x + 1} \right)$ $\frac{x + 2}{x - 1} = 10.\left( \frac{x - 2}{x + 1} \right)$ $\Rightarrow 3x^{2} - 11x + 6 = 0$ $\Rightarrow 3x^{2} - 11x + 6 = 0$

Giải phương trình ta được : $x_{1} = 3;x_{2} = \frac{2}{3}$ $x_{1} = 3;x_{2} = \frac{2}{3}$ (Đều thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x_{1} = 3;x_{2} = \frac{2}{3};x_{3} = 0$ $x_{1} = 3;x_{2} = \frac{2}{3};x_{3} = 0$

2. Ta tính được

$S_{n + 2} = {x_{1}}^{n + 2} + {x_{2}}^{n + 2}$ $S_{n + 2} = {x_{1}}^{n + 2} + {x_{2}}^{n + 2}$

$= \left( {x_{1}}^{n + 1} + {x_{2}}^{n + 1} \right)\left( x_{1} + x_{2} \right) - \left( {x_{1}}^{n} + {x_{2}}^{n} \right)x_{1}x_{2}$ $= \left( {x_{1}}^{n + 1} + {x_{2}}^{n + 1} \right)\left( x_{1} + x_{2} \right) - \left( {x_{1}}^{n} + {x_{2}}^{n} \right)x_{1}x_{2}$

$= 6S_{n + 1} - S_{n}$ $= 6S_{n + 1} - S_{n}$

Chứng minh tương tự ta có $S_{n + 3} = 6S_{n + 2} - S_{n + 1}$ $S_{n + 3} = 6S_{n + 2} - S_{n + 1}$.

Do đó:

$S_{n + 3} = 6(6S_{n + 1} - S_{n}) - S_{n + 1} = 35S_{n + 1} - 6S_{n}$ $S_{n + 3} = 6(6S_{n + 1} - S_{n}) - S_{n + 1} = 35S_{n + 1} - 6S_{n}$

$\Rightarrow S_{n + 6}$ $\Rightarrow S_{n + 6}$và $S_{n}$ $S_{n}$ cùng số dư khi chia cho 5

$\Rightarrow S_{2009}$ $\Rightarrow S_{2009}$và $S_{5}$ $S_{5}$ cùng số dư khi chia cho 5 mà $S_{2} = 30S_{3} + 5S_{3} - 6S_{2}$ $S_{2} = 30S_{3} + 5S_{3} - 6S_{2}$

$\Rightarrow S_{5}$ $\Rightarrow S_{5}$và $5S_{3} - 6S_{2}$ $5S_{3} - 6S_{2}$ cùng số dư khi chia cho 5 mà $5S_{3} - 6S_{2} = 786$ $5S_{3} - 6S_{2} = 786$

$\Rightarrow S_{2009}$ $\Rightarrow S_{2009}$ khi chia cho 5 có số dư là 1

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho phương trình: x² – 14x + 29 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy tính:

a) ${x_1}^3 + {x_2}^3$ ${x_1}^3 + {x_2}^3$

b) $\frac{{1 - {x_1}}}{{{x_1}}} + \frac{{1 - {x_2}}}{{{x_2}}}$ $\frac{{1 - {x_1}}}{{{x_1}}} + \frac{{1 - {x_2}}}{{{x_2}}}$

Bài 2: Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m – 4 = 0, m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = – 5.

b) Chứng minh rằng: Phương trình luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi tham số m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

e) Chứng minh rằng biểu thức A = x₁(1 – x₂) + x₂(x – x₁) không phụ thuộc tham số m.

Bài 3: Cho phương trình ẩn x: (m – a)x² + 2mx + m – 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm $x = \sqrt 2$ $x = \sqrt 2$. Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép?

d) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂ hãy tính:

i) A = x²₁ + x²₂ theo tham số m.

ii) Tìm m để A = 1

Bài 4: Cho phương trình x² + mx + 2m – 4 = 0 (m tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x²₁ + x²₂ = 4.

Bài 5: Cho phương trình x² – 2x + m – 1 = 0

a, Giải phương trình khi m = – 2

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn ${x_1} = 2{x_2}$ ${x_1} = 2{x_2}$

Bài 6: Tìm m để phương trình $2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0$ $2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $3{x_1} - 4{x_2} = 11$ $3{x_1} - 4{x_2} = 11$

Bài 7: Tìm m để phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + 1 = 0$ ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 3$ $x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 3$

Bài 8: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4 = 0$ ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 3$ $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 3$

Bài 9: Tìm m để phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + 1 = 0$ $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn 2x₁ + 3x₂ = – 1

Bài 10: Cho phương trình x² + ax + b + 1 = 0 với a, b là các tham số.

a) Giải phương trình khi a = 3; b = – 5.

b) Tìm giá trị của a và b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - {x_2} = 3} \\ {{x_1}^2 - {x_2}^2 = 9} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - {x_2} = 3} \\ {{x_1}^2 - {x_2}^2 = 9} \end{array}} \right.$.

Bài 11: Cho phương trình ẩn x: x² – (2m + 1)x + m² + 5m = 0.

a) Giải phương trình với m = – 2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.

Bài 12: Cho phương trình $x^2-2mx+m-4=0$

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $x_1^3+x_2^3=26m$.

b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

------------------------------------------------------------------------

Bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện cho trước là dạng toán quan trọng trong Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10, đòi hỏi học sinh phải kết hợp linh hoạt giữa định lý Vi-ét, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai và biến đổi điều kiện nghiệm.

Khi giải dạng toán này, bạn nên chú ý:

Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ ≥ 0 tùy đề).
Áp dụng hệ thức Vi-ét để chuyển điều kiện của nghiệm về điều kiện của m.
Biến đổi đại số cẩn thận để tránh sai sót khi giải bất phương trình hoặc phương trình ẩn m.
Luôn kiểm tra nghiệm m tìm được bằng cách thử lại vào đề bài.

Việc luyện tập nhiều bài dạng này sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng biến đổi, tư duy logic và tốc độ làm bài, từ đó tự tin hơn khi gặp các câu hỏi tương tự trong đề thi vào lớp 10. Hy vọng nội dung bài viết sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho quá trình ôn thi và giúp bạn chinh phục điểm số cao trong kỳ thi sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: