Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc biên soạn và đăng tải. Tài liệu bao gồm lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết sẽ giúp các em học sinh nắm được Cách làm bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm cực hay. Ngoài ra, cuối tài liệu còn có các bài tập tự luyện giúp các em vận dụng kiến thức được học vào thực hành tại nhà. Mời các bạn tham khảo chi tiết sau đây.

I. Các dạng bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thường gặp

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax² (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0(1) 

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay ∆ > 0 

2. Các dạng toán thường gặp

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (ta sẽ biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-ét của phương trình (1))

II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1: Cho parabol (P): y = - 2x² và đường thẳng (d): y = 3x + m – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm bên trái trục tung.

Hướng dẫn:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm bên trái trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ mang dấu âm.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

-2x² = 3x + m - 1 ⇔ 2x² + 3x + m - 1 = 0(1)

Có ∆ = b² - 4ac = 9 - 4.2.(m - 1) = 9 - 8m + 8 = 17 - 8m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 17 - 8m > 0 ⇔ $m<\frac{17}{8}$

Với $m<\frac{17}{8}$, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Vi-ét

$\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-3}{2}\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{m-1}{2}\end{array}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm

$\iff \{\begin{array}{l}S<0\\ P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{-3}{2}<0\\ \frac{m-1}{2}>0\end{array}\Rightarrow m-1>0\iff m>1$

kết hợp với điều kiện $m<\frac{17}{8}\Rightarrow 1<m<\frac{17}{8}$

Vậy với $1<m<\frac{17}{8}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về bên trái của trục tung

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x - m² + 9. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Hướng dẫn:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ trái dấu.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

x² = 2x - m² + 9 ⇔ x² - 2x + m² - 9 = 0 (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔ m² - 9 < 0 ⇔ (m - 3)(m + 3) < 0 

$\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}m-3>0\\ m+3<0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}m-3<0\\ m+3>0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}m>3\\ m<-3\end{array}\\ \{\begin{array}{c}m<3\\ m>-3\end{array}\end{array}\Rightarrow -3<m<3$

Vậy với -3 < m < 3 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = x + m và parabol (P): y = x² 

a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung. Khi đó hai giao điểm nằm bên phải hay bên trái trục tung?

b, Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho khoảng cách giữa 2 hoành độ của điểm A và B bằng $3\sqrt{2}$

Lời giải:

a, Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x² = x + m ⇔ x² - x - m = 0(1)

Có ∆ = b² - 4ac

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ $m>\frac{-1}{4}$

Với $m>\frac{-1}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét

$\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=1\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-m\end{array}$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P > 0 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0 kết hợp với điều kiện  $m>\frac{-1}{4}\Rightarrow -\frac{1}{4}<m<0$

Có S = 1 > 0 nên hai nghiệm của phương trình (1) là hai nghiệm cùng dấu dương

Vậy với $\frac{-1}{4}<m<0$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên phải trục tung

b, Với $m>\frac{-1}{4}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thỏa mãn Vi-ét:

$\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}=1\\ P=x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=-m\end{array}$

Khoảng cách giữa hai điểm bằng $3\sqrt{2}\Rightarrow \left|x_1-x_2\right|=3\sqrt{2}\Rightarrow {\left(x_1-x_2\right)}^2=36$

$\begin{array}{l}\iff x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=36\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=36\\ \iff 1^2+3m=36\iff m=\frac{35}{3}\left(tm\right)\end{array}$

Vậy với $m=\frac{35}{3}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B mà khoảng cách giữa chúng bằng $3\sqrt{2}$

Bài 4: Cho parabol (P): $y=-\frac{1}{2}{x}^2$và đường thẳng (d): y = mx - 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn $x_1^3{x}_2+x_2^3{x}_1-5x_1{x}_2=0$

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):

$\frac{-1}{2}{x}^2=mx-1\iff x^2+2mx-2=0$(1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Có ∆ = b'² - ac = m² + 2 > 0 với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=-2m\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-2\end{array}$

Có $x_1^3{x}_2+x_2^3{x}_1-5x_1{x}_2=0$

$\begin{array}{l}\iff x_1^3{x}_2^3\left(x_1+x_2\right)-5x_1{x}_2=0\\ \iff {\left(-2\right)}^3.\left(-2m\right)+5.2=0\\ \iff 16m+10=0\\ \iff m=\frac{-5}{8}\left(tm\right)\end{array}$

Vậy với $m=\frac{-5}{8}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_1^3{x}_2+x_2^3{x}_1-5x_1{x}_2=0$.

Bài 5: Cho parabol $(P):y=-x^2$ và đường thẳng $(d):y=m-2$ (với m là tham số). Tìm giá trị của tham số m để:

a) $(P)$ và $(d)$ có một điểm chung duy nhất.

b) $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng giá trị:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=-x^2$	$-4$	$-1$	$0$	$-1$	$-4$

Đồ thi $(P):y=-x^2$ đi qua các điểm $O(0;0),A(1;-1),B(-1;-1),C(2;-4),D(-2;-4)$

Đồ thị $(d):y=m-2$ là một đường thẳng song song với trục hoành.

Dựa vào đồ thị ta có kết quả:

a) Để $(P)$ và $(d)$ có một điểm chung duy nhất

$\iff m-2=0\iff m=2$

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

b) Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt

$\iff m-2<0\iff m<2$

Vậy $m<2$ là giá trị cần tìm.

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y=\frac{x^2}{2}$ và đường thẳng $y=-\frac{2}{m}x+2$ với $m\ne 0$. Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M;N$ nằm ở hai phía trục tung.

Hướng dẫn giải

Vì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=4+4m>0;\mathrm{\forall }m\ne 0$ nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt tức là $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Hơn nữa $x_1.x_2=\frac{-4m}{m}=-4<0$ nên hai giao điểm luôn nằm về hai phía trục tung.

Ví dụ: Trong mặt phẳng cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=(m-2)x+3$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi $(P)$ luôn cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ với $(P)$ là:

$x^2=(m-2)x+3\iff x^2-(m-2)x-3=0(\ast )$

Ta có:

$\mathrm{\Delta }=(m-2{)}^2+12$. Vì $(m-2{)}^2\ge 0\mathrm{\forall }m$ nên $\mathrm{\Delta }\ge 12>0$

Suy ra phương trình $(\ast )$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ hay đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A;B$.

Theo hệ thức Vi- et ta có:

$x_1.x_2=-3<0$ suy ra hai giao điểm $A;B$ nằm về hai phía trục tung.

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y=2x^2$ và đường thẳng $(d):y=-2mx+m+1$. Tì$m$ $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $x_1;x_2$sao cho $\frac{1}{{(2x_1-1)}^2}+\frac{1}{{(2x_2-1)}^2}=2$.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

$2x^2=-2mx+m+1\iff 2x^2+2mx-m-1=0(\ast )$

Ta có:

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-2(-m-1)=m^2+2m+2=(m+1{)}^2+1\ge 0\mathrm{\forall }m$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra $(d)$ và $(P)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A;B$

Ta thấy: $2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2m.\left(\frac{1}{2}\right)-m-1\ne 0\mathrm{\forall }m$ nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác $\frac{1}{2}$

Ta có:

$\frac{1}{{(2x_1-1)}^2}+\frac{1}{{(2x_2-1)}^2}$

$={(\frac{1}{2x_1-1}+\frac{1}{2x_2-1})}^2-\frac{2}{(2x_1-1)(2x_1+1)}$

$=4\left[\frac{x_1+x_2-1}{4x_1{x}_2+2(x_1+x_2)+1}\right]-\frac{2}{4x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+1}(\ast \ast )$

Theo hệ thức Vi – ét ta có:$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-m\\ x_1{x}_2=-\frac{m+1}{2}\end{array}$

Thay vào (**) ta được:

$\frac{1}{{(2x_1-1)}^2}+\frac{1}{{(2x_2-1)}^2}=4\left[\frac{-m-1}{-2(m+1)+2m+1}\right]=4(m+1{)}^2+2$

Yêu cầu bài toán tương đương với

$4(m+1{)}^2+2=2\iff m=-1$

Vậy $m=-1$ là giá trị cần tìm.

III. Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1:

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – 2m + 4

a, Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho $|x{}_1|=2|x_2|$

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 3: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 4x – m – 1

a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn |x₁ - x₂| = 2

Bài 4: Cho parabol (P): y = x² và (d): y = x + m. Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 5: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (2m + 3)x + 2m + 4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x₁, x₂ là hoành độ của A, B thỏa mãn |x₁| + |x₂| = 5

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + 3 – 2m và parabol (P): y = x². Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn

a, $\frac{1}{x_1}+\frac{5}{x_2}=1$

b, $\left(x_1^2-2m{x}_1-3\right)\left(x_2^2-2m{x}_2-3\right)<1$

c, $x_1{x}_2^2+\left(2m-3\right)x_1=2$

d, $x_1^2+x_2-2m=0$

Bài 7: Cho parabol (p) y = x² và đường thẳng d: y = mx - 2 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0

Bài 8: Cho parabol (p) y = 2x² và đường thẳng d: y = x - m + 1 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P) cắt (d) tại một điểm chung.

c) Tìm tất cả tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.

Bài 9: Cho Parabol (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$ và đường thẳng d: y = 2x + m (với m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn ${\left(x_1{x}_2+1\right)}^2=x_1+x_2+x_1{x}_2+3$.

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = 2x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + m (với m là tham số)

Tìm điều kiện của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. Gọi $A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)$ là hai giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d). Xác định m để ${\left(1-x_1{x}_2\right)}^2+2\left(y_1+y_2\right)=16$

Bài 11: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn 3x₁ + x₂ = 0.

Bài 12: Cho parabol (p) y = x² và đường thẳng d: y = mx - 2 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0