Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc biên soạn và đăng tải. Các dạng bài tập này thường chúng ta sẽ gặp ở các dạng đề thi vào lớp 10. Để tìm hiểu rõ hơn về tim m để đường thẳng d cắt parabol các em cùng VnDoc tham khảo nội dung dưới đây nhé

I. Các dạng bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thường gặp

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax2 (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx - n = 0(1)

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay ∆ > 0

2. Các dạng toán thường gặp

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (ta sẽ biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-ét của phương trình (1))

II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1: Cho parabol (P): y = - 2x2 và đường thẳng (d): y = 3x + m – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm bên trái trục tung.

Hướng dẫn:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm bên trái trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ mang dấu âm.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

-2x2 = 3x + m - 1 ⇔ 2x2 + 3x + m - 1 = 0(1)

Có ∆ = b2 - 4ac = 9 - 4.2.(m - 1) = 9 - 8m + 8 = 17 - 8m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 17 - 8m > 0 ⇔ m < \frac{{17}}{8}

Với m < \frac{{17}}{8}, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Vi-ét

\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{2}\\
P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m - 1}}{2}
\end{array} \right.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S < 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ - 3}}{2} < 0\\
\frac{{m - 1}}{2} > 0
\end{array} \right. \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1

kết hợp với điều kiện m < \frac{{17}}{8} \Rightarrow 1 < m < \frac{{17}}{8}

Vậy với 1 < m < \frac{{17}}{8} thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về bên trái của trục tung

Bài 2: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x - m2 + 9. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Hướng dẫn:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ trái dấu.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

x2 = 2x - m2 + 9 ⇔ x2 - 2x + m2 - 9 = 0 (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔ m2 - 9 < 0 ⇔ (m - 3)(m + 3) < 0

\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  m - 3 > 0 \hfill \\
  m + 3 < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  m - 3 < 0 \hfill \\
  m + 3 > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  m > 3 \hfill \\
  m <  - 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  m < 3 \hfill \\
  m >  - 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow  - 3 < m < 3

Vậy với -3 < m < 3 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = x + m và parabol (P): y = x2

a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung. Khi đó hai giao điểm nằm bên phải hay bên trái trục tung?

b, Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho khoảng cách giữa 2 hoành độ của điểm A và B bằng 3\sqrt 2

Lời giải:

a, Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x2 = x + m ⇔ x2 - x - m = 0(1)

Có ∆ = b2 - 4ac

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > \frac{{ - 1}}{4}

Với m > \frac{{ - 1}}{4} thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét

\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 1\\
P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} =  - m
\end{array} \right.

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P > 0 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0 kết hợp với điều kiện  m > \frac{{ - 1}}{4} \Rightarrow  - \frac{1}{4} < m < 0

Có S = 1 > 0 nên hai nghiệm của phương trình (1) là hai nghiệm cùng dấu dương

Vậy với \frac{{ - 1}}{4} < m < 0 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên phải trục tung

b, Với m > \frac{{ - 1}}{4} thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) thỏa mãn Vi-ét:

\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 1\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} =  - m\end{array} \right.

Khoảng cách giữa hai điểm bằng 3\sqrt 2  \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\sqrt 2  \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 36

\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 36\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 36\\
 \Leftrightarrow {1^2} + 3m = 36 \Leftrightarrow m = \frac{{35}}{3}\left( {tm} \right)
\end{array}

Vậy với m = \frac{{35}}{3} thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B mà khoảng cách giữa chúng bằng 3\sqrt 2

Bài 4: Cho parabol (P): y =  - \frac{1}{2}{x^2}và đường thẳng (d): y = mx - 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):

\frac{{ - 1}}{2}{x^2} = mx - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx - 2 = 0(1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Có ∆ = b'2 - ac = m2 + 2 > 0 với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} =  - 2m\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} =  - 2
\end{array} \right.

x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0

\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow x_1^3x_2^3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5{x_1}{x_2} = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^3}.\left( { - 2m} \right) + 5.2 = 0\\
 \Leftrightarrow 16m + 10 = 0\\
 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 5}}{8}\left( {tm} \right)
\end{array}

Vậy với m = \frac{{ - 5}}{8} thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0

III. Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2m + 4

a, Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho | {x{ _1}}| = 2| {{x_2}}|

Bài 2: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 4x – m – 1

a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn |x1 - x2| = 2

Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 và (d): y = x + m. Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 5: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (2m + 3)x + 2m + 4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1, x2 là hoành độ của A, B thỏa mãn |x1| + |x2| = 5

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + 3 – 2m và parabol (P): y = x2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 thỏa mãn

a, \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{5}{{{x_2}}} = 1

b, \left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 3} \right) < 1

c, {x_1}x_2^2 + \left( {2m - 3} \right){x_1} = 2

d, x_1^2 + {x_2} - 2m = 0

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn", là những dạng đề thi quen thuộc trong tuyển sinh vào lớp 10. Qua tài liệu này các em có thể tự ôn luyện cũng như củng cố kiến thức ôn tập tại nhà, từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi giữa kì 1 lớp 9 nói riêng cũng như chuẩn bị cho kì thi vào lớp 10 THPT nói chung. Chúc các em học tốt, dưới đây là một số chủ đề ôn thi vào lớp 10 các em tham khảo nhé

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Vật Lý, Địa Lý, Sinh học mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, chuẩn bị tốt vào kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của VnDoc
Hỏi - ĐápTruy cập ngay: Hỏi - Đáp học tập
Đánh giá bài viết
9 88.281
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm