Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt

I. Các dạng bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thường gặp
- 1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
- 2. Các dạng toán thường gặp
II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng
III. Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc biên soạn và đăng tải. Tài liệu bao gồm lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết sẽ giúp các em học sinh nắm được Cách làm bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm cực hay. Ngoài ra, cuối tài liệu còn có các bài tập tự luyện giúp các em vận dụng kiến thức được học vào thực hành tại nhà. Mời các bạn tham khảo chi tiết sau đây.

I. Các dạng bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thường gặp

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax² (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0(1)

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay ∆ > 0

2. Các dạng toán thường gặp

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (ta sẽ biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-ét của phương trình (1))

II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1: Cho parabol (P): y = - 2x² và đường thẳng (d): y = 3x + m – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm bên trái trục tung.

Hướng dẫn:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm bên trái trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ mang dấu âm.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

-2x² = 3x + m - 1 ⇔ 2x² + 3x + m - 1 = 0(1)

Có ∆ = b² - 4ac = 9 - 4.2.(m - 1) = 9 - 8m + 8 = 17 - 8m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 17 - 8m > 0 ⇔ $m < \frac{{17}}{8}$ $m < \frac{{17}}{8}$

Với $m < \frac{{17}}{8}$ $m < \frac{{17}}{8}$, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Vi-ét

$\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{2}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m - 1}}{2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{2}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m - 1}}{2} \end{array} \right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S < 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 3}}{2} < 0\\ \frac{{m - 1}}{2} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S < 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 3}}{2} < 0\\ \frac{{m - 1}}{2} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$

kết hợp với điều kiện $m < \frac{{17}}{8} \Rightarrow 1 < m < \frac{{17}}{8}$ $m < \frac{{17}}{8} \Rightarrow 1 < m < \frac{{17}}{8}$

Vậy với $1 < m < \frac{{17}}{8}$ $1 < m < \frac{{17}}{8}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về bên trái của trục tung

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x - m² + 9. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Hướng dẫn:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ trái dấu.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

x² = 2x - m² + 9 ⇔ x² - 2x + m² - 9 = 0 (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔ m² - 9 < 0 ⇔ (m - 3)(m + 3) < 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m - 3 > 0 \hfill \\ m + 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m - 3 < 0 \hfill \\ m + 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 3 \hfill \\ m < - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 3 \hfill \\ m > - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow - 3 < m < 3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m - 3 > 0 \hfill \\ m + 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m - 3 < 0 \hfill \\ m + 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 3 \hfill \\ m < - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 3 \hfill \\ m > - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow - 3 < m < 3$

Vậy với -3 < m < 3 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = x + m và parabol (P): y = x²

a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung. Khi đó hai giao điểm nằm bên phải hay bên trái trục tung?

b, Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho khoảng cách giữa 2 hoành độ của điểm A và B bằng $3\sqrt 2$ $3\sqrt 2$

Lời giải:

a, Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x² = x + m ⇔ x² - x - m = 0(1)

Có ∆ = b² - 4ac

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ $m > \frac{{ - 1}}{4}$ $m > \frac{{ - 1}}{4}$

Với $m > \frac{{ - 1}}{4}$ $m > \frac{{ - 1}}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét

$\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 1\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - m \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 1\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - m \end{array} \right.$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P > 0 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0 kết hợp với điều kiện $m > \frac{{ - 1}}{4} \Rightarrow - \frac{1}{4} < m < 0$ $m > \frac{{ - 1}}{4} \Rightarrow - \frac{1}{4} < m < 0$

Có S = 1 > 0 nên hai nghiệm của phương trình (1) là hai nghiệm cùng dấu dương

Vậy với $\frac{{ - 1}}{4} < m < 0$ $\frac{{ - 1}}{4} < m < 0$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên phải trục tung

b, Với $m > \frac{{ - 1}}{4}$ $m > \frac{{ - 1}}{4}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thỏa mãn Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 1\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - m\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 1\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - m\end{array} \right.$

Khoảng cách giữa hai điểm bằng $3\sqrt 2 \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\sqrt 2 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 36$ $3\sqrt 2 \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\sqrt 2 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 36$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 36\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 36\\ \Leftrightarrow {1^2} + 3m = 36 \Leftrightarrow m = \frac{{35}}{3}\left( {tm} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 36\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 36\\ \Leftrightarrow {1^2} + 3m = 36 \Leftrightarrow m = \frac{{35}}{3}\left( {tm} \right) \end{array}$

Vậy với $m = \frac{{35}}{3}$ $m = \frac{{35}}{3}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B mà khoảng cách giữa chúng bằng $3\sqrt 2$ $3\sqrt 2$

Bài 4: Cho parabol (P): $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ $y = - \frac{1}{2}{x^2}$và đường thẳng (d): y = mx - 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$ $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):

$\frac{{ - 1}}{2}{x^2} = mx - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx - 2 = 0$ $\frac{{ - 1}}{2}{x^2} = mx - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx - 2 = 0$(1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Có ∆ = b'² - ac = m² + 2 > 0 với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - 2m\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - 2m\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.$

Có $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$ $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^3x_2^3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5{x_1}{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^3}.\left( { - 2m} \right) + 5.2 = 0\\ \Leftrightarrow 16m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{ - 5}}{8}\left( {tm} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^3x_2^3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5{x_1}{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^3}.\left( { - 2m} \right) + 5.2 = 0\\ \Leftrightarrow 16m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{ - 5}}{8}\left( {tm} \right) \end{array}$

Vậy với $m = \frac{{ - 5}}{8}$ $m = \frac{{ - 5}}{8}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$ $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

III. Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1:

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – 2m + 4

a, Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho $| {x{ _1}}| = 2| {{x_2}}|$ $| {x{ _1}}| = 2| {{x_2}}|$

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 3: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 4x – m – 1

a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn |x₁ - x₂| = 2

Bài 4: Cho parabol (P): y = x² và (d): y = x + m. Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 5: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (2m + 3)x + 2m + 4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x₁, x₂ là hoành độ của A, B thỏa mãn |x₁| + |x₂| = 5

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + 3 – 2m và parabol (P): y = x². Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn

a, $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{5}{{{x_2}}} = 1$ $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{5}{{{x_2}}} = 1$

b, $\left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 3} \right) < 1$ $\left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 3} \right) < 1$

c, ${x_1}x_2^2 + \left( {2m - 3} \right){x_1} = 2$ ${x_1}x_2^2 + \left( {2m - 3} \right){x_1} = 2$

d, $x_1^2 + {x_2} - 2m = 0$ $x_1^2 + {x_2} - 2m = 0$

Bài 7: Cho parabol (p) y = x² và đường thẳng d: y = mx - 2 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt hoành độ x₁, x₂thỏa mãn (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0

Bài 8: Cho parabol (p) y = 2x² và đường thẳng d: y = x - m + 1 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P) cắt (d) tại một điểm chung.

c) Tìm tất cả tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.

Bài 9: Cho Parabol (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ $y = \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng d: y = 2x + m (với m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn ${\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)^2} = {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} + 3$ ${\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)^2} = {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} + 3$.

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = 2x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + m (với m là tham số)

Tìm điều kiện của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ $A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d). Xác định m để ${\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right)^2} + 2\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 16$ ${\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right)^2} + 2\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 16$

Bài 11: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂thỏa mãn 3x₁+ x₂ = 0.

Bài 12: Cho parabol (p) y = x² và đường thẳng d: y = mx - 2 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt hoành độ x₁, x₂thỏa mãn (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0