150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án

150 Bài tập về bất đẳng thức có đáp án

Bạn đang tìm kiếm tài liệu luyện tập chuyên sâu về bất đẳng thức? Bộ 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án dưới đây sẽ là nguồn tài liệu lý tưởng giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán, tư duy logic và ứng dụng bất đẳng thức trong nhiều dạng bài khác nhau.

Tài liệu tổng hợp đầy đủ các dạng bất đẳng thức thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 và lớp 9, từ cơ bản đến nâng cao: bất đẳng thức bậc nhất, bậc hai, bất đẳng thức chứa căn, bất đẳng thức Cauchy, AM-GM,… Tất cả bài tập đều có lời giải chi tiết, rõ ràng, giúp học sinh dễ dàng kiểm tra và học hỏi phương pháp giải nhanh, chính xác.

Đây là tài liệu phù hợp với học sinh đang ôn thi học kỳ, ôn thi vào lớp 10 môn Toán, hoặc luyện thi học sinh giỏi muốn nâng cao kỹ năng xử lý bất đẳng thức. Hãy bắt đầu hành trình chinh phục 150 bài toán ngay bây giờ!

Hướng dẫn giải

Ta có: \(S = a + \frac{1}{a} = \frac{8a}{9} + (\frac{a}{9} + \frac{1}{a}) \geq \frac{24}{9} + 2\sqrt{\frac{a}{9}.\frac{1}{a}} = \frac{10}{3}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(S = a + \frac{1}{a^{2}} = \frac{6a}{8} + (\frac{a}{8} + \frac{a}{8} + \frac{1}{a^{2}})\) \(\geq \frac{12}{8} + 3\sqrt[3]{\frac{a}{8}.\frac{a}{8}.\frac{1}{a^{2}}} = \frac{12}{8} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(S = ab + \frac{1}{ab} = (ab + \frac{1}{16ab}) + \frac{15}{16ab}\)

\(\geq 2\sqrt{ab\frac{1}{16ab}} + \frac{15}{16\left( \frac{a + b}{2} \right)^{2}} = \frac{17}{4}\)

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có:

\(S = \sqrt{a^{2} + \underset{16}{\overset{\frac{1}{16b^{2}} + .... + \frac{1}{16b^{2}}}{︸}}} + \sqrt{b^{2} + \underset{16}{\overset{\frac{1}{16c^{2}} + .... + \frac{1}{16c^{2}}}{︸}}} + \sqrt{c^{2} + \underset{16}{\overset{\frac{1}{16a^{2}} + .... + \frac{1}{16a^{2}}}{︸}}}\)

\(\geq \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{a^{2}}{16^{16}.b^{32}}}} + \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{b^{2}}{16^{16}.c^{32}}}} + \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{c^{2}}{16^{16}.a^{32}}}}\)

\(= \sqrt{17}\left( \sqrt[17]{\frac{a}{16^{8}b^{16}}} + \sqrt[17]{\frac{b}{16^{8}c^{16}}} + \sqrt[17]{\frac{c}{16^{8}a^{16}}} \right)\)

\(\geq 3\sqrt{17}\sqrt[17]{\frac{1}{16^{8}b^{5}b^{5}c^{5}}} = \frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt[17]{(2a2b2c)^{5}}}\)

\(\geq \frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt[17]{\left( \frac{2a + 2b + 2c}{3} \right)^{15}}} \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Cách 2:

\(S = \sqrt{a^{2} + \frac{1}{b^{2}}} + \sqrt{b^{2} + \frac{1}{c^{2}}} + \sqrt{c^{2} + \frac{1}{a^{2}}}\)

\((1^{2} + 4^{2})(a^{2} + \frac{1}{b^{2}}) \geq (1.a + 4.\frac{1}{b})^{2}\) \(\Rightarrow \sqrt{a^{2} + \frac{1}{b^{2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a + \frac{4}{b})\)

Tương tự

\(\sqrt{b^{2} + \frac{1}{c^{2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{17}}(b + \frac{4}{c});\sqrt{c^{2} + \frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{17}}(c + \frac{4}{a})\)

Do đó:

\(S \geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a + b + c + \frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{c})\) \(\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a + b + c + \frac{36}{a + b + c})\)

\(= \frac{1}{\sqrt{17}}\left\lbrack (a + b + c + \frac{9}{4(a + b + c)}) + \frac{135}{4(a + b + c)} \right\rbrack \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)

\(\sqrt{x^{2} + \frac{1}{y^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \frac{1}{z^{2}}} + \sqrt{z^{2} + \frac{1}{x^{2}}} \geq \sqrt{82}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\((1.x + 9.\frac{1}{y})^{2} \leq (1^{2} + 9^{2})(x^{2} + \frac{1}{y^{2}})\) \(\Rightarrow \sqrt{x^{2} + \frac{1}{y^{2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(x + \frac{9}{y})\)

Tương tự

\(\sqrt{y^{2} + \frac{1}{z^{2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(y + \frac{9}{z});\sqrt{z^{2} + \frac{1}{x^{2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(z + \frac{9}{x})\)

\(S \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(x + y + z + \frac{9}{x} + \frac{9}{y} + \frac{9}{z})\) \(\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(x + y + z + \frac{81}{x + y + z})\)

\(= \frac{1}{\sqrt{82}}\left\lbrack (x + y + z + \frac{1}{x + y + z}) + \frac{80}{x + y + z} \right\rbrack \geq \sqrt{82}\)

Hướng dẫn giải

Dự đoán a =2, b = 3, c = 4

\(\begin{matrix} 4S = 4a + 4b + 4c + \frac{12}{a} + \frac{18}{b} + \frac{16}{c} \\ \\ \end{matrix}\)

\(= a + 2b + 3c + \left( 3a + \frac{12}{a} \right) + \left( 2b + \frac{18}{b} \right) + \left( c + \frac{16}{c} \right)\)

\(\geq 20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 \Rightarrow S \geq 13\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geqslant \frac{4}{{x + y}};\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant \frac{4}{{y + z}}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant \frac{4}{{x + y}} + \frac{4}{{y + z}} \geqslant \frac{{16}}{{x + 2y + z}}\)\(\Rightarrow \frac{1}{{x + 2y + z}} \leqslant \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z}} \right)\)

Tương tự ta có: 

\(\frac{1}{{2x + y + z}} \leqslant \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right);\)

\(\frac{1}{{x + y + 2z}} \leqslant \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{2}{z}} \right)\)

\(S \leqslant \frac{1}{{16}}\left( {\frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{4}{z}} \right) = 1\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left( \frac{12}{5} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} \geq 2\sqrt{\left( \frac{12}{5} \right)^{x}.\left( \frac{15}{4} \right)^{x}} = 2.3^{x};\)

\(\left( \frac{20}{3} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} \geq 2.5^{x};\)\(\left( \frac{20}{3} \right)^{x} + \left( \frac{12}{5} \right)^{x} \geq 2.4^{x}\)

Cộng các vế tương ứng suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Dự đoán x = y = z = 2 và \(\sqrt[3]{8^{x}.8^{x}} = \sqrt[3]{64^{x}} = 4^{x}\)nên:

\(8^{x} + 8^{x} + 8^{2} \geq 3\sqrt[3]{8^{x}.8^{x}.8^{2}} = 12.4^{x};\)

\(8^{y} + 8^{y} + 8^{2} \geq 3\sqrt[3]{8^{y}.8^{y}.8^{2}} = 12.4^{y};\)

\(8^{z} + 8^{z} + 8^{2} \geq 3\sqrt[3]{8^{z}.8^{z}.8^{2}} = 12.4^{z}\)

\(8^{x} + 8^{y} + 8^{z} \geq 3\sqrt[3]{8^{x}.8^{y}.8^{z}} = 3\sqrt[3]{8^{2}.8^{2}.8^{2}} = 192\)

Cộng các kết quả trên => điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(x^{3} + y^{3} \geq xy(x + y)\)

\(\Rightarrow 1 + x^{3} + y^{3} \geq xyz + xy(x + y)\)

\(= xy(x + y + z) \geq 3xy\sqrt[3]{xyz} = 3xy\)

Khi đó ta có:

\(\frac{\sqrt{1 + x^{3} + y^{3}}}{xy} = \frac{\sqrt{3xy}}{xy} = \sqrt{\frac{3}{xy}};\)

\(\frac{\sqrt{1 + y^{3} + z^{3}}}{yz} = \frac{\sqrt{3yz}}{yz} = \sqrt{\frac{3}{yz}};\)

\(\frac{\sqrt{1 + z^{3} + x^{3}}}{zx} = \frac{\sqrt{3zx}}{zx} = \sqrt{\frac{3}{zx}}\)

Do đó: \(S = \sqrt{3}\left( \frac{1}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{yz}} + \frac{1}{\sqrt{zx}} \right)\) \(\geq 3\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}}} = 3\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(|P| = \left| \frac{(x - y)(1 - xy)}{(1 + x)^{2}(1 + y)^{2}} \right|\) \(\leq \frac{(x + y)(1 + xy)}{(1 + x)^{2}(1 + y)^{2}}\) \(\leq \frac{\left( \frac{x + y + 1 + xy}{2} \right)^{2}}{(x + y + 1 + xy)^{2}} = \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{- 1}{4} \leq P \leq \frac{1}{4}\)

Khi cho x=0 và y = 1 thì P = -1/4

Khi cho x = 1 và y = 0 thì P = 1/4

Kết luận: Khi dấu = xảy ra.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(|P| = \left| \frac{(x - y)(1 - xy)}{(1 +x)^{2}(1 + y)^{2}} \right| \leq \frac{(x + y)(1 + xy)}{(1 + x)^{2}(1 +y)^{2}}\)\(\leq \frac{\left( \frac{x + y + 1 + xy}{2} \right)^{2}}{(x + y +1 + xy)^{2}} = \frac{1}{4}\)

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4

Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4

Kết luận: Khi dấu = xảy ra.

Hướng dẫn giải

Cách 1: \(\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c}+ \frac{c^{3}}{a} = \frac{a^{4}}{ab} + \frac{b^{4}}{bc} +\frac{c^{4}}{ca}\)\(\geq \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}{ab + bc + ac}\geq \frac{(ab + bc + ac)^{2}}{ab + bc + ac} = ab + bc + ac\)

Cách 2: \(\frac{a^{3}}{b} + ab \geq 2a^{2};\frac{b^{3}}{c} + bc \geq 2b^{2};\frac{c^{3}}{a} + ca \geq 2a^{2}\)

\(\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - ab - bc - ac \geq ab + bc + ac\)

Hướng dẫn giải

Dự đoán x = y = 2

\(A = \frac{3x^{2} + 4}{4x} + \frac{2 +y^{3}}{y^{2}} = \frac{3x}{4} + \frac{1}{x} + \frac{2}{y^{2}} + y\)\(=\left( \frac{1}{x} + \frac{x}{4} \right) + \left( \frac{2}{y^{2}} +\frac{y}{4} + \frac{y}{4} \right) + \left( \frac{x + y}{2} \right) \geq\frac{9}{2}\)

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{matrix} (x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x + y) \Rightarrow x^{3} + y^{3} + 3xy = 1 \\ P = \frac{x^{3} + y^{3} + 3xy}{x^{3} + y^{3}} + \frac{x^{3} + y^{3} + 3xy}{xy} = 4 + \frac{3xy}{x^{3} + y^{3}} + \frac{x^{3} + y^{3}}{xy} \geq 4 + 2\sqrt{3} \\ \end{matrix}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\frac{1}{1 + x} = 2 - \frac{1}{1 + y} - \frac{1}{1 + z} = 1 - \frac{1}{1+ y} + 1 - \frac{1}{1 + z}\)

\(= \frac{y}{1 + y} + \frac{z}{1 + z} \geq2\sqrt{\frac{yz}{(1 + y)(1 + z)}}\)

\(TT: \frac{1}{1 + y} \geq 2\sqrt{\frac{xz}{(1 + x)(1 + z)}};\)\(\frac{1}{1 +z} \geq 2\sqrt{\frac{xy}{(1 + x)(1 + y)}}\)

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(S = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} +\frac{z}{z + 1}\)

\(= 3 - \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} +\frac{1}{z + 1} \right)\)\(\leq 3 - \frac{9}{x + y + z + 3} = 3 -\frac{9}{4} = \frac{3}{4}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\frac{4a^{2}}{a - 1} = \frac{4\left( a^{2} - 1 \right) + 4}{a - 1}\)\(= 4(a+ 1) + \frac{4}{a - 1} = 4(a - 1) + \frac{4}{a - 1} + 8 \geq 8 + 8 = 16\)

\(\frac{5b^{2}}{b - 1} = 5(b - 1) + \frac{5}{b - 1} + 10 \geq20;\)\(\frac{3c^{2}}{c - 1} = 3(c - 1) + \frac{3}{c - 1} + 6 \geq 12\Rightarrow dpcm\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\left( \frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b}\geq \frac{9}{a + 2b};\)\(\frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} \geq\frac{9}{b + 2c};\)\(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \geq \frac{9}{c+ 2a}\) cộng ba bất đẳng thức => Điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \geq \frac{(1 + 2 + 3)^{2}}{a + b + c} = \frac{36}{a + b + c}\)

Hướng dẫn giải

Ta có; \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} \geq \frac{16}{a + b + c};\frac{16}{a + b + c} + \frac{16}{d} \geq \frac{64}{a + b + c + d}\)

\(\frac{4}{a} + \frac{5}{b} + \frac{3}{c} \geq4\left(\frac{3}{a + b}+\frac{2}{b + c} + \frac{1}{c + a}\right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}\)

\(\Rightarrow \frac{3}{a} + \frac{3}{b}\geq \frac{3}{a + b};\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b +c}\)

\(\Rightarrow \frac{2}{b} + \frac{2}{c} \geq \frac{8}{b + c};\frac{1}{c} + \frac{1}{a} \geq \frac{4}{c + a}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} +\frac{1}{p-c}\)

\(= \frac{2}{- a + b + c}+\frac{2}{a-b+c}+\frac{2}{a + b - c}\)

\(= \frac{1}{- a + b + c} + \frac{1}{a-b+ c}+\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{- a + b + c}\) \(+ \frac{1}{a - b + c} + \frac{1}{a+b -c} \geq2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)\)

Bài 23: Cho x, y, z > 0 và \(x + y + x\geq 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y}\).

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có:

\(P = \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z+ x} + \frac{z^{2}}{x + y}\)\(\geq \frac{(x + y + z)^{2}}{2(x + y + z)} =\frac{x + y + z}{2} = \frac{4}{2} = 2.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2.

Cách 2:

Ta có: \(\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y + z}{4} \geq x;\frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z + x}{4} \geq y;\frac{z^{2}}{x + y} + \frac{x + y}{4} \geq z\)

\(\Rightarrow P \geq x + y + x - \frac{x +y + z}{2} = \frac{x + y + z}{2} = \frac{4}{2} = 2.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2.

Bài 24: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z = 18.

Chứng minh rằng \(\frac{2y + 3z + 5}{1 + x} +\frac{3z + x + 5}{1 + 2y} + \frac{x + 2y + 5}{1 + 3z} \geq\frac{51}{7}\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\frac{2y + 3z + 5}{1 + x} + \frac{3z + x + 5}{1 + 2y} + \frac{x + 2y + 5}{1 + 3z}\)

\(= \frac{2y + 3z + 5}{1 + x} + 1 + \frac{3z + x + 5}{1 + 2y} + 1 + \frac{x + 2y + 5}{1 + 3z} + 1 - 3\)

\(= (x + 2y + 3z + 6)\left( \frac{1}{1 +x} + \frac{1}{1 + 2y} + \frac{1}{1 +3z} \right)-3\)

\(\geq 24.\frac{9}{x + 2y + 3z + 3} - 3 = 24.\frac{9}{21} - 3 = \frac{51}{7}\)(đpcm)

Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: \(a^{2} + b^{2} + 1 \geq ab + a + b\).

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế với 2, đưa về tổng của ba bình phương.

Bài 26: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì \(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3p}\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovcsky ta có:

\(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p -c}\)

\(\leq \sqrt{(1^{2} + 1^{2} + 1^{2})(p - a + p - b + p - c)}\)

\(=\sqrt{3(3p - 2p)} = \sqrt{3p}\) (điều phải chứng minh)

Bài 27: Cho hai số a, b thỏa mãn: \(a \geq1;b\geq 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(A = a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b}\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(a + \frac{1}{a} \geq 2;b + \frac{1}{b} =\frac{15b}{16} + \left( \frac{b}{16} + \frac{1}{b} \right)\)\(\geq\frac{15.4}{16} + 2.\frac{1}{4} = \frac{17}{4} \Rightarrow A \geq\frac{21}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng A bằng \(\frac{21}{4}\).

Bài 28: Chứng minh rằng \(a^{4} + b^{4} \geq a^{3}b + ab^{3}\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left\lbrack \left( a^{2} \right)^{2} + \left( b^{2} \right)^{2} \right\rbrack(1^{2} + 1^{2})\)

\(\geq \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} = \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( a^{2} + b^{2} \right) \geq 2ab\left( a^{2} + b^{2} \right)\)

\(= > a^{4} + b^{4} \geq a^{3}b + ab^{3}\)

Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{(x + y + 1)^{2}}{xy + y + x} + \frac{xy + y + x}{(x + y + 1)^{2}}\) (Với x; y là các số thực dương).

Hướng dẫn giải

Đặt \(\frac{(x + y + 1)^{2}}{xy + y + x} = a;a > 0 \Rightarrow A = a + \frac{1}{a}\)

Có \(A = a + \frac{1}{a} = \frac{8a}{9} +(\frac{a}{9} + \frac{1}{a})\)\(\geq \frac{8}{9}.3 +2.\sqrt{\frac{a}{9}.\frac{1}{a}}\)\(= \frac{8}{3} + \frac{2}{3} =\frac{10}{3} \Rightarrow A \geq \frac{10}{3}\)

Vậy giá tri nhỏ nhất của biểu thức A bằng \(\frac{10}{3}\).

Bài 30: Cho ba số thực \(a,b,c\) đôi một phân biệt. Chứng minh: \(\frac{a^{2}}{(b - c)^{2}} + \frac{b^{2}}{(c - a)^{2}} + \frac{c^{2}}{(a - b)^{2}} \geq 2\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\frac{a}{(b - c)}.\frac{b}{(c - a)} + \frac{b}{(c - a)}.\frac{c}{(a - b)} + \frac{c}{(a - b)}.\frac{a}{(b - c)} = - 1\)

\(VT = \left( \frac{a}{(b - c)} +\frac{b}{(c-a)} + \frac{c}{(a - b)} \right)^{2} \geq 0\)

(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặc nếu cần cho a = 1, b = 0 => c = -1 thì xảy ra dấu =).

Bài 31: Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c \(\leq 3\). Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \frac{2009}{ab + bc + ca} \geq 670\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\frac{1}{a^{2} + b^{2} + c^2} +\frac{2009}{ab + bc + ca}\)

\(= \frac{1}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{ab + bc + ca} + \frac{1}{ab + bc + ca} + \frac{2007}{ab + bc + ca}\)

\(\geq \frac{9}{(a + b + c)^{2}} + \frac{2007}{\frac{(a + b + c)^{2}}{3}} \geq 670\)

Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{ab + bc + ca}{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a}\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

3(a² + b² + c²) = (a + b + c)(a² + b² + c²)

= a³ + b³ + c³ + a²b + b²c + c²a + ab² + bc² + ca²

Mà a³ + ab² ≥ 2a²b ;b³ + bc² ≥ 2b²c;c³ + ca² ≥ 2c²a

Suy ra 3(a² + b² + c²) ≥ 3(a²b + b²c + c²a) > 0

Suy ra \(P \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\)

\(\Rightarrow P \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{9 - (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2(a^{2} + b^{2} + c^{2})}\)

t = a² + b² + c², với t ≥ 3

Suy ra \(P \geq t + \frac{9 - t}{2t} = \frac{t}{2} + \frac{9}{2t} + \frac{t}{2} - \frac{1}{2} \geq 3 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4\)

⇒ P ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 4 khi a = b = c = 1.

Tài liệu còn dài, mời bạn đọc tải bản đầy đủ!

150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án được VnDoc chia sẻ trên đây. Tài liệu gồm 150 bài tập về bất đẳng thức và cực trị đại số, giúp các bạn học sinh có thêm nhiều bài tập ôn luyện, cũng như chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới. Chúc các bạn ôn tập tốt

...........................................

Với bộ 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án trên, bạn đã có trong tay một kho bài tập đa dạng, bám sát chương trình học và định hướng thi cử. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn làm chủ các phương pháp giải bất đẳng thức, phát triển tư duy toán học và phản xạ nhanh khi làm bài.

Đừng quên xem lại lời giải, ghi chú lại những mẹo giải hay và rút kinh nghiệm từ những bài bạn còn sai. Đặc biệt, nếu bạn đang trong giai đoạn ôn thi vào lớp 10 môn Toán hay tham gia các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thì đây chính là tài liệu không thể thiếu.

Hãy tiếp tục khám phá các chuyên đề Toán quan trọng khác như: hệ phương trình, phương trình bậc hai, bất phương trình, hàm số và đồ thị,… để xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới!