Giải Toán 9 bài 2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

a)

vì $\{\begin{array}{c}{2}^2=4\hfill \\ {\left(\sqrt{3}\right)}^2=3\hfill \end{array}$

mà $4>3$ nên $\sqrt{4}>\sqrt{3}\iff 2>\sqrt{3}\iff 2-\sqrt{3}>0.$

$\iff \left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}.$

Do đó: $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}$

b)

Vì $\{\begin{array}{c}{3}^2=9\hfill \\ {\left(\sqrt{11}\right)}^2=11\hfill \end{array}$

mà $9<11$ nên $\sqrt{9}<\sqrt{11}\iff 3<\sqrt{11}\iff 3-\sqrt{11}<0$

$\iff \left|3-\sqrt{11}\right|=-(3-\sqrt{11})=-3+\sqrt{11}$

$=\sqrt{11}-3.$

Do đó: $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{11}\right|=\sqrt{11}-3.$

c) Ta có: $2\sqrt{a^2}=2\left|a\right|=2\mathrm{a}$ (vì $a\ge 0$ )

d) Vì $a<2$ nên $a-2<0$.

$\iff |a-2|=-(a-2)=-a+2=2-a$

Do đó: $3\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}=3\left|a-2\right|=3\left(2-a\right)$

$=6-3a.$

Bài 9 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Tìm x biết

a) $\sqrt{x^2}=7$

b) $\sqrt{x^2}=|-8|$

c) $\sqrt{4^2}=7$

d) $\sqrt{9x^2}=|-12|$

Hướng dẫn giải:

a)

$\sqrt{7^2}=7$

$\iff \left|x\right|=7$

$\iff x=\pm 7$

b)

$\sqrt{x^2}=|-8|$

$\iff \left|x\right|=8$

$x=\pm 8$

c)

$\sqrt{4x^2}=6$

$\iff \sqrt{2x^2}=6$

$\iff \left|2x\right|=6$

$\iff 2x=\pm 6$

$\iff =\pm 3$

d)

$\sqrt{9x^2}=|-12|$

$\iff \sqrt{3x^2}=12$

$\iff \left|3x\right|=12$

$\iff 3x=\pm 12$

$\iff x=\pm 4$

Bài 10 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Chứng minh

a) $(\sqrt{3}-1{)}^2=4-2\sqrt{3};$

b) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=-1$

Hướng dẫn giải:

$VT={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2-2.\sqrt{3}.1+1^2$

$=3-2\sqrt{3}+1$

$=(3+1)-2\sqrt{3}$

$=4-2\sqrt{3}=VP$

Vậy $(\sqrt{3}-1{)}^2=4-2\sqrt{3}(đpcm)$

b) Ta có:

VT = $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{\left(3+1\right)-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2.\sqrt{3}.1+1^2}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}-\sqrt{3}$

$=\left|\sqrt{3}-1\right|-\sqrt{3}.$

Lại có:

$\{\begin{array}{c}{\left(\sqrt{3}\right)}^2=3\hfill \\ {\left(\sqrt{1}\right)}^2=1\hfill \end{array}$

Mà $3>1\iff \sqrt{3}>\sqrt{1}\iff \sqrt{3}>1\iff \sqrt{3}-1>0.$

$\Rightarrow |\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1.$

Do đó $\left|\sqrt{3}-1\right|-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}$

$=(\sqrt{3}-\sqrt{3})-1=-1=VP.$

Vậy $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=-1(đpcm)$

C. Giải bài tập toán 9 trang 11, 12 tập 1: Luyện tập

Bài 11 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Tính

a) $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$

b) $36:\sqrt{{2.3}^2.18}-\sqrt{169}$

c) $\sqrt{\sqrt{81}}$

d) $\sqrt{3^2+4^2}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$

$=\sqrt{4^2}.\sqrt{5^2}+\sqrt{{14}^2}:\sqrt{7^2}$

$=\left|4\right|.\left|5\right|+\left|14\right|:\left|7\right|$

$=4.5+14:7$

$=20+2=22.$

b) Ta có:

$36:\sqrt{{2.3}^2.18}-\sqrt{169}=36:\sqrt{({2.3}^2).18}-\sqrt{{13}^2}$

$=36:\sqrt{(2.9).18}-\left|13\right|$

$=36:\sqrt{18.18}-13$

$=36:\sqrt{{18}^2}-13$

$=36:\left|18\right|-13$

$=36:18-13$

$=2-13=-1$

c) Ta có: $\sqrt{81}=\sqrt{9^2}=\left|9\right|=9$

$\Rightarrow \sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=\left|3\right|=3$

d) Ta có: $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=\left|5\right|=5$

Bài 12 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{2x+7};$ c) $\sqrt{\frac{1}{-1+x}}$

b) $\sqrt{-3x+4};$ d) $\sqrt{1+x^2}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\sqrt{2x+7}$ có nghĩa khi và chỉ khi: $2x+7\ge 0$

$\iff 2x\ge -7$

$\iff x\ge \frac{-7}{2}.$

b) Ta có

$\sqrt{-3x+4}$ có nghĩa khi và chỉ khi: $-3x+4\ge 0$

$\iff -3x\ge -4$

$\iff x\le \frac{-4}{-3}$

$\iff x\le \frac{4}{3}$

c) Ta có:

$\sqrt{\frac{1}{-1+x}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$\{\begin{array}{c}\frac{1}{-1+x}\ge 0\hfill \\ -1+x\ne 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}-1+x\ge 0\hfill \\ -1+x\ne 0\hfill \end{array}\iff -1+x>0$

$\iff x>1$

d) $\sqrt{1+x^2}$

Ta có:$x^2\ge 0$, với mọi số thực $x$

$\iff x^2+1\ge 0+1$, (Cộng cả 2 vế của bất đẳng thức trên với $1$)

$\iff x^2+1\ge 1$, mà $1>0$

$\iff x^2+1>0$

Vậy căn thức trên luôn có nghĩa với mọi số thực $x$

Bài 13 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{a^2}-5a$ với $(a<0)$.

b) $\sqrt{25a^2}+3a$ với $(a\ge 0)$.

c) $\sqrt{9a^4}+3a^2$,

d) $5\sqrt{4a^6}-3a^3$với $a<0$

a) Ta có: $2\sqrt{a^2}-5a=2|a|-5a$

$=2.(-a)-5a$ (Vì $a<0$ nên $\left|a\right|=-a$)

$=-2a-5a$

$=(-2-5)a$

$=-7a$

Vậy $2\sqrt{a^2}-5a=-7a$.

b) Ta có: $\sqrt{9a^4}+3a^2=\sqrt{9}.\sqrt{a^4}+3a^2$

$=\sqrt{3^2}.\sqrt{(a^2{)}^2}+3a^2$

$=\left|3\right|.\left|a^2\right|+3a^2$

$=3a^2+3a^2$

$=(3+3)a^2$

$=6a^2.$

(Vì $a^2\ge 0,\mathrm{\forall }aϵ\mathbb{R}\Rightarrow |a^2|=a^2$).

c) Ta có: $\sqrt{25a^2}+3a=\sqrt{25}.\sqrt{a^2}+3a$

$=\sqrt{5^2}.\left|a\right|+3a$

$=\left|5\right|.a+3a$ , (Vì $a\ge 0\Rightarrow |a|=a$)

$=5a+3a$

$=(5+3)a$

$=8a.$

d) Ta có:

$5\sqrt{4a^6}-3a^3=5.\sqrt{4}.\sqrt{a^6}-3a^3$

$=5.\sqrt{2^2}.\sqrt{(a^3{)}^2}-3a^3$

$=5.\left|2\right|.\left|a^3\right|-3a^3$

$=5.2.(-a^3)-3a^3,$ (vì $a<0$ $|a^3|=-a^3$)

$=10.(-a^3)-3a^3$

$=-10a^3-3a^3$

$=(-10-3)a^3$

$=-13a^3.$

Bài 14 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Phân tích thành nhân tử:

$a)x^2-3.$ $b)x^2-6;$

$c)x^2+2\sqrt{3}x+3;$ $d)x^2-2\sqrt{5}x+5.$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$x^2-3=x^2-(\sqrt{3}{)}^2$

$=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ (Áp dụng hằng đẳng thức số 3)

b) Ta có:

$x^2-6=x^2-(\sqrt{6}{)}^2$

$=(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})$ (Áp dụng hằng đẳng thức số 3)

c) Ta có:

$x^2+2\sqrt{3}x+3=x^2+2.x.\sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2$

$=(x+\sqrt{3}{)}^2$ (Áp dụng hằng đẳng thức số 1)

d) Ta có:

$x^2-2\sqrt{5}x+5=x^2-2.x.\sqrt{5}+(\sqrt{5}{)}^2$

$=(x-\sqrt{5}{)}^2$ (Áp dụng hằng đẳng thức số 2).

Bài 15 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Giải các phương trình sau:

$a)x^2-5=0;$ $b)x^2-2\sqrt{11}x+11=0$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $x^2-5=0$

$\iff x^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2=0$ (AD hằng đẳng thức số 3)

$\iff \left(x+\sqrt{5}\right).\left(x-\sqrt{5}\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x+\sqrt{5}=0\hfill \\ x-\sqrt{5}=0\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-\sqrt{5}\hfill \\ x=\sqrt{5}\hfill \end{array}$

Vậy $S=\left\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\right\}$.

b) Ta có:

$x^2-2\sqrt{11}x+11=0$
$\iff x^2-2.x.\sqrt{11}+{\left(\sqrt{11}\right)}^2=0$
$\iff {\left(x-\sqrt{11}\right)}^2=0$
$\iff x-\sqrt{11}=0$

$\iff x=\sqrt{11}$

Vậy $S=\left\{\sqrt{11}\right\}$

Bài 16 trang 12 sgk Toán 9 tập 1

Đố Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây.

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có

$m^2+V^2=V^2+m^2$

Cộng hai về với $-2mV$. Ta có

$m^2-2mV+V^2=V^2-2mV+m^2,$

hay ${(m-V)}^2={(V-m)}^2$

Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được:

$\sqrt{{(m-V)}^2}=\sqrt{{(V-m)}^2}$

Do đó $m-V=V-m$

Từ đó ta có $2m=2V$, suy ra $m=V$. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Hướng dẫn giải:

Phép chứng minh sai ở chỗ: Sau khi lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức

$(m-V{)}^2=(V-m{)}^2$

Ta được kết quả $│m-V│=│V-m│$ chứ không thể có $m-V=V-m.$

.......................

Bài tiếp theo: Giải Toán 9 bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương