Giải Toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

Giải sgk Toán 9 trang 29, 30

Toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

Câu hỏi 1 trang 28 SGK Toán 9 tập 1
Câu hỏi 2 trang 29 SGK Toán 9 tập 1
Giải bài tập Toán 9 trang 29, 30 tập 1
Giải SGK Toán 9 trang 30: Luyện tập

Mời các bạn tham khảo Giải SGK Toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) được VnDoc đăng tải sau đây. Tài liệu giúp các em biết giải các bài tập trong SGK Toán 9 tập 1 trang 29, 30, 31. Tài liệu giúp các em nâng cao kỹ năng giải bài tập Toán 9, từ đó học tốt môn Toán hơn. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Câu hỏi 1 trang 28 SGK Toán 9 tập 1

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a. $\sqrt {\frac{4}{5}}$ $\sqrt {\frac{4}{5}}$ b. $\sqrt {\frac{3}{{125}}}$ $\sqrt {\frac{3}{{125}}}$ c. $\sqrt {\frac{3}{{2{a^3}}}}$ $\sqrt {\frac{3}{{2{a^3}}}}$ với a > 0

Lời giải chi tiết

a. $\sqrt {\frac{4}{5}} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2.\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ $\sqrt {\frac{4}{5}} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2.\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

b. $\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {25.5} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{5\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt 5 }}{{5.\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{{5.5}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}$ $\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {25.5} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{5\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt 5 }}{{5.\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{{5.5}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}$

c. $\sqrt {\frac{3}{{2{a^3}}}} = \sqrt {\frac{{3.2{a^3}}}{{2{a^3}.2{a^3}}}} = \frac{{\sqrt {{a^2}.6a} }}{{\sqrt {{{\left( {2{a^3}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {6a} }}{{2{a^3}}} = \frac{{\sqrt {6a} }}{{2{a^2}}}$ $\sqrt {\frac{3}{{2{a^3}}}} = \sqrt {\frac{{3.2{a^3}}}{{2{a^3}.2{a^3}}}} = \frac{{\sqrt {{a^2}.6a} }}{{\sqrt {{{\left( {2{a^3}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {6a} }}{{2{a^3}}} = \frac{{\sqrt {6a} }}{{2{a^2}}}$

Câu hỏi 2 trang 29 SGK Toán 9 tập 1

Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{5}{{3\sqrt 8 }};\frac{2}{{\sqrt b }}$ $\frac{5}{{3\sqrt 8 }};\frac{2}{{\sqrt b }}$ với b > 0

b. $\frac{5}{{5 - 2\sqrt 3 }};\frac{{2a}}{{1 - \sqrt a }}$ $\frac{5}{{5 - 2\sqrt 3 }};\frac{{2a}}{{1 - \sqrt a }}$ với a ≥ 0, a ≠ 1

c. $\frac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }};\frac{{6a}}{{2\sqrt a - \sqrt b }}$ $\frac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }};\frac{{6a}}{{2\sqrt a - \sqrt b }}$ với a > b > 0

Lời giải chi tiết

a. Ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{5}{{3\sqrt 8 }} = \dfrac{5}{{3\sqrt {4.2} }} = \dfrac{5}{{3.2.\sqrt 2 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{6\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{6.2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{12}} \hfill \\ \dfrac{2}{{\sqrt b }} = \dfrac{{2\sqrt b }}{{\sqrt b .\sqrt b }} = \dfrac{{2\sqrt b }}{b} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \dfrac{5}{{3\sqrt 8 }} = \dfrac{5}{{3\sqrt {4.2} }} = \dfrac{5}{{3.2.\sqrt 2 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{6\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{6.2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{12}} \hfill \\ \dfrac{2}{{\sqrt b }} = \dfrac{{2\sqrt b }}{{\sqrt b .\sqrt b }} = \dfrac{{2\sqrt b }}{b} \hfill \\ \end{matrix}$

b. Ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{5}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{{5^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{13}} \hfill \\ \dfrac{{2a}}{{1 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{{1^2} - a}} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \dfrac{5}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{{5^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{13}} \hfill \\ \dfrac{{2a}}{{1 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{{1^2} - a}} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}$

c. Ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{7 - 5}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{2} = 2\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \hfill \\ \dfrac{{6a}}{{2\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {2\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{{{\left( {2\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{4a - b}} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \dfrac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{7 - 5}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{2} = 2\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \hfill \\ \dfrac{{6a}}{{2\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {2\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{{{\left( {2\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{4a - b}} \hfill \\ \end{matrix}$

Giải bài tập Toán 9 trang 29, 30 tập 1

Bài 48 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$\sqrt{\dfrac{1}{600}};\,\,\sqrt{\dfrac{11}{540}};\,\,\sqrt{\dfrac{3}{50}};\,\,\sqrt{\dfrac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.$ $\sqrt{\dfrac{1}{600}};\,\,\sqrt{\dfrac{11}{540}};\,\,\sqrt{\dfrac{3}{50}};\,\,\sqrt{\dfrac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.$

Gợi ý đáp án

$+\sqrt{\dfrac{1}{600}}=\dfrac{\sqrt 1}{\sqrt{600}}=\dfrac{ 1}{\sqrt{6.100}}=\dfrac{1}{\sqrt{6.10^2}}$ $+\sqrt{\dfrac{1}{600}}=\dfrac{\sqrt 1}{\sqrt{600}}=\dfrac{ 1}{\sqrt{6.100}}=\dfrac{1}{\sqrt{6.10^2}}$

$=\dfrac{ 1}{\sqrt{6}.\sqrt{10^2}}=\dfrac{ 1}{10\sqrt{6}}=\dfrac{ 1.\sqrt 6}{10.6}=\dfrac{ \sqrt 6}{60}$ $=\dfrac{ 1}{\sqrt{6}.\sqrt{10^2}}=\dfrac{ 1}{10\sqrt{6}}=\dfrac{ 1.\sqrt 6}{10.6}=\dfrac{ \sqrt 6}{60}$

$+\sqrt{\dfrac{11}{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36.15}}$ $+\sqrt{\dfrac{11}{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36.15}}$

$=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36}.\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{6^2}.\sqrt{15}}$ $=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36}.\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{6^2}.\sqrt{15}}$

$=\dfrac{\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}.\sqrt{15}}{6.15}$ $=\dfrac{\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}.\sqrt{15}}{6.15}$

$=\dfrac{\sqrt{11.15}}{90}=\dfrac{\sqrt{165}}{90}.$ $=\dfrac{\sqrt{11.15}}{90}=\dfrac{\sqrt{165}}{90}.$

$+ \sqrt{\dfrac{3}{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{25.2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}.\sqrt{2}}$ $+ \sqrt{\dfrac{3}{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{25.2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}.\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5^2}.\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt 2}{5.2}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5^2}.\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt 2}{5.2}$

$=\dfrac{\sqrt{3.2}}{10}=\dfrac{\sqrt{6}}{10}$ $=\dfrac{\sqrt{3.2}}{10}=\dfrac{\sqrt{6}}{10}$

$+ \sqrt{\dfrac{5}{98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt {98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49.2}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49}\sqrt{2}}$ $+ \sqrt{\dfrac{5}{98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt {98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49.2}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49}\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{7^2}.\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5}{7\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5 . \sqrt 2}{7. 2}$ $=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{7^2}.\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5}{7\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5 . \sqrt 2}{7. 2}$

$=\dfrac{\sqrt {5. 2}}{14}=\dfrac{\sqrt{10}}{14}.$ $=\dfrac{\sqrt {5. 2}}{14}=\dfrac{\sqrt{10}}{14}.$

$+\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {9.3}}$ $+\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {9.3}}$

$=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {3^2.3}}=\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}$ $=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {3^2.3}}=\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}$

Vì 1< 3 $\Leftrightarrow \sqrt 1 < \sqrt 3 \Leftrightarrow 1< \sqrt 3 \Leftrightarrow 1- \sqrt 3 < 0$ $\Leftrightarrow \sqrt 1 < \sqrt 3 \Leftrightarrow 1< \sqrt 3 \Leftrightarrow 1- \sqrt 3 < 0$

$\Leftrightarrow |1- \sqrt 3|=-(1-\sqrt 3)=-1 + \sqrt 3 = \sqrt 3 -1.$ $\Leftrightarrow |1- \sqrt 3|=-(1-\sqrt 3)=-1 + \sqrt 3 = \sqrt 3 -1.$

Do đó: $\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt 3(\sqrt{3}-1)}{9}=\dfrac{3-\sqrt 3}{9}.$ $\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt 3(\sqrt{3}-1)}{9}=\dfrac{3-\sqrt 3}{9}.$

Bài 49 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\,\,\, \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\dfrac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.$ $ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\,\,\, \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\dfrac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.$

Gợi ý đáp án

Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.

+ Ta có

$ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=ab\sqrt{\dfrac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.$ $ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=ab\sqrt{\dfrac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.$

*) Nếu b > 0 thì |b|=b $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}.$ $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}.$

*) Nếu b < 0 thì |b|=-b $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=-ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}.$ $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=-ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}.$

+ Ta có:

$\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b.a}{a.a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}$ $\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b.a}{a.a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}$

$=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}$ $=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}$

*) Nếu a> 0 thì $|a|=a \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .$ $|a|=a \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .$

*) Nếu a<0 thì |a|=-a $\Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=-\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .$ $\Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=-\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .$

+ Ta có:

$\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b+1}{b^2}}$ $\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b+1}{b^2}}$

$=\dfrac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}.$ $=\dfrac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}.$

*) Nếu b> 0 thì |b|=b $\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}.$ $\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}.$

*) Nếu -1 $\le$ $\le$ b < 0 thì |b|=-b $\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}.$ $\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}.$

+ Ta có:

$\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\dfrac{9}{36}}.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{\dfrac{a^3.b}{b.b}}$ $\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\dfrac{9}{36}}.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{\dfrac{a^3.b}{b.b}}$

$=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2.ab}{b^2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$ $=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2.ab}{b^2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$

$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}.$ $=\dfrac{1}{2}.\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}.$

*) Nếu $a \ge 0,\ b > 0$ $a \ge 0,\ b > 0$ thì |a|=a, |b| =b $\Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}.$ $\Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}.$

*) Nếu a < 0, b < 0 thì |a|=-a, |b| =-b $\Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}.$ $\Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}.$

(Chú ý: Theo đề bài $\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}$ $\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}$có nghĩa nên a, b cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp a, b cùng âm hoặc cùng dương).

+ Ta có:

$3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\dfrac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{(xy)^2}}$ $3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\dfrac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{(xy)^2}}$

$=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{|xy|} =\dfrac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.$ $=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{|xy|} =\dfrac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.$

(Vì theo đề bài $\sqrt{\dfrac{2}{xy}}$ $\sqrt{\dfrac{2}{xy}}$ có nghĩa nên $\dfrac{2}{xy} > 0 \Leftrightarrow xy > 0 \Rightarrow |xy|=xy.$ $\dfrac{2}{xy} > 0 \Leftrightarrow xy > 0 \Rightarrow |xy|=xy.$)

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\dfrac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \dfrac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \dfrac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{y+b.\sqrt{y}}{b. \sqrt{y}}.$ $\dfrac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \dfrac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \dfrac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{y+b.\sqrt{y}}{b. \sqrt{y}}.$

Gợi ý đáp án

+ Ta có:

$\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{5.\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^2}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10}$ $\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{5.\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^2}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10}$

$=\dfrac{5.\sqrt{10}}{5.2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$ $=\dfrac{5.\sqrt{10}}{5.2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$

+ Ta có:

$\dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{5.\sqrt 5}{2\sqrt 5.\sqrt 5}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2.(\sqrt 5.\sqrt 5)}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2(\sqrt 5)^2}$ $\dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{5.\sqrt 5}{2\sqrt 5.\sqrt 5}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2.(\sqrt 5.\sqrt 5)}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2(\sqrt 5)^2}$

$=\dfrac{5\sqrt 5}{2.5}=\dfrac{\sqrt 5}{2}.$ $=\dfrac{5\sqrt 5}{2.5}=\dfrac{\sqrt 5}{2}.$

+ Ta có:

$\dfrac{1}{3\sqrt{20}}=\dfrac{1.\sqrt{20}}{3\sqrt{20}.\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20}.\sqrt{20})}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20})^2}$ $\dfrac{1}{3\sqrt{20}}=\dfrac{1.\sqrt{20}}{3\sqrt{20}.\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20}.\sqrt{20})}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20})^2}$

$=\dfrac{\sqrt{20}}{3.20}=\dfrac{\sqrt{2^2.5}}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{2.30}=\dfrac{\sqrt 5}{30}.$ $=\dfrac{\sqrt{20}}{3.20}=\dfrac{\sqrt{2^2.5}}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{2.30}=\dfrac{\sqrt 5}{30}.$

+ Ta có:

$\dfrac{(2\sqrt{2}+2)}{5.\sqrt 2}=\dfrac{(2\sqrt 2+2).\sqrt 2}{5\sqrt 2. \sqrt 2}=\dfrac{2\sqrt 2.\sqrt 2+2.\sqrt 2}{5.(\sqrt 2)^2}$ $\dfrac{(2\sqrt{2}+2)}{5.\sqrt 2}=\dfrac{(2\sqrt 2+2).\sqrt 2}{5\sqrt 2. \sqrt 2}=\dfrac{2\sqrt 2.\sqrt 2+2.\sqrt 2}{5.(\sqrt 2)^2}$

$=\dfrac{2.2+2\sqrt 2}{5.2}=\dfrac{2(2+\sqrt 2)}{5.2}=\dfrac{2+\sqrt 2}{5}.$ $=\dfrac{2.2+2\sqrt 2}{5.2}=\dfrac{2(2+\sqrt 2)}{5.2}=\dfrac{2+\sqrt 2}{5}.$

+ Ta có:

$\dfrac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\dfrac{(y+b\sqrt y).\sqrt y}{b\sqrt y .\sqrt y}=\dfrac{y\sqrt y+b\sqrt y.\sqrt y}{b.(\sqrt y)^2}$ $\dfrac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\dfrac{(y+b\sqrt y).\sqrt y}{b\sqrt y .\sqrt y}=\dfrac{y\sqrt y+b\sqrt y.\sqrt y}{b.(\sqrt y)^2}$

$= \dfrac{y\sqrt y+b(\sqrt y)^2}{by}=\dfrac{y\sqrt y+by}{by}$ $= \dfrac{y\sqrt y+b(\sqrt y)^2}{by}=\dfrac{y\sqrt y+by}{by}$

$=\dfrac{y(\sqrt y+b)}{b.y}=\dfrac{\sqrt y+b}{b}.$ $=\dfrac{y(\sqrt y+b)}{b.y}=\dfrac{\sqrt y+b}{b}.$

Bài 51 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}.$ $\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}.$

Gợi ý đáp án:

+ Ta có:

$\dfrac{3}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3\sqrt 3 - 3.1}{(\sqrt 3)^2-1^2}$ $\dfrac{3}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3\sqrt 3 - 3.1}{(\sqrt 3)^2-1^2}$

$=\dfrac{3\sqrt 3 -3}{3-1}=\dfrac{3\sqrt{3}-3}{2}.$ $=\dfrac{3\sqrt 3 -3}{3-1}=\dfrac{3\sqrt{3}-3}{2}.$

+ Ta có:

$\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{(\sqrt 3)^2-1^2}$ $\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{(\sqrt 3)^2-1^2}$

$=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{3-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1.$ $=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{3-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1.$

+ Ta có:

$\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{(2+\sqrt{3}).(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2-(\sqrt{3})^2}$ $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{(2+\sqrt{3}).(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2-(\sqrt{3})^2}$

$=\dfrac{2^2+2.2.\sqrt 3+(\sqrt{3})^2}{4-3}=\dfrac{4+4\sqrt 3+3}{1}=\dfrac{(4+3)+4\sqrt 3}{1}$ $=\dfrac{2^2+2.2.\sqrt 3+(\sqrt{3})^2}{4-3}=\dfrac{4+4\sqrt 3+3}{1}=\dfrac{(4+3)+4\sqrt 3}{1}$

$=\dfrac{7+4\sqrt 3}{1}=7+4\sqrt{3}.$ $=\dfrac{7+4\sqrt 3}{1}=7+4\sqrt{3}.$

+ Ta có:

$\dfrac{b}{3+\sqrt{b}}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b})(3-\sqrt{b})}$ $\dfrac{b}{3+\sqrt{b}}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b})(3-\sqrt{b})}$

$=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{3^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\neq 9).$ $=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{3^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\neq 9).$

+ Ta có:

$\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1)(2\sqrt{p}+1)}$ $\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1)(2\sqrt{p}+1)}$

$=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p})^2-1^2}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{4p-1}=\dfrac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}$ $=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p})^2-1^2}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{4p-1}=\dfrac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}$

Bài 52 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$ $\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$

Gợi ý đáp án

+ Ta có:

$\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}$ $\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}$

$=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{6-5}$ $=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{6-5}$

$=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{1}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5}).$ $=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{1}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5}).$

+ Ta có:

$\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}$ $\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}$

$=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}$ $=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}$

$=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7}.$ $=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7}.$

+ Ta có:

$\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{1.(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$ $\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{1.(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

$=\dfrac{\sqrt x + \sqrt y}{(\sqrt x)^2-(\sqrt y)^2}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$ $=\dfrac{\sqrt x + \sqrt y}{(\sqrt x)^2-(\sqrt y)^2}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$

+ Ta có:

$\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$ $\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

$=\dfrac{2ab(\sqrt a+ \sqrt b)}{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}.$ $=\dfrac{2ab(\sqrt a+ \sqrt b)}{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}.$

Giải SGK Toán 9 trang 30: Luyện tập

Bài 53 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

$a. \sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$ $a. \sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$

$b. ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}$ $b. ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}$

$c. \sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}$ $c. \sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}$

$d. \dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ $d. \dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Gợi ý đáp án

$a. \sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$ $a. \sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$

Ta có:

$\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}$ $\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}$

$=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$ $=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$

$=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ $=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2$ $=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2$

$=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6.$ $=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6.$

(Vì 2 < 3 $\Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0$ $\Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0$

Do đó: $|\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3=\sqrt 3-\sqrt2).$ $|\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3=\sqrt 3-\sqrt2).$

$b. ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}$ $b. ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}$

Ta có:

$ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}$ $ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}$

$=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}$ $=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}$

$=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}$ $=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}$

Nếu ab > 0 thì |ab|=ab

$\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}.$ $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}.$

Nếu ab < 0 thì |ab|=-ab

$\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}.$ $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}.$

$c. \sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}$ $c. \sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}$ $\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}$

$=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}.$ $=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}.$

(Vì $b^2 > 0$ với mọi $b \ne 0 nên |b^2|=b^2).$ $b \ne 0 nên |b^2|=b^2).$

$d. \dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ $d. \dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Ta có:

$\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ $\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$=\sqrt a.$ $=\sqrt a.$

Bài 54 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

$\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2};$ $\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2};$

Gợi ý đáp án

* Ta có:

$\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt 2)^2+ \sqrt 2}{1+ \sqrt 2}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}$ $\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt 2)^2+ \sqrt 2}{1+ \sqrt 2}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt 2(1+ \sqrt 2)}{\sqrt 2}=\sqrt{2}.$ $=\dfrac{\sqrt 2(1+ \sqrt 2)}{\sqrt 2}=\sqrt{2}.$

Cách khác:

$\begin{array}{l} \dfrac{{2+ \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}\\ = \dfrac{{2.1 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{1^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - 2}}{{1 - 2}}\\ = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{{ - 1}} = \sqrt 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} \dfrac{{2+ \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}\\ = \dfrac{{2.1 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{1^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - 2}}{{1 - 2}}\\ = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{{ - 1}} = \sqrt 2 \end{array}$

Nhận xét: Cách làm thứ nhất phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu đơn giản hơn cách thứ hai.

* Ta có:

$\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5.1}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}.1}{1-\sqrt{3}}$ $\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5.1}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}.1}{1-\sqrt{3}}$

$=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{-\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}.$ $=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{-\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}.$

+ Ta có:

$\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\dfrac{(\sqrt 2)^2.\sqrt 3-\sqrt 6}{\sqrt{4.2}- 2}$ $\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\dfrac{(\sqrt 2)^2.\sqrt 3-\sqrt 6}{\sqrt{4.2}- 2}$

$=\dfrac{\sqrt 2.(\sqrt 2.\sqrt 3)-\sqrt 6}{2\sqrt 2 -2}=\dfrac{\sqrt2.\sqrt{6}-\sqrt 6}{2(\sqrt{2}-1)}$ $=\dfrac{\sqrt 2.(\sqrt 2.\sqrt 3)-\sqrt 6}{2\sqrt 2 -2}=\dfrac{\sqrt2.\sqrt{6}-\sqrt 6}{2(\sqrt{2}-1)}$

$=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$ $=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

+ Ta có:

$\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{(\sqrt a)^2-\sqrt a .1}{1-\sqrt a}=\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}$ $\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{(\sqrt a)^2-\sqrt a .1}{1-\sqrt a}=\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}$

$=\dfrac{-\sqrt{a}(1-\sqrt{a})}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}.$ $=\dfrac{-\sqrt{a}(1-\sqrt{a})}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}.$

+ Ta có:

$\dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{(\sqrt p)^2-2.\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}.$ $\dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{(\sqrt p)^2-2.\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}.$

Bài 55 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Phân tích thành nhân tử (với a, b,x, y là các số không âm)

a. $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$ $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$

b, $\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$ $\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$

Gợi ý đáp án

a. $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$ $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$

Ta có:

$ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)$ $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)$

$=(ba+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)$ $=(ba+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)$

$=[(b\sqrt a).\sqrt a+ b\sqrt a.1]+(\sqrt a + 1)$ $=[(b\sqrt a).\sqrt a+ b\sqrt a.1]+(\sqrt a + 1)$

$=b\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+(\sqrt{a}+1)$ $=b\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+(\sqrt{a}+1)$

$=(\sqrt{a}+1)(b\sqrt{a}+1).$ $=(\sqrt{a}+1)(b\sqrt{a}+1).$

b, $\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$ $\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$

Ta có:

$\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$ $\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$

$=[(\sqrt x)^3-(\sqrt y)^3]+ (\sqrt{x.xy}-\sqrt{y.xy}) =(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]$ $=[(\sqrt x)^3-(\sqrt y)^3]+ (\sqrt{x.xy}-\sqrt{y.xy}) =(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]$

$+ (\sqrt{x}.\sqrt{xy}-\sqrt{y}.\sqrt{xy})$ $+ (\sqrt{x}.\sqrt{xy}-\sqrt{y}.\sqrt{xy})$

$=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2] + \sqrt{xy}.(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ $=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2] + \sqrt{xy}.(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2+\sqrt{xy}]$ $=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2+\sqrt{xy}]$

$=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + 2\sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2] =(\sqrt x-\sqrt y).(\sqrt x+\sqrt y)^2.$ $=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + 2\sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2] =(\sqrt x-\sqrt y).(\sqrt x+\sqrt y)^2.$

Bài 56 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

a. $3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}$ $3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}$

b. $6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.$ $6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.$

Gợi ý đáp án

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a. $3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}$ $3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}$

Ta có:

$\left\{ \matrix{ 3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}.5} = \sqrt {9.5} = \sqrt {45} \hfill \cr 2\sqrt 6 = \sqrt {{2^2}.6} = \sqrt {4.6} = \sqrt {24} \hfill \cr 4\sqrt 2 = \sqrt {{4^2}.2} = \sqrt {16.2} = \sqrt {32} \hfill \cr} \right.$ $\left\{ \matrix{ 3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}.5} = \sqrt {9.5} = \sqrt {45} \hfill \cr 2\sqrt 6 = \sqrt {{2^2}.6} = \sqrt {4.6} = \sqrt {24} \hfill \cr 4\sqrt 2 = \sqrt {{4^2}.2} = \sqrt {16.2} = \sqrt {32} \hfill \cr} \right.$

Vì: 24 < 29 < 32 < 45 $\Leftrightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}$ $\Leftrightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}$

b. $6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.$ $6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.$

Vì: 38 < 56 < 63 < $72\Leftrightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}$ $72\Leftrightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}$

$\Leftrightarrow \sqrt{38}< 2\sqrt{14}<3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{38}< 2\sqrt{14}<3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}$

Bài 57 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

$\sqrt {25x} - \sqrt {16x} = 9$ $\sqrt {25x} - \sqrt {16x} = 9$ khi x bằng

(A) 1;

(B) 3;

(C) 9;

(D) 81.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Gợi ý đáp án

Ta có:

$\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9$ $\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9$

$\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9 \Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9$ $\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9 \Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9$

$\Leftrightarrow (5-4)\sqrt{x}=9 \Leftrightarrow \sqrt{x}=9$ $\Leftrightarrow (5-4)\sqrt{x}=9 \Leftrightarrow \sqrt{x}=9$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=9^2 \Leftrightarrow x=81$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=9^2 \Leftrightarrow x=81$

Chọn đáp án D. 81

............................

Trên đây là Giải Toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo). Hy vọng tài liệu giúp các em hệ thống lại những kiến thức đã học trong bài, biết giải nhiều dạng toán 9 khác nhau. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt, nếu có thắc mắc hay trao đổi kiến thức các em có thể vào link sau nhé: Hỏi - đáp.

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm Tài liệu học tập lớp 9 như Toán lớp 9, Giải Toán 9, Giải SBT Toán 9, Trắc nghiệm Toán 9 và các đề học kì 1 lớp 9 và đề thi học kì 2 lớp 9 mới nhất được cập nhật Bài tiếp theo: Giải bài tập Toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất

Chia sẻ, đánh giá bài viết

16

36.114

Bài trước

Bài sau