Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lý thuyết và bài tập Toán 9: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 9, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 9. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A. Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác vuông
I. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
* Phát biểu: Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
* Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng 
\(A{B^2} = BH.BC\) và \(A{C^2} = CH.CB\)
→ Chứng minh:
+ Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) có:
\(\widehat {ABC}\)chung
\(\widehat {AHB} = \widehat {BAC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
Suy ra \(\Delta ABH\sim\Delta CBA\) (g.g) \(\Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)(đpcm)
II. Một số hệ thức liên quan tới đường cao
1. Định lí 1
* Phát biểu: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
* Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng :\(A{H^2} = BH.CH\)
→ Chứng minh:
+ Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) có:
\(\widehat {ABC}\)chung
\(\widehat {AHB} = \widehat {BAC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
Suy ra \(\Delta ABH\sim\Delta CBA\) (g.g) \(\Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BCA}\) (cặp góc tương ứng tỉ lệ)
+ Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHA\) có:
\(\widehat {BAH} = \widehat {BCA}\)(cmt)
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
Suy ra \(\Delta AHC\sim\Delta BHA\)(g.g) \(\Rightarrow \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HC}}{{HA}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
(đpcm)
\(\Rightarrow A{H^2} = BH.CH\)
2. Định lý 2
* Phát biểu: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
* Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng \(AB.AC = AH.BC\)
→ Chứng minh:
+ Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC \Rightarrow AB.AC = AH.BC\)(đpcm)
3. Định lý 3
* Phát biểu: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
* Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)
→ Chứng minh:
+ Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC \Rightarrow AB.AC = AH.BC\)
\(\Rightarrow A{B^2}.A{C^2} = A{H^2}.B{C^2} \Rightarrow A{B^2}.A{C^2} = A{H^2}.(A{B^2} + A{C^2})\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)(đpcm)
!Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm và AC = 8cm và đường cao AH. Tính BC, AH, BH và HC.
+ Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:
- \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (Pytago)
Thay số tính được BC = 10 (cm)
- \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Thay số tính được AH = \(\frac{{24}}{5}\) (cm)
- ·\(A{B^2} = BH.BC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Thay số tính được BH = \(\frac{{18}}{5}\) (cm)
- ·\(A{H^2} = BH.HC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Thay số tính được HC = \(\frac{{32}}{5}\) (cm)
B. Giải Toán 9
Trong Sách giáo khoa Toán lớp 9, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 9. Mời các bạn học sinh tham khảo:
C. Giải Bài tập Toán 9
Sách bài tập Toán 9 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
D. Bài tập Toán 9
Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Bài tập cơ bản cũng như Bài tập nâng cao do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
----------
Trên đây là tài liệu tổng hợp lý thuyết và bài tập Toán 9: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài ra các bạn học sinh hoặc quý phụ huynh còn có thể tham khảo thêm đề thi học kì 1 lớp 9 và đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh,.... Những đề thi này được VnDoc.com sưu tầm và chọn lọc từ các trường tiểu học trên cả nước nhằm mang lại cho học sinh lớp 9 những đề ôn thi học kì chất lượng nhất. Mời các em cùng quý phụ huynh tải miễn phí đề thi về và ôn luyện.
