Toán 9 Kết nối tri thức bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải SGK Toán 9

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức, giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 9 Bài 11.

Giải Toán 9 KNTT bài 11

Giải Toán 9 trang 66
Giải Toán 9 trang 67
- Câu hỏi trang 67 Toán 9 Tập 1:
- Hoạt động 1 trang 67 Toán 9 Kết nối tri thức
Giải Toán 9 trang 69
- Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
- Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Giải Toán 9 trang 70
Giải Toán 9 trang 71
- Luyện tập 4 trang 71 Toán 9 Tập 1:
Giải Toán 9 trang 72

Giải Toán 9 trang 66

Mở đầu trang 66 Toán 9 Tập 2: Ta có thể xác định “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h không? (H.4.1). (Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°).

Hướng dẫn giải

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có sinα= $\frac{h}{a}$

Vậy ta sẽ xác định được “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h.

Giải Toán 9 trang 67

Câu hỏi trang 67 Toán 9 Tập 1:

Xét góc C của tam giác ABC vuông tại A (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc C.

Câu hỏi trang 67 Toán 9 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 9

Hướng dẫn giải

Góc C có cạnh đối là AB và cạnh kề là AC.

Hoạt động 1 trang 67 Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có $\widehat B = \widehat {B'} = \alpha .$ Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C';$

b) $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{B'C'}};\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}};\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{A'B'}};\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}$

Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta có:

$\begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'} = {90^0}\\\widehat B = \widehat {B'} = \alpha \end{array}$

Nên $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\left( g-g \right)$

b) $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ suy ra $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}$ (tỉ lệ các cạnh tương ứng)

Do $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}$ nên ta có $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Do $\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}$ nên ta có $\frac{{A'C'}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{BC}}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Do $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}$ nên ta có $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}$ và $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Giải Toán 9 trang 69

Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và $AB = AC = a$ (H.4.7a).

HĐ2 trang 69 Toán 9 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 9

a) Hãy tính BC và các tỉ số $\frac{{AB}}{{BC}}$ và $\frac{{AC}}{{BC}}.$ Từ đó suy ra $\sin {45^0};\cos {45^0}.$

b) Hãy tính các tỉ số $\frac{{AB}}{{AC}}$ và $\frac{{AC}}{{AB}}.$ Từ đó suy ra $\tan {45^0};\cot {45^0}.$

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A, ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (Định lý Pythagore)

Nên $B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}$ suy ra $BC = a\sqrt 2$

a) Tỉ số $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ .

Do đó $\sin {45^0} = \sin \widehat B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};$ $\cos {45^0} = \cos \widehat B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

b) Tỉ số $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{a} = 1;$ $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1$

Do đó $\tan {45^0} = \tan \widehat B = \frac{{AC}}{{AB}} = 1;$ $\cot {45^0} = \cot \widehat B = \frac{{AB}}{{AC}} = 1$

Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a.

HĐ3 trang 69 Toán 9 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 9

a) Tính đường cao AH của tam giác ABC (H.4.7b) .

b) Tính $\sin {30^0};\cos {30^0};\sin {60^0};\cos {60^0}.$

c) Tính $\tan {30^0};\cot {30^0};\tan {60^0};\cot {60^0}.$

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó ta có H là trung điểm của BC nên $BH = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: $A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$ (Đjnh lý Pythagore)

Suy ra ${\left( {2a} \right)^2} = A{H^2} + {a^2}$ nên $A{H^2} = 3a$ hay $AH = a\sqrt 3$

b) Tam giác ABC đều nên $\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}$

Nên $\cos {60^0} = \cos \widehat B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2};$ $\sin {60^0} = \sin \widehat B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của góc A, do đó $\widehat {BAH} = \widehat {CAH} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}$

$\sin {30^0} = \sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2};$ $\cos {30^0} = \cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

c) $\tan {30^0} = \tan \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$\cot {30^0} = \cot \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3$

$\tan {60^0} = \tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3$

$\cot {60^0} = \tan \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Giải Toán 9 trang 70

Luyện tập 2 trang 70 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat C = {45^0}$ và $AB = c.$ Tính BC và AC theo c.

Hướng dẫn giải

Luyện tập 2 trang 70 Toán 9 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 9

Ta có: $\tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}}$ suy ra $\tan {45^0} = \frac{c}{{AC}}$ do đó $1 = \frac{c}{{AC}}$ hay $AC = c$

$\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $\sin {45^0} = \frac{c}{{BC}}$ do đó $\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{c}{{BC}}$ hay $BC = \frac{{2c}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 c$

Hoạt động 4 trang 70 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC vuông tại C, có $\widehat A = \alpha ,\widehat B = \beta$ (H.4.9) . Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc $\alpha ,\beta$ theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

| Kết nối tri thức Giải Toán 9

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\sin \alpha = \frac{{BC}}{{AB}};$ $\cos \alpha = \frac{{AC}}{{AB}};$ $\tan \alpha = \frac{{BC}}{{AC}};$ $\cot \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}$

$\sin \beta = \frac{{AC}}{{AB}};$ $\cos \beta = \frac{{BC}}{{AB}};$ $\tan \beta = \frac{{AC}}{{BC}};$ $\cot \beta = \frac{{BC}}{{AC}}$

Từ đó ta có

$\sin \alpha = \cos \beta ;$ $\cos \alpha = \sin \beta ;$ $\tan \alpha = \cot \beta ;$ $\cot \alpha = \tan \beta .$

Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Hãy giải thích tại sao $\sin {35^0} = \cos {55^0},\tan {35^0} = \cot {55^0}.$

Hướng dẫn giải

Vì ${35^0} + {55^0} = {90^0}$ nên $\sin {35^0} = \cos {55^0},\tan {35^0} = \cot {55^0}.$

Giải Toán 9 trang 71

Luyện tập 4 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) sin40°54’;

b) cos52°15’;

c) tan69°36’;

d) cot25°18’.

Hướng dẫn giải

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

Luyện tập 4 trang 71 Toán 9 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 9

sin40°54’ ≈ 0,655; cos52°15’ ≈ 0,612; tan69°36’ ≈ 2,689; cot25°18’ ≈ 2,116.

Giải Toán 9 trang 72

Luyện tập 5 trang 72 Toán 9 Tập 1:

Dùng MTCT, tìm các góc α (làm tròn đến phút), biết:

a) sinα = 0,3782;

b) cosα = 0,6251;

c) tanα = 2,154;

d) cotα = 3,253.

Hướng dẫn giải

Vận dụng trang 72 Toán 9 Tập 1:

Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một tòa chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh tòa nhà dài 4 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,4 m.

a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

Vận dụng trang 72 Toán 9 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 9

Hướng dẫn giải

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có sinα= $\frac{h}{a}$ = $\frac{0,4}{4}$ =0,1, do đó α ≈ 5°44’.

b) Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°.

Vì α ≈ 5°44’ < 6° nên góc đó đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn.

Tranh luận trang 72 Toán 9 Tập 1:

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn A và B là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm C về phía bờ sông có chứa B sao cho tam giác ABC vuông tại B. Ở bên bờ sông chứa B, người ta đo được ACB $\widehat {ACB}$ =α và BC = a (H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách AB chưa? Nếu được, hãy tính AB, biết α = 55°, a = 70 m.