Toán 9 Kết nối tri thức bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức, giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 9 Bài 1.

Giải Toán 9 trang 66 KNTT

Mở đầu trang 66 SGK Toán 9 tập 1

Ta có thể xác định “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h không? (H.4.1). (Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°).

Hướng dẫn giải

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có sinα=\(\frac{h}{a}\)

Vậy ta sẽ xác định được “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h.

Giải Toán 9 trang 67 KNTT

Câu hỏi trang 67 SGK Toán 9 tập 1

Xét góc C của tam giác ABC vuông tại A (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc C.

Hướng dẫn giải

Góc C có cạnh đối là AB và cạnh kề là AC.

Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có \(\widehat B = \widehat {B'} = \alpha .\) Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C';\)

b) \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{B'C'}};\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}};\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{A'B'}};\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}\)

Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'} = {90^0}\\\widehat B = \widehat {B'} = \alpha \end{array}\)

Nên \(\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\left( g-g \right)\)

b) \(\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\) suy ra \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) (tỉ lệ các cạnh tương ứng)

Do \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\) nên ta có \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}}\) (tính chất tỉ lệ thức)

Do \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) nên ta có \(\frac{{A'C'}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) (tính chất tỉ lệ thức)

Do \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) nên ta có \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}\) và \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}\) (tính chất tỉ lệ thức)

Giải Toán 9 trang 69 KNTT

Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và \(AB = AC = a\) (H.4.7a).

a) Hãy tính BC và các tỉ số \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{AC}}{{BC}}.\) Từ đó suy ra \(\sin {45^0};\cos {45^0}.\)

b) Hãy tính các tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}}\) và \(\frac{{AC}}{{AB}}.\) Từ đó suy ra \(\tan {45^0};\cot {45^0}.\)

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lý Pythagore)

Nên \(B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\) suy ra \(BC = a\sqrt 2\)

a) Tỉ số \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(\sin {45^0} = \sin \widehat B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\) \(\cos {45^0} = \cos \widehat B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

b) Tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{a} = 1;\) \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1\)

Do đó \(\tan {45^0} = \tan \widehat B = \frac{{AC}}{{AB}} = 1;\) \(\cot {45^0} = \cot \widehat B = \frac{{AB}}{{AC}} = 1\)

Hoạt động 3 trang 69 Toán 9 tập 1

Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a.

a) Tính đường cao AH của tam giác ABC (H.4.7b) .

b) Tính \(\sin {30^0};\cos {30^0};\sin {60^0};\cos {60^0}.\)

c) Tính \(\tan {30^0};\cot {30^0};\tan {60^0};\cot {60^0}.\)

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó ta có H là trung điểm của BC nên \(BH = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\) (Đjnh lý Pythagore)

Suy ra \({\left( {2a} \right)^2} = A{H^2} + {a^2}\) nên \(A{H^2} = 3a\) hay \(AH = a\sqrt 3\)

b) Tam giác ABC đều nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\)

Nên \(\cos {60^0} = \cos \widehat B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2};\) \(\sin {60^0} = \sin \widehat B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của góc A, do đó \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\)

\(\sin {30^0} = \sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2};\) \(\cos {30^0} = \cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

c) \(\tan {30^0} = \tan \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\(\cot {30^0} = \cot \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3\)

\(\tan {60^0} = \tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3\)

\(\cot {60^0} = \tan \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Giải Toán 9 trang 70 KNTT

Luyện tập 2 trang 70 SGK Toán 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat C = {45^0}\) và \(AB = c.\) Tính BC và AC theo c.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(\tan {45^0} = \frac{c}{{AC}}\) do đó \(1 = \frac{c}{{AC}}\) hay \(AC = c\)

\(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(\sin {45^0} = \frac{c}{{BC}}\) do đó \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{c}{{BC}}\) hay \(BC = \frac{{2c}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 c\)

Hoạt động 4 trang 70 SGK Toán 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại C, có \(\widehat A = \alpha ,\widehat B = \beta\) (H.4.9) . Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc \(\alpha ,\beta\) theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\sin \alpha = \frac{{BC}}{{AB}};\) \(\cos \alpha = \frac{{AC}}{{AB}};\) \(\tan \alpha = \frac{{BC}}{{AC}};\) \(\cot \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}\)

\(\sin \beta = \frac{{AC}}{{AB}};\) \(\cos \beta = \frac{{BC}}{{AB}};\) \(\tan \beta = \frac{{AC}}{{BC}};\) \(\cot \beta = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Từ đó ta có

\(\sin \alpha = \cos \beta ;\) \(\cos \alpha = \sin \beta ;\) \(\tan \alpha = \cot \beta ;\) \(\cot \alpha = \tan \beta .\)

Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Hãy giải thích tại sao \(\sin {35^0} = \cos {55^0},\tan {35^0} = \cot {55^0}.\)

Hướng dẫn giải

Vì \({35^0} + {55^0} = {90^0}\) nên \(\sin {35^0} = \cos {55^0},\tan {35^0} = \cot {55^0}.\)

Giải Toán 9 trang 71 KNTT

Luyện tập 4 trang 71 Toán 9 Tập 1

Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) sin40°54’;

b) cos52°15’;

c) tan69°36’;

d) cot25°18’.

Hướng dẫn giải

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

sin40°54’ ≈ 0,655; cos52°15’ ≈ 0,612; tan69°36’ ≈ 2,689; cot25°18’ ≈ 2,116.

Giải Toán 9 trang 72 KNTT

Luyện tập 5 trang 72 Toán 9 Tập 1:

Dùng MTCT, tìm các góc α (làm tròn đến phút), biết:

a) sinα = 0,3782;

b) cosα = 0,6251;

c) tanα = 2,154;

d) cotα = 3,253.

Hướng dẫn giải

Vận dụng trang 72 Toán 9 Tập 1:

Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một tòa chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh tòa nhà dài 4 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,4 m.

a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

Hướng dẫn giải

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có sinα=\(\frac{h}{a}\)=\(\frac{0,4}{4}\)=0,1, do đó α ≈ 5°44’.

b) Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°.

Vì α ≈ 5°44’ < 6° nên góc đó đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn.

Tranh luận trang 72 Toán 9 Tập 1:

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn A và B là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm C về phía bờ sông có chứa B sao cho tam giác ABC vuông tại B. Ở bên bờ sông chứa B, người ta đo được ACB\(\widehat {ACB}\)=α và BC = a (H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách AB chưa? Nếu được, hãy tính AB, biết α = 55°, a = 70 m.

Vuông cho rằng: Không thể tính được AB vì trong tam giác vuông ABC, theo định lí Pythagore, phải biết được hai cạnh mới tính được cạnh thứ ba.

Tròn khẳng định: Với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB rồi.

Em hãy cho biết ý kiến của mình.

Hướng dẫn giải

Em đồng ý với ý kiến của bạn Tròn, tức là với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB.

Giải thích: Ta có tanα=\(\frac{AB}{BC}\), suy ra AB = BC.tanα = a.tanα.

Với α = 55°, a = 70 m, ta có: AB = 70.tan55° ≈ 99,97 (m).

Giải Toán 9 trang 73 KNTT

Bài 4.1 Trang 73 Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn B và C khi biết: 

a) AB = 8 cm, BC = 17 cm;

b) AC = 0,9 cm, AB = 1,2 cm.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² 

⇒ AC² = BC² - AB² = 17² - 8² = 225 

⇒ AC = 15 cm

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang, ta có:

\(\sin B = \cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17}\)

\(\cos B = \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{17}\)

\(\tan B = \cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{8}\)

\(\cot B = \tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}\)

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 0,9² + 1,2² = 2,25

⇒ BC = 1,5 cm

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang, ta có:

\(\sin B = \cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{1,2}{1,5} =\frac{4}{5}\)

\(\cos B = \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{0,9}{1,5} =\frac{3}{ 5}\)

\(\tan B = \cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{1,2}{0,9} =\frac{4}{3}\)

\(\cot B = \tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{0,9}{1,2}=\frac{3}{4}\)

Bài 4.2 Trang 73 Toán 9 Tập 1

Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60° và cạnh kề với góc 60° bằng 3 cm. Hãy tính cạnh đối của góc này. 

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC vuông tại A:

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác tan, ta có:

\(\tan60^o=\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{3}\)

⇒ AB = 3 . tan 60^o = \(3\sqrt{3}\) (cm)

Bài 4.3 Trang 73 Toán 9 Tập 1

Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° và cạnh đối với góc này bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC vuông tại A:

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, ta có:

\(\sin30^o=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{BC}\)

⇒ \(BC=\frac{5}{\sin30^o}=10\) (cm)

Bài 4.4 Trang 73 Toán 9 Tập 1 

Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và \(\sqrt{3}\). Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69). 

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là góc β

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác tan, ta có:

\(\tan \beta=\frac{3 }{ \sqrt{3} } =\sqrt{3}\) ⇒ β = 60^o.

Bài 4.5 Trang 73 Toán 9 Tập 1

a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45°:

sin 55^o, cos 62^o, tan 57^o, cot 64^o.

b) Tính \(\frac{\tan25^o}{\cot65^o}\), tan 34^o − cot 56^o.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

sin 55^o = cos (90^o – 55^o) = cos 35^o

cos 62^o = sin (90^o – 62^o) = sin 28^o

tan 57^o = cot (90^o – 57^o) = cot 33^o 

cot 64^o = tan (90^o – 64^o) = tan 26^o.

b) Ta có:

\(\frac{\tan25^o}{\cot65^o}=\frac{\cot65^o}{\cot65^o}=1\)

tan 34^o − cot 56^o = cot 56^o − cot 56^o = 0

Bài 4.6 Trang 73 Toán 9 Tập 1

Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

d) cot 35^o20'

Hướng dẫn giải:

Sử dụng MTCT, ta được:

a) sin 40^o12' ≈ 0,645

b) cos 52^o54' ≈ 0,603

c) tan 63^o36' ≈ 2,014

d) cot 35^o20' ≈ 1,411

Bài 4.7 Trang 73 Toán 9 Tập 1 

Dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng:

a) sin x = 0,2368

b) cos x = 0,6224

c) tan x = 1,236

d) cot x = 2,154

Hướng dẫn giải:

Sử dụng MTCT, ta được:

a) sin x = 0,2368 ⇒ x ≈ 13^o42'

b) cos x = 0,6224 ⇒ x ≈ 51^o3'

c) tan x = 1,236 ⇒ x ≈ 51^o1'

d) cot x = 2,154 ⇒ x ≈ 24^o54'