Giải Toán 9 trang 110 tập 1 Kết nối tri thức
Giải Toán 9 trang 110 Tập 1
Giải Toán 9 trang 110 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 110.
Giải bài 5.28 Trang 110 Toán 9 Tập 1
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, điểm O nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ O đến a và b lần lượt bằng 2 cm và 3 cm.
a) Hỏi bán kính của đường tròn (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b?
b) Biết rằng đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (O; R) và đường thẳng b.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b khi và chỉ khi R > 3 cm.
b) Đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a nên R = 2 cm < 3 cm.
Do đó (O; R) cắt đường thẳng b.
Giải bài 5.29 Trang 110 Toán 9 Tập 1
Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T1), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T2).
a) Hai đường tròn (T1) và (T2) có vị trí tương đối như thế nào?
b) Giả sử bán kính của (T1) và (T2) lần lượt là R1 và R2. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng 
\(\frac{1}{2}\)R1 và có bán kính bằng \(\frac{1}{2}\)R2. Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T3) đối với mỗi đường tròn (T1) và (T2). Vẽ ba đường tròn đó nếu R1 = 3 cm, R2 = 2 cm.
Hướng dẫn giải:
a) Hai đường tròn (T1) và (T2) là hai đường tròn đồng tâm, (T1) chứa (T2).
b) Gọi tâm của (T1) là O, tâm của (T3) là O’
Xét các đường tròn \(\left( {{T_1}} \right)\) và \(\left( {{T_3}} \right)\), ta có:
\({{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\); \({{\rm{R}}_1} + {{\rm{R}}_3} > {{\rm{R}}_1}{\rm{ > }}\frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} = {\rm{OO'}}\) hay \({{\rm{R}}_1} + {R_3} > {\rm{OO'}}\)
\(\begin{array}{l}{R_1} - {R_3} = {R_1} - \frac{1}{2}{R_2}\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}{R_1} - \frac{1}{2}{R_2}\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \left( {\frac{1}{2}{R_1} - \frac{1}{2}{R_2}} \right)\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right)\end{array}\)
Vì \({R_1} - {R_2} > 0\) nên \(\frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right) > \frac{1}{2}{R_1} = OO'\) hay \({{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}{\rm{ > OO'}}\)hay \({\rm{OO'}} < {{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}\)
Vậy (T1) đựng (T3).
Xét các đường tròn \(\left( {{T_2}} \right)\) và \(\left( {{T_3}} \right)\), ta có:
\({{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\); \({{\rm{R}}_2}{\rm{ - }}{{\rm{R}}_3} = {R_2} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1} = OO'\) hay \({R_2} - {R_3} < OO'\)
\({R_2} + {R_3} = {R_2} + \frac{1}{2}{R_2} = \frac{3}{2}{R_2}\).
Trường hợp 1: \(\frac{3}{2}{R_2} > \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} > {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} > OO'\)
Suy ra \({R_2} - {R_3} < OO' < {R_2} + {R_3}\)
Vậy (T2) và (T3) cắt nhau.
Trường hợp 2: \(\frac{3}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} = {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} = OO'\)
Vậy (T2) tiếp xúc ngoài với (T3).
Trường hợp 3: \(\frac{3}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} < {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} < OO'\)
Vậy (T2) và (T3) ở ngoài nhau.
+ Với R1 = 3 cm, R2 = 2 cm, so sánh \(3{R_2}\) với \({R_1}\), ta được \(3{R_2} = 3.2 = 6 > 3 = {R_1}\)
=> Khi đó (T2) và (T3) cắt nhau.
\(\begin{array}{l}\left( {{T_3}} \right):{R_3} = \frac{1}{2}.2 = 1cm\\OO' = \frac{1}{2}{R_1} = \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}cm\end{array}\)
Giải bài 5.30 Trang 110 Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx' tại M và cắt yy' tại N.
a) Chứng minh rằng MN = MA + NB.
b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.
c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) MA và MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MP
NB và NP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên NA = NP
Do đó MN = MP + NP = MA + NB (đpcm)
b) Gọi C là giao điểm của AN và OQ
Ta có: MA ⊥ AB, OQ ⊥ AB và NB ⊥ AB nên MA // OQ // NB
Trong tam giác ANB có OQ đi qua trung điểm O của cạnh AB và song song với NB
Suy ra C là trung điểm của AN
Trong tam giác AMN có OQ đi qua trung điểm C của cạnh AN và song song với AM
Suy ra Q là trung điểm của MN
c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau nên OM và ON lần lượt là tia phân giác của góc AOP và BOP.
Do đó: \(\widehat{AOM}=\widehat{MOP}\) và \(\widehat{NOP}=\widehat{NOB}\)
Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{MOP} +\widehat{NOP}+\widehat{NOB} =180^{\circ}\)
\(\Rightarrow 2\widehat{MOP}+2\widehat{NOP} =180^{\circ}\)
\(\Rightarrow \widehat{MOP}+\widehat{NOP} =90^{\circ}\) hay \(\widehat{MON}=90^{\circ}\)
Xét tam giác MON vuông tại O, có OQ là đường trung tuyến
Suy ra CO = CM = CN = 1/2 MN
Vậy M, O, N cùng thuộc đương tròn tâm C, bán kính CO.
Mà CO ⊥ AB tại O
Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN
Hay AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.
Giải bài 5.31 Trang 110 Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó B ∈ (O) và C ∈ (O'). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O')
b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Do (O) và (O') tiếp xúc với nhau tại A nên A thuộc OO'
Mà AM là tiếp tuyến của (O) nên AM ⊥ OA
Do đó O'A ⊥ MA
Suy ra MA là tiếp tuyến tại A của (O') hay MA tiếp xúc với (O')
b) Ta có:
MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MB
MA và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O') nên MA = MC
Suy ra MB = MC = MA hay M là trung điểm của BC.
Xét tam giác ABC có AM là đường trung tuyến và MA = MB = MC
Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
-----------------------------------------------
---> Xem thêm: Giải Toán 9 trang 112 tập 1 Kết nối tri thức
Lời giải Toán 9 trang 110 Tập 1 Kết nối tri thức với các câu hỏi nằm trong Luyện tập chung trang 108, được VnDoc biên soạn và đăng tải!
