Toán 9 Kết nối tri thức Luyện tập chung trang 96
Giải Toán 9 Kết nối tri thức Luyện tập chung trang 96 hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 96, 97.
Giải Toán 9 KNTT Luyện tập chung trang 96
Bài 5.14 trang 97 Toán 9 Tập 1:
Cho dây AB không qua tâm của đường tròn (O). Gọi A' và B' là hai điểm lần lượt đối xứng với A và B qua (O). Hỏi đường trung trực của A'B' có phải là trục đối xứng của (O) hay không? Tại sao?
Hướng dẫn giải
Vì A' và B' là hai điểm lần lượt đối xứng với A và B qua (O) nên OA = OA', OB = OB'.
Mà dây AB không qua tâm của đường tròn (O) nên OA = OB (đều là bán kính của đường tròn (O)).
Suy ra OA = OA' = OB = OB'.
Do đó, O thuộc đường trung trực của A'B'.
Vậy đường trung trực của A'B' là một trục đối xứng của (O).
Bài 5.15 trang 97 Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC không là tam giác vuông. Gọi H và K là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ B và C xuống AC và AB. Chứng minh rằng:
a) Đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K;
b) KH < BC.
Hướng dẫn giải
a) Gọi trung điểm của BC là O.
Tam giác vuông BKC có KO là đường trung tuyến KO ứng với cạnh huyền BC nên
KO = OB = OC hay B, K, C thuộc đường tròn tâm O đường kính BC. (1)
Tam giác BHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên
HO = BO = OB hay B, H, C thuộc được đường tròn tâm O đường kính BC. (2)
Từ (1) và (2) ta có K, H thuộc đường tròn tâm O đường kính BC.
Vậy đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K.
b) Đường tròn tâm O có BC là đường kính và KH là dây không qua tâm O.
Do đó KH < BC.
Bài 5.16 trang 97 Toán 9 Tập 1:
Có thể xem guồng nước (còn gọi là cọn nước) là một công cụ hay cỗ máy có dạng hình tròn, quay được nhờ sức nước chảy (H.5.22a). Guồng nước thường thấy ở các vùng miền núi. Nhiều guồng nước được làm bằng tre, dùng để đưa nước lên ruộng cao, giã gạo hoặc làm một số việc khác.
Giả sử ngấn nước ngăn cách giữa phần trên và phần dưới của một guồng nước được biểu thị bởi cung ứng với một dây dài 4 m và điểm ngập sâu nhất là 0,5 m (trên hình 5.22b, điểm ngập sâu nhất là điểm C, ta có AB = 4 m và HC = 0, 5 m). Dựa vào đó, em hãy tính bán kính của guồng nước.
Hướng dẫn giải
Tam giác OAB có OA = OB nên tam giác OAB cân tại O.
Mà OH là đường cao nên OH cũng là đường trung trực của AB hay H là trung điểm của AB.
Do đó AH=HB=
\(\frac{1}{2}\)AB=\(\frac{1}{2}\)⋅4=2 (m) .
Xét đường tròn tâm O bán kính R nên ta có
OH = OC – HC = R − 0,5 (m).
Tam giác OAH vuông tại H nên ta có:
OA2 = OH2 + AH2 (theo định lí Pythagore)
Thay số ta có: R2 = (R − 0,5)2 + 42
Hay R2 = R2 – R + 0,25 + 16 suy ra R = 16,25 m.
Vậy bán kính của guồng nước là 16,25 m.
Bài 5.17 trang 98 Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O; 5 cm).
a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.
b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.
d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.
Hướng dẫn giải:
a) Lấy điểm H tùy ý sao cho OH = 2,5 cm
Vẽ đường thẳng vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn (O) tại A và B.
Khi đó ta được dây AB
b) Xét tam giác OAH vuông tại H, ta có:
OA2 = OH2 + AH2 (định lí Pythagore)
Suy ra AH2 = OA2 - OH2
= 52 - 2,52 = 18,75 hay AH ≈ 4,33 cm
Vậy AB = 2AH ≈ 2 . 4,33 ≈ 8,66 cm.
c) Tam giác OAB cân tại O có OH là đường cao
nên OH cũng là đường phân giác của góc AOB
Xét tam giác AOH vuông tại H, ta có:
\(\cos \widehat{AOH}=\frac{OH}{OA}=\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{AOH}=60^{\circ}\)
Vậy sđ \(\overset \frown {AB}=\widehat{AOB}= 2\widehat{AOH}=2.60^{\circ} =120^{\circ}\)
Độ dài cung nhỏ AB là: \(\frac{120}{180}.\pi.5=\frac{10}{3}\pi\) (cm)
d) Diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ AB là:
\(S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{\frac{10}{3}\pi.5}{2}=\frac{25}{3}\pi\) (cm2)
Bài 5.18 trang 98 Toán 9 Tập 1:
Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cũng có dạng bánh răng) gắn với bánh xe và bộ xích (H.5.23).
Biết rằng giò đĩa có bán kính 15 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 65 cm. Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Hướng dẫn giải:
Chu vi của giò đĩa là: 2πR = 2π . 15 = 30π (cm)
Chu vi của chiếc líp là: 2πR = 2π . 4 = 8π (cm)
Chu vi của bánh xe là: πd = π . 65 = 65π (cm)
Khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường là:
\(\frac{30\pi}{8\pi}.65\pi\approx765,76\) cm ≈ 7,7 m
Bài 5.19 trang 98 Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác đều ABC có AB=\(2\sqrt{3}\) cm. Nửa đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (khác B và C) (H.5.24).
a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ BD, DE và EC bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.
b) Tính diện tích của hình viên phân (xem ví dụ 2) giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD.
Hướng dẫn giải:
a) Gọi O là trung điểm của BC
Ta có OB = OD = R nên tam giác BOD cân tại O
Mà \(\widehat {OBD}=60^{\circ}\) nên tam giác BOD đều
Suy ra \(\widehat {BOD}=60^{\circ}\)
Tương tự ta có tam giác EOC đều nên \(\widehat {EOC}=60^{\circ}\)
Ta có \(\widehat {BOD} + \widehat {DOE} + \widehat {EOC} = {180^o}\)
\(\Rightarrow \widehat {DOE}= {180^{\circ} }- \widehat {BOD}- \widehat {EOC}\)
= 180o - 60o - 60o = 60o
Vậy \(\widehat {BOD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOC}\) hay \(\overset\frown{BD}=\overset\frown{DE}=\overset\frown{EC}=60^{\circ}\)
b) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung BD là:
\(S_q=\frac{60}{360}.\pi.\left(\sqrt{3}\right)^2=\frac{\pi}{2}\) (cm2)
Diện tích tam giác OBD là:
\(S_t=\frac{1}{2}.\left(\sqrt{3}\right)^2.\sin60=\frac{3\sqrt{3}}{4}\) (cm2)
Diện tích hình viên phân là:
\(S=S_q-S_t=\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\left(2\pi-3\sqrt{3}\right)\) (cm2)
