Toán 9 Cánh diều Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Giải Toán 9 Cánh diều Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 67, 68, 69, 70, 71.

Giải Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 67, 68, 69, 70, 71

Giải Toán 9 trang 67
- Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 9 Cánh diều
- Luyện tập 1 trang 67 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải Toán 9 trang 68
- Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 9 Cánh diều
- Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải Toán 9 trang 69
Giải Toán 9 trang 70

Giải Toán 9 trang 67

Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 9 Cánh diều

Tìm số thích hợp cho “?”:

a. $\sqrt {7_{}^2} = ?;$

b. $\sqrt {\left( { - 9} \right)_{}^2} = ?;$

c. $\sqrt {a_{}^2} = ?$ với a là một số cho trước.

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {7_{}^2} = \left| 7 \right| = 7;$

b. $\sqrt {\left( { - 9} \right)_{}^2} = \left| { - 9} \right| = 9;$

c. $\sqrt {a_{}^2} = \left| a \right|.$

Luyện tập 1 trang 67 SGK Toán 9 Cánh diều

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {x_{}^2 + 6x + 9}$ với x < - 3;

b. $\sqrt {y_{}^4 + 2y_{}^2 + 1} .$

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {x_{}^2 + 6x + 9} = \sqrt {\left( {x + 3} \right)_{}^2} = \left| {x + 3} \right| = - x - 3$ (vì x + 3 < 0 khi x < - 3).

b. $\sqrt {y_{}^4 + 2y_{}^2 + 1} = \sqrt {\left( {y_{}^2 + 1} \right)_{}^2} = \left| {y_{}^2 + 1} \right| = y_{}^2 + 1$ (vì y_{}^2 + 1 > 0 với mọi số thực y).

Giải Toán 9 trang 68

Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 9 Cánh diều

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {9x_{}^4} ;$

b. $\sqrt {3a_{}^3} .\sqrt {27a}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {9x_{}^4} = \sqrt 9 .\sqrt {x_{}^4} = 3.\left| {x_{}^2} \right| = 3x_{}^2.$

b. $\sqrt {3a_{}^3} .\sqrt {27a} = \sqrt {3a_{}^3.27a} = \sqrt {81a_{}^4} = \sqrt {81} .\sqrt {a_{}^4} = 3.\left| {a_{}^2} \right| = 3a_{}^2.$

Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 9 Cánh diều

So sánh:

a. $\sqrt {\frac{{49}}{{169}}}$ và $\frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {169} }}$ ;

b. $\sqrt {\frac{a}{b}}$ và $\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ với a là số không âm, b là số dương.

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {\frac{{49}}{{169}}} = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {169} }}$ .

b. $\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ .

Giải Toán 9 trang 69

Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {\frac{9}{{\left( {x - 3} \right)_{}^2}}}$ với $x > 3$ ;

b. $\frac{{\sqrt {48x_{}^3} }}{{\sqrt {3x_{}^5} }}$ với $x > 0$ .

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {\frac{9}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\left| {x - 3} \right|}} = \frac{3}{{x - 3}}$ (vì $x > 3$ nên $x - 3 > 0$ ).

b. $\frac{{\sqrt {48x_{}^3} }}{{\sqrt {3x_{}^5} }} = \sqrt {\frac{{48x_{}^3}}{{3x_{}^5}}} = \sqrt {\frac{{16}}{{x_{}^2}}} = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {x_{}^2} }} = \frac{4}{{\left| x \right|}} = \frac{4}{x}$ (vì $x > 0$ ).

Hoạt động 4 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Xét phép biến đổi: $\frac{5}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 } \right)_{}^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$ . Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: $\frac{5}{{\sqrt 3 }};\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$ .

Hướng dẫn giải:

+ Mẫu thức của phân số $\frac{5}{{\sqrt 3 }}$ là $\sqrt 3$ .

+ Mẫu thức của phân số $\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$ là 3.

Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{{x_{}^2 - 1}}{{\sqrt {x - 1} }}$ với $x > 1$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {x - 1} }}$ $= \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right).\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 1} }}$ $= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x - 1}}$ $= \left( {x + 1} \right)\sqrt {x - 1}$ .

Luyện tập 5 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}$ với $x > 1$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}$ $= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$ $= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}}$ $= \sqrt x + 1$ .

Giải Toán 9 trang 70

Luyện tập 6 trang 70 SGK Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}$ với $x \ge 0$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}$ $= \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}$ $= \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{{x + 1 - x}}$ $= \sqrt {x + 1} + \sqrt x$ .

Bài 1 trang 70 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {\left( {5 - x} \right)_{}^2}$ với $x \ge 5$ ;

b. $\sqrt {\left( {x - 3} \right)_{}^4}$ ;

c. $\sqrt {\left( {y + 1} \right)_{}^6}$ với $y < - 1$ .

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {\left( {5 - x} \right)_{}^2} = \left| {5 - x} \right| = x - 5$ (Vì $x \ge 5$ nên $5 - x \le 0$ ).

b. $\sqrt {\left( {x - 3} \right)_{}^4} = \left| {\left( {x - 3} \right)_{}^2} \right| = \left( {x - 3} \right)_{}^2$ .

c. $\sqrt {\left( {y + 1} \right)_{}^6} = \sqrt {\left[ {\left( {y + 1} \right)_{}^3} \right]_{}^2} = \left| {\left( {y + 1} \right)_{}^3} \right| = - \left( {y + 1} \right)_{}^3$ (Vì $y < - 1$ nên $y + 1 < 0$ suy ra $\left( {y + 1} \right)_{}^3 < 0$ ).

Bài 2 trang 70 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {25\left( {a + 1} \right)_{}^2}$ với $a > - 1$ ;

b. $\sqrt {x_{}^2\left( {x - 5} \right)_{}^2}$ với $x > 5$ ;

c. $\sqrt {2b} .\sqrt {32b}$ với $b > 0$ ;

d. $\sqrt {3c} .\sqrt {27c_{}^3}$ với $c > 0$ .

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {25\left( {a + 1} \right)_{}^2} = \sqrt {25} .\sqrt {\left( {a + 1} \right)_{}^2} = 5.\left| {a + 1} \right| = 5\left( {a + 1} \right)$ (Vì $a > - 1$ nên $a + 1 > 0$ ).

b. $\sqrt {x_{}^2\left( {x - 5} \right)_{}^2} = \sqrt {x_{}^2} .\sqrt {\left( {x - 5} \right)_{}^2} = \left| x \right|.\left| {x - 5} \right| = x\left( {x - 5} \right)$ (Vì $x > 5$ nên $x - 5 > 0$ ).

c. $\sqrt {2b} .\sqrt {32b} = \sqrt {2b.32b} = \sqrt {64b_{}^2} = \sqrt {64} .\sqrt {b_{}^2} = 8\left| b \right| = 8b$ (Do $b > 0$ ).

d. $\sqrt {3c} .\sqrt {27c_{}^3} = \sqrt {3c.27c_{}^3} = \sqrt {81c_{}^4} = \sqrt {81} .\sqrt {c_{}^4} = 9.\left| {c_{}^2} \right| = 9c_{}^2$ .

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {\frac{{\left( {3 - a} \right)_{}^2}}{9}}$ với $a > 3$ ;

b. $\frac{{\sqrt {75x_{}^5} }}{{\sqrt {5x_{}^3} }}$ với $x > 0$ ;

c. $\sqrt {\frac{9}{{x_{}^2 - 2x + 1}}}$ với $x > 1$ ;

d. $\sqrt {\frac{{x_{}^2 - 4x + 4}}{{x_{}^2 + 6x + 9}}}$ với $x \ge 2$ .

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {\frac{{\left( {3 - a} \right)_{}^2}}{9}} = \frac{{\sqrt {\left( {3 - a} \right)_{}^2} }}{{\sqrt 9 }} = \frac{{\left| {3 - a} \right|}}{3} = \frac{{a - 3}}{3}$ (Vì $a > 3$ nên $3 - a < 0$ ).

b. $\frac{{\sqrt {75x_{}^5} }}{{\sqrt {5x_{}^3} }} = \sqrt {\frac{{75x_{}^5}}{{5x_{}^3}}} = \sqrt {25x_{}^2} = \sqrt {25} .\sqrt {x_{}^2} = 5\left| x \right| = 5x$ (Do $x > 0$ ).

c. $\sqrt {\frac{9}{{x_{}^2 - 2x + 1}}} = \sqrt {\frac{9}{{\left( {x - 1} \right)_{}^2}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)_{}^2} }} = \frac{3}{{\left| {x - 1} \right|}} = \frac{3}{{x - 1}}$ (Vì $x > 1$ nên $x - 1 > 0$ ).

d. $\sqrt {\frac{{x_{}^2 - 4x + 4}}{{x_{}^2 + 6x + 9}}} = \sqrt {\frac{{\left( {x - 2} \right)_{}^2}}{{\left( {x + 3} \right)_{}^2}}} = \frac{{\sqrt {\left( {x - 2} \right)_{}^2} }}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right)_{}^2} }} = \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}$ (Vì $x \ge 2$ nên $x - 2 \ge 0,\,x + 3 > 0$ ).

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{9}{{2\sqrt 3 }}$ ;

b. $\frac{2}{{\sqrt a }}$ với $a > 0$ ;

c. $\frac{7}{{3 - \sqrt 2 }}$ ;

d. $\frac{5}{{\sqrt x + 3}}$ với $x > 0;x \ne 9$ ;

e. $\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$ ;

g. $\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt 3 }}$ với $x > 0,x \ne 3$ .

Hướng dẫn giải:

a. $\frac{9}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2.3}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{6} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$ .

b. $\frac{2}{{\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a .\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{a}$ .

c. $\frac{7}{{3 - \sqrt 2 }} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{9 - 2}} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{7} = 3 + \sqrt 2$ .

d. $\frac{5}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{x - 9}}$ .

e. $\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{3 - 2\sqrt 6 + 2}}{{3 - 2}} = 5 - 2\sqrt 6$ .

g. $\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt 3 }} = \frac{{1\left( {\sqrt x + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt x + \sqrt 3 }}{{x - 3}}$ .

Bài 5 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Rút gọn biểu thức: $\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}}$ với $a \ge 0,b \ge 0,a \ne b$ .