Toán 9 Cánh diều Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Giải Toán 9 Cánh diều Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 67, 68, 69, 70, 71.

Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 9 Cánh diều

So sánh:

a. \(\sqrt {\frac{{49}}{{169}}}\) và \(\frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {169} }}\);

b. \(\sqrt {\frac{a}{b}}\) và \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) với a là số không âm, b là số dương.

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {\frac{{49}}{{169}}} = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {169} }}\).

b. \(\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\).

Giải Toán 9 trang 69

Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {\frac{9}{{\left( {x - 3} \right)_{}^2}}}\) với \(x > 3\);

b. \(\frac{{\sqrt {48x_{}^3} }}{{\sqrt {3x_{}^5} }}\) với \(x > 0\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {\frac{9}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\left| {x - 3} \right|}} = \frac{3}{{x - 3}}\) (vì \(x > 3\) nên \(x - 3 > 0\)).

b. \(\frac{{\sqrt {48x_{}^3} }}{{\sqrt {3x_{}^5} }} = \sqrt {\frac{{48x_{}^3}}{{3x_{}^5}}} = \sqrt {\frac{{16}}{{x_{}^2}}} = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {x_{}^2} }} = \frac{4}{{\left| x \right|}} = \frac{4}{x}\) (vì \(x > 0\)).

Hoạt động 4 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Xét phép biến đổi: \(\frac{5}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 } \right)_{}^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\). Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: \(\frac{5}{{\sqrt 3 }};\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Hướng dẫn giải:

+ Mẫu thức của phân số \(\frac{5}{{\sqrt 3 }}\) là \(\sqrt 3\).

+ Mẫu thức của phân số \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\) là 3.

Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: \(\frac{{x_{}^2 - 1}}{{\sqrt {x - 1} }}\) với \(x > 1\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {x - 1} }}\)\(= \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right).\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 1} }}\)\(= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x - 1}}\)\(= \left( {x + 1} \right)\sqrt {x - 1}\).

Luyện tập 5 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 1\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\)\(= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\(= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}}\)\(= \sqrt x + 1\).

Giải Toán 9 trang 70

Luyện tập 6 trang 70 SGK Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: \(\frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}\)\(= \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}\)\(= \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{{x + 1 - x}}\)\(= \sqrt {x + 1} + \sqrt x\).

Bài 1 trang 70 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {\left( {5 - x} \right)_{}^2}\) với \(x \ge 5\);

b. \(\sqrt {\left( {x - 3} \right)_{}^4}\);

c. \(\sqrt {\left( {y + 1} \right)_{}^6}\) với \(y < - 1\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {\left( {5 - x} \right)_{}^2} = \left| {5 - x} \right| = x - 5\) (Vì \(x \ge 5\) nên \(5 - x \le 0\)).

b. \(\sqrt {\left( {x - 3} \right)_{}^4} = \left| {\left( {x - 3} \right)_{}^2} \right| = \left( {x - 3} \right)_{}^2\).

c. \(\sqrt {\left( {y + 1} \right)_{}^6} = \sqrt {\left[ {\left( {y + 1} \right)_{}^3} \right]_{}^2} = \left| {\left( {y + 1} \right)_{}^3} \right| = - \left( {y + 1} \right)_{}^3\) (Vì \(y < - 1\) nên \(y + 1 < 0\) suy ra \(\left( {y + 1} \right)_{}^3 < 0\)).

Bài 2 trang 70 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {25\left( {a + 1} \right)_{}^2}\) với \(a > - 1\);

b. \(\sqrt {x_{}^2\left( {x - 5} \right)_{}^2}\) với \(x > 5\);

c. \(\sqrt {2b} .\sqrt {32b}\) với \(b > 0\);

d. \(\sqrt {3c} .\sqrt {27c_{}^3}\) với \(c > 0\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {25\left( {a + 1} \right)_{}^2} = \sqrt {25} .\sqrt {\left( {a + 1} \right)_{}^2} = 5.\left| {a + 1} \right| = 5\left( {a + 1} \right)\) (Vì \(a > - 1\) nên \(a + 1 > 0\)).

b. \(\sqrt {x_{}^2\left( {x - 5} \right)_{}^2} = \sqrt {x_{}^2} .\sqrt {\left( {x - 5} \right)_{}^2} = \left| x \right|.\left| {x - 5} \right| = x\left( {x - 5} \right)\) (Vì \(x > 5\) nên \(x - 5 > 0\)).

c. \(\sqrt {2b} .\sqrt {32b} = \sqrt {2b.32b} = \sqrt {64b_{}^2} = \sqrt {64} .\sqrt {b_{}^2} = 8\left| b \right| = 8b\) (Do \(b > 0\)).

d. \(\sqrt {3c} .\sqrt {27c_{}^3} = \sqrt {3c.27c_{}^3} = \sqrt {81c_{}^4} = \sqrt {81} .\sqrt {c_{}^4} = 9.\left| {c_{}^2} \right| = 9c_{}^2\).

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {\frac{{\left( {3 - a} \right)_{}^2}}{9}}\) với \(a > 3\);

b. \(\frac{{\sqrt {75x_{}^5} }}{{\sqrt {5x_{}^3} }}\) với \(x > 0\);

c. \(\sqrt {\frac{9}{{x_{}^2 - 2x + 1}}}\) với \(x > 1\);

d. \(\sqrt {\frac{{x_{}^2 - 4x + 4}}{{x_{}^2 + 6x + 9}}}\) với \(x \ge 2\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {\frac{{\left( {3 - a} \right)_{}^2}}{9}} = \frac{{\sqrt {\left( {3 - a} \right)_{}^2} }}{{\sqrt 9 }} = \frac{{\left| {3 - a} \right|}}{3} = \frac{{a - 3}}{3}\) (Vì \(a > 3\) nên \(3 - a < 0\)).

b. \(\frac{{\sqrt {75x_{}^5} }}{{\sqrt {5x_{}^3} }} = \sqrt {\frac{{75x_{}^5}}{{5x_{}^3}}} = \sqrt {25x_{}^2} = \sqrt {25} .\sqrt {x_{}^2} = 5\left| x \right| = 5x\) (Do \(x > 0\)).

c. \(\sqrt {\frac{9}{{x_{}^2 - 2x + 1}}} = \sqrt {\frac{9}{{\left( {x - 1} \right)_{}^2}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)_{}^2} }} = \frac{3}{{\left| {x - 1} \right|}} = \frac{3}{{x - 1}}\) (Vì \(x > 1\) nên \(x - 1 > 0\)).

d. \(\sqrt {\frac{{x_{}^2 - 4x + 4}}{{x_{}^2 + 6x + 9}}} = \sqrt {\frac{{\left( {x - 2} \right)_{}^2}}{{\left( {x + 3} \right)_{}^2}}} = \frac{{\sqrt {\left( {x - 2} \right)_{}^2} }}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right)_{}^2} }} = \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\) (Vì \(x \ge 2\) nên \(x - 2 \ge 0,\,x + 3 > 0\)).

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Trục căn thức ở mẫu:

a. \(\frac{9}{{2\sqrt 3 }}\);

b. \(\frac{2}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0\);

c. \(\frac{7}{{3 - \sqrt 2 }}\);

d. \(\frac{5}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9\);

e. \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\);

g. \(\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt 3 }}\) với \(x > 0,x \ne 3\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\frac{9}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2.3}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{6} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

b. \(\frac{2}{{\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a .\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{a}\).

c. \(\frac{7}{{3 - \sqrt 2 }} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{9 - 2}} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{7} = 3 + \sqrt 2\).

d. \(\frac{5}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{x - 9}}\).

e. \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{3 - 2\sqrt 6 + 2}}{{3 - 2}} = 5 - 2\sqrt 6\).

g. \(\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt 3 }} = \frac{{1\left( {\sqrt x + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt x + \sqrt 3 }}{{x - 3}}\).

Bài 5 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Rút gọn biểu thức: \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\).

Bài tiếp theo: Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương 3