Toán 9 Cánh diều Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải Toán 9 trang 12

Khởi động trang 12 Toán 9 Tập 1: Một lạng thịt bò chứa 26 g protein, một lạng thịt cá chứa 22 g protein. Bác An dự định chỉ bổ sung 70 g protein từ thịt bò và thịt cá trong một ngày.

Số lạng thịt bò và số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày cần thoả mãn điều kiện ràng buộc gì để đáp ứng nhu cầu bổ sung protein của bác An?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò, số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày. Khi đó:

⦁ số g protein được bổ sung từ x lạng thịt bò là: 26x (g);

⦁ số g protein được bổ sung từ y lạng thịt cá là: 22y (g).

Theo bài, bác An dự định chỉ bổ sung 70 g protein từ thịt bò và thịt cá trong một ngày nên ta có: 26x + 22y = 70.

Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y để đáp ứng nhu cẩu bổ sung protein của bác An là 26x + 22y = 70.

Hoạt động 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Trong bài toán ở phần mở đầu, ta gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò, số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày. Viết hệ thức liên hệ giữa x và y để đáp ứng nhu cẩu bổ sung protein của bác An.

Lời giải:

Khi gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò, số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày thì ta có:

⦁ số g protein được bổ sung từ x lạng thịt bò là: 26x (g);

⦁ số g protein được bổ sung từ y lạng thịt cá là: 22y (g).

Theo bài, bác An dự định chỉ bổ sung 70 g protein từ thịt bò và thịt cá trong một ngày nên ta có: 26x + 22y = 70.

Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y để đáp ứng nhu cẩu bổ sung protein của bác An là 26x + 22y = 70.

Luyện tập 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Nêu hai ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải:

Hai ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn: 22x + 12y = 21 và –16x + 7y = 95.

Giải Toán 9 trang 13

Luyện tập 2 trang 13 Toán 9 Tập 1: Nêu hai nghiệm của phương trình: 6x – 5y = 11.

Lời giải:

⦁ Thay x = 1 và y = –1 vào vế trái của phương trình đã cho, ta có:

6.1 – 5.(–1) = 6 + 5 = 11.

Do đó (1; –1) là một nghiệm của phương trình đã cho.

⦁ Thay x = –4 và y = –7 vào vế trái của phương trình đã cho, ta có:

6.(–4) – 5.(–7) = –24 + 35 = 11.

Do đó (–4; –7) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho có thể kể là (1; –1) và (–4; –7).

Hoạt động 2 trang 13 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y:

3x – 2y = 6 (1)

Tính giá trị của biểu thức ở vế trái của phương trình (1) tại x = 4; y = 3. Giá trị đó có bằng 6 hay không?

Lời giải:

Thay x = 4 và y = 3 vào vế trái của phương trình (1), ta có:

3.4 – 2.3 = 12 – 6 = 6.

Giá trị của vế trái của phương trình (1) tại x = 4; y = 3 bằng 6.

Luyện tập 2 trang 13 Toán 9 Tập 1: Nêu hai nghiệm của phương trình: 6x – 5y = 11.

Lời giải:

⦁ Thay x = 1 và y = –1 vào vế trái của phương trình đã cho, ta có:

6.1 – 5.(–1) = 6 + 5 = 11.

Do đó (1; –1) là một nghiệm của phương trình đã cho.

⦁ Thay x = –4 và y = –7 vào vế trái của phương trình đã cho, ta có:

6.(–4) – 5.(–7) = –24 + 35 = 11.

Do đó (–4; –7) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho có thể kể là (1; –1) và (–4; –7).

Giải Toán 9 trang 16

Hoạt động 3 trang 16 Toán 9 Tập 1: Hai bạn Dũng, Huy vào siêu thị mua vở và bút bi để ủng hộ các bạn học sinh vùng lũ lụt. Bạn Dũng mua 5 quyển vở và 3 chiếc bút bi với tổng số tiền phải trả là 39 000 đồng. Bạn Huy mua 6 quyển vở và 2 chiếc bút bi với tổng số tiền phải trả là 42 000 đồng. Giả sử giá của mỗi quyển vở là x đồng (x > 0), giá của mỗi chiếc bút bi là y đồng (y > 0).

a) Viết hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y lần lượt biểu thị tổng số tiền phải trả của bạn Dũng, bạn Huy.

b) Cặp số (x; y) = (6 000; 3 000) có phải là nghiệm của từng phương trình bậc nhất đó hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Bạn Dũng mua 5 quyển vở và 3 chiếc bút bi hết số tiền là 5x + 3y (đồng).

Theo bài, ta có phương trình: 5x + 3y = 39 000. (1)

Bạn Huy mua 6 quyển vở và 2 chiếc bút bi hết số tiền là 6x + 2y (đồng).

Theo bài, ta có phương trình: 6x + 2y = 42 000. (2)

Vậy hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y lần lượt biểu thị tổng số tiền phải trả của bạn Dũng, bạn Huy là 5x + 3y = 39 000 và 6x + 2y = 42 000.

b) Thay x = 6 000 và y = 3 000 vào vế trái của phương trình (1), ta có:

5 . 6 000 + 3 . 3 000 = 30 000 + 9 000 = 39 000.

Do đó cặp số (x; y) = (6 000; 3 000) là nghiệm của phương trình (1).

Thay x = 6 000 và y = 3 000 vào vế trái của phương trình (2), ta có:

6 . 6 000 + 2 . 3 000 = 36 000 + 6 000 = 42 000.

Do đó cặp số (x; y) = (6 000; 3 000) là nghiệm của phương trình (2).

Vậy cặp số (x; y) = (6 000; 3 000) là nghiệm của từng phương trình bậc nhất ở câu a.

Giải Toán 9 trang 17

Bài 1 trang 17 Toán 9 Tập 1: Trong các cặp số (8; 1), (–3; 6), (4; –1), (0; 2), cho biết cặp số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) x – 2y = 6;

b) x + y = 3.

Lời giải:

a) ⦁ Thay x = 8 và y = 1 vào vế trái của phương trình x – 2y = 6, ta có:

8 – 2.1 = 8 – 2 = 6.

Do đó cặp số (8; 1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 6.

⦁ Thay x = –3 và y = 6 vào vế trái của phương trình x – 2y = 6, ta có:

–3 – 2.6 = –3 – 12 = –15 ≠ 6.

Do đó cặp số (–3; 6) không là nghiệm của phương trình x – 2y = 6.

⦁ Thay x = 4 và y = –1 vào vế trái của phương trình x – 2y = 6, ta có:

4 – 2.(–1) = 4 + 2 = 6.

Do đó cặp số (4; –1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 6.

⦁ Thay x = 0 và y =2 vào vế trái của phương trình x – 2y = 6, ta có:

0 – 2.2 = 0 + 4 = 4 ≠ 6.

Do đó cặp số (0; 2) không là nghiệm của phương trình x – 2y = 6.

Vậy các cặp số (8; 1) và (4; –1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 6.

b) ⦁ Thay x = 8 và y = 1 vào vế trái của phương trình x + y = 3, ta có:

8 + 1 = 9 ≠ 3.

Do đó cặp số (8; 1) không là nghiệm của phương trình x + y = 3.

⦁ Thay x = –3 và y = 6 vào vế trái của phương trình x + y = 3, ta có:

–3 + 6 = 3.

Do đó cặp số (–3; 6) là nghiệm của phương trình x + y = 3.

⦁ Thay x = 4 và y = –1 vào vế trái của phương trình x + y = 3, ta có:

4 + (–1) = 3.

Do đó cặp số (4; –1) là nghiệm của phương trình x + y = 3.

⦁ Thay x = 0 và y =2 vào vế trái của phương trình x + y = 3, ta có:

0 + 2 = 2 ≠ 3.

Do đó cặp số (0; 2) không là nghiệm của phương trình x + y = 3.

Vậy các cặp số (–3; 6) và (4; –1) là nghiệm của phương trình x + y = 3.

Bài 2 trang 17 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\3x - 2y = 3;\end{array} \right.\)

Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

a) (3; –1).

b) (1; 0).

Lời giải:

a) Thay x = 3 và y = –1 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

3 + 2.(–1) = 1;

3.3 – 2.(–1) = 11 ≠ 3.

Do đó, cặp số (3; –1) không là nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ.

Vậy cặp số (3; –1) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b) Thay x = 1 và y = 0 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

1 + 2.0 = 1;

3.1 – 2.0 = 3.

Do đó, cặp số (1; 0) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (1; 0) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 3 trang 17 Toán 9 Tập 1: Nhân dịp tết Trung thu, một doanh nghiệp dự định sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Lượng đường cần cho mỗi chiếc bánh nướng, bánh dẻo lần lượt là 60 g, 50 g. Gọi x và y lần lượt là số lượng bánh nướng và bánh dẻo mà doanh nghiệp dự định sản xuất để lượng đường sản xuất bánh là 500 kg. Viết phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị lượng đường để sản xuất hai loại bánh và chỉ ra ba nghiệm của phương trình đó.

Lời giải:

Lượng đường trong x chiếc bánh nướng là 60x (g).

Lượng đường trong y chiếc bánh dẻo là 50y (g).

Khi đó, lượng đường trong x chiếc bánh nướng và y chiếc bánh dẻo là 60x + 50y (g).

Theo bài, lượng đường để sản xuất bánh là 500 kg = 500 000 g, nên ta có phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị lượng đường để sản xuất hai loại bánh là:

60x + 50y = 500 000 hay 6x + 5y = 50 000.

Ba nghiệm của phương trình trên là: (5 000; 4 000), (6 000; 2 800), (8 000; 400).

Bài 4 trang 18 Toán 9 Tập 1: Năm bạn Châu, Hà, Khang, Minh, Phong cùng đi mua sticker để trang trí vở. Có hai loại sticker: loại I giá 2 nghìn đồng/chiếc và loại II giá 3 nghìn đồng/chiếc. Mỗi bạn mua 1 chiếc và tổng số tiền năm bạn phải trả là 12 nghìn đồng. Gọi x và y lần lượt là số sticker loại I và loại II mà năm bạn đã mua.

a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

b) Cặp số (3; 2) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Do mỗi bạn mua 1 chiếc sticker nên năm bạn đã mua tất cả 5 chiếc sticker, do đó ta có phương trình: x + y = 5. (1)

Số tiền các bạn phải trả khi mua x chiếc sticker loại I là: 2x (nghìn đồng).

Số tiền các bạn phải trả khi mua y chiếc sticker loại II là: 3y (nghìn đồng).

Số tiền các bạn phải trả khi mua các sticker trên là 2x + 3y (nghìn đồng).

Theo bài, tổng số tiền năm bạn phải trả là 12 nghìn đồng nên ta có phương trình: 2x + 3y = 12. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x + 3y = 12;\end{array} \right.\)

b) Thay x = 3 và y = 2 vào mỗi phương trình trong hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x + 3y = 12;\end{array} \right.\) ta có:

3 + 2 = 5;

2.3 + 3.2 = 12.

Do đó, cặp số (3; 2) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (3; 2) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Bài 5 trang 18 Toán 9 Tập 1: Để chuẩn bị cho buổi liên hoan của gia đình, bác Ngọc mua hai loại thực phẩm là thịt lợn và cá chép. Giá tiền thịt lợn là 130 nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là 50 nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi 295 nghìn để mua 3,5 kg hai loại thực phẩm trên. Gọi x và y lần lượt là số kilôgam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua.

a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

b) Cặp số (1,5; 2) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Bác Ngọc đã mua 3,5 kg hai loại thực phẩm (thịt lợn và cá chép) nên ta có phương trình: x + y = 3,5. (1)

Số tiền bác Ngọc đã chi để mua x kilôgam thịt lợn là 130x (nghìn đồng).

Số tiền bác Ngọc đã chi để mua y kilôgam cá chép là 50y (nghìn đồng).

Theo bài, bác Ngọc đã chi 295 nghìn để mua hai loại thực phẩm trên nên ta có phương trình: 130x + 50y = 295. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\130x + 50y = 295;\end{array} \right.\)

b) Thay x = 1,5 và y = 2 vào mỗi phương trình trong hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\130x + 50y = 295;\end{array} \right.\), ta có:

1,5 + 2 = 3,5;

130.1,5 + 50.2 = 195 + 100 = 295.

Do đó, cặp số (1,5; 2) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (1,5; 2) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Bài 6 trang 18 Toán 9 Tập 1: Người ta cần sơn hai loại sản phẩm A, B bằng hai loại sơn: sơn xanh, sơn vàng. Lượng sơn để sơn mỗi loại sản phẩm đó được cho ở Bảng 1 (đơn vị: kg/ 1 sản phẩm).

Người ta dự định sử dụng 85 kg sơn xanh và 50 kg sơn vàng để sơn tất cả các sản phẩm của hai loại đó. Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại A, số sản phẩm loại B được sơn.

a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

b) Cặp số (100; 50) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Lượng sơn xanh để sơn sản phẩm loại A là: 0,6x (kg).

Lượng sơn xanh để sơn sản phẩm loại B là: 0,5y (kg).

Theo bài, người ta dự định sử dụng 85 kg sơn xanh nên ta có phương trình:

0,6x + 0,5y = 85. (1).

Lượng sơn vàng để sơn sản phẩm loại A là: 0,3x (kg).

Lượng sơn vàng để sơn sản phẩm loại B là: 0,4y (kg).

Theo bài, người ta dự định sử dụng 50 kg sơn vàng nên ta có phương trình:

0,3x + 0,4y = 50. (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng: \(\left\{ \begin{array}{l}0,6x + 0,5y = 85\\0,3x + 0,4y = 50;\end{array} \right.\)

b) Thay x = 100 và y = 50 vào mỗi phương trình trong hệ \(\left\{ \begin{array}{l}0,6x + 0,5y = 85\\0,3x + 0,4y = 50;\end{array} \right.\), ta có:

0,6 . 100 + 0,5 . 50 = 60 + 25 = 85;

0,3 . 100 + 0,4 . 50 = 30 + 20 = 50.

Do đó, cặp số (100; 50) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (100; 50) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Bài tiếp theo: Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn