Toán 9 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Toán 9 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn giúp học sinh tiếp cận những dạng phương trình có thể biến đổi về phương trình bậc nhất một ẩn bằng các phép toán và phương pháp phù hợp. Đây là nội dung quan trọng, tạo nền tảng để học sinh rèn luyện tư duy biến đổi, nhận dạng dạng toán và trình bày lời giải theo từng bước.
Với tài liệu Giải SGK Toán 9 KNTT tập 1, học sinh có thể tìm hiểu cách xử lý từng dạng bài trong Bài 4, từ phương trình tích đến những phương trình cần biến đổi trước khi tìm nghiệm. Việc theo dõi đầy đủ các bước giải không chỉ giúp kiểm tra đáp án mà còn hỗ trợ hiểu rõ vì sao có thể thực hiện mỗi phép biến đổi.
Để học tốt chuyên đề này, học sinh nên chú ý đến điều kiện của phương trình, các phép biến đổi tương đương và cách kiểm tra nghiệm sau khi giải. Khi nắm chắc phương pháp, các bài tập về phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 sẽ trở nên dễ nhận biết và xử lý hơn, đồng thời tạo tiền đề cho quá trình ôn tập và ôn thi vào lớp 10.
Giải Bài 4 Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Mở đầu trang 26 Toán 9
Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15 m người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là x (m) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng x của lối đi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Do lối đi có bề rộng là x nên cạnh của khu vườn hình vuông ban đầu giảm đi 
\(2x\left( m \right).\)
Nên phần đất còn lại là hình vuông có cạnh \(15 - 2x\left( m \right)\)
Diện tích phần đất còn lại là \(169{m^2}\) nên ta có phương trình \({\left( {15 - 2x} \right)^2} = 169\)
\(\begin{array}{l}{\left( {15 - 2x} \right)^2} = {13^2}\\TH1:15 - 2x = 13\\2x = 2\\x = 1\end{array}\)
\(TH2:15 - 2x = - 13\) (vô lý vì cạnh của mảnh đất >0)
Vậy \(x = 1\)
Vậy bề rộng của lối đi là 1m.
Giải Toán 9 trang 27
Hoạt động 1 trang 27 Toán 9 Kết nối tri thức
Phân tích đa thức \(P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)x\) thành nhân tử
Hướng dẫn giải:
\(P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)x\)
\(= \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1 + x} \right)\)
\(= \left( {x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)\)
Hoạt động 2 trang 27 Toán 9 Kết nối tri thức
Giải phương trình \(P\left( x \right) = 0.\)\(B\left( x \right) = 0\)
Hướng dẫn giải:
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\\TH1:x + 1 = 0\\x = - 1\\TH2:3x - 1 = 0\\x = \frac{1}{3}\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 1;\frac{1}{3}} \right\}\)
Giải Toán 9 trang 28
Luyện tập 1 trang 28 Toán 9 Kết nối tri thức
Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {3x + 1} \right)\left( {2 - 4x} \right) = 0;\) b) \({x^2} - 3x = 2x - 6.\)\(B\left( x \right) = 0\)
Hướng dẫn giải:
a) \(\left( {3x + 1} \right)\left( {2 - 4x} \right) = 0;\)
\(\begin{array}{l}TH1:3x + 1 = 0\\x = \frac{{ - 1}}{3}\\TH2:2 - 4x = 0\\x = \frac{1}{2}\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ { - \frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right\}\)
b) \({x^2} - 3x = 2x - 6.\)
\(\begin{array}{l}{x^2} - 3x = 2x + 6\\x\left( {x - 3} \right) = 2\left( {x + 3} \right)\\x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = 0\\\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\TH1:x - 2 = 0\\x = 2\\TH2:x - 3 = 0\\x = 3\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {2;3} \right\}\)
Vận dụng trang 28 Toán 9 Kết nối tri thức
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Tình huống mở đầu: Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15m người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là x (m) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là \(169{m^2}\) thì bề rộng x của lối đi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Do lối đi có bề rộng là x nên cạnh của khu vườn hình vuông ban đầu giảm đi \(2x\left( m \right).\)
Nên phần đất còn lại là hình vuông có cạnh \(15 - 2x\left( m \right)\)
Diện tích phần đất còn lại là \(169{m^2}\) nên ta có phương trình \({\left( {15 - 2x} \right)^2} = 169\)
\(\begin{array}{l}{\left( {15 - 2x} \right)^2} = {13^2}\\TH1:15 - 2x = 13\\2x = 2\\x = 1\end{array}\)
\(TH2:15 - 2x = - 13\) (vô lý vì cạnh của mảnh đất >0)
Vậy \(x = 1\)
Vậy bề rộng của lối đi là 1m.
Hoạt động 3 trang 28 Toán 9 Kết nối tri thức
Xét phương trình \(x + \frac{1}{{x + 1}} = - 1 + \frac{1}{{x + 1}}.\)
Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn vế trái.
Hướng dẫn giải:
Ta có \(x + \frac{1}{{x + 1}} = - 1 + \frac{1}{{x + 1}}\) hay \(x + \frac{1}{{x + 1}} + 1 - \frac{1}{{x + 1}} = 0\) suy ra \(x + 1 = 0\)
Hoạt động 4 trang 28 Toán 9 Kết nối tri thức
Xét phương trình \(x + \frac{1}{{x + 1}} = - 1 + \frac{1}{{x + 1}}.\)
Giá trị \(x = - 1\) có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
Thay \(x = - 1\) vào phương trình đã cho ta có \(\left( { - 1} \right) + \frac{1}{{ - 1 + 1}} = - 1 + \frac{1}{{ - 1 + 1}}\), ta có kết quả đã cho chưa đúng vì khi thay \(x = - 1\) làm cho mẫu của phân số bằng 0.
Vậy \(x = - 1\) không là nghiệm của phương trình.
Luyện tập 2 trang 28 Toán 9 Kết nối tri thức
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) \(\frac{{3x + 1}}{{2x - 1}} = 1;\)
b) \(\frac{x}{{x - 1}} + \frac{{x + 1}}{x} = 2.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(\frac{{3x + 1}}{{2x - 1}} = 1;\)
Vì \(2x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne \frac{1}{2}.\) Vậy ĐKXĐ của phương trình đã cho là \(x \ne \frac{1}{2}.\)
b) \(\frac{x}{{x - 1}} + \frac{{x + 1}}{x} = 2.\)
Vì \(x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1\) và \(x \ne 0\). Vậy ĐKXĐ của phương trình đã cho là \(x \ne 1\) và \(x \ne 0\).
Giải Toán 9 trang 29
Hoạt động 5 trang 29 Toán 9 Kết nối tri thức
Xét phương trình \(\frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 9}}{{x - 3}}.\left( 2 \right)\)
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2):
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2);
b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (2), rồi khử mẫu;
c) Giải phương trình vừa tìm được;
d) Kết luận nghiệm của phương trình (2).
Hướng dẫn giải:
a) ĐKXĐ \(x \ne 0\) và \(x \ne 3.\)
b) Quy đồng mẫu ta được \(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {x + 9} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\) và khử mẫu ta có: \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = x\left( {x + 9} \right)\)
c) \({x^2} - 9 = {x^2} + 9x\)
\(\begin{array}{l}{x^2} - {x^2} - 9x = 9\\ - 9x = 9\\x = - 1\end{array}\)
Giá trị \(x = - 1\left( {t/m} \right)\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 1.\)
Luyện tập 3 trang 29 Toán 9 Kết nối tri thức
Giải phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{4x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{x}{{{x^2} + x + 1}}.\)
Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ: \(x \ne 1.\)
Quy đồng mẫu thức, ta được
\(\frac{{1.\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
Khử mẫu ta được \({x^2} + x + 1 - 4x = x\left( {x - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l}{x^2} + x + 1 - 4x = {x^2} - x\\{x^2} - 3x - {x^2} + x = - 1\\ - 2x = - 1\end{array}\)
\(x = \frac{1}{2}\left( {t/m} \right).\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{2}.\)
Giải Toán 9 trang 30
Bài 2.1 trang 30 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Giải các phương trình sau:
a) x(x – 2) = 0;
b) (2x + 1)(3x – 2) = 0.
Hướng dẫn giải
a) x(x – 2) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x – 2 = 0
Do đó x = 0 hoặc x = 2.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = 2.
b) (2x + 1)(3x – 2) = 0
Ta giải hai phương trình sau:
⦁ 2x + 1 = 0 hay 2x = –1, suy ra x=\(-\frac{1}{2}\)
⦁ 3x – 2 = 0 hay 3x = 2, suy ra x=\(\frac{2}{3}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= \(-\frac{1}{2}\) và x=\(\frac{2}{3}\)
Bài 2.2 trang 30 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Giải các phương trình sau:
a) (x2 – 4) + x(x – 2) = 0;
b) (2x + 1) 2 – 9x 2 = 0.
Hướng dẫn giải
a) (x2 – 4) + x(x – 2) = 0
(x – 2)(x + 2) + x(x – 2) = 0
(x – 2)(x + 2 + x) = 0
(x – 2)(2x + 2) = 0.
Ta giải hai phương trình sau:
⦁ x – 2 = 0, suy ra x = 2.
⦁ 2x + 2 = 0 hay 2x = –2, suy ra x = –1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 và x = –1.
b) (2x + 1) 2 – 9x 2 = 0
(2x + 1)2 – (3x)2 = 0
(2x + 1 – 3x)(2x + 1 + 3x) = 0
(–x + 1)(5x + 1) = 0.
Ta giải hai phương trình sau:
⦁ –x + 1 = 0, suy ra x = 1.
⦁ 5x + 1 = 0 hay 5x = –1, suy ra x=\(-\frac{1}{5}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 và x=\(-\frac{1}{5}\)
Bài 2.3 trang 30 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{2}{{2x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};\)
b) \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}.\)
Hướng dẫn giải
a) \(\frac{2}{{2x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};\)
ĐKXĐ: \(x \ne - 1;x \ne \frac{{ - 1}}{2}.\)
Quy đồng mẫu thức ta được:
\(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{1.\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};\)
Khử mẫu ta được:
\(\begin{array}{l}2\left( {x + 1} \right) + 1.\left( {2x + 1} \right) = 3\\4x + 3 = 3\\x = 0\left( {t/m} \right).\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 0.\)
b) \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}.\)
ĐKXĐ: \(x \ne - 1;x \ne \frac{{ - 1}}{2}.\)
Quy đồng mẫu thức ta được: \(\frac{{1.\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x}}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\)
Khử mẫu ta được:
\(\begin{array}{l}1.\left( {{x^2} - x + 1} \right) - x\left( {x + 1} \right) = 3x\\ - 2x + 1 = 3x\\5x = 1\\x = \frac{1}{5}\left( {t/m} \right).\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{1}{5}.\)
Bài 2.4 trang 30 Toán 9 Tập 1 kết nối tri thức
Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14 m và chiều rộng 12 m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.2. Biết diện tích đất làm nhà là 100 m2. Hỏi x bằng bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải
Chiều dài của phần đất làm nhà là: 14 – (x + 2) = 12 – x (m). Điều kiện x < 12.
Chiều rộng của phần đất làm nhà là: 12 – x (m).
Diện tích đất làm nhà là: (12 – x)2 (m2).
Theo bài, diện tích đất làm nhà là 100 m 2 nên ta có phương trình:
(12 – x)2 = 100. (*)
Giải phương trình (*):
(12 – x)2 = 100
(12 – x)2 – 102 = 0
(12 – x – 10)(12 – x + 10) = 0
(2 – x)(22 – x) = 0
Suy ra 2 – x = 0 hoặc 22 – x = 0
Do đó x = 2 hoặc x = 22.
Ta thấy x = 2 thỏa mãn điều kiện x < 12.
Vậy x = 2.
Bài 2.5 trang 30 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, \(x > 0\)).
a) Hãy biểu thị theo x:
- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ;
b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.
Hướng dẫn giải
a)
- Một giờ người thứ nhất làm được số công việc là \(\frac{1}{x}\) (công việc)
- Hai người làm công việc 8 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được số công việc là \(\frac{1}{8}\) (công việc)
Nên một giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{8} - \frac{1}{x}\) (công việc)
b) Hai người cùng làm trong 4 giờ thì làm được \(4.\frac{1}{8} = \frac{1}{2}\) (công việc)
Người thứ hai làm tiếp tục một mình trong 12h làm được \(12.\left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}\) (công việc) thì xong công việc nên ta có phương trình:
\(\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1\) hay \(\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\frac{{12}}{x} = 1\) nên \(x = 12\left( {t/m} \right)\)
Với \(x = 12\) thì một giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{8} - \frac{1}{{12}} = \frac{1}{{24}}\) (công việc)
Do đó thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai nếu làm một mình là \(1:\frac{1}{{24}} = 24\) (giờ)
Vậy nếu làm riêng người thứ nhất hoàn thành công việc trong 12 h.
Người thứ hai hoàn thành công việc trong 24 h.
------------------------------------------------
Bài học tiếp theo:
- Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất
- Luyện tập chung trang 36
- Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bài tập cuối chương 2
Qua Toán 9 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, học sinh có thêm phương pháp để xử lý các phương trình phức tạp hơn bằng cách biến đổi chúng về dạng quen thuộc. Điều quan trọng không chỉ nằm ở việc tìm được nghiệm mà còn ở khả năng nhận dạng phương trình, lựa chọn phép biến đổi thích hợp và bảo đảm tính tương đương trong suốt quá trình giải.
Phần Giải SGK Toán 9 KNTT tập 1 là tài liệu tham khảo hữu ích để học sinh đối chiếu cách trình bày, phát hiện những bước tính toán chưa chính xác và củng cố kiến thức sau mỗi bài tập. Khi tự giải trước rồi mới so sánh với lời giải, học sinh sẽ chủ động hơn trong việc hình thành kỹ năng giải phương trình.
Nắm vững các phương pháp của Bài 4 cũng giúp học sinh có nền tảng tốt hơn khi gặp những bài toán phương trình trong các chuyên đề tiếp theo và trong quá trình ôn tập Toán 9, luyện thi vào lớp 10. Việc kết hợp kiến thức lý thuyết với bài tập từ cơ bản đến vận dụng sẽ giúp kỹ năng biến đổi và kiểm tra nghiệm ngày càng chắc chắn.
